commit to user 13 BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Model GM(1,1)
Menurut Kayacan et al. [6], model GM(1,1) adalah model grey yang paling banyak digunakan dalam literatur, dikenal sebagai Grey Model First Order One Variable. Model tersebut adalah sebuah model peramalan runtun waktu yang dapat memberikan prediksi yang akurat untuk proses yang monoton.
Menurut Chiou et al. [1], model peramalan GM(1,1) adalah model prediksi runtun waktu, meliputi persamaan diferensial yang disesuaikan untuk variasi parameter seperti persamaan diferensial orde-1. Berdasarkan teori grey system, model GM(1,1) dinyatakan dengan persamaan diferensial linear orde-1, yaitu
dengan dan adalah parameter yang harus dicari. Selanjutnya menurut definisi diferensial,
Jika dipilih ukuran yang terkecil yaitu untuk pendekatan persamaan
(4.2), maka Untuk model grey yang kontinu,
apabila cukup kecil akan kecil. Oleh karena itu, dapat
dihitung nilai rata-ratanya, yaitu . Dan
nilai sebagai background value didefinisikan dengan
Sekarang model GM(1,1) pada persamaan (4.1) dapat ditulis dengan
Berdasarkan AGO,
sehingga,
Hal ini berarti persamaan sama dengan
. Jadi, persamaan (4.3) dapat ditulis dengan
dengan . Selanjutnya persamaan (4.4) disebut dengan persamaan diferensi GM(1,1).
Sebagaimana ditulis oleh Wen dan Chang [8] , persamaan (4.1) adalah pendekatan persamaan diferensial untuk menggantikan model pada persamaan (4.4), model ini tidak mempunyai pembuktian secara matematis, maka hal ini disebut Whiteness Processing dan persamaan (4.1) dikatakan shadow equation dari persamaan (4.4).
Proses estimasi parameter model GM(1,1) dimulai dengan membentuk data asli menjadi rangkaian data awal
Kemudian rangkaian data awal pada persamaan (4.5) diakumulasikan menggunakan persamaan (2.12) dan diperoleh barisan . Setelah itu dibentuk barisan rata-rata dari ,
dengan
Selanjutnya langkah untuk mengestimasi model GM(1,1) adalah menghitung nilai parameter dan menggunakan metode kuadrat terkecil,
dengan langkah pertama yaitu mensubstitusikan semua nilai ke dalam persamaan (4.4), diperoleh
Kemudian persamaan (4.7) diubah ke dalam bentuk , diperoleh
dengan , , dan
Dari persamaan (4.8) diperoleh barisan sisaan,
Selanjutnya dihitung jumlah kuadrat sisaan,
Kemudian dicari nilai dan yang membuat minimum dengan syarat turunan pertamanya harus sama dengan nol, yaitu memenuhi persamaan (4.9) dan (4.10).
Dari persamaan (4.9) diperoleh
Dari persamaan (4.10) diperoleh
Persamaan (4.12) disubtitusikan ke persamaan (4.11) diperoleh
Dari persamaan , diperoleh
Oleh karena itu,
Karena terbukti , sehingga untuk mencari nilai parameter dan dapat menggunakan persamaan matriks
Selanjutnya dicari penyelesaian (fungsi respon waktu atau nilai prediksi) dari persamaan (4.1) yang merupakan persamaan diferensial linear orde-1. Faktor integrasi dari persamaan (4.1) menurut persamaan (2.5) adalah
sehingga penyelesaian persamaan diferensial GM(1,1) menurut persamaan (2.7),
dengan adalah konstanta integral.
Berdasarkan AGO, , sehingga persamaan (4.14) untuk menjadi
Jika persamaan (4.15) disubstitusikan ke dalam persamaaan (4.14), maka diperoleh
dan
Berdasarkan persamaan (4.16), fungsi respon atau nilai prediksi pada waktu adalah
Untuk memperoleh nilai prediksi dari data asli pada waktu , digunakan persamaan (2.13) dan diperoleh,
4.2 Model Grey Verhulst
Menurut Kayacan et al. [6], model Verhulst pertama kali dikenalkan oleh ahli biologi dari Jerman, Pierre Franois Verhulst. Tujuan utama dari model Verhulst adalah untuk membatasi seluruh perkembangan proses dan efektif untuk menggambarkan beberapa peningkatan proses, seperti pada kurva-S yang mempunyai daerah saturasi.
