PATH HAMILTON PADA DIGRAPH CAYLEY

(1)

PATH HAMILTON PADA DIGRAPH CAYLEY

TESIS

Oleh

METRILITNA BR SEMBIRING 127021024/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2014

(2)

PATH HAMILTON PADA DIGRAPH CAYLEY

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

METRILITNA BR SEMBIRING 127021024/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2014

Universitas Sumatera Utara

(3)

Judul Tesis : PATH HAMILTON PADA DIGRAPH CAYLEY Nama Mahasiswa : Metrilitna Br Sembiring

Nomor Pokok : 127021024

Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Dr. Mardiningsih, M.Si)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 22 Desember 2014

(4)

Telah diuji pada

Tanggal : 22 Desember 2014

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Dr. Mardiningsih, M.Si

2. Prof. Dr. Tulus, M.Si 3. Dr. Marwan Ramli, M.Si

(5)

PERNYATAAN

PATH HAMILTON PADA DIGRAPH CAYLEY

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kuti- pan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.

Medan, 22 Desember 2014 Penulis,

Metrilitna Br Sembiring

i

(6)

ABSTRAK

Tesis ini merupakan penelitian deskriptif-kualitatif dengan menggunakan metode penelitian kepustakaan (library research) yaitu penelitian yang mengkaji secara kepustakaan, khususnya tentang digraph Cayley. Dalam tesis ini mengkaji tentang lintasan Hamilton di digraph Cayley. Dibangun sebuah keluarga yang tak terbatas−−→

Cay(Gi; ai; bi) terhubung, 2−generated digraph Cayley yang tidak memiliki path Hamilton, seperti bahwa perintah generator ai dan bi yang tak terbatas.

Dibuktikan bahwa jika G adalah kelompok terbatas dengan | [G, G] |≤ 3, maka setiap digraph Cayley yang terhubung pada G memiliki path Hamilton.

Kata kunci: Digraph, Digraph Cayley, path Hamilton.

ii

(7)

ABSTRACT

This paper is a descriptive-qualitative research methods literature (library research) research that examines the literature, especially on digraph Cayley for the purpose of collecting data and information with the help of a variety of materials such as books and documents. In this paper will be discuss about The study of Hamilton paths in Cayley digraphs has had a long history. We construct an infinite fa- mily Cay(Gi; ai; bi) of connected, 2 − generated Cayley digraphs that do not have Hamiltonian paths, such that the orders of the generators ai and bi are unbounded.

We also prove that if G is any finite group with | [G, G] |≤ 3, then every connected Cayley digraph on G has a hamiltonian path.

Keyword: Digraph, Cayley digraph, path Hamilton

iii

(8)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hidayat sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan judul: ”PATH HAMIL- TON PADA DIGRAPH CAYLEY”. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada:

Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara

Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge- tahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberi bantuan dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Ma- tematika FMIPA USU yang telah banyak memberi bantuan dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Ma- tematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing pertama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembimbing kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Pembanding yang telah banyak memberikan bimbingan, arahan dan masukkan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Tulus, M.Sc selaku Pembanding yang telah banyak memberikan bimbingan, arahan dan masukkan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.

iv

(9)

Kak Misiani,S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

Seluruh rekan-rekan Mahasiswa angkatan 2012/2013, Puji, Siti, Ratna, Melda, Wina, Ira, Enny, Rina, Haryanto, Jaka, Amsal, Ferdinand, dan Rektor, Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan.

Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghar- gaan setinggi-tingginya kepada Ayahanda tercinta Almarhum Jenda Ingan Sembiring dan Ibunda tercinta Idup Br Bangun yang telah mencurahkan kasih sayang bantuan moril maupun spiritual, dorongan, bimbingan dan dukung- an kepada penulis, kakak-kakak dan adik tercinta Merliana Br Sembiring, Amkeb, Agustiana Br Sembiring, Amkeb, abang ipar Erick Pinem S.Kep dan Prada Feri Olbana Sembiring yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam menyelesaikan penulisan tesis ini.

Kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis berterima kasih atas semua bantuan yang diberikan, semoga Allah SWT memba- laskan segala kebaikan yang telah diberikan, amin.

Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukan- nya. Terimakasih.

Medan, 22 Desember 2014 Penulis,

Metrilitna Br Sembiring

v

(10)

RIWAYAT HIDUP

Metrilitna Br Sembiring dilahirkan di Tanjung Langkat Kecamatan Salapi- an Kabupaten Langkat pada tanggal 20 Maret 1989 yang merupakan anak ketiga dari empat bersaudara dari pasangan Bapak (Alm) Jenda Ingan Sembiring dan Ibu Idup Br Bangun. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 054894 LAU TEPU Kecamatan Salapian Kabupaten Langkat pada tahun 2001, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 1 Salapian Kecamatan Salapi- an Kabupaten Langkat pada tahun 2004, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Kuala Kecamatan Kuala Kabupaten Langkat pada tahun 2007.

Pada tahun 2008 penulis memasuki Perguruan Tinggi Universitas Islam Su- matera Utara (UISU) Fakultas Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan (FKIP) Pro- gram Studi Matematika pada Jenjang Strata Satu (S-1). Pada awal tahun 2012 penulis mengikuti program studi Magister Matematika FMIPA Universitas Su- matera Utara.

vi

(11)

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR GAMBAR ix

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tujuan Penelitian 2

1.4 Manfaat Penelitian 2

1.5 Metode Penelitian 2

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4

BAB 3 PATH HAMILTON DAN DIGRAPH CAYLEY 6

3.1 Path Hamilton 6

3.1.1 Walk (jalan) dan path (lintasan) 6

3.2 Path Hamilton 8

3.3 Digraph (Graph Berarah) 11

3.4 Digraph Cayley dari Sebuah Grup 12

vii

(12)

3.5 Sirkuit dan Path Hamilton 15

BAB 4 PATH HAMILTHON PADA DIGRAPH CAYLEY 16

4.1 Digraph Cayley yang Memiliki Path Hamilton 16 4.2 Digraph Cayley yang Tidak Memiliki Path Hamilton 21

BAB 5 KESIMPULAN 26

DAFTAR PUSTAKA 27

viii

(13)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

3.1 Salah satu contoh graph sederhana 7

3.2 Salah satu contoh graph 10

3.3 Digraph Cayley Z6 dengan generator set {1} 13 3.4 Digraph Cayley Z12 dengan generator set (3,4) 14 4.1 Path Hamilton dalam Cay((1, 0), (0, 1) : Zm ⊕ Zn dari (0, 0) ke

(2, 1) 20

ix

(14)

ABSTRAK

Tesis ini merupakan penelitian deskriptif-kualitatif dengan menggunakan metode penelitian kepustakaan (library research) yaitu penelitian yang mengkaji secara kepustakaan, khususnya tentang digraph Cayley. Dalam tesis ini mengkaji tentang lintasan Hamilton di digraph Cayley. Dibangun sebuah keluarga yang tak terbatas−−→

Cay(Gi; ai; bi) terhubung, 2−generated digraph Cayley yang tidak memiliki path Hamilton, seperti bahwa perintah generator ai dan bi yang tak terbatas.

