BAB I
PENGERTIAN RING
INGAT KEMBALI :
1. Misal G suatu himpunan tak kosong dan * adalah suatu operasi yang didefinisikan pada G. (G,*) dinamakan semigrup, jika memenuhi :
a. Tertutup, yakni a b, G, *a bG
b. Assosiatif, yakni a b c, , G,
a b c a b c* *
* *
2. Misal G suatu himpunan tak kosong dan * adalah suatu operasi yang didefinisikan pada G. (G,*) dinamakan grup, jika memenuhi :
a. Tertutup, yakni a b, G, *a bG
b. Assosiatif, yakni a b c, , G,
a b c a b c* *
* *
c. Terdapat elemen identitas, yakni e G , a G, *a e e a a *
Untuk selanjutnya e dinamakan elemen identitas pada G terhadap operasi
d. Setiap elemen punya invers, yakni a G , a1G, *a a1a1*a e Untuk selanjutnya a-1 dinamakan invers dari a.
Suatu grup (G,*) dinamakan grup komutatif (abelian), jika operasi * bersifat
komutatif , yakni a b, G, *a b b a *
Definisi : ( RING )
Misal R adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua buah
operasi yakni (operasi penjumlahan) dan (operasi pergandaan), selanjutnya
dilambangkan dengan (R, , ). Struktur ( R, , ) dinamakan ring , jika memenuhi aksioma :
i. Tertutup, yakni a b, R, a b R
ii. Assosiatif, yakni a b c, , R,
a b
c a
b c
iii. Terdapat elemen identitas, yakni e R , a R, a e e a a Untuk selanjutnya e dinamakan elemen netral (nol) .
iv. Setiap elemen punya invers, yakni
1 1 1
R , R,
a a a a a a e
Untuk selanjutnya a-1 dinamakan invers dari a.
v. Komutatif , yakni a b, R, a b b a b. ( R, ) semigrup
i. Tertutup, yakni a b, R, a b R
ii. Assosiatif, yakni a b c, , R,
a b
c a
b c
c. Sifat distributif kiri dan distributif kanan, yakni :
Perlu diperhatikan bahwa, operasi penjumlahan dan operasi pergandaan disini BUKAN BERARTI operasi penjumlahan dan pergandaan biasa.
Contoh :
1. Z = Himpunan semua bilangan bulat.
Didefinisikan operasi pada Z seperti berikut : + adalah operasi penjumlahan biasa
adalah operasi pergandaan biasa. (Z, + , ) merupakan ring.
Bukti :
a. Ditunjukkan (Z, + ) grup abelian
i. …(sifat ketertutupan penjumlahan bilangan bulat)
iii. , berlaku a 0 0 a a Jadi 0 adalah elemen netral pada Z
iv. , , berlaku a ( a) ( a) a 0 Jadi setiap elemen di Z mempunyai invers terhadap operasi +
v. …( sifat komutatif penjumlahan bilangan bulat )
Dari a ( i, ii, iii, iv, dan v ), diperoleh ( Z, + ) grup abelian b. Ditunjukkan ( Z ,
) semigrup
i. berlaku …(sifat ketertutupan pergandaan bilangan bulat)
ii. , (sifat assosiatif pergandaan bilangan bulat)
Dari b ( i dan ii), diperoleh ( Z ,
) semigrup c. Ditunjukkan berlaku sifat distributif kiri dan kanan
2. Q = Himpunan semua bilangan rasional. R = Himpunan semua bilangan real C = Himpunan semua bilangan kompleks
Untuk operasi + dan seperti pada nomor 1, maka (Q, + , ), (R, + , ), (C, + , ) masing-masing merupakan ring. ( Coba tunjukkan buktinya yaa !!! ) 3. N = Himpunan semua bilangan asli
Untuk operasi + dan seperti pada nomor 1, maka ( N, + , ) bukan ring. ( Tunjukkan aksioma apa yang tidak terpenuhi !!! )
LATIHAN SOAL
1. Diketahui M =
Didefinisikan operasi + dan pada M seperti berikut : + adalah operasi penjumlahan matriks
Selidikilah apakah (M, + , ) merupakan ring atau bukan !
2. Diketahui Z5 = Himpunan semua bilangan bulat modulo 5
+ adalah operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 5
adalah operasi pergandaan bilangan bulat modulo 5 Selidikilah apakah (Z5, + , ) merupakan ring atau bukan !
