I
RING DAN LAPANGAN
(RING AND FIELDS)
Definisi dan Beberapa Contoh RingPada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang himpunan yang tak kosong yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak kosong dan menggunakan dua operasi biner tambah dan kali dinotasikan secara berturut-turut + dan • dinamakan Ring. Pada bagian ini akan kita membahas ring, dan beberapa jenis-jenis ring diantaranya daerah integral (Integral Domain dan Lapangan).
Definisi (Ring).
Suatu ring (R,+,•) adalah himpunan R bersama dengan dua operasi biner + dan •. Yang dibaca dengan tambah dan kali yang didefinisikan pada R sedemikian sehingga sifat-sifat berikut berlaku.
1. <R,+> merupakan grup abelian (group komutatif) 2. (a • b) ∈ R
3. a • (b • c) = (a • b) • c
4. a • (b + c) = a • b + a • c dan (b + c ) • a = b • a + c • a Catatan:
(i) Untuk pembahasan selanjutnya, penulisan a•b sering ditulis ab bila operasi • merupakan perkalian yang kita kenal sehari-hari dan a + (-b) ditulis a - b. (ii) Identitas operasi jumlah pada ring (R, +, •) disimbolkan dengan “0” dan
disebut unsur nol dari ring.
(iii)Invers penjumlahan dari a di R disimbol –a dan disebut unsur negatif dari a.
(iv)Jika kita mengatakan bahwa R ring, yang dimaksud adalah R adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner + dan • sedemikian sehingga (R, +, •) ring.
Beberapa Contoh
Contoh: Berikut ini adalah contoh himpunan tak kosong yang merupakan ring dengan operasi yang diberikan
1) < Z, + , •> 6) < M(2,Z), + , •>
2) < Q, + , •> 7) < Z[√2], + , •> 3) < R, + , •> 8) < fR, + , •>
4) < C, + , •> 9) < RxS, + , • >, dengan R dan S masing-masing merupakan ring 5) < Zn, + , •>
• Jika pada ring R, terdapat unsur 1 sedemikian sehingga a • 1 = 1 •a = a, ∀a ∈ R, maka R adalah Ring dengan unsur kesatuan (Ring with unit .element.)
• Jika pada ring R, berlaku sifat a • b = b • a, ∀a,b ∈R, maka R dikatakan Ring Komutatif (Comutative Ring).
Teorema 1. Misalkan R ring, 0 adalah unsur nol di R dan a, b, c ∈ R (a) 0a = a0 = 0
(b) a(-b) = (-a)b = -(ab) (c) (-a)(-b) = ab
(d) a(b – c) = ab – ac dan (a – b)c = ac – bc. Jika R mempunyai unsur kesatuan, maka (e) (-1)a = -a
(f) (-1)(-1) = 1 Bukti
Misalkan R ring dengan operasi tambah dan kali, serta misalkan bahwa identitas untuk operasi jumlah dan kali berturut-turut adalah 0 dan 1, maka ∀ a, b, c ∈R, kita peroleh:
(a) kita dapat menulis,
a0 = a(0 + 0) [ sifat unsur 0 di R ] a0 = a0 + a0 [ sifat distribusi kanan ] 0 + a0 = a0 + a0 [ sifat unsur 0 di R ]
a0 = 0 [ karena R grup terhadap +, maka –a0 di R, tambahkan kedua ruas dengan –a0 ]
Dengan cara sama, 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a, dengan menggunakan sifat distribusi kiri, diperoleh 0a = 0.
(b) Pertama-tama akan ditunjukkan a(-b) = -(ab). Perhatikan bahwa:
ab + a(-b) = a[b + (-b)] = a0 = 0 (dengan menggunakan sifat distribusi kanan dan bagian (a) pada lemma ini. Dengan demikian diperoleh bahwa a(-b) = -ab. Dengan cara sama ab + (-a)b = [a + (-a)]b = 0b = 0, diperoleh (-a)b = -ab. (c) (-a)(-b) = -(a(-b) (menurut bagian (b))
= -(-(ab)) (menurut bagian (b)) = ab
(d) a(b – c) = a[b + (–c)] (definisi operasi pengurangan) = ab + a(-c) (sifat distibusi kanan)
= ab + (-ac) (menurut bagian (b)) = ab – ac (definisi operasi pengurangan) Dengan cara sama (a – b)c = ac – bc.
(e) Misalkan bahwa R mempunyai unsur kesatuan 1, maka: a + (-1)a = 1a + (-1)a
= [1 + (-1)]a = 0a
= 0
Ini berarti bahwa (-1)a = -a.
INTEGRAL DOMAIN DAN SUBRING Definisi
Jika R ring komutatif dan a∈R, a≠0. a dikatakan unsur pembagi nol jika terdapat b ∈R, b ≠ 0 ∋ ab=0.
Definisi
Ring komutatif dengan unsur kesatuan dikatakan Daerah Integral (Integral Domain) jika tidak mempunyai unsur pembagi nol.
Definisi
R ring, R dikatakan Ring Pembagian (Division Ring) jika unsur-unsur tak nol merupakan grup terhadap perkalian.
Contoh
1. <Z,+,•>, <Q,+,•>,<R,+,•> merupakan daerah integral 2. <Z6,+,•> bukan daerah integral
Teorema Jika R integral domain, a,b,c ∈ R, a≠0 dan ab=ac, maka b=c.
Definisi
S himpunan S ⊆ R, diakatakan subring dari R jika S merupakan ring terhadap operasi pada R.
Contoh <2Z,+,•> subring dari <Z,+,•> dan <Z,+,•> subring dari <Q,+,•> Teorema R ring, S ⊆ R, S subrung jhj S memenuhi sifat berikut:
1. S≠∅
2. ∀a,b ∈ S, a+b∈S dan a•b∈S 3. ∀a∈S, -a ∈S
Contoh
R =: <fR,+,•>, S =:{f ∈ R⏐f(1)=o}, maka S subring.
Contoh 2.1.1 R adalah himpunan bilangan bulat terhadap operasi tambah dan kali biasa, maka R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.
Contoh 2.1.2 R = {2z : z∈Z} terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring komutatif tetapi tidak mempunyai unsur kesatuan.
Contoh 2.1.3 R adalah himpunan bilangan rasional terhadap opearsi penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan
Contoh 2.1.4 R adalah himpunan bilangan bulat modulo 7 terhadap penjumlahan dan perkalian mod 7 merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.
Contoh 2.1.5 R adalah himpunan bilangan bulat modulo 6 terhadap penjumlahan dan perkalian mod 6 merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.
Contoh 2.1.6 Misalkan F adalah himpunan semua fungsi dari f : R→R, dengan operasi penjumlahan dan perkalian fungsi, maka F merupakan ring komutatif.
Contoh 2.1.7 Misalkan R adalah himpunan bilangan bulat modulo n, maka R merupakan ring komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian mod n.
