PENYELESAIAN MODEL LINEAR PROGRAMMING SECARA GRAFIK

(1)

Prof. Dr. Ir. ZULKIFLI ALAMSYAH, M.Sc.

PROGRAM STUDI AGRIBISNIS

FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS JAMBI Maximize or Minimize

Z = f (x,y) Subject to:

g (x,y) = c

PENYELESAIAN MODEL LINEAR PROGRAMMING

SECARA GRAFIK

B C 2X₁ = 8 4 D A Daerah feasible X₂ X₁ 0 3X₂ = 15 5 6X₁+ 5X₂= 30

(2)

Prinsip dan Langkah-langkah

 Hanya dilakukan untuk model yang hanya terdiri dari 2

(dua) variabel keputusan.

 Gambarkan setiap fungsi kendala dalam bentuk kurva

1. Untuk kemudahan, ubah semua fungsi kendala dengan tanda ≥ atau ≤ menjadi tanda = sehingga memberikan persamaan garis lurus.

2. Gambarkan persamaan dalam bentuk garis tersebut dalam bentuk kurva dalam satu salib sumbu siku-siku yang sama.

3. Tentukan titik-titik perpotongan kurva dengan sumbu vertikal dan sumbu horizontal, dengan cara sbb:

 Untuk menentukan titik potong dengan sumbu vertikal, dimisalkan nilai pada sumbu horizontal sama dengan nol. Demikian juga berlaku sebaliknya.

(3)

Prinsip dan Langkah-langkah

4. Tentukan daerah yang memenuhi persyaratan setiap kendala.

 Tanda ≥ pada fungsi kendala menunjukkan daerah kendala dari fungsi tersebut berada mulai dari garis hingga daerah yang berada disebelah kanan garis.  Berlaku sebaliknya untuk tanda ≤ pada fungsi kendala

 Tentukan daerah yang memenuhi persyaratan semua kendala (daerah kalayakan berproduksi; feasible region)

5. Tentukan koordinat titik-titik sudut daerah kelayakan (titik ekstrim) dengan cara menghitung titik potong 2 garis

kendala pada titik tersebut.

6. Hitung nilai fungsi tujuan pada setiap titik ekstrim.

7. Nilai fungsi tujuan terbesar pada titik ekstrim menunjukkan solusi optimal untuk persoalan maksimisasi. Demikian

sebaliknya untuk persoalan minimisasi, solusi optimal diperoleh pada titik ekstrim dengan nilai terendah.

(4)

Prinsip dan Langkah-langkah

 Gambarkan setiap fungsi kendala dalam bentuk kurva

1. Tentukan titik-titik perpotongan kurva dengan sumbu vertikal dan sumbu horizontal, dengan cara sbb:

 Untuk menentukan titik potong dengan sumbu vertikal, dimisalkan nilai pada sumbu horizontal sama dengan nol. Demikian juga berlaku sebaliknya.

2. Tentukan daerah yang memenuhi persyaratan setiap kendala. Tanda ≥ atau ≤.

 Tentukan daerah yang memenuhi persyaratan semua

kendala (daerah kalayakan berproduksi) dan tentukan titik-titik sudutnya (titik ekstrim).

 Cari koordinat pada setiap titik ekstrim dengan cara

menentukan titik potong antara dua kurva kendala.

 Hitung nilai fungsi tujuan pada setiap titik ekstrim dan

teteapkan titik yang memberikan nilai fungsi tujuan

terbesar (utk maksimisasi) atau terkecil (utk minimisasi)

(5)

5

Magister Agribisnis UNJA Zulkifli Alamsyah

Proses Waktu yang dibutuhkan per unit Total jam _tersedia

Meja Kursi

Perakitan 4 2 60

Pemolesan 2 4 48

Laba/unit 80.000 60.000

Model Linear Programming:

Maks.: Laba = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp.10.

000)

Dengan kendala:

4M + 2K ≤ 60

2M + 4K ≤ 48

M ≥ 0

K ≥ 0

(6)

Penyelesaian secara grafik:

Gambarkan masing-masing fungsi kendala pada salib sumbu yang sama.