Dibuktikan bahwa jika G adalah kelompok terbatas dengan | [G, G] |≤ 3, maka setiap digraph Cayley yang terhubung pada G memiliki path Hamilton.

Kata kunci: Digraph, Digraph Cayley, path Hamilton.

ii

(15)

ABSTRACT

This paper is a descriptive-qualitative research methods literature (library research) research that examines the literature, especially on digraph Cayley for the purpose of collecting data and information with the help of a variety of materials such as books and documents. In this paper will be discuss about The study of Hamilton paths in Cayley digraphs has had a long history. We construct an infinite fa- mily Cay(Gi; ai; bi) of connected, 2 − generated Cayley digraphs that do not have Hamiltonian paths, such that the orders of the generators ai and bi are unbounded.

We also prove that if G is any finite group with | [G, G] |≤ 3, then every connected Cayley digraph on G has a hamiltonian path.

Keyword: Digraph, Cayley digraph, path Hamilton

iii

(16)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam matematika Cayley Graph juga dikenal dengan nama Cayley Colour Graph.

Konsep ini diperkenalkan oleh Arthur Cayley. Digraph Cayley pada kelompok G dengan generator set S, di notasikan−−→

Cay(G, S) adalah digraph dengan himpunan titik G dan busur dari g untuk gs dan s S. Sejumlah peneliti telah menyelidiki keberadaan dan penghitungan path Hamilton di digraph Cayley.

Cayley (1878) menyatakan digraph Cayley menyediakan metode grup visua- lisasi dan properti. Sifat seperti komutatif, dan tabel perkalian grup dapat diperoleh kembali dari digraph Cayley. Sebuah graph berarah atau digraph adalah himpunan titik berhingga yang disebut verteks dan himpunan busur yang disebut menghubungkan beberapa verteks ke verteks yang lain.

Menemukan cycle Hamilton dalam graph adalah masalah yang menarik dalam kombinatorik, ilmu komputer dan pengapliksiannya. Itu adalah salah satu masalah NP-lengkap klasik, dan dengan demikian tidak diharapkan memiliki so- lusi sederhana. Sejak 1969 perhatian besar diterima oleh dugaan Lovasz yang menyatakan bahwa setiap graph yang bersifat transitive memiliki lintasan Hamil- ton.

Untuk menentukan bahwa sebuah graph adalah cycle Hamilton atau tidak, pastinya lebih sulit dari pada menentukan itu Eulerian. Cycle dalam graph akan terbagi menjadi dua yaitu Euler dan Hamilton. Eulerian adalah sebuah cycle dalam graph yang memastikan bahwa dirinya telah melewati semua edges yang ada dalam graph tersebut. Sebuah verteks dilewati sebanyak apapun tidak menjadi masalah dalam pengerjaannya. Tetapi pada Hamilton sebuah cycle dalam graph yang memastikan bahwa dirinya telah melewati semua verteks dalam graph tersebut tepat satu kali, kecuali verteks awal didatangi dua kali. Jika sebuah verteks itu telah dilewati dua atau lebih dalam suatu cycle maka siklus tersebut tidak dapat dikatakan sebagai cycle Hamilton.

1

(17)

2

1.2 Perumusan Masalah

Andai diberikan suatu permasalahan mengenai digraph Cayley. Setiap digraph Cayley yang terhubung dari beberapa grup komutatif mempunyai path Hamilton.

Sehingga masalah dalam penelitian ini akan dicari suatu digraph Cayley yang tidak mempunyai path Hamilton.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan kondisi dimana digraph Cayley yang tidak mempunyai path Hamilton dan yang mempunyai path Hamilton.

1.4 Manfaat Penelitian

Hasil yang diperoleh pada penelitian ini sangat penting dalam penentuan digraph Cayley yang mempunyai dan yang tidak mempunyai path Hamilton dan nantinya diharapkan akan berguna untuk pengaplikasiannya terhadap penyelesaian masalah yang ada.

1.5 Metode Penelitian

Penelitian yang penulis lakukan merupakan studi literatur untuk mengidentifikasi permasalahan digraph Cayley yang mempunyai dan yang tidak mempunyai path Hamilton. Untuk menghadapi persoalan yang ada di tesis ini, maka penulis mempunyai beberapa langkah untuk menyelesaikannya. Adapun langkah-langkah dalam menyelesaikan penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai digraph Cayley;

2. Mempelajari teori-teori yang berkaitan dengan digraph Cayley dan path Hamilton. Dalam hal ini dimulai dengan teori graph kemudian mempelajari tentang digraph dan graph Hamilton;

3. Mengkaji digraph Cayley yang mempunyai path Hamilton kemudian dicari yang tidak mempunyai path hamiltonnya dan menunjukkan hasil dari penelitian yang diharapkan akan didapat. Berdasarkan pembahasan mengenai

(18)

3

ada atau tidak adanya lintasan Hamilton pada digraph Cayley dapat diambil kesimpulan Cay(G, S) mempunyai sebuah lintasan Hamilton, jika G adalah suatu grup komutatif berhingga, maka S adalah himpunan sebarang (tidak kosong) dari generator untuk G.

(19)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan disampaikan materi-materi berkaitan dengan graph khususnya digraph Cayley, yang merupakan landasan bagi pembahasan pada bab III.

Digraph sangat banyak digunakan dalam menyelesaikan permasalahan yang timbul dimana saja. Penggunaan digraph dianggap bisa memodelkan masalah yang ada. Hal ini menimbulkan ketertarikan penulis untuk menggali dan meneliti lebih banyak lagi tentang digraph. Pada dasarnya digraph memiliki banyak hal yang bisa diteliti, seperti digraph-digraph yang khusus yang berkaitan dengan verteks, edge dan degree. Salah satu digraph khusus yang diangkat pada tesis ini adalah digraph Cayley.

Sebuah digraph D adalah sebuah objek yang terdiri dari:

1. Sebuah himpunan berhingga dan tak kosong V yang unsur-unsurnya disebut titik dari digraph D;

2. Bersama dengan sebuah himpunan A yang merupakan himpunan bagian dari himpunan V × V . Unsur himpunan A disebut busur dari digraph D.

Masalah menemukan cycle Hamilton di graph Cayley disarankan untuk pertama kalinya oleh Rapaport (1959). Rapaport termotivasi oleh bel berdering dan problem catur dari kesatria. Seperti yang tercantum dalam versi Lovasz yang diusulkan oleh banyak orang, Lovasz awalnya dipahami sebagai kasus khusus dari yang lain, maka masalah di teori graph yang meminta apakah semua lintasan ter- panjang dalam graph terhubung sederhana harus memiliki titik umum. Dalam kasus khusus graph titik-transitif ini akan berarti bahwa semua lintasan terpan- jang tersebut harus memiliki setiap verteks yang sama, dan dengan demikian memiliki lintasan Hamilton. Masalah ini kemudian terbukti memiliki jawaban negatif.