Contoh 2.1.8 Misalkan R adalah himpunan bilangan kompleks dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa, R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.
Contoh 2.1.9 Misalkan R adalah himpuanan matriks ordo nxn unsur bilangan bulat merupakan ring yang tak komutatif dengan unsur kesatuan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.
Contoh 2.2.1 Jika Z6 adalah himpunan himpunan bilangan bulat modulo 6. Selidiki
Contoh 2.2.2 Jika Z5 adalah himpunan bilangan bulat modulo 5. . Selidiki apakah
Z6 merupakan ring tanpa unsur pembagi nol.
Contoh Misalkan R=Z5, Buktikan bahwa R=Z5 merupakan ring pembagian.
Tunjukkan bahwa <Z,+,•>, <Q,+,•>,<R,+,•> merupakan daerah integral Tunjukkan bahwa<Z6,+,•> bukan daerah integral
Buktikan bahwa jika R adalah ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika hukum penghapusan berlaku.
Buktikan bahwa jika R adalah lapangan, maka R merupakan ring tanpa unsur pembagi nol.
Bukti
Misalkan R lapangan, maka R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan dimana setiap unsur tak nolnya memiliki invers di R terhadap operasi perkalian.
Ambil a, b dua unsur sebarang di R, dengan ab=0. Sekarang jika a≠0, maka
a-1 ada, sehingga ab=0 mengakibatkan a-1(ab) = a-10 sehingga kita punya
b=0. Jadi jika a≠0, ab=0, maka b=0. Dengan cara sama bila b≠0, maka b-1
ada, sehingga ab=0 mengakibatkan (ab)b-1 = 0b-1 sehingga kita punya a=0. Dengan demikian jika b≠0, ab=0, maka a=0. Sehingga dapat disimpulkan bahwa R tanpa pembagi nol.
Teorema 2.2.5. Daerah Integral (D) yang hingga merupakan lapangan.
Bukti
Sebelum kita membuktikan teorema ini, kita kembali pada pengertian daerah integral merupakan ring komutatif sedemikian sehingga ab=0 jika dan hanya jika paling sedikit satu dari a=0 atau b=0. Sedangkan lapangan merupakan ring
komutatif dengan unsur kesatuan yang mana setiap unsur tak nol mempunyai invers. Dengan demikian untuk membuktikan bahwa daerah integral yang hingga itu merupakan lapangan, kita harus menunjukkan bahwa
(a) 1 ∈D, sedemikian sehingga a1=a, untuk setiap a∈D.
(b) untuk setiap a≠0, a∈D, terdapat b∈D, sedemikian sehingga ab=1.
Misalkan {x1, x2, …, xn}adalah semua unsur-unsur D dan misalkan a≠0∈D. karena
D ring, maka x1a, x2a, …, xna semuanya juga termuat di D.
Claim x1a, x2a, …, xna semuanya berbeda. Ambil xia, xja dua unsur D dengan xia =
xja untuk i≠j, maka (xi - xj)ja=0. Karena D daerah integral dan a≠0, maka xi - xj = 0, sehnigga xi = xj. Kontradiksi dengan xi ≠ xj.untuk i≠j. Jadi x1a, x2a, …, xna
semuanya berbeda. Dengan demikian D tepat mempunyai n buah unsur yang berbeda. Dengan kata lain untuk setiap y∈D, dapat ditulis sebagai y = xia, untuk suatu xi ∈D. Karena a∈D, maka a=xioa, untuk suatu xio∈D. Karena D komutatif,
maka a = xioa = axio. Sekarang jika sebagai y = xia, untuk suatu xi ∈D, dan y xio= (xi
a) xio= xi (a xio) = xi a= y. Jadi xio merupakan unsure kesatuan dari D dan kita tulis 1.
Sekarang 1∈D, dengan menggunakan fakta bahwa setiap unsur di D, merupakan perkalian dengan suatu unsur lain dengan a. Dengan kata lain 1∈D, maka terdapat b∈D, sedemikian sehingga 1=ba, dan karena D komutatif maka 1=ba=ab. Dengan demikian teorema telah terbukti.
Akibat 2.2.6. Zp Lapangan jhj p bilangan prima.
Bukti
Berdasarkan teorema di atas, cukup kita tunjukkan bahwa ZP merupakan daerah integral. Ambil a,b dua unsur sebarang dari Zp dengan ab=0, maka ab habis dibagi oleh p dan karena p prima maka p harus membagi a atau b. Dengan kata lain jika p membagi a maka a = 0 dan jika p membagi b maka b=0. Jadi ∀a,b∈Zp, dan ab=0 maka a=0 atau b=0. Dengan demikian Zp merupakan daerah integral karena unsur-unsur dari Zp hingga maka Zp merupakan lapangan.
Pertanyaan
(a) apakah Ring Z[√2] merupakan daerah integral (b) apakah Ring Z[√2] merupakan lapangan
(c) apakah Ring Q[√2] merupakan sublapangan dari R
Teorema 2.2.8 Setiap lapangan adalah daerah integral
Bukti
Misalkan F adalah lapangan, maka F adalah ring komutatif. Selanjutnya ambil a, b
unsur-unsur sebarang di F dengan ab=0.akan ditunjukan bahwa a=0 atau b=0. Misalkan a≠0, karena F lapangan maka a-1∈F. Dengan demikian a-1 (ab)= a-1 0=0., atau b=0. Dengan cara sama ditunjukkan jika b≠0 maka a=0
Definisi
Daerah Integral D dikatakan mempunyai karakteristik 0 (nol) jika na=0, dengan a ≠0dan n bilangan bulat hanya dipenuhi oleh n=0.
Latihan
Selidiki apakah Z, Q, R, C dan Zn mempunyai karakteristik nol.
Definisi
DaerahIintegral D dikatakan mempunyai karakteristik hingga jika terdapat bilangan bulat positif n sehingga na=0, ∀a∈D
Bukti
Misalkan D adalah daerah integral yang hingga dan misalkan 1 unsur kesatuan di D, maka menurut definisi karakteristik D akan hingga atau tak hingga. Dengan demikian order dari 1 (D dipandang sebagai grup komutatif terhadap operasi penjumlahan) adalah 0 atau hingga. Sekarang karena order setiap unsur grup hingga adalah hingga, dan karena 1 unsur D, maka order dari 1 hingga sebut n,yaitu n1 = 0. Sekarang ambil a∈K sebarang, maka,
na = a + a+ …+a sebanyak n suku = 1a+ 1a+ …+1a sebanyak n suku = (1 + 1+ … + 1) a
= (n1)a
= 0a (karena n1=0)
= 0 (karena 0 a = 0, ∀a ∈D)
Jadi n adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga na = 0, ∀a∈D.Karenanya karakteristik dari D hingga.
Teorema 2.2.10. Jika D integral domain, maka karakteristik dari D adalah 0 atau prima.