Model grey Verhulst dinyatakan dengan persamaan diferensial
Persamaan diferensi model grey Verhulst adalah
Berbeda dengan proses penyusunan estimasi model GM(1,1), pada proses estimasi parameter model grey Verhulst, rangkaian data asli digunakan sebagai barisan . Kemudian persamaan (2.13), digunakan untuk mendapatkan barisan data . Setelah itu, sama seperti pada estimasi parameter model GM(1,1), dibentuk barisan rata-rata yang dihitung dari barisan menggunakan persamaan (4.6).
Seperti pada model GM(1,1), untuk mencari nilai parameter dan pada model grey Verhulst digunakan metode kuadrat terkecil dengan langkah pertama
adalah mensubstitusikan semua nilai ke dalam persamaan (4.19), sehingga diperoleh
Kemudian persamaan (4.20) diubah ke dalam bentuk matriks , diperoleh
dengan , , dan
Dari persamaan (4.21) diperoleh matriks barisan sisaan,
Selanjutnya dihitung jumlah kuadrat sisaan,
Kemudian dicari nilai dan yang membuat minimum dengan syarat turunan pertamanya harus sama dengan nol, yaitu memenuhi persamaan (4.22) dan (4.23).
Dari persamaan (4.22) diperoleh
Dari persamaan (4.23) diperoleh
Persamaan (4.24) disubtitusikan ke persamaan (4.25) diperoleh
Kemudian persamaan (4.26) disubstitusikan ke persamaan (4.24) diperoleh
Dari persamaan , diperoleh
Oleh karena itu,
Karena terbukti , sama seperti pada model GM(1,1), untuk mencari nilai parameter dan digunakan persamaan matriks (4.13).
Selanjutnya dicari penyelesaian (atau fungsi respon waktu) dari fungsi pada persamaan (4.18) yang merupakan persamaan diferensial Bernoulli. Jika dimisalkan
maka menurut persamaan (2.11), persamaan (4.18) menjadi
Persamaan (4.28) merupakan persamaan diferensial linear orde-1. Faktor integrasi dari persamaan (4.28) menurut persamaan (2.5) adalah
sehingga penyelesaian persamaan (4.28) menurut persamaan (2.7)
Persamaan (4.29) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.27) sehingga diperoleh
dengan adalah konstanta integral.
Berdasarkan AGO, , sehingga persamaan (4.30) untuk menjadi
Persamaan (4.31) disubstitusikan ke persamaan (4.30), diperoleh
dan
Berdasarkan persamaan (4.32), fungsi respon atau nilai prediksi pada waktu ke- adalah
Dengan mengaplikasikan IAGO, diperoleh nilai prediksi pada waktu ke ,
4.3 Penerapan
Model GM(1,1) dan grey Verhulst diterapkan pada data banyaknya penumpang domestik yang berangkat dari Bandara Internasional Adisumarmo Surakarta. Data tersebut ditunjukkan pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1. Data banyaknya penumpang yang berangkat
dari Bandara Adisumarmo Surakarta pada bulan Agustus-November 2010 Bulan Banyaknya Penumpang
(dalam sepuluh ribu) Agustus
September Oktober November
2,8305 3,5100 3,9823 3,8008 Sumber: PT. Angkasa Pura I
Gambar 4.1. Kurva banyak penumpang yang berangkat dari Bandara Adisumarmo Surakarta pada bulan Agustus-November 2010
Dari Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa kurva dari data asli jumlah penumpang mendekati bentuk kurva-S. Selanjutnya data tersebut dibentuk menjadi GM(1,1) dan model grey Verhulst, kemudian dihitung nilai prediksi dan besar sisaannya dari masing-masing model. Setelah itu dibandingkan sisaan dari
kedua model untuk menentukan model mana yang cocok untuk memprediksi data tersebut.
Proses peramalan menggunakan GM(1,1) dimulai dengan membentuk barisan data asli pada Tabel 4.1 menjadi rangkaian data awal
Kemudian barisan diubah menggunakan persamaan (2.12), diperoleh
Selanjutnya menggunakan persamaan (4.7) diperoleh barisan rata-rata dari
Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai dan , dengan terlebih dahulu menentukan matriks dan , menggunakan persamaan (4.9) dan diperoleh matriks
dan .