4

(20)

5

Lovasz (1970) mengemukakan sebuah penelitian yaitu misalkan sebuah kon- stuksi terbatas, tehubung di graph yang tak berarah yang simetri dan yang tidak memiliki jalan sederhana yang berisi semua verteks. Graph adalah simetris untuk setiap dua verteks x dan y. Lovasz memiliki pemetaan automorphism s ke y. Se- cara tradisional, namun pertanyaannya dinyatakan dalam positif, yang biasanya disebut sebagai dugaan Lovasz. Dalam pandangan Lovasz kenyataan ini hanya mencerminkan bahwa hambatan Hamiltoncity tidak dipahami, dan memang graph titik-transitif dapat memberikan ajang pengujian untuk kekuatan hambatan terse- but. Kelas yang paling umum dalam grup terbatas yang dugaan Lovasz terbukti termasuk kelompok komutatif, p-kelompok, beberapa (tetapi tidak semua) kelompok dihedral, dan ekstensi khusus tertentu.

Akan diteliti bagaimana mendapatkan digraph Cayley yang mempunyai dan yang tidak mempunyai path Hamilton, namun akan diperiksa apakah hasil ini sejalan dengan hasil penelitian yang telah dilakukan sebelumnya.

(21)

BAB 3

PATH HAMILTON DAN DIGRAPH CAYLEY

Pada bab ini akan disampaikan materi-materi berkaitan dengan path Hamilton dan digraph khususnya tentang digraph Cayley. Jenis penelitian ini adalah penelitian literatur dengan mengembangkan digraph Cayely yang mempunyai path Hamilton dan yang tidak mempunyai path Hamilton.

3.1 Path Hamilton

3.1.1 Walk (jalan) dan path (lintasan)

Definisi 3.1 Suatu walk dalam graph G adalah suatu barisan berhingga dari vertex dan edge secara bergantian yang dimulai dan diakhiri dengan vertex, sehingga setiap edge yang bersisian dengan vertex sebelum dan sesudahnya, dimana sebuah edge hanya dilalui satu kali. Di dalam suatu walk pada sebuah graph dapat terjadi bahwa satu vertex dilalui lebih dari satu kali. Pada umumnya penulisan barisan walk biasanya mengikutsertakan edgenya, tetapi boleh juga tidak.

Dalam sebuah walk, titik dan sisi tidak harus berbeda. Walk tanpa per- ulangan titik, kecuali u = v disebut sebagai lintasan. Sebuah lintasan tertutup disebut sebagai cycle. Jarak dari u dan v, d(u, v), merupakan panjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v. Apabila vertex awal dan akhir dari suatu walk adalah sama, maka walk yang demikian disebut dengan closed walk (walk tertutup). Sedangkan bila vertex awal dan vertex akhir dari suatu walk berbeda, maka walk yang demikian disebut open walk (walk terbuka). Sebagai contoh diberikan pada gambar 3.1 berikut :

6

(22)

7

Gambar 3.1 Salah satu contoh graph sederhana

Pada gambar 3.1 dapat diambil beberapa walk diantaranya sebagai berikut:

a. v1e1v2e4v4e5v3e2v1 (open walk);

b. v1e2v3e3v2 (open walk);

c. v1v3v2v1 (open walk);

d. v1v2v4v3v1 (closed walk).

Sebuah walk di G adalah sebuah barisan berhingga (tak kosong) W = v0, e1, 22, v2, . . . , ek. Kemudian vk yang suku-sukunya bergantian titik dan sisi.

Titik vo dan titik vk berturut-turut disebut titik awal dan titik akhir W . Sedang- kan titik-titik v1, v2, v_k−1 disebut titik-titik internal dari W dan k disebut panjang dari W .

Jika semua sisi e1, e2, e3, . . . , ek dalam W berbeda, maka walk (W ) disebut sebuah jejak (trail). Jika semua titik vo, v1, v2, . . . , vk walk (W ) juga berbeda, maka walk (W ) disebut sebuah lintasan (path). Sebuah walk (W ) disebut tertutup jika titik awal dan titik akhir dari W identik (sama), maka jejak tertutup disebut sirkuit (circuit). Circuit yang titik awal dan titik internalnya berlainan disebut lingkaran atau siklus (cycle). Cycle dengan n titik dinotasikan dengan Cn.

(23)

8

Definisi 3.2 Path dari suatu graph G adalah suatu walk yang keseluruhan vertex nya berbeda kecuali vertex awal dan vertex akhir yang boleh sama. Bila dalam suatu path di mana vertex awal dan akhir sama maka path yang demikian disebut closed path (path tertutup), sedangkan bila vertex awal dan akhir tidak sama maka disebut open path (path terbuka).

Sebagai contoh terlihat dari gambar 3.1:

a. v1v2v3v4 (open path);

b. v3v1v2v4v3 (closed path).

3.2 Path Hamilton

Pertanyaan-pertanyaan yang telah Hamilton lakukan ketika Hamilton menemu- kannya sekitar teka-teki dunia dapat diterapkan pada digraph Cayley. Artinya, seseorang mulai di beberapa titik dan berupaya untuk melintasi digraph yang dengan bergerak sepanjang edge sedemikian rupa bahwa setiap verteks dikunjungi sekali. Seperti urutan edge yang melewati setiap verteks tepat satu kali tanpa kembali ke titik awal disebut path Hamiltonian, setelah William Hamilton dapat menemukan atau tidak menemukan lintasan Hamiltonian dalam setiap graph.

Penulis akan membahas path di digraph Cayley dalam penulisan tesis ini.

Suatu prosedur diciptakan atau tidak sebuah graph memiliki lintasan Hamil- tonian. Jika graph memiliki lintasan Hamiltonian maka prosedur akan kembali ke walk itu. Jika graph tidak memiliki path Hamiltonian, maka prosedur akan kembali ke pernyataan ”NO PATH, TRY ANOTHER VERTEX ”. Lintasan yang dilalui tidak bisa ditemukan, prosedur utama tertulis disebut path Hamiltonian.

Path Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap verteks di dalam graph tepat satu kali. Bila lintasan itu kembali ke verteks asal membentuk lintasan tertutup (sirkuit), maka lintasan tertutup itu dinamakan sirkuit Hamilton. Dengan kata lain, sirkuit Hamilton adalah sirkuit yang melalui tiap verteks di dalam graph tepat satu kali, kecuali verteks asal (sekaligus verteks akhir) yang dilalui dua kali. Graph yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graph Hamilton, sedangkan graph yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graph semi-Hamilton.

(24)

9

Prosedur tertulis untuk menemukan lintasan graph Hamilton. Lintasan Hamil- ton menyebut dua subrutin: continue path (lanjut lintasan) dan mundur. Gam- baran akan diberikan untuk menjelaskan tiga prosedur apa yang dilakukan dan bagaimana mereka bekerja sama, dan kemudian masing-masing program akan didefinisikan dan dijelaskan secara rinci. Sampel Grafik (SG), akan digunakan untuk menggambarkan apa yang sedang terjadi didalam prosedur.