Bukti
Misalkan D adalah integral domain dan a sebarang unsur D. Sekarang kasus jika order dari a adalah 0, bila D dipandang sebagai grup terhadap operasi penjumlahan, maka karakteristik dari D adalah 0. Dengan ini teorema telah terbukti. Selanjutnya jika order dari a adalah hingga sebut n, bila D dipandang sebagai grup terhadap operasi penjumlahan, maka karakteristik dari D adalah n dan akan kita tunjukkan bahwa D merupakan bilangan prima. Andaikan n komposit, dan misalkan n = n1n2 dengan n1≠1, n2≠1 dan
n1<n, n2<n. Sekarang karena n merupakan karakteristik dari D, maka n
merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga na=0, ∀a∈D,
a≠0. Sehingga kita punya
na = 0
⇒n1n2a = 0
⇒ (n1n2a)b = 0b, ∀b∈D, b≠0.
Definisi
S himpunan S ⊆ R, diakatakan subring dari R jika S merupakan ring terhadap operasi pada R.
Contoh <2Z,+,•> subring dari <Z,+,•> dan <Z,+,•> subring dari <Q,+,•>
Teorema 2.2.11 R ring, S⊆R, S≠∅, S subring jhj S memenuhi sifat berikut:
4. ∀a,b ∈ S, a+b∈S dan a•b∈S 5. ∀a∈S, -a ∈S
Bukti
Misalkan Contoh
R =: <fR,+,•>, S =:{f ∈ R⏐f(1)=o}, maka S subring. Definisi
K Himpunan bagian tak kosong dari F adalah sublapangan jika K adalah lapangan terhadap operasi yang sama pada F.
(i). ∀a,b ∈K, berlaku a-b∈K
(ii) ∀ a,b ∈K dan b ≠ 0, berlaku ab-1∈K
Bukti
(syarat perlu). Misalkan K adalah sub lapangan dari F, maka terhadap operasi yang dengan F, K juga merupakan lapangan. Karenanya untuk setiap b ∈K, berlaku -b∈K. Jadi a+(-b) ∈ K untuk setiap a, b ∈ K. karena a - b = a + (-b) ∈ K. Juga untuk setiap b ∈ K dan b ≠ 0, maka b-1 ada dan di K. Karenanya ab-1∈ K, untuk setiap a, b ∈ K.
Sebaliknya (syarat cukup). Misalkan K himpunan bagian unsur tak kosong dari F sedemikian sehingga
(i) a∈K, b∈K⇒a – b ∈ K. (ii)a∈K, 0≠b ∈ K⇒ab-1∈K
2
Homomorfisma, Ideal dan Ring Faktor
2.1 Homomorfisma
Pada saat mempelajari grup, kita telah mengenal konsep homomorfisma pada suatu grup. Konsep homomorfisma ini juga merupakan suatu konsep yang sangat penting dalam ring. Kita kembali pada homomorfisma grup, didefinisikan sebagai pemetaan yang memenuhi relasi
φ(ab)=φ(a)φ(b). Karena ring memiliki dua operasi, maka definisi homomorfisma pada ring diberikan sebagai berikut.
Definisi 2.1.1
Misalkan R dan R’ masing-masing merupakan ring. Pemetaan
φ:R→R’ dikatakan homomorfisma jika untuk setiap a,b ∈R. memenuhi (1) φ (a+b)= φ(a)+ φ(b) dan (2) φ(ab)= φ(a) φ(b)
Lemma 2.1.1
Jika φ adalah homomorfisma dari R ke R’, maka 1. φ(0)=0
2. φ(-a)=- φ(a), untuk setiap a∈R
Bukti
(i) Jika a unsur sebarang di R, maka a+0=a=0+a, sehingga φ(a)=φ(a+0)=φ(a) +φ(0), demikain pula
φ(a)=φ(0+a)=φ(0) +φ(a),
karenanya φ(a)+φ(0)=φ(0) +φ(a)= φ(a),∀φ(a)∈R’,
akibatnya φ(0)adalah unsure nol di R’, yaitu :
φ(0)=0.
(ii)Jika a unsur sebarang di R, maka a+(-a)= 0 =(-a)+a, sehingga φ(0)=φ(a+(-a))=φ(a)+φ(-a)
φ(0)=φ((-a)+a)=φ(-a)+φ(a)
karenanya φ(a)+φ(-a)=φ(-a)+φ(a)= φ(0),∀φ(a)∈R’ akibatnya -φ(a)=φ(-a)
Definisi 2.1.2
Jika φ homomorfisma dari R ke R’, maka kernel I(φ), adalah himpunan semua unsur a∈R sehingga φ(a)=0 unsur nol di R’.
Lemma 2.1.2
Jika φ adalah morfisma dari R ke R’ dengan kernel I(φ), maka 1. I(φ) adalah subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. 2. jika a∈I(φ) dan r∈R maka keduanya ar dan ra unsur kernel φ.
Bukti.
(1) (a) Ambil a, b∈I(φ), maka φ(a)=0 dan φ(b)=0. Sekarang pandang
φ(a+b), karena φ suatu homomorfisma, maka φ(a+b)=φ(a) + φ(b) = 0+0 = 0. Jadi a+b∈I(φ), dengan kata lain I(φ) tertutup terhadap operasi penjumlahan.
(b) Ambil a∈ I(φ) sembarang, maka φ(a)=0 dan karena φ(-a)=-φ(a )=-(0)=0, ini berarti -a∈I(φ).
Dari (a)-(b) dapat disimpulkan bahwa I(φ) merupakan subgrup dari R. (2) Misalkan a∈I(φ), dan r∈R, maka φ(a)=0, perhatikan bahwa φ(ar) =
φ(a)φ(r) = 0φ(r) = 0, dengan demikian ar∈I(φ). Dengan cara sama φ(ra) = φ(r)φ(a) = φ(r)0 = 0, berdasarkan definisi I(φ) diperoleh ar dan ra
kedua-dunya terletak di I(φ).
Contoh 2.1.1
Misalkan R dan R’ sebarang ring, dan dengan φ(a)=0, ∀a∈R, maka φ:R→R’adalah homomorfisma, lebih dari itu I(φ)=R. φ disebut homomorfisma nol.
Ambil a, b sembarang dua unsur di R, maka φ(a)=0 dan φ(b)=0. Sekarang perhatikan φ(a+b)=0=0+0=φ(a)+φ(b) dan φ(ab)=0=(0)(0)=φ(a)φ(b). Jadi φ merupakan suatu homomorfisma.
Contoh 2.1.2
Misalkan R ring dan R=R’dan didefinisikan φ(x)=x,∀x∈R, maka φ adalah homomorfisma dan I(φ)={0}.