34 32 28 24 20 16 12 8 4 4 8 12 16 20 24 28 32 34 M K 4M + 2K ≤ 60 2M + 4K ≤ 48 B(12,6) C(15,0) A(0,12) Pada A: M = 0, K = 12 Laba = 6 (12) = 72 Laba: Z = 8M + 6K Pada B: M = 12, K = 6 Laba = 8(12) + 6(6) = 132 Pada C: M = 15, K = 0 Laba = 8 (15) = 120

O

Feasible Region M=0 ⇒ K=12 K=0 ⇒ M=24 M=0 ⇒ K=30 K=0 ⇒ M=15 Keputusan: M = 12 dan K = 6 Laba yg diperoleh = 1.320.000 6

(7)

Penyelesaian secara grafik:

Penentuan Titik Optimal dengan kurva Fungsi Tujuan.

34 32 28 24 20 16 12 8 4 4 8 12 16 20 24 28 32 34 M K 4M + 2K ≤ 60 2M + 4K ≤ 48 B(12,6) C(15,0) A(0,12)

O

Feasible Region M=0 ⇒ K=12 K=0 ⇒ M=24 M=0 ⇒ K=30 K=0 ⇒ M=15 Laba: Z = 8M + 6K atau K = Z /6 – 8/6 M Slope kurva FT = - 8/6 = - 4/3 • Gambarkan kurva FT

pada sembarang titik dgn slope -4/3.

• Geser secara paralel kurva FT sampai pada titik ekstrim terluar dari daerah feasibel (titik B) • Titik yang diperoleh

adalah kombinasi

produksi yang optimal.

(8)

Reddy Mikks Co. mempunyai sebuah pabrik kecil yang menghasilkan 2 jenis cat yaitu utk eksterior dan interior. Bahan baku utk cat tsb adalah bahan A dan bahan B, yg masing2

tersedia maksimum 6 ton dan 8 ton per hari. Kebutuhan masing2 jenis cat per ton thdp bahan baku disajikan pd tabel berikut:

Contoh soal 2: Perusahaan Cat.

Bahan baku Kebuthn bahan baku per ton cat _{Maksimum (ton)}Ketersediaan Eksterior Interior

Bahan A 1 2 6

Bahan B 2 1 8

Permintaan harian cat interior lebih tinggi dari permintaan cat eksterior, tetapi tdk lebih dari 0.5 ton per hr. Sedangkan permintaan cat interior maksimum 2 ton per hari. Keuntungan per ton cat interior dan eksterior masing-masing Rp 3 juta dan Rp. 2 juta..

Berapa masing-masing cat harus diproduksi oleh perusahaan untuk memaksimumkan pendapatan kotor?

(9)

Definisi variabel keputusan:

CE = jmlh cat eksterior yg diproduksi (ton/hari) CI = jmlh cat interior yg diproduksi (ton/hari)

Perumusan persoalan kedalam model LP

 Perumusan fungsi tujuan:

Maks.: Pdpt kotor, Z = 2 CE + 3 CI (dlm ribuan)  Perumusan Fungsi Kendala:

 Kendala ketersediaan bahan baku A:

CE + 2 CI ≤ 6

 Kendala ketersediaan bahan baku B:

2 CE + CI ≤ 8  Kendala Permintaan : CI - CE ≤ 0.5 : jml maks Kelebihan CI thdp CE CI ≤ 2 : permintaan maks CI  Kendala non-negatif: CI ≥ 0; CE ≥ 0. zulkifli_alamsyah 9

(10)

8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 7 8 CE CI 2CE + CI ≤ 8 CE + 2CI ≤ 6 Pada A: Z = 2(0) + 3(0.5) = 1.5 Pendapatan kotor: Z = 2 CE + 3 CI O Keputusan: CE = 3.33 dan CI = 1.87 Pendapatan kotor: Z = 12.17 juta. CI - CE ≤ 0.5 CI ≤ 2 A (0, 0.5) D (3.33, 1.84) B (1.5, 2) E (4, 0) C (2, 2) Pada B: Z = 2(1.5) + 3(2) = 9 Pada C: Z = 2(2) + 3(2)= 10