3. Misalkan
, didefinisikan operasi dan • pada sepeti berikut :
f g x
( ) f x( )g x( )Apakah (K, , ) ring ? Tunjukkan !
4. ZxZ= {(a,b) | Z dan Z }
a b,
c d,
a c b dOperasi , didefinisikan ,
( , ) ( , ) (a b c d a c b d , )
Operasi , didefinisikan , ( , ) ( , ) ( , a b c d ac bd)
Selidiki apakah (ZxZ, , ) merupakan ring atau bukan ! 5. Diketahui Z adalah himpunan semua bilangan bulat .
Didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada Z sebagai berikut :
, a b a b 1 a b a b ab
Selidikilah apakah ( Z, ⊕, ⊗ ) merupakan ring ? 6. Diketahui Z adalah himpunan semua bilangan bulat .
Didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada Z sebagai berikut :
, a b a b 1 a b a b ab
Selidikilah apakah ( Z, ⊕, ⊗ ) merupakan ring ?
Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :
Untuk setiap (a,b) , (c,d) K, ( a, b ) = ( c, d) jika dan hanya jika a = c dan b = d
( a, b) (c, d) = (ad + bc , bd )
( a, b) ( c, d) = ( ac , bd )
Selidilah apakah ( K , , ) merupakang ring.
8. Diketahui K =
Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :
Untuk setiap (a,b) , (c,d) K , ( a, b ) = ( c, d) jika dan hanya jika ad = bc dan b = d
( a, b) (c, d) = (ad + bc , bd )
( a, b) ( c, d) = ( ac , bd )
Selidiki apakah ( K , , ) merupakang ring ! 9. Diberikan himpunan S.
Didefinisikan himpunan P(S) =
K K| S
Operasi biner dan pada P(S), didefinisikan sebagai berikut
, P(S)
A B
, A B
A B
A B
A B A B
a. Buatlah table untuk dan pada P(S) jika S = {a, b}
b. Tunjukkan bahwa untuk himpunan S diatas, maka ( P(S) , , ) merupakan ring
10. Diketahui Q adalah himpunan semua bilangan rasional.
Didefinisikan operasi sebagai operasi penjumlahan biasa, dan operasi
didefinisikan sebagai .
Selidiki apakah ( Q , , ) merupakan ring atau bukan !
Definisi 2 :
Misal R adalah ring yang mempunyai elemen identitas terhadap operasi pergandaan (missal dinotasikan e1 ). Untuk selanjutnya elemen identitas terhadap
operasi pergandaan ( e1 ) dinamakan sebagai elemen satuan.
Untuk lebih lanjut, ring R yang memuat elemen satuan dinamakan sebagai Ring dengan elemen satuan.
Definisi 3 :
Ring R dikatakan sebagai ring komutatif jika operasi pergandaan pada R bersifat komutatif.
Teorema 1 :
Misalkan R ring dengan elemen identitas e. Untuk setiap a, b R berlaku :
1. e a = a e = e
2. a (– b) = (– a) b = – ( ab ) 3. (–a) (–b) = a b
Bukti ? Teorema 2 :
Misalkan R ring dengan elemen satuan e1 .
Untuk setiap a R berlaku : 1. (– e1 ) a = – a
2. (–e1 ) (–e1 ) = e1
Bukti :
( Coba buktikan ) Definisi 4 :
Misalkan R ring dengan elemen satuan
Suatu elemen u R dinamakan unit, jika u mempunyai invers terhadap operasi pergandaan.
Misalkan R ring dengan setiap elemen tak nol ( selain elemen netral ) merupakan unit, maka R dinamakan ring pembagian ( division ring ) .
Definisi 6 :
Misalkan R adalah division ring yang bersifat komutatif, maka R dinamakan sebagai lapangan ( field ) .
Jika R tidak komutatif maka R dinamakan skew field.
BAB II
SUB RING
Definisi :
Misalkan (R , + , . ) ring dan S himpunan bagian R. S dikatakan subring dari R, jika (S, + , *) adalah ring.
Teorema :
Misalkan R adalah ring dan S adalah himpunan bagian dari R. S subring dari R jika dan hanya jika :
1. e0 S
2. (a – b) S, untuk setiap a,b S
3. a.b S , untuk setiap a,b S Bukti :
Coba buktikan yaa !!!