Pada tahun 1859, Matematikawan dari Irlandia Hamilton mengembangkan permainan yang di beli dari perusahaan mainan di Dublin. Permainan itu dinamakan Prominent Cities. Tujuan dari permainan itu adalah mencari sirkuit sepanjang jalan yang terbentuk sehingga di dalam itu terdapat 20 kota dan dapat dilewati tepat satu kali.

Penulis dapat menggambarkan alat itu dengan sebuah graph. Verteks dari graph melambangakan verteks dari alat tersebut dan panjangnya edges disamakan dengan alat tersebut. Untuk menentukan sebuah graph itu adalah cycle Hamilton atau tidak, pastinya lebih sulit dari pada menentukan itu Eulerian, dan tidak ada cara pasti yang diketahui untuk menentukan itu. Cycle dalam graph akan terbagi menjadi dua yaitu Euler dan Hamilton. Eulerian adalah sebuah cycle dalam graph yang memastikan bahwa dirinya telah melewati semua edges yang ada dalam graph tersebut, dan tidak menjadi suatu masalah jika sebuah verteks dilewati sebanyak apapun. Tetapi pada Hamilton adalah sebuah cycle dalam graph yang memastikan bahwa dirinya telah melewati semua verteks dalam graph tersebut dan hanya tepat satu kali, kecuali verteks awal didatangi dua kali. Jika sebuah verteks itu telah dilewati dua atau lebih dalam suatu cycle, maka cycle tesebut tidak dapat dikatakan sebagai cycle Hamiltonian.

Diberikan contoh dalam suatu graph terdapat lima buah verteks. Dimisal- kan A, B, C, D, dan E. Dari cycle yang terjadi penulis dapat menentukan cycle itu Hamilton atau tidak Hamilton.

(25)

10

a. Cycle 1: A - B - C - D - E;

b. Cycle 2: A - B - C - B - D - E;

c. Cycle 3: A - C - B - E - D;

d. Cycle 4: A - B - E - D - B - C.

Gambar 3.2 Salah satu contoh graph

Dari empat cycle diatas dapat dilihat cycle 1 dan 3 adalah Hamilton karena dari lima buah verteks yang ada, muncul nama dari semua verteks dan hanya tepat satu kali. Tetapi pada cycle 2 dan 4 bukan merupakan Hamilton karena dari lima buah verteks yang ada, muncul nama dari semua verteks dan ada yang melebihi satu kali. Pada cycle 2 dan 4 muncul verteks B sebanyak dua kali, dan itu melanggar sifat dari sebuah cycle Hamilton. Cycle Hamilton dapat ditemukan di banyak hal.

Untuk gambaran singkat, pengguna melewati path Hamilton graph dan titik awal. Path Hamilton melintasi bahwa verteks ke continue path subroutine sebagai path adalah urutan edge, dimana Hamilton mencoba untuk melanjutkan walk. Ini diulang sampai dijumpai walk yang buntu. Setelah sampai di walk yang buntu, maka path Hamilton melewati walk mundur dimana Hamilton mengambil titik terakhir dari walk dan label. Kemudian walk akan dikirim ke continue path, atau tinggal mundur sampai bisa pergi ke continue path. Back up dan maju metode ini diulang sampai salah satu dari dua hal terjadi. Satu walk memiliki jumlah yang sama dari elemen pada graph memiliki edge atau dua, backtrack telah didukung

(26)

11

semua walk ke awal dan semua pilihan telah habis. Dalam kasus pertama path Hamilton akan mencetak walk, dalam kasus kedua path Hamilton akan mencetak

” No Path Try Vertex” dan akan kembali walk terakhir itu ditemukan.

3.3 Digraph (Graph Berarah)

Sebuah digraph D dengan himpunan titik-titik V dan himpunan busur-busur A dinotasikan dengan D(V, A). Bila a = (u, v)2V V adalah sebuah busur dari digraph D, maka titik u disebut sebagai titik asal dari busur a dan titik v disebut sebagai titik terminal dari busur a.

Pendefinisian sebuah digraph dengan menggunakan dua buah himpunan merupakan konsep yang abstrak. Untuk keperluan yang sifatnya aplikatif, seperti pada graph. Sebuah digraph biasanya direpresentasikan secara grafis dengan cara sebagai berikut:

1. Setiap titik yang berada di himpunan V direpresentasikan dengan menggunakan titik atau lingkaran kecil;

2. Setiap busur a = (u, v) yang berada di himpunan A direpresentasikan sebagai sebuah garis berarah dari titik u menuju ke titik v.

Digraph (graph berarah) dianggap yang paling tepat untuk mempresentasikan masalah ini karena jalan-jalan dibumi memiliki arah dan tidak semua walk dua arah ada juga walk satu arah. Oleh karena itu masalah sebuah digraph terse- but dapat terselesaikan. Sehingga walk tercepat menuju ketempat tujuan dapat ditemukan tanpa perlu khawatir akan jalan satu arah. Tetapi masih ada masalah selanjutnya yaitu kepadatan jalan-jalan di perkotaan yang sering menimbulkan kemacetan terutama disaat liburan seperti libur Natal dan tahun baru. Selain itu banyaknya jalan-jalan yang rusak akibat cuaca yang tidak menentu sehingga banyak perbaikan walk yang menyebabkan walk ditutup atau macet total. Masa- lah ini dapat diselesaikan dengan mempresentasikan gambar walk yang diterima oleh perangkat navigasi GPS dari satelit dengan graph berbobot.

(27)

12

3.4 Digraph Cayley dari Sebuah Grup

Digraph Cayley dari suatu grup Cay (G : S) adalah digraph yang dibangun oleh himpunan S dengan ketentuan bahwa: setiap elemen dari G adalah verteks- verteks dari digraph Cayley dan untuk x dan y di G, ada busur berarah dari x ke y jika dan hanya jika xs = y untuk suatu s S. Untuk masing-masing grup terdapat lebih dari satu digraph Cayley yang dapat dibentuk, tergantung dari himpunan pembangunnya. Dari digraph Cayley yang terbentuk dapat diten- tukan keberadaan lintasan maupun sirkuit Hamiltonnya dengan memanfaatkan teorema-teorema yang terkait maupun dengan menggunakan metode yang per- nah dipelajari dalam teori Graph. Pembahasan dalam teori graph menjelaskan suatu graph berarah (digraph) yang dikaitkan dengan grup dan generator yang merupakan subset dari grup. Digraph yang dibentuk dari suatu grup ini dikenal dengan Cayley Color Digraph. Cayley Color Digraph dapat dibentuk dari grup yang berhingga. Setiap elemen dari grup merupakan verteks pada Cayley Color Digraph dan generator dari suatu grup merupakan warna dan arah busur dari verteks-verteks yang berelasi.

Definisi 3.3 Cayley (1878) Untuk sebuah subset S dari grup yang terbatas G, digraph Cayley−−→

Cay(G; S) adalah graph terhubung yang verteks nya elemen dari G dan dengan sebuah edge terhubung g → gs untuk setiap g ∈ G dan s ∈ S). Graph cayley adalah graph yang tidak terhubung yang diperoleh dengan memindahkan orientasi dari semua edge yang terhubung.