Bukti
Ambil x, y sembarang dua unsur di R, maka φ(x)=x dan φ(y)=y. Sekarang perhatikan φ(x+y)=x+y=φ(x)+φ(y) dan φ(ab)=xy=φ(x)φ(y). Jadi φ merupakan suatu homomorfisma. Karena hanya 0∈R, yang dipetakan ke 0 pada R’, maka I(φ)={0}.
Contoh 2.1.3
Misalkan Z[√2] adalah himpunan bilangan riil yang berbentuk m+n√2 dengan m, n bilangan-bilangan bulat. Dapat kita tunjukkan bahwa Z[√2] merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Didefinisikan φ: Z[√2]→Z[√2] dengan φ(m+n√2)=m-n√2, maka φ homomorfisma dan
I(φ)={0}.
Bukti
Ambil x, y sembarang dua unsur di R, x= m1+n1√2, dan y= = m2+n2√2,
dengan m1, n1, m2, n2∈Z. maka φ(m1+n1√2)= m1-n1√2 dan φ(m2+n2√2)= m2 -n2√2. Sekarang perhatikan bahwa
x+y= (m1+n1√2+m2+n2√2) =(m1+m2)+(n1+n2)√2
dan
xy=(m1+n1√2)(m2+n2√2)= (m1m2+2n1n2+(m1n2+n1m2)√2)
φ(x+y)=φ(m1+n1√2+m2+n2√2) =φ((m1+m2)+(n1+n2)√2) =(m1+m2)-(n1+n2)√2 =((m1-n1√2)+(m2-n2)√2)) =φ(x)+φ(y) dan φ(xy)=φ((m1+n1√2)(m2+n2√2)) =φ((m1m2+2n1n2+(m1n2+n1m2)√2)) =(m1m2+2n1n2-(m1n2+n1m2)√2) =(m1m2-m1n2√2-n1m2√2+2n1n2) =(m1-n1√2)(m2+-n2√2) =φ(m1+n1√2)φ(m2+n2√2) =φ(x)φ(y)
Jadi φ merupakan suatu homomorfisma
Contoh 2.1.4
Misalkan Zn adalah ring bilangan bulat modulo n. definisikan I: Z→Zn
dengan φ(a)=sisa dari a apabila dibagi oleh n, maka φ homomorfisma.
Contoh 2.1.5
Misalkan R himpunan semua fungsi-fungsi kontinu bernilai riil pada interval tutup [0,1]. R terhadap operasi penjumlahan dan perkalian fungsi merupakan ring. Selanjutnya misalkan F adalah ring bilangan riil terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, serta didefinisikan pemetaan φ R→F, dengan φ(f(x))=f(1/2). Dengan pengaitan yang demikian φ merupakan homomorfisma yang bersifat pada dari R ke F.
Definisi 2.1.3
Suatu homomorfisma dari R ke R’ dikatakan suatu monomorfisma jika homomorfisma tersebut satu-satu.
Lemma 2.1.3
Homomorfisma φ dari R ke R’ dikatakan suatu monomorfisma jika dan hanya jika I(φ)=(0).
Bukti
Misalkan φ monomorfisma (satu-satu). Ambil x∈I(φ), maka kita mempunyai φ(x)=0=φ(0). Karena φ satu-satu haruslah x=0. Jadi I(φ)={0}.
Sebaliknya misalkan I(φ)=0, ambil x,y∈R sembarang yang bersifat φ(x)=φ(y). Karena φ merupakan homomorfisma , maka kita punya hubungan φ(x+(-y))=φ(x)-φ(y)=0. Dengan demikian kita peroleh x-y∈I(φ), karena
I(φ)={0}, maka x=y. Ini membuktikan bahwa φ: R→R’ bersifat satu-satu (monomorfisma).
Definisi 2.1.4
Suatu homomorfisma dari R ke R’ dikatakan suatu epimorfisma jika homomorfisma tersebut bersifat pada.
Definisi 2.1.5
Suatu homomorfisma dari R ke R’ dikatakan suatu isomorfisma jika homomorfisma tersebut bersifat satu-satu dan pada.
Homomorfisma yang dimaksud pada definisi di atas, merupakan homomorfisma yang memenuhi sifat monomofisma dan epimorfisma. Dengan kata lain suatu homomorfisma merupakan suatu isomorfisma jika
homomrfisma tersebut merupakan suatu monomorfisma dan epimorfisma. Dengan demikian jika kita memandang pemetaan tersebut sebagai fungsi, maka homomorfisma yang bersifat isomorfisma bila berbicara pada fungsi merupakan fungsi bijektif yaitu suatu fungsi yang bersifat injektif (satu-satu) dan surjektif (pada).
2.2 Ideal
Ide mengkonstruksi grup faktor pada saat mempelajari grup kita akan ulangi dalam mempelajari ring, ide tersebut kita terapkan untuk mendapatkan ring faktor (quotien), sehingga konsep grup faktor merupakan konsep yang sama dengan konsep ring faktor (quotien). Pada pembentukan grup faktor, terlebih dahulu kita mengkonstruksi koset dan subgrup normal, kemudian terbentuklah grup faktor. Pada bagian ini kita terlebih dahulu membicarakan ideal kemudian dari ideal ini kita mengkonstruksi suatu ring yang unsur-unsurnya merupakan ideal yang selanjutnya kita namakan dengan ring faktor atau ring quotien.
Definisi 2.2.1
Suatu himpunan bagian tak kosong U dari R dikatakan ideal kiri dari R jika (1) U merupakan subgrup dari R terhadap penjumlahan, (2) untuk setiap
u∈R, ru∈U.
Definisi 2.2.2
Suatu himpunan bagian tak kosong U dari R dikatakan ideal kanan dari R
jika (1) U merupakan subgrup dari R terhadap penjumlahan, (2) untuk setiap
u∈R, ur∈U.
Berdasarkan definisi 2.2.1 dan 2.2.2 kita definisikan bahwa suatu himpunan bagian tak kosong U dari R dikatakan ideal dari R, jika merupakan ideal kiri sekaligus merupakan ideal kanan dari R.
Jelas bahwa {0} dan R merupakan ideal dari sembarang ring R. Ideal yang demikian disebut ideal trivial atau sering juga disebut dengan improper
ideal. Semua ideal dari U dari R yang berbeda dari {0} dan R disebut proper
Lemma 2.2.1
Syarat perlu dan cukup bahwa himpunan bagian tak kosong U dari R, merupakan ideal dari R bila memenuhi (i) jika a∈U, dan b∈U, maka a-b∈U, dan (ii) jika u∈U, dan r∈R, maka ur∈U dan ru∈U.
Bukti
⇒(syarat perlu). Misalkan U ideal dari ring R, maka U merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan dan untuk setiap u∈U, dan r∈R berlaku
ur∈R dan ru∈R. tetapi syarat perlu dan cukup bahwa U merupakan subgrup terhadap penjumlahan adalah jika a, b∈U sembarang, maka a-b∈U. Dengan demikian kita punya jika U ideal dari R, maka berlaku (i) jika a∈U, dan
b∈U, maka a-b∈U, dan (ii) jika u∈U, dan r∈R, maka ur∈U dan ru∈U.