Example :
1. (Z, + , . ) subring dari (Q, + , . ) subring dari (R, + , . ) subring dari (C, + , . ) 2. D2(R) subring dari M2(R)
SOAL :
1. Misalkan M dan N masing-masing merupakan subring dari R. Apakah :
a. M N subring dari R
c. M + N = { m + n | m M dan n N } subring dari R
2. Misalkan (R, +, . ) ring dan a R
Tunjukkan bahwa Ia = { x R | a.x = e0 } subring dari R !
BAB III
DAERAH INTEGRAL
Definisi 1 :
Jika a dan b adalah elemen TAK NOL ( selain e0 ) pada ring R sedemikian hingga
a.b = e0 , maka a dan b dikatakan sebagai pembagi nol.
Example 1 :
Misal pada Z12 , elemen 2, 3, 4, 6, 8, 9 merupakan elemen pembagi nol.
( kenapa ??? )
Misal pada M2(Real), elemen , adalah elemen pembagi nol
( kenapa ??? ) Teorema 1 :
Pada ring Zn , elemen pembagi nol adalah elemen-elemen yang tidak saling prima
dengan n. Bukti :
Misalkan m Zn dengan m 0 dan misalkan gcd(fpb) dari m dan n adalah d 1.
Berlaku :
m = n
dan (m/d)n menghasilkan 0. Kemudian m(n/d) = 0 pada Zn , dimana m dan (n/d)
tidak nol, jadi m adalah pembagi nol.
Sementara disisi lain, Andaikan m Zn relatif prima dengan n. Jika untuk s Zn ,
ring Z. Karena n relatif prima dengan m, maka n membagi habis s, jadi s = 0 pada Zn .
Corollary 1 :
Untuk p prima, maka Zp tidak mempunyai pembagi nol.
Bukti : ( kenapa ??? ) Teorema 2 :
Hukum kanselasi berlaku pada ring R jika dan hanya jika R tidak memuat pembagi nol.
Bukti :
Misalkan R ring dengan hukum kanselasi berlaku, dan misalkan ab = e0 untuk
suatu a,b R . Akan ditunjukkan a atau b adalah nol. Jika a e0, ab = ae0
mengakibatkan b = e0 ( dengan hukum kanselasi ). Identik untuk b e0
mengakibatkan a = e0 ( coba tunjukkan !!! ). Jadi tidak ada pembagi nol ketika
hukum kanselasi berlaku pada R. ⟸
Misalkan R tidak mempunyai pembagi nol dan ab = ac , untuk a e0 .
Akibatnya ab – ac = a(b – c) = e0 . Karena a e0 dan R tidak memuat pembagi
nol , jadi haruslah b – c = e0 . Diperoleh b = c
Identik untuk ba = ca , dengan a e0 mengakibatkan b = c . ( coba tunjukkan !!! )
Definisi 2 :
Daerah integral D adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol.
Example 4 :
Z dan Zp adalah daerah integral, untuk p prima.
Zn bukan daerah integral, untuk n bilangan bulat selain prima. Kenapa ???
Example 5 :
Tunjukkan meskipun Z2 adalah daerah integral ( kenapa ??? ) , tetapi M2 (Z2)
Jawab : Kenapa ???? Teorema 4 :
Setiap lapangan adalah daerah integral.
Bukti :
Misal diketahui lapangan F.
Ambil sembarang a,b F dan asumsikan bahwa a e0. (kenapa???)
Jika ab = e0, maka a-1ab = a-1e0 . Jadi b = e0 .
Identik untuk b e0, jika ab = e0 maka a = e0.
Jadi F tidak memuat pembagi nol.
Lebih lanjut F adalah adalah daerah integral. Teorema 5 :
Setiap daerah integral BERHINGGA adalah lapangan. Bukti :
Misalkan e0 , e1 , a1, a2, ..., an adalah semua elemen pada daerah integral D. Akan
ditunjukkan bahwa untuk setiap a D , dengan a e0 , terdapat b D sedemikian
hingga ab = e1.
Bentuk
ae1 , aa1 , ... , aan
Klaim bahwa semua elemen-elemen tadi berbeda, karena untuk aai = aaj
mengakibatkan ai=aj. Dan juga, karena D tidak memuat pembagi nol, tidak ada
dari elemen-elemen tadi yang nol.