Itu telah memperkirakan bahwa setiap (nontrivial) graph Cayely yang terhubung merupakan sebuah cycle Hamilton. Perkiraan ini tidak mencakup kasus yang diarahkan, karena ada banyak contoh digraph Cayley terhubung yang tidak memiliki cycle Hamilton. Bahkan, tak terhingga banyaknya digraph Cayley tidak memiliki path Hamilton.

Sebagai contoh grup Z6 yang merupakan grup bilangan bulat (mod 6) dengan penambahan sebagai bilangan operasi biner. Z6 memiliki enam elemen {0,1,2,3,4,5} dan ada beberapa generator set yang berbeda. Salah satu generator set adalah {1}. Dimulai dari identitas 0 dan menambahkan 1 hasil rekursif:

{0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5, 5 + 1 = 6 = 0 (mod 6)} = {1, 2, 3, 4, 5, 0}. Oleh karena itu, {1} menghasilkan seluruh grup. Karena

(28)

13

terdapat generator set untuk Z6 dengan hanya satu elemen di dalamnya, sehingga dapat dinyatakan Z6 adalah cyclic.

Gambar 3.3 Digraph Cayley Z6 dengan generator set {1}

Gambar 3.4 juga merupakan digraph Cayley untuk Z12 tetapi dengan generator set {3,4}. Semua elemen Z12 dapat direpresentasikan sebagai sebuah kata dalam generator set. Misalnya 1 = 4 + 3 + 3 + 2 = 12 = 1 (mod 12). Se- mua elemen dapat direpresentasikan sedemikian rupa. Garis penuh merupakan penambahan sebesar 3, karena mulai dari identitas 0 dan mengikuti garis penuh dengan hasil identitas 2. Dengan logika yang sama, garis putus-putus mewakili 4, kemudian unsur 3 adalah orde 4 karena mulai dari identitas dan mengikuti garis penuh menghasilkan identitas 3, ulangi lagi dan akan mendapatkan identitas 4, mengulanginya sekali lagi dan akan kembali ke identitas 0. Oleh karena itu menetapkan garis penuh tiga kali setara dengan identitas. Dengan prinsip yang sama, 3 memiliki urutan 2. Sebuah cara cepat untuk melihat bahwa elemen dalam gengset memiliki urutan kedua adalah untuk mencari dan melihat apabila memiliki panah berkepala dua, yaitu garis dikedua sisi busur. Properti lain dari kelompok yang dapat diamati dengan melihat digraph Cayley adalah komutatif.

Mulai pada setiap elemen kelompok 2 dan mengikuti garis putus-putus dan kemudian garis penuh, hasil ini dalam identitas 1. Sekarang mulai dari identitas 2 dan mengikuti garis penuh dan kemudian garis putus-putus, ini juga menghasilkan identitas 1. Hal ini menunjukkan bahwa ab = ba. Jika ini benar untuk semua elemen dalam kelompok maka kelompok tersebut adalah komutatif.

(29)

14

Gambar 3.4 Digraph Cayley Z12 dengan generator set (3,4)

Definisi 3.4 Misalkan G merupakan sebuah grup terbatas dan misalkan S merupakan himpunan generator untuk G. Didefinisikan digraph Cay(G : S), yang disebut Cayley digraph dari G dengan menghasilkan set S, sebagai berikut:

1. Setiap elemen di G merupakan sebuah verteks dari Cay(G : S);

2. Untuk x dan y dalam G, ada busur(arcs) dari x ke y jika dan hanya jika xs = y untuk beberapa s ∈ S.

Sehingga dari digraph generator yang particular menghubungkan dua verteks, Cayley mengusulkan agar masing-masing generator diberikan warna, dan bahwa selengkapnya bergabung x ke xs diwarnai dengan warna yang diberikan untuk s.

Ini disebut angka yang dihasilkan graph warna dari group. Hal ini masih digunakan sesekali. Daripada menggunakan warna untuk membedakan generator yang berbeda, dapat juga dengan menggunakan panah penuh, dan panah putus-putus.

Secara umum, jika ada busur dari x ke y, tidak dibutuhkan busur dari y ke x.

Panah berasal dari x dan menunjuk ke y indicates bahwa ada busur dari x ke y.

(30)

15

3.5 Sirkuit dan Path Hamilton

Sekarang dimiliki sebuah digraph, satu pertanyaan tentang digraph yang telah menjadi obyek banyak penelitian dipopulerkan oleh matematikawan Irlandia, Ha- milton pada tahun 1859, ketika Hamilton menemukan sebuah teka-teki yang dise- but ”Around the World.” Idenya adalah untuk label 20 verteks dari dodecahedron biasa dengan nama-nama kota terkenal. Satu memecahkan teka-teki ini dengan memulai setiap kota tertentu (vertex) dan perjalanan ”di seluruh dunia”, bergerak sepanjang busur sedemikian rupa bahwa setiap kota-kota lain dikunjungi tepat satu kali sebelum kembali ke titik awal aslinya.

Jelas, ide ini dapat diterapkan untuk digraph apapun; yaitu seseorang mulai di beberapa titik dan mencoba untuk melintasi digraph dengan bergerak sepanjang busur sedemikian rupa bahwa setiap verteks yang dikunjungi tepat satu kali sebelum kembali ke titik awal. Untuk pergi dari x ke y, harus ada busur dari x ke y. Seperti urutan busur disebut Hamiltonian circuit digraph tersebut. Sebuah urutan busur yang melewati setiap sudut tepat satu kali tanpa kembali ke titik awal disebut Hamiltonian path.

Syarat untuk path dan sirkuit Hamilton:

1. Syarat cukup (bukan syarat perlu) supaya graph sederhana G dengan n buah verteks (n ≥ 3) adalah graph Hamilton ialah jika derajat tiap verteks paling sedikit n/2;

2. Setiap graph lengkap adalah graph Hamilton;

3. Dalam graph lengkap dengan n buah verteks (n ≥ 3) terdapat (n − 1)!/2 buah sirkuit Hamilton;

4. Dalam graph lengkap G dengan jumlah verteks n ≥ 3 dan n ganjil, terdapat (n − 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n ≥ 4, maka dalam G terdapat (n − 2)/2 buah sirkuit Hamilton.

(31)

BAB 4

PATH HAMILTHON PADA DIGRAPH CAYLEY

4.1 Digraph Cayley yang Memiliki Path Hamilton

Hal ini diketahui bahwa jika |[G, G]| = 2, maka setiap digraph Cayley yang terhubung pada G mempunyai path Hamilton. Yaitu, dimiliki [G, G] ⊆ Z(G), jadi G merupakan nilpotent. Oleh karena itu, pada bagian ini dapat di buktikan kesimpulan yang sama ketika |[G, G]| = 3. Penulis juga menyediakan contoh kesimpulan yang tidak selalu benar ketika |[G, G]| = 4 atau |[G, G]| = 5.

Penulis memulai dengan beberapa lemma, yang pertama masing-masing menyediakan cara untuk mengkonversi path Hamilton pada digraph Cayley. Pada subgrup dari G untuk path Hamilton dalam sebuah digraph Cayley untuk semua di G.