Penyelesaian secara grafik:

10 D E Pada D: Z = 2(3.33)+3(1.84)= 12.17 Pada E: Z = 2(4) = 8 B A C Feasible Region

(11)

Seorang petani berusaha memanfaatkan lahan pertanian yang dimilikinya seluas 3 hektar secara swadaya. Ada 3 kemungkinan komoditi yang dapat diusahakan pada lahan tersebut, yaitu karet, kelapa sawit dan kakao. Pada saat ini modal yg tersedia pada petani sebanyak Rp. 10 juta dan jam kerja yg tersedia dlm keluarga sebanyak 60 jam per minggu.

Kebutuhan sumberdaya dan keuntungan untuk setiap hektar komoditi adalah sbb:

Rumuskanlah persoalan tersebut kedalam model Linear

Programming?

Uraian

Karet

Kelapa Sawit

Kakao

Modal

Rp 4 juta

Rp 5 juta

Rp 8 juta

Jam Kerja/Mg

20 jam

24 jam

30 jam

Keuntungan/ha

Rp 6 juta

Rp 8 juta

Rp 10 juta

Latihan 2: Perumusan model

(12)

Carilah solusi dari persoalan berikut menggunakan grafik.

Latihan 3: Penyelesaian soal secara grafik

MAX 12 X1 + 15 X2 ST. 3 X1 + 5 X2 ≤ 43 X1 + X2 ≤ 12 X1 ≥ 3 X2 ≥ 5 X1, X2 ≥ 0

MAX 20 X1 + 25 X2 (dalam satuan Rp. juta) ST. 4 X1 + 5 X2 ≤ 40 3 X1 + 4 X2 ≤ 31 X1 + X2 ≤ 10 X2 ≤ 5 X1, X2 ≥ 0 [a] [b] 12

(13)

Carilah solusi dari persoalan berikut menggunakan grafik.

Latihan 4: Penyelesaian soal secara grafik

[a] [b] Max. 3X1 + 4X2 Subject to 2X1 + X2 ≤ 600 X1 + X2 ≤ 225 5X1 + 4X2 ≤ 1000 X1 + 2X2 ≥ 150 X1 , X2 ≥ 0 Max. 30X1 + 25X2 Subject to 2X1 + X2 ≤ 40 X1 + 3X2 ≤ 45 X1 ≤ 12 X1 , X2 ≥0 zulkifli_alamsyah 13

(14)

Beberapa konsep penting dalam penyelesaian

persoalan Linear Programming secara Grafik

 Extreem points:

Titik-titik sudut daerah kelayakan (feasbile region)

 Infeasible Solution:

Tidak ada solusi karena tdk semua kendala terpenuhi.

 Unbounded Solution:

Solusi yang disbebabkan karena fungsi tujuan dibuat tanpa batas dan tdk melanggar funggsi kendala.

 Redundancy:

Redundancy terjadi karena adanya kendala yg tdk mempengaruhi daerah kelayakan.

 Alternative optima:

Solusi yang tdk memberikan nilai yang unik, terjadi bila

garis fungsi tujuan berimpit dgn garis salah satu kendala.

(15)

Persoalan Minimisasi:

Min.: Biaya = 20 M + 8 K (dlm satuan Rp.10. 000)

Dengan kendala:

4M + 2K

≤ 60

(kendala sumberdaya)

2M + 4K ≤ 48

(kendala sumberdaya)

M ≥ 2

(kendala target)

K

≥ 4

(kendala target)

Bila pada contoh sebelumnya, biaya produksi setiap unit meja dan kursi masing-masing Rp.200.000 dan Rp. 80.000, dan perusahaan bertujuan utk meminimumkan biaya produksi, maka persoalan

yang dihadapi adalah persoalan MINIMISASI.