Selanjutnya dihitung matriks , , dan ,
Kemudian dicari nilai parameter dan menggunakan persamaan (4.13),
Jadi diperoleh nilai parameter dan .
Berdasarkan persamaan (4.1), model GM(1,1) untuk data pada Tabel 4.1 adalah
dan fungsi respon pada waktu menggunakan persamaan (4.18) adalah
Nilai prediksi untuk tiga langkah berikutnya adalah (a)
(b) (c)
Untuk memperoleh nilai prediksi dari data asli pada Tabel 4.1, digunakan persamaan (2.12) , yaitu
(a) (b) (c)
Selanjutnya dilakukan pemeriksaan keakuratan GM(1,1) dan hasilnya disajikan dalam Tabel 4.2 dengan nilai sisaan diperoleh menggunakan persamaan (2.14) dan nilai diperoleh menggunakan persamaan (2.15).
Tabel 4.2. Pemeriksaan keakuratan GM(1,1) Nilai Asli Nilai
Prediksi Sisaan Relative Percentage Error
2 3,5100 3,6282 -0,1182 3,3675%
3 3,9823 3,7730 0,2093 5,2558%
4 3,8008 3,9233 -0,1225 3,2230%
Kemudian dihitung nilai nya menggunakan persamaan (2.16),
Besarnya nilai 3,9488% berarti keakuratan dari prediksi menggunakan model GM(1,1) mencapai 96,0512%.
Langkah selanjutnya melakukan peramalan dengan menggunakan model grey Verhulst. Sebagaimana ditulis oleh Liu dan Lin [3], ketika menyelesaikan masalah-masalah praktis, seringkali ditemukan proses dengan urutan data membentuk kurva-S. Dalam kasus seperti ini, barisan data asli digunakan sebagai
dan barisan IAGO sebagai untuk membentuk model grey Verhulst.
Berdasarkan data pada Tabel 4.1,
dan menggunakan persamaan (2.12) diperoleh
Dengan menggunakan persamaan (4.7) diperoleh barisan rata-rata dari ,
Selanjutnya adalah menghitung nilai dan dari model grey Verhulst, dengan terlebih dahulu menentukan matriks dan menggunakan persamaan (4.22) dan diperoleh
Selanjutnya dihitung matriks , , dan ,
Kemudian dicari nilai parameter dan menggunakan persamaan (4.13).
Jadi, diperoleh nilai dan .
Berdasarkan persamaan (4.19), model grey Verhulst untuk data pada Tabel 4.1 adalah
dan fungsi respon pada waktu menggunakan persamaan (4.33) adalah
Nilai prediksi untuk tiga langkah berikutnya adalah (a)
(b) (c)
Selanjutnya dilakukan pemeriksaan keakuratan model grey Verhulst dan hasilnya disajikan dalam Tabel 4.3 dengan nilai sisaan diperoleh menggunakan persamaan (2.14) dan nilai diperoleh menggunakan persamaan (2.15).
Tabel 4.3. Pemeriksaan keakuratan model grey Verhulst Nilai Asli Nilai
Prediksi Sisaan Relative Percentage Error
2 3,5100 3,5239 -0,0139 0,3960%
3 3,9823 3,7941 0,1882 4,7259%
4 3,8008 3,8807 -0,0799 2,1022%
Kemudian dihitung nilai nya menggunakan persamaan (2.16),
Besarnya nilai 2,4080% berarti keakuratan dari prediksi menggunakan model grey Verhulst mencapai 97,5920%.
Tabel 4.4. Perbandingan nilai Model
GM(1,1) 3,9488%
Grey Verhulst 2,4080%
Perbandingan nilai untuk masing-masing model dapat dilihat pada Tabel 4.4 yang menunjukkan bahwa grey Verhulst mempunyai ARPE yang lebih kecil dibandingkan dengan GM(1,1). Ini berarti bahwa grey Verhulst adalah model prediksi yang lebih baik dari GM(1,1) untuk data banyaknya penumpang domestik yang berangkat dari Bandara Internasional Adisumarmo Surakarta pada bulan Agustus – November 2010.