Lemma 4.1 ( Morris.(2013)) Asumsikan

1. G merupakan grup terbatas, seperti [G, G] ∼= Zp^k, dimana p adalah prima dan k ∈ N;

2. S merupakan himpunan generator untuk G;

3. a, b ∈ S, sehingga ([a, b]) = [G, G];

4. N = (a, b).

Jika−−→

Cay(N; a, b) mempunyai sebuah path Hamilton, maka −−→

Cay(G; S) mempunyai sebuah path Hamilton.

Bukti: Karena [G, G] ⊆ N, diketahui bahwa G/N merupakan sebuah grup komutatif, sehingga ada path Hamilton (si)^m_i=1 dalam−−→

Cay(G/N ; S). Dengan asumsi ada path Hamilton dalam (tj)ⁿ_j−1 di−−→

Cay(N; a, b). Kemudian,

16

(32)

17

(((t

j

)

ⁿ_j=1

, s

i

)

^m_i=1

, (t

j

)

ⁿ_j=1

) (4.1)

adalah path Hamilton dalam −−→

Cay(G; S).

Definisi 4.1 Jika K merupakan subgrup dari G, maka K/−−→

Cay(G; S). Menun- jukkan digraph yang verteks nya merupakan coset dari K dalam G dan dengan sebuah edge Kg −→ Kgs untuk setiap g ∈ G dan s ∈ S. Perhatikan bahwa K/−−→

Cay(G; S) =−−→

Cay(G/K; S) jika K E G.

Lemma 4.2 Asumsikan

1. S merupakan himpunan generator dari G, dengan arc-forcing subgrup H = (SS⁻¹);

2. Ada sebuah path Hamilton di setiap digraph Cayley yang terhubung di H^G; 3. H = H^G atau H dimuat di subgrup yang tunggal di H^G.

Kemudian −−→

Cay(G; S) memiliki sebuah path Hamilton.

Bukti: Dari lemma 4.2 sudah cukup untuk menunjukkan bahwa ada sebuah cycle Hamilton (si)ⁿ_i=1 dalam −−→

Cay( G

H^G; S), seperti H^G = (Ss2, . . . , sn).

Untuk kemudian lemma 4.3 menyediakan path Hamilton yang di inginkan dalam −−→

Cay(G; S).

Jika H^G= H, maka setiap cycle Hamilton dalam −−→

Cay(G/H^G; S) terpenuhi.

Dengan demikian, penulis dapat mengasumsikan H^G 6= H. Jadi dari asumsi H yang terkandung dalam subgrup yang maksimal M pada H^G. Ketika H^G adalah generator dari konjugat di S⁻¹S, ada a, b, c ∈ S, seperti (a⁻¹b)^c ∈ M./

Penulis juga dapat mengasumsikan H^G ∈ G. Dengan asumsi setiap digraph/ Cayley di H^G memiliki path hamilton. Jadi, misalkan n = |G : H^G| ≥ 2, dimiliki dua cycle Hamilton (aⁿ⁻¹, c) dan (aⁿ⁻², b, c) dalam −−→

Cay(G/H^G; S).

(a

ⁿ⁻¹

c)

⁻¹

(a

ⁿ⁻²

bc) = (a

⁻¹

b)

^c

∈ M, / (4.2)

(33)

18

Kedua produk tersebut aⁿ⁻¹c dan aⁿ⁻²bc tidak dapat keduanya berada dalam M. Oleh karena itu, (aⁿ⁻¹, c) atau aⁿ⁻²b, c merupakan sebuah cycle Ha- milton (si)ⁿ_i=1 di −−→

Cay(G/H^G; S), seperti s1s2, . . . , sn ∈ M. M adalah maksimal/ subgrup tunggal di H^G berisi H, ini berarti bahwa:

H

^G

= (H, s

¹

s

²

, . . . , s

n

) = (Ss

²

s

³

, . . . , s

n

) (4.3)

seperti yang diinginkan.

Hipotesis akhir dari lemma 4.3 secara otomatis ketika [G, G] adalah cyclic dari prime-power.

Lemma 4.3 Jika [G, G] merupakan siklus p^kdimana p merupakan bilangan prima, dan H merupakan beberapa subgrup dari G, maka salah satu H = H^G atau H maksimal subgrup tunggal di H^G.

Bukti: Perhatikan bahwa normal closuer H^Gadalah subgrup normal yang terkecil dari G yang berisi H. Oleh karena itu, H^G ⊆ H[G, G] sehingga H[G, G] adalah normal di G. Kemudian,

M = H.(M ∩ [G, G] ⊆ H.(H

^G

∩ [G, G])

^p

(4.4)

Oleh karena itu, H.(H^G∩ [G, G])^p merupakan subgrup maksimal dari H^G yang berisi M.

Berikut merupakan hasil untuk menangani kasus dimana G merupakan nilpotent.

Teorema 4.4 Asumsikan G adalah nilpotent, dan S generator dari G. Kemudian,

1. S 6 2 atau;

2. |[G, G]| = p^k, dimana p prima dan k ∈ N.

Kemudian−−→

Cay(G; S) memiliki sebuah path Hamilton. Penulis sekarang menyatakan hasil utama dari bagian ini.

(34)

19

Teorema 4.5 Misalkan

1. [G, G] merupakan cyclic dari prime-power;

2. setiap elemen di G baik [G, G] atau invers nya.

kemudian setiap digraph Cayley yang terhubung di G memiliki path Hamilton.

Bukti: Misalkan S merupakan sebuah himpunan generator untuk G. Ditulis [G, G] = Z_p^k untuk beberapa p dan k. Karena setiap himpunan generator minimal di Z_p^k hanya memiliki satu elemen, ada a, b ∈ S, seperti itu ([a, b]) = [G, G].

Kemudian dapat diasumsikan S = a, b.

Misalkan H = (ba⁻¹) menjadi arc-forcing subgrup. Diasumsikan H^G = G, untuk mengasumsikan induksi di |G|, setiap digraph Cayley yang terhubung di H^G memiliki sebuah path Hamilton, dan kemudian lemma 4.4 akan berlaku. Sehingga,

HZ

_p^k

= H[G, G] ⊃ H

^G

= G (4.5)

Jika a dan b keduanya invers Z_p^k, maka H = (ba⁻¹ memusatkan Z_p^k = [G, G], jadi G merupakan nilpotent. Oleh karena itu, teorema 4.5 berlaku.

Sekarang dapat di asumsikan bahwa a bukan invers Z_p^k, kemudian dari asumsi a memusatkan Z_p^k, mislakan n = |G : H|, dan ditulis a = az, dimana a ∈ H dan z ∈ Z_p^k sehingga a = az, ∈ Hz dan (ba¹)(az) ∈ Hz. Karena (a, b) = G, ini berarti H(z) = G. Oleh karena itu,

[H](a

ⁿ

) = [H, Hz, Hz

²

, . . . , Hz

ⁿ⁻¹

, H] (4.6)

adalah cycle Hamilton dalam H/−−→

Cay(G; S). Sehingga lemma 4.3 berlaku.