 Dengan biaya minimum untuk menghasilkan output tertentu.  Diperlukan batasan mengenai target yang akan dicapai

 Secara umum tanda ketidak-samaan adalah “

≥

”

(harus ada)

Contoh soal 3: Industri Meubel

(16)

34 32 28 24 20 16 12 8 4 4 8 12 16 20 24 28 32 34 M K 4M + 2K ≤ 60 2M + 4K ≤ 48 A O M=0 ⇒ K=12 K=0 ⇒ M=24 M=0 ⇒ K=30 K=0 ⇒ M=15 K ≥ 4 M ≥ 2 B C D Feasible Region

Titik A ditentukan oleh

perpotongan garis kendala:

2M + 4K = 48 dan M = 2 2(2) + 4K = 48 K = (48-4)/4 = 11 Titik A (2;11)

⇒

Titik B (2;4)

Titik C ditentukan oleh

perpotongan garis kendala:

4M + 2K = 60 dan K = 4 4M + 2(4) = 60 M = (60-8)/4 = 13 Titik C (13;4) Titik D (12,6) Biaya = 20M + 8K Pada titik A (2;11) = 20 (2) + 8 (11) = 128

Pada titik B (2;4) = 20 (2) + 8 (4) = 72 (minimum)

Pada titik C (13;4) = 20 (13) + 8 (4) = 292 Pada titik D (12;6) = 20 (12) + 8 (6) = 288

⇒

(17)

Suatu perusahaan makanan kucing menghasilkan produk Tuna-n-Stuff.

Pada kemasan kaleng ditulis: Setiap ons Tuna-n-Stuff mengandung kandungan gizi yang lebih besar dari standar minimum (RDA).

Contoh soal 4: Campuran Ransum

Tuna-n-Stuff terbuat dari ramuan sbb:

Bahan % RDA per Ons _($/Ons)Biaya

Protein Thiamine Niacin Calsium Iron

Albacore 20 0 0 6 5 0.15 Bonito 12 0 0 5 3 0.10 Suplemen C 0 42 18 22 7 0.20 Suplemen D 0 36 40 8 9 0.12 Filler 0 0 0 0 0 0.02 Standar RDA 2,6 13,7 14,3 5,7 5,7

Menurut peraturan pemerintah, kandungan albacore atau bonito atau campuran keduanya paling kurang 40%. Bagaimana perusahaan menentukan ransum secara optimal agar diperoleh biaya minimum?

(18)

Perumusan Model:

Fungsi Tujuan:

Fungsi Kendala:

A = Ons albacore per ons produk B = Ons bonito per ons produk

C = Ons suolemen C per ons produk D = Ons suplemen D per ons produk E = Ons filler per ons produk

Minimum Biaya = 0.15 A + 0.10 B + 0.20 C + 0.12 D + 0.02 E (target protein) 20 A + 12 B ≥ 2,6 (target thiamine) 42 C + 36 D ≥ 13.7 (target niacin) 18 C + 40 D ≥ 14.3 (target calcium) 6A + 5 B + 22 C + 8 D ≥ 5.7 (target iron) 5 A + 3 B + 7 C + 9 D ≥ 5.7 (peraturan pemerintah) A + B ≥ 0.4 (alokasi per ons) A + B + C + D + E ≥ 1 (kendala non-negatif) A, B, C, D, E ≥ 0

(19)

Latihan 6: Komposisi Makanan Ringan

Suatu perusahaan memproduksi makanan ringan yang dibuat dari dua bahan pokok, yaitu X dan Y. Harga X per kg adalah Rp. 8.000.- dan harga per kg Y adalah Rp. 10.000.

Setiap kg bahan pokok mengandung nutrisi sebagai berikut:

Bahan Pokok Nutrisi A Nutrisi B Nutrisi C Nutrisi D X Y 3 2 0 8 3 4 5 0

Setiap kg makanan ringan tersebut harus mengandung paling tidak 18 unit nutrisi A, 12 unit nutrisi B, 24 unit nutrisi C, dan 10 unit nutrisi D. Pertanyaan:

Dengan tujuan meminimalkan biaya produksi,

(a) rumuskanlah persoalan diatas kedalam bentuk model linear programming

(b) Hitunglah jumlah bahan pokok X dan Y yang harus dibeli untuk memproduksi 100 kg makanan ringan, dan Berapa biaya total?