⇐(syarat cukup). Misalkan U himpunan tak kosong dari R, yang memenuhi sifat (i) jika a∈U, dan b∈U, maka a-b∈U, dan (ii) jika u∈U, dan r∈R, maka
ur∈U dan ru∈U. Dari sifat (i) kita peroleh bahwa U merupakan subgrup dari
R terhadap operasi penjumlahan, sehingga kita punya sifat bahwa jika sifat (i) jika a∈U, dan b∈U, maka a-b∈U, dan (ii) jika u∈U, dan r∈R, maka
ur∈U dan ru∈U berlaku, maka
(1) U merupakan subgrup dari R terhadap penjumlahan (2) untuk setiap u∈R, ur∈U.
Dengan demikian U merupakan ideal dari R.
Lemma 2.2.2
Irisan sembarang dua ideal dari R juga merupakan ideal dari R
Bukti
Misalkan U1 dan U2 sembarang dua ideal dari R, maka U1 dan U2 merupakan
subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. Karenanya U1∩U2 juga
r∈R. Karena U1 dan U2 merupakan ideal-ideal dari R, maka ur∈U1, ru∈U1
dan ur∈U2 dan ru∈U2, akibatnya ur∈U1∩U2 dan ru∈U1∩U2 merupakan
ideal dari R.
Lemma 2.2.3
Misalkan M himpunan bagian tak kosong dari ring R, maka irisan semua koleksi ideal-ideal dari R yang memuat M merupakan ideal terkecil yang memuat M.
Bukti
Misalkan {Sα|α∈Λ} adalah koleksi semua ideal-ideal dari R yang memuat
M, maka menurut definisi ideal setiap Sα merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. Karena irisan subgrup-subgrup dari R yang memuat M
juga merupakan subgrup yang memuat M, kita peroleh bahwa ∩{Sα|α∈Λ} adalah subgrup dari R yang terkecil yang memuat M. Selanjutnya ambil
u∈∩{Sα|α∈Λ} sembarang dan r∈R sembarang, maka u∈Sα untuk setiap α∈Λ, dan karena Sα merupakan ideal untuk setiap α∈Λ, maka ur∈Sα dan
ru∈Sα, untuk setiap α∈Λ. Akibatnya ur∈∩{Sα|α∈Λ} dan ru∈∩{Sα|α∈Λ}.
Dengan demikian ∩{Sα|α∈Λ} merupakan ideal dari R dan karena
∩{Sα|α∈Λ} himpunan terkecil yang memuat M, maka dapat disimpulkan bahwa ∩{Sα|α∈Λ} merupakan ideal terkecil yang memuat M.
Ideal yang kita bicarakan pada lemma 2.2.3 biasanya dikenal juga dengan nama ideal yang dibangun oleh M. ideal yang demikian selanjutnya ditulis (M).
Definisi 2.2.3
Suatu ideal yang dibangun oleh satu unsur disebut dengan ideal utama
Definisi 2.2.4
Misalkan R ring komutatif dengan unsur kesatuan dan tanpa unsur pembagi nol disebut ring ideal utama jika setiap ideal dari R merupakan ideal utama.
Ekivalen dengan definisi 2.2.4 di atas adalah bahwa bila R
merupakan daerah integral dengan unsur kesatuan merupakan ring ideal utama jika setiap ideal U dari R dibangun oleh satu unsur, yaitu U=(a), untuk suatu a∈R.
Contoh 2.2.1
Misalkan Q himpunan semua bilangan rasional dan Z himpunan semua bilangan bulat. Jelas Z merupakan himpunan bagian dari Q. Pembaca dapat menunjukkan bahwa Q merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dan Z merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Tetapi Z bukan merupakan ideal kiri maupun kanan, sebab perkalian antara bilangan rasional dengan bilangan bulat tidak senantiasa merupakan bilangan bulat demikian pula bahwa perkalian antara bilangan bulat dengan bilangan rasional tidak senantiasa merupakan bilangan bulat.
Berdasarkan contoh di atas, dengan mudah kita dapat menemukan bilanagn rasionan dan bilangan bulat yang memenuhi contoh 2.2.1 di atas, yaitu dengan memilih 2/3∈Q, dan 5∈Z, maka (2/3)(5)=10/3∉Z demikian pula 5(2/3)=10/3∉Z, dan masih banyak lagi bahkan tak terhingga banyaknya bilangan rasional dan bilangan bulat yang dapat kita pilih sedemikian sifat ini tidak berlaku.
Misalkan R himpunan semua bilangan riil dan Q himpunan semua bilangan rasional, maka jelas sekali bahwa Q⊆R, dan pembaca dengan mudah dapat menunjukkan bahwa R merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian serta Q merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Tetapi Q
bukan merupakan ideal kiri maupun ideal kanan.
Sebagai latihan pembaca di minta untuk menemukan bilangan rasional Q dan bilangan riil R yang bersifat bahwa
a∈Q, r∈R, tetapi ar∉Q
dan a∈Q, r∈R, tetapi ra∉Q Contoh 2.2.3
Misalkan R ring semua matriks ordo 2x2 dengan unsur-unsur bilangan bulat,
yaitu R= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Z d c b a d b c a , , , dan H= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Z b a b a , 0 0 , maka H
merupakan ideal kiri dari R, tetapi H bukan ideal kanan dari R.
Contoh 2.2.4
Misalkan R seperti pada contoh 2.1.3, dan S=himpunan matriks 2x2 yang
berbentuk ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Z b a b a , 0 0
, maka H merupakan ideal kiri dari R tetapi H
bukan ideal kanan.
Contoh 2.2.5
Misalkan m sembarang bilangan bulat positif tetapi tetap dan T={ma|a∈Z}, maka untuk sembarang dua unsur ma dan mb di T, berlaku ma-mb=m(a
operasi penjumlahan. Sekarang ambil ma∈T sembarang dan b∈Z, maka (ma)b=m(ab)∈T, karena Z bersifat assosiatif terhadap operasi perkalian dan
b(ma)=(bm)a=m(ba)∈T, karena Z bersifat komutatif dan assosiatif terhadap operasi perkalian.
Definisi 2.2.4
Suatu ideal M≠R dalam ring R, dikatakan ideal maksimal dari R jika terdapat ideal U dari R sedemikian sehingga M⊆U⊆R, maka R=U atau M=U.
Ekivalen dengan definisi di atas, adalah M ideal dari R dan M≠R, dikatakan ideal maksimal jika tidak terdapat ideal sejati dari R yang memuat
M.
Berikut ini akan diberikan beberapa sifat yang berhubungan dengan ideal.
Lemma 2.2.4
Lapangan tidak mempunyai ideal sejati
Bukti
Misalkan S ideal tak nol dari lapangan F dan misalkan a sembarang unsur tak nol dari S, maka S merupakan himpunan bagian dari F, akibatnya berlaku
Jika a∈S, maka a∈F, karena F ring, maka a-1∈F
Sekarang karena S ideal dari F, maka berlaku
Jika a∈S, dan a-1∈F, maka 1=aa-1∈S
Sehingga diperoleh bahwa 1∈S. Selanjutnya ambil x∈F sembarang, dan karena S ideal dari F, maka berlaku atau x∈S karena 1∈S, dan x∈F, maka 1x∈S, dan karena x∈F diambil sembarang, mengakibatkan x∈S, maka F⊆S, tetapi karena S ideal dari F, maka kita punya juga relasi S⊆F. Dengan
demikian kita simpulkan bahwa S=F. Jadi setiap ideal tak nol dari F
merupakan ideal yang sama dengan F, dengan kata lain bahwa ideal dari F
hanya {0} dan F sendiri. Karenanya suatu lapangan tidak mempunyai ideal sejati.
Lemma 2.2.5
Jika R ring komutatif dan a∈R, maka Ra={ra|r∈R} merupakan ideal dari R.
Bukti
Ambil x,y sembarang dua unsur di Ra, maka x=r1a dan y=r2a, untuk suatu r1,r2 di R, maka x-y = r1a-r2a =( r1-r2)a∈Ra. Dengan demikian Ra merupakan
subgrup dari Ra terhadap operasi penjumlahan. Sekarang ambil r∈R dan
r1a∈Ra sembarang, maka r(r1a)= (rr1)a∈Ra dan (r1a)r= (r1r)a∈Ra.
Karenanya Ra merupakan ideal dari R.
Lemma 2.2.6
Ring komutatif dengan unsur kesatuan yang tidak mempunyai ideal sejati senantiasa merupakan lapangan.
Bukti
Misalkan R adalah ring komutaif dengan unsur kesatuan dan tidak mempunyai ideal sejati. Dengan kata lain ideal dari R hanyalah {0} dan R
sendiri. Untuk menunjukkan bahwa R lapangan, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap unsur tak nol dari R, mempunyai invers di R.
Ambil sembarang a∈R dengan a≠0, definisikan himpunan Ra={ra|r∈R}, maka menurut lemma 2.2.5, Ra merupakan ideal dari R. Karena 1∈R, maka
a=1a∈Ra, dan karena a≠0, maka Ra merupakan ideal dari R yang tak nol. Berdasarkan hipotesis bahwa R tidak mempunyai ideal sejati dan Ra ideal tak nol di R, maka haruslah R=Ra. Selanjutnya karena 1∈R dan Ra=R, maka
mesti terdapat unusr b∈R sedemikian sehingga ba=1, tetapi karena R komutatif, maka ab=1. Jadi a-1=b∈R. Dengan demikian bahwa untuk setiap unsur tak nol dari R, senantiasa mempunyai invers atau dengan kata lain bahwa R merupakan lapangan.
Lemma 2.2.7
Jika a unsur pada suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan, maka himpunan Ra={ra|r∈R} merupakan ideal utama dari R yang dibangun oleh
a.
Bukti
Telah ditunjukkan bahwa pada lemma 2.2.5 bahwa Ra merupakan ideal , juga karena R merupakan dengan unsur kesatuan maka a=1a∈Ra. Jadi Ra
merupakan ideal yang memuat unsur a. Selanjutnya untuk menunjukkan bahwa Ra merupakan ideal utama, maka akan ditunjukkan bahwa Ra adalah ideal terkecil dari R yang memuat a, dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa setiap ideal dari R yang memuat a, juga memuat Ra.
Misalkan S ideal dari R yang memuat a dan ra sembarang unsur dari
Ra, maka r∈R. Karena S ideal dari R yang memuat a, maka ra∈S. jadi
ra∈Ra, mengakibatkan ra∈S, karena ra diambil sembarang di ra, maka berarti bahwa setiap unsur di Ra, juga merupakan unsur S, atau Ra⊆S. Akibatnya Ra termuat pada setiap ideal dari R yang memuat a, dengan demikian Ra merupakan ideal terkecil yang memuat a. Dengan kata lain Ra
merupakan ideal utama dari R yang dibangun oleh a.
Lemma 2.2.8
Ring bilangan bulat Z merupakan ring ideal utama
Bukti
Karena ring bilangan bulat ring komutatif dengan unsur kesatuan dan tanpa unsur pembagi nol, sehingga untuk menujukkan bahwa Z merupakan ring
ideal utama, cukup ditunjukkan bahwa setiap ideal dari Z merupakan ideal utama.
Misalkan S sembarang ideal dari Z. Jika s={0}, maka jelas S merupakan ideal utama. Sekarang misalkan S≠{0}, maka S senantiasa mempunyai unsur paling sedikit satu yang tak nol, sebut 0≠a∈S. Selanjutnya, karena S ideal maka S merupakan subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan, dengan demikian jika a∈S, maka -a∈S, sehingga S memiliki paling sedikit satu unsur positif.
Sekarang, misalkan s unsur positif yang terkecil dalam S. Claim bahwa S
merupakan ideal utama yang dibangun oleh s. Sebagaimana telah
ditunjukkan bahwa himpunan yang berbentuk Zs={as|a∈Z} adalah ideal utama yang dibangun oleh s. Sehingga kita akan tunjukkan bahwa Zs=S. Ambil as sembarang unsur dari Zs, maka a∈Z, dan karena S ideal dari Z, maka as∈S. jadi kita punya bahwa jika as∈Zs, maka as∈S. Ini berarti bahwa
Zs⊆S …(1)
Sekarang ambil n sembarang unsur di S, maka menurut algoritma pembagian yang dikenakan pada n dan s, terdapat bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga
n=qs+r, dengan 0 ≤r<s
karena s∈S, dan q∈Z, maka qs∈S, juga karena n∈S, maka r=n-qs∈S (S
subgrup dari Z), sehingga r∈S. Tetapi karena 0 ≤ r < s dan s unsur positif terkecil dari S, maka haruslah r=0, karenanya n=qs∈Zs (karena q∈Z, maka
qs∈ZS). Jadi setiap unsur di S juga merupakan unsur di Zs, dengan demikian
S⊆Zs …(2)
Dari (1) dan (2) kita punya
Tetapi karena Zs merupakan ideal utama yang dibangun oleh s, maka S juga merupakan ideal utama yang dibangun oleh s, dan karena S diambil sembarang ideal dari Z, maka setiap ideal dari Z, merupaka ideal utama. Dengan kata lain bahwa Z merupakan ring ideal utama.
Lemma 2.2.9
Irisan sembarang dua ideal pada suatu ring R, senantiasa merupakan ideal pada ring R.
Bukti
Misalkan U1 dan U2 sembarang dua ideal dari ring R, maka U1 dan U2
merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. Karena irisan dua subgrup dari R juga merupakan subgrup dari R, maka U1∩U2 subgrup dari R.
Sekarang ambil sembarang a∈U1∩U2 dan r∈R, maka a∈U1 dan a∈U2.
Sehingga ar∈U1, ra∈U1 dan ar∈U2, ra∈U2, maka ar∈U1∩U2 dan ra∈U1∩U2. Ini menunjukkan bahwa U1∩U2 merupakan ideal dari R.
Lemma 2.2.10
Misalkan M himpunan bagian tak kosong dari ring R, maka irisan koleksi semua ideal pada R yang memuat M adalah ideal terkecil yang memuat M.
Bukti
Misalkan {Sα | α∈Λ} koleksi semua ideal-ideal dari R yang memuat M, maka setaip Sα merupakan subgrup dari R (terhadap operasi penjumlahan) yang memuat M. Karena irisan semua subgrup dari R yang memuat M adalah subgrup terkecil yang memuat M, maka ∩{Sα|α∈Λ} adalah subgrup terkecil yang memuat M. Sekarang ambil a∈{∩{Sα|α∈Λ}} sembarang dan r∈R
sembarang, maka a∈Sα, untuk setiap α∈Λ. Sehingga ar dan ra unsur di Sα, untuk setiap α∈Λ (Mengapa), akibatnya ar∈{∩{Sα|α∈Λ}} dan
ra∈{∩{Sα|α∈Λ}}. Dengan ini maka ∩{Sα|α∈Λ} adalah ideal terkecil yang memuat M dan sering dikatakan ideal yang dibangun oleh M dan ditulis (M).
3.3 Ring Faktor
Misalkan bahwa U adalah ideal (kiri dan kanan) dari ring R. Kita mengkonstruksi suatu himpunan baru yaitu R/U yaitu himpunan yang unsur-unsurnya adalah semua koset-koset yang berbeda dari U dalam R. Karena U
adalah ideal dari R, maka menurut definisi ideal, U merupakan subgrup dari
R terhadap operasi penjumlahan, dan karena R merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan, maka koset kiri dari U dalam R juga merupakan koset kanan dari U dalam R, sehingga kita lebih senang menyebut kata koset. Karena R/U memuat semua koset-koset dari U dalam
R, maka R/U merupakan himpunan yang unsur-unsurnya berbentuk U+a, dengan a sembarang unsur dari ring R. lebih dari itu R/U juga merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Himpunan R/U ternyata merupakan suatu ring (ditunjukkan pada sifat berikut), ring yang demikian disebut dengan ring faktor (Ring Quoti en).
Lemma 3.3.1
Misalkan U ideal (ideal kiri dan kanan) dari ring R, maka himpunan R/U
yaitu himpunan yang unsur-unsurnya adalah semua koset-koset dari U+a, a
sembarang unsur dari ring R. Dengan operasi (U+a)+(U+b)=U+(a+b) (U+a)(U+b)=U+ab
maka R/U merupakan ring.
Bukti
Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa operasi yang didefinisikan di atas terdefinisi dengan baik. Misalkan
S+a = S+a′ dan S+b = S+b′
Sehingga a′∈S+a dan b′∈S+b, karenanya terdapat α dan β di S sedemikian sehingga
a′=α+a dan b′=β+b
akibatnya,
a′+b′=(α+a)+(β+b)=(a+b)+(α+β)
sehingga (a′+b′)-(a+b)=(α+β)∈S (karena S subgrup)
karenanya S+(a′+b′)=S+(a+b) atau (S+a′)+(S+b′)=(S+a)+(S+b), sehingga penjumlahan dalam R/S terdefinisi dengan baik. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi perkalian di R/S terdefinisi dengan baik.
Yaitu akan ditunjukkan, jika U+a=U+a′ dan U+b=S+b′; maka dengan operasi perkalian (U+a)(U+b)=(U+a′)(U+b′). Dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa ab+U=a′b′+U. Karena U+a=U+a′ dan U+b=S+b′, maka
a=a′+u1, dimana u1∈U, dengan cara sama b=b′+u2, dimana u2∈U. Jadi
ab=(a′+u1)(b′+u2)=a′b′+u1b′+a′u2+u1u2; karena U ideal dari R, maka
u1b′∈U, a′u2∈U, u1u2∈U. Akibatnya u3=u1b′+a′u2+u1u2∈U, sehingga ab=
a′b′+u3. Akibatnya ab+U= a′b′+u3+U=a′b′+U (karena u3∈U, maka u3+U=U). Selanjutnya dengan kedua operasi tersebut di R/S memenuhi sifat. (i) Penjumlahan assosiatif di R/S, Ambil (S+a), (S+b), dan (S+c) sembarang
tiga unsur di R/S, maka
{(S+a)+(S+b)}+(S+c) ={S+(a+b)}+(S+c) =S+{(a+b)+c}
=S+{a+(b+c)}[penjumlahan assosiatif di R] =(S+a)+{S+(a+b)}
=(S+a)+{(S+b)+(S+c)}.
(ii) Identitas penjumlahan ada di R/S, yaitu koset (S+0), sebab jika diambil (S+a) sembarang unsur di R/S, maka
(S+a) +(S+0)=(S+(a+0)=S+a
dan (S+0)+(S+a)=S+(0+a)=S+a.
(iii)Setiap Koset di R/S mempunyai invers penjumlahan di R/S. Sebab Jika diambil sembarang koset (S+a) di R/S, maka dapat dipilih (S+(-a)) juga unsur di R/S (kenapa?) sedemikian sehingga
(S+a)+(S+(-a))=(S+0)=(S+(-a))+(S+a)
Karenanya setiap unsur (S+a) di R/S mempunyai invers penjumlahan di
R/S
(iv) dengan operasi penjumlahan komutatif di R/S, sebab jika diambil dua unsur sembarang (S+a) dan (S+b) di R/S, maka
(S+a)+(S+b)=S+(a+b)=(S+b+a)=(S+b)+(S+a)
(v) operasi perkalian assosiatif di R/S, sebab jika (S+a), (S+b), dan (S+c) sembarang tiga unsur di R/S, maka
{(S+a)(S+b)}(S+c)=(S+(ab)(S+c) =S+(ab)c) =S+a(bc) =(S+a)(S+bc) =(S+a){(S+b)(S+c)}
(vi) operasi perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan di R/S, sebab jika diambil (S+a), (S+b), dan (S +c) sembarang tiga unsur di R/S, maka
(S+a){(S+b)+(S+c)}=(S+a)(S+b+c) =(S+a(b+c)) =(S+ab+ac) =(S+ab)+(S+ac)
=(S+a)(S+b)+(S+a)(S+c)
Dengan cara sama {(S+a)+(S+b)}(S+c)= (S+a)(S+c)+(S+b)(S+c)
Dengan demikian R/U adalah ring, dan disebut dengan ring faktor(Quotien ring), atau ring kelas residu, atau ring differens.
Catatan
(i) Jika R komutatif, maka R/S juga komutatif, sebab jika (S+a) dan (S+b)
dua unsur sembarang di R/S, maka
(S+a)(S+b)=(S+ab)=(S+ba)=(S+b)(S+a)
(ii) Jika R ring dengan unsur kesatuan, maka R/S juga merupakan ring
dengan unsur kesatuan, dengan unsur kesatuan (S+1), sebab jika jika diambil (S+a) sembarang unsur di R/S, maka
(S+a)(S+1)=(S+a+1)=(S+a)
dan (S+1)(S+a)=(S+1+a)=(S+a)
Lemma 3.3.2
Misalkan S suatu ideal pada ring komutatif R dengan unsur kesatuan adalah maksimal jika dan hanya jika ring R/S adalah lapangan.
Bukti
Karena R ring komutatif dengan unsur kesatuan. Maka ring faktor R/S
merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan dan unsur identitas terhadap operasi penjumlahan dan perkalian berturut-turut adalah (S+0) dan (S+1), dengan 0 dan 1 berturut-turut merupakan unsur nol dan unsur kesatuan pada R. Selanjutnya misalkan S adalah ideal maksimal, akan ditunjukkan bahwa R/S adalah lapangan. Dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa setiap unsur tak nol di R/S mempunyai invers terhadap operasi perkalian. Ambil S+a ∈R/S sembarang unsur tak nol di R/S, maka S+a≠S+0, karenanya a∉S [karena S+a=S+0⇔a∈S]. Selanjutnya misalkan T ideal utama yang dibangun oleh a, sebut
T={αa:α∈R}
Karena jumlah dua ideal dari R, juga merupakan ideal dari R, maka S+T
ideal dari R yang memuat S. Sekarang, karena a∉S dan a=0+1a∈S+T dan karena S ideal maksimal di R, maka haruslah S+T=R. Sekarang karena 1∈R,
kita punya 1=b+αa, untuk suatu b∈S dan α∈R [karena R=S+T], sehingga 1-αa=b∈S.
Akibatnya
S+1=S+αa
Atau S+1=(S+a)(S+α), dengan α∈R. Dengan cara sama, (S+1)=(S+α)(S+a)
Dengan demikian (S+a)-1=(S+α)∈R/S. Sehingga untuk setiap unsur tak nol di R/S mempunyai invers terhadap operasi perkalian. Karenanya R/S
lapangan.
Sebaliknya, misalkan S ideal dari R sedemikian sehingga R/S lapangan. Akan ditunjukkan bahwa S ideal maksimal dari R. Misalkan T ideal di R
yang memuat S, maka setiap unsur-unsur di R yang termuat di S juga termuat di T. Sehingga akan ditunjukkan bahwa R=T, yaitu cukup ditunjukkan bahwa setiap unsur dari R yang tak termuat di S termuat di T. Misalkan a∉S, maka
S+a≠S+0, dengan kata lain S+a bukan unsur nol di R/S. Karena T memuat S, maka terdapat unsur b∈T, sedemikian sehingga b∉S, akibatnya S+b bukan unsur nol di R/S. Sekarang R/S lapangan, sehingga bila (S+a)∈R/S, dan (S+b)∈R/S, maka
S+(ab-1)=(S+a)(S+b-1)=(S+a)(S+b)-1∈R/S
Sehingga ab-1∈R, dan karena T ideal dari T, serta b∈T, maka
a=ab-1b∈T.
Jadi setiap unsur R yang tidak termuat di S, termuat di T, dengan demikian
R⊆T, tetapi karena T⊆R, maka R=T. Hal ini menunjukkan bahwa S ideal maksimal di R.
Soal-Soal
1. Jika U ideal dari R dan 1∈U, buktikan bahwa U=R.
3. Jika R ring komutatif dan a∈R,
(a) tunjukkan bahwa aR = {ar|r∈R} merupakan ideal dari R.
(b) Tunjukkan dengan contoh, bahwa sifat (a) tidak benar bila R tidak komutatif.
4. Jika U dan V ideal-ideal dari R, misalkan U+V={u+v | u∈U, v∈V}. Buktikan bahwa U+V juga merupakan ideal dari R.
5. Jika U dan V ideal-ideal dari R. Misalkan UV adalah himpunan semua unsure yang berbentuk uv, dengan u∈U dan v∈V, yang jumlahnya hingga. Buktikan bahwa UV merupakan ideal dari R.
6. Dalam soal 5. Buktikan bahwa UV⊆U∩V.
7. Jika R ring bilangan bulat dan U ideal kelipatan 17. Buktikan bahwa jika
V ideal dari R dan R⊇V⊇U, maka V=R atau V=U.
8. Jika U ideal dari R, misalkan r(U)={x∈R | xu=0, ∀u∈U}. Buktikan bahwa r(U) merupakan ideal dari R.
9. Jika U merupakan ideal dari R, misalkan [R:U]={x∈R|rx∈U,∀r∈R}. Buktikan bahwa [R:U] ideal dari R dan memuat U.
10.Misalkan R ring dengan unsur kesatuan. Dengan unsur-unsur pada R, kita akan mendefinisikan ring R′, dengan operasi a ⊕ b = a + b + 1 dan
a⊗b=ab+a+b, dengan a, b, ∈R.
(a)Tunjukkan bahwa R′ merupakan ring terhadap operasi ⊕ dan ⊗ (b)Sebutkan unsur yang merupakan unsur nol di R′
(c)Sebutkan unsur yang merupakan unsur kesatuan di R′. (d)Buaktikan bahwa R isomorfik dengan R′.
11.Untuk a∈R, misalkan Ra={xa|x∈R}. Buktikan bahwa Ra adalah ideal kiri.
12.Buktikan bahwa irisan dua ideal kiri dari R juga merupakan ideal kiri dari R.
13.Apakah yang anda dapat katakan mengenai irisan ideal kiri dengan ideal kanan dari R?
14.Jika R ring dan a∈R, misalkan r(a)={x∈R|ax=0}. Buktikan bahwa r(a) merupakan ideal kanan dari R.
15.Jika R suatu ring dan L suatu ideal kiri dari R, misalkan λ(L)={x∈R|xa=0,∀a∈L}. Buktikan bahwa λ(L) merupakan ideal dari R. 16.Jika R ring dengan unsur kesatuan dan ϕ suatu homomorfisma dari R
pada R′. Buktikan bahwa ϕ(1) merupakan unsur kesatuan pada R′.
17.Jika R suatu ring dengan unsur kesatuan 1 dan ϕ suatu homomorfisma dari R ke daerah integral R′ sedemikian sehingga I(ϕ)≠R, buktikan bahwa ϕ(1) unsur kesatuan dari R′ (I(ϕ) adalah kernel/inti pemetaan ϕ).