Teorema 4.6 Jika m dan n saling relatif prima dan lebih besar dari 1, maka Cay((1, 0), (0, 1) : Zm⊕ Zn tidak mempunyai path Hamilton.

(35)

20

Bukti: Ketika m dan n saling relatif prima dan lebih besar dari 1, maka dapat dinyatakan bahwa Cay((1, 0), (0, 1) : Zm⊕ Zn tidak mempunyai path Hamilton.

Memvisualisasikan digraph Cayley sebagai kotak persegi panjang dengan Zm⊕Zn, seperti gambar 4.1:

Gambar 4.1 Path Hamilton dalam Cay((1, 0), (0, 1) : Zm⊕ Zn dari (0, 0) ke (2, 1)

Teorema 4.7 Jika n membagi m, maka Cay((1, 0), (0, 1) : Zm⊕ Zn mempunyai circuit Hamilton.

Bukti: Misalkan, m = kn. Kemudian Zm⊕ Zn sebagai k blocks dengan ukuran n×n. Mulai dari (0, 0) dan menutupi verteks dari blocks atas sebagai berikut. Gu- nakan generator (0, 1) untuk bergerak horizontal di baris pertama sampai akhir.

Kemudian gunakan generator (1, 0) bergerak vertikal ke titik bawah, dan menutupi poin yang tersisa di baris kedua dengan bergerak secara horizontal. Menjaga proses ini sampai titik (n−1, 0) bawah sudut kiri dari blok pertama telah tercapai.

Selanjutnya, bergerak secara vertikal ke blok kedua dan ulangi proses yang digunakan dalam blok pertama. Lakukan ini sampai blok bawah ditutupi. Lengkapi sirkuit dengan menggerakkan vertikal kembali ke (0, 0).

Teorema 4.8 Jika G adalh grup komutatif dan S adalah himpunan pembangkit dari G maka Cay (G, S) mempunyai path Hamilton.

Bukti: Jika |S| = 1 sebagai contoh S = {a}, maka digraph tersebut hanya lingkaran berlabel dengan e, a, a², . . . , a^m−1 dimana |a| = m. Jelas bahwa ada sebuah path Hamilton untuk kasus ini. Sekarang asumsikan bahwa |S| > 1. Pilih

(36)

21

beberapa s S, dan misalkan T = S − {s} dengan ketentuan T adalah S dengan s berpindah dan himpunan H = (s1, s2, . . . , s_n−1) dimana S = {s1, s2, . . . , sn} dan s = sn.

Jika |T | < |S| dan H grup komutatif, maka dari hipotesis ini terdapat path Hamilton (a1, a2, . . . , ak di Cay(T : H) akan ditunjukkan bahwa:

(a1, a2, . . . , ak, s, a1, a2, . . . , ak, s, . . . , a1, a2, . . . , ak, s, a1, a2, . . . , ak),

dimana a1, a2, . . . , akterjadi |G|/|H| kali dan s terjadi |G|/|H|−1 kali, ada sebuah path Hamilton dalam Cay(G : S).

4.2 Digraph Cayley yang Tidak Memiliki Path Hamilton

Teorema 4.9 Untuk setiap n ∈ N, sehingga ada sebuah digraph Cayley terhubung

−−→Cay(G; a, b), sehingga:

1. −−→

Cay(G; a, b) tidak memiliki path Hamilton;

2. a dan b keduanya memiliki urutan lebih besar dari n.

Selain itu, jika p adalah setiap bilangan prima seperti p > 3 dan p ≡ 3 (mod 4), maka dapat dibuat sebuah contoh sehingga subgrup komutator dari G merupakan p. Lebih tepatnya, G = Zm × Zp adalah semidirect product dari dua kelompok cyclic, jadi G adalah metacyclic.

Bukti: Misalkan

a. α adalah bilangan genap yang relatif prima untuk (p − 1)/2, dengan α > n;

b. β adalah kelipatan dari (p − 1)/2 yang relatif prima untuk α, dengan β > n;

c. a sebuah generator dari Zα; d. b sebuah generator dari Zβ;

e. z sebuah generator dari Zp; f. r sebuah akar primitif modulo p;

(37)

22

g. G = (Zα× Zβ) × Zp, dimana z^a= z⁻¹ dan z^b = z^r2; h. a = az, jadi | a |= α, dan a invers Zp;

i. b = bz, jadi | b |= β, dan b acts di Zp melalui automorphism di orde (p−1)/2;

j. H = (ab⁻¹) = (ab⁻¹) = Zα× Zβ.

Misalkan L adalah sebuah path Hamilton di −−→

Cay(G; a, b). Hal ini akan menyebabkan kontradiksi.

Hal ini juga diketahui bahwa digraph Cayely adalah verteks transitif, sehingga tidak ada salahnya dengan asumsi bahwa verteks dari L adalah e. Perhatikan bahwa:

1. Terminal coset adalah a⁻¹H = z⁻¹H;

2. Jika p ≡ 3 (mod 4), maka Z_p^x= (−1, r²).

Kasus 1: Asumsikan paling banyak satu coset bergerak dengan menggunakan a di L. Pilih z⁰ ∈ Zp, sehingga z⁰H merupakan coset reguler, dan asumsi itu adalah coset yang bergerak dengan menggunakan a, jika seperti itu ada.

untuk g ∈ G, misalkan:

Bg = [gb^kH | k ∈ Z]. (4.7)

Misalkan p⁰ = (p − 1)/2, dimiliki

(r²)^p⁰⁻¹+ (r²)^p⁰⁻²+ . . . + (r²)¹+ 1 (4.8)

= (r²)^p⁰ − 1

r²− 1 = r^p−1− 1

r²− 1 ≡ 0 (mod p) Sehingga,

b^(p−1)/2= (bz)^p⁰ (4.9)

= b^p⁰z^r²)^p⁰⁻¹+ (r²)^p⁰⁻²+ . . . + (r²)¹+ 1

= b^p⁰ ∈ ZαxZβ = H

Oleh karena itu, 6= Be 6(p − 1)/2 6 p − 2, sehingga dapat dipilih dua coset z⁻¹H dan z^jH yang bukan milik dari Be.

(38)

23

Ingat bahwa, dari definisi, z⁰H bukan merupakan terminal coset z⁻¹H, sehingga z⁰z merupakan elemen trivial dari Zp. Kemudian, karena Z_p^x = (−1, r²), dapat dipilih beberapa h ∈ (a, b) = H, seperti (z^j−1)^h = z⁰z. Sekarang karena,

zⁱH, z^jH /∈ Be (4.10)

z⁻¹h⁻¹z^j−i ∈ z⁻¹(z^j−i)^hH = z⁻¹(z⁰zH = z⁰H),

dapat menambah jumlahnya di kiri dari g = z⁻¹h⁻¹z⁻ⁱ terlihat bahwa:

z⁻¹H, z⁰H /∈ Bg (4.11)

Oleh karena itu, yang bukan elemen dari Bg baik terminal coset atau reguler coset yang bergerak dengan menggunakan a. Ini berarti bahwa setiap coset dalam Bg bergerak dengan menggunakan b, sehingga L mengandung cycle [g](b^β), yang bertentangan dari fakta bahwa L memiliki sebuah path Hamilton.