Dengan mencacah, perhatikan bahwa ae1 , aa1 , ... , aan adalah e1 , a1 , ... , an dalam
suatu urutan, termasuk ae1 = e1 , yakni a = e1 atau aai = e1 , untuk suatu i.
Jadi a mempunyai invers terhadap pergandaan. Corollary 2 :
Untuk p prima, maka Zp lapangan.
( kenapa ??? ) LATIHAN
1. Tentukan solusi dari persamaan x3 – 2x2 – 3x = 0 pada Z 12
2. Tentukan solusi dari persamaan x2 + 2x + 2 = 0 pada Z 6
3. Tunjukkan bahwa adalah pembagi nol pada M2(Z)
4. Selidiki pada soal sebelumnya ( pada soal latihan ring ) , mana yang merupakan daerah integral
5. Suatu elemen a pada ring R dikatakan idempoten jika a2 = a . Tunjukkan
bahwa division ring ( ring pembagian ) memuat tepat 2 buah elemen idempoten.
6. Tunjukkan bahwa irisan dari dua buah sub daerah integral D merupakan sub daerah integral D
7. Misalkan untuk setiap elemen tak nol a R , terdapat dengan tunggal b R , sedemikian hingga aba = a.
a. Tunjukkan bahwa R tidak memuat pembagi nol b. Tunjukkan bahwa bab = b
BAB II
IDEAL
A. Pengertian Ideal
Subring-subring dari suatu ring mempunyai peranan yang mirip dengan subgrup normal dalam suatu grup. Subring yang peranannya mirip subgroup normal disebut ideal.
Definisi 1:
Misalkan R adalah suatu ring dan I R dengan I , I disebut
Ideal kiri dari R jika :
i. x, y I berlaku (x – y) I
ii. (r R)(x I) berlaku rx I
Misalkan R adalah suatu ring dan IR dengan I, I disebut
Ideal kanan dari R jika :
1. x, y I berlaku (x – y) I
2. (r R)(x I) berlaku xr I
Misalkan R adalah suatu ring dan I R dengan I , I disebut Ideal dari R jika :
1. x, y I berlaku (x – y) I
2. (r R)(x I) berlaku rx, xr I
Note :
1. Syarat ke ii. bahwa rx, xr I jika I Ideal tidak berarti bahwa rx = xr.
Contoh :
1. Z = himpunan dari bilangan-bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring.
Jika m tak nol suatu bilangan bulat , maka M = {mz | z bilangan bulat} merupakan ideal dari Z, sebab jelas bahwa M Z, M dan
i. x, y M, berarti x = ma, y = mb untuk suatu a, b Z dan a – b Z,
sehingga x – y = ma – mb = m(a – b) M
ii. r Z, x M, rx = r(ma) = m(ra) M karena ra Z.
2. Z12 = {0, 1, 2, …, 11} adalah ring dari
bilangan-bilangan bulat modulo 12 maka dengan mudah ditunjukkan bahwa himpunan-himpunan bagian dari Z12 berikut merupakan ideal darinya:
N =
adalah bukan ideal dari M2(Q), karena : syarat ii. Tidak
dipenuhi, A =
Mahasiswa diharap mencoba mencari contoh-contoh subring yang merupakan ideal dan subring yang bukan merupakan ideal.
Untuk lebih memantapkan materi tentang subring, diharap mahasiswa
membuktikan secara formal ideal yang dimilikinya dan membuat atau mencari contoh-contoh yang lain tentang ideal disertai buktinya.
TUGAS MANDIRI:
KERJAKAN SOAL-SOAL DI BAWAH INI :
1. Misalkan R adalah ring dari semua matriks ordo 2x2 dengan semua komponennya bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.
Didefinisikan U = U dan V masing-masing merupakan ideal kiri, ideal kanan, ideal atau tidak
2. Jika M dan N masing-masing adalah ideal dari ring R maka tunjukkanlah a. M N juga ideal dari R
b. M + N = {a + b | a M dan b N } ideal dari R
3. Diberikan R adalah ring komutatif dengan a, b R maka tunjukkan bahwa S =
BAB IV
RING FAKTOR
Ide :
Perhatikan kemiripan struktur pada teori grup dan teori ring. Sub ring mirip dengan sub grup
Ideal mirip dengan sub grup normal Ring