Kasus 2. Asumsikan bahwa dua reguler coset bergerak dengan menggunakan a di L. Misalkan zⁱH dan z^jH yang kedua reguler coset itu bergerak dengan menggunakan a. Hal ini Z_p^x = (−1, r²), dapat dipilih beberapa h(a, b = H, sehingga (z⁻¹)^h = z^j−i.

Perhatikan bahwa zⁱh⁻¹a^k bergerak dengan menggunakan a, untuk setiap k ∈ Z.

(i) Jika k = 2` genap, maka:

a^k= (az)^2`= (azaz)^` (4.12)

= (a−2z^az)^` = (a−2z⁻¹z)^` = a−2` ∈ H,

Sehingga zⁱh⁻¹a^k ∈ zⁱH bergerak dengan menggunakan a.

(ii) Jika k = 2` ganjil, maka:

a^k = (az)^2`+1 = (az)^2`(az) = a^2`(az) = a^kz (4.13)

(39)

24

Sehingga,

zⁱh⁻¹a^k = zⁱh⁻¹(a^kz) = zⁱh⁻¹z⁻¹a^k

= zⁱ(z⁻¹)^hh⁻¹a^k∈ zⁱ(z^j−i)H = z^jH (4.14) bergerak dengan menggunakan a.

Oleh karena itu L mengandung siklus [zⁱh⁻¹](a^α), yang bertentangan dengan fakta bahwa L merupakan path Hamilton.

Proposisi 4.1 (Holsztynski dan Strube. (1978)) Setiap digraph Cayley yang terhubung di beberapa grup komutatif mempunyai path Hamilton.

Di sisi lain, Housman (1981) yang menyatakan bahwa terkadang tidak ada siklus Hamilton. misalkan L adalah sebuah lintasan Hamilton dari −−→

Cay(G; a, b), dengan verteks awal e, dan misalkan H =< ab⁻¹ > menjadi busur dari subgrup.

Kemudian,

1. Verteks dari L menjadi coset a⁻¹H;

2. Setiap coset bergerak dengan menggunakan a atau bergerak dengan menggunakan b.

Proposisi 4.2 (Rankin. (1948)) Asumsikan bahwa G =< a, b > adalah komutatif. Terdapat ada cycle Hamilton dalam −−→

Cay(G; a, b) jika dan hanya jika ada k,` ≥ 0, sehingga < a^kb^` > = < ab⁻¹ > dan k + ` =| G :< ab⁻¹>|.

Contoh: jika FPB (a, n) > 1 dan FPB (a + 1, n) > 1 maka−−→

Cay(Zn; a, a + 1) bukan merupakan sebuah siklus Hamilton.

Teorema 4.10 (Locke dan Witte. (1999)). Digraph Cayley berikut tidak memiliki siklus Hamilton.

1. −−→

Cay(Z12; 6k, 6k + 2, 6k + 3) untuk setiap k ∈ Z⁺; 2. −−→

Cay(Z2k; a, b, b + k) untuk a, b, k ∈ Z⁺.

(40)

25

Proposisi 4.3 (Curran dan Witte. (1985)) Misalkan G adalah grup komutatif, dan misalkan a, b, kG, seperti k adalah sebuah elemen dari unsur berorde 2.

(mengasumsikan (a, b, b+k) terdiri atas tiga perbedaan, unsur trivial dari G). Jika digraph Cayley−−→

Cay(G; a, b, b + k terhubung, tetapi tidak memiliki cycle Hamilton, maka G adalah cyclic.

Bukti. Dibuktikan dengan kontrapositif: Asumsikan G tidak cyclic, dan akan ditunjukkan bahwa digraph Cayley memiliki cycle hamilton (jika terhubung). Ar- gumennya adalah modifikasi dari bukti Locke.

Argumen dalam kasus 3 dari bukti diatas menunjukkan bahwa digraph Cay- ley −−→

Cay(G; a, b, b + k) memiliki cycle Hamilton jika (a − b, k) 6= G. Oleh karena itu, bisa diasumsikan (a − b, k) = G. Di sisi lain, diketahui (a − b) 6= G karena G tidak cyclic, sehingga |k| = 2. Fakta ini G = (a − b) ⊕ (k), sehingga G tidak cyclic.

Hal ini dapat dibuktikan bahwa a − b terjadi, sehingga dapat ditulis a = a⁰ + k⁰ dan b = b⁰+ k” untuk beberapa a⁰, b⁰(a − b) dan k⁰, k”(k). Karena a⁰− b⁰(a − b), dapat dilihat bahwa k⁰ = k”.

(41)

BAB 5 KESIMPULAN

Dari hasil pembahasan pada bab sebelumnya maka penulis dapat menarik kesimpulan bahwa ada digraph cayley yang tidak memiliki path Hamilton dan ada juga digraph cayley yang memiliki path Hamilton yang sesuai dengan teorema yang telah dibuktikan pada bab sebelumnya dengan ketentuan bahwa:

1. Jika G adalah grup komutatif dan S adalah himpunan pembangkit dari G, maka Cayley (G, S) mempunyai path Hamilton;

2. Jika m dan n saling relatif prima dan lebih besar dari 1, maka dapat dinyatakan Cay((1, 0), (0, 1) : Zm⊕ Zn tidak mempunyai path Hamilton.

Diharapkan akan ada lagi penelitian yang bisa mengembangkan ilmu graph terutama digraph khususnya digraph Cayley, sehingga dapat diperoleh cara menampil- kan semua tentang path Hamilton pada digraph Cayley.

26

(42)

DAFTAR PUSTAKA

Cayley,A.(1878). Hamiltonian Paths and Cayley Digraphs of Algebraic Groups, The World of Mathematics. New York.

Curran,S.J dan Witte,D. (1985). Hamilton Paths in Cartesian Products of Directed Cycles, of North-Holland Math.Studi, vol.27 pp.35–74.

Hamilton,W. (1859). Path and Circuit Hamilton. Discrete Mathematic, pp.408–

409.

Holsztynski,W dan Strube,R.F.E. (1978). Paths and Circuits in Finite Group, Dis- crete Mathematic, vol.22, no.3, pp.263–272.

Housman,D.(1981). Enumeration of Hamiltonian Paths in Cayley Diagrams, Ae- quationes Math, vol.23 pp.80-97.

Locke,S.C. dan Witte,D. (1999). On non-Hamiltonian Circulant Digraphs of Out- degree Three, Journal of Graph Theory, vol.30, no.4, pp. 19–331.

Lovasz, L. (1970). Personal Communication, Journal of Graph Theory, vol.44, pp.17–25.

Morris,D.W. (2013). On Cayley Digraph That Do Not Have Hamiltonian Paths, International Journal of Combinatorics, vol.2013, pp.7 pages.

Rankin, R.A. (1948). A Companlogical Problem in Group Theory, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol.44, pp.17–25.

Rapaport,S.E. (1959). Cayley Color Groups and Hamilton Lines, Scripta Math, no.24, pp.51–58.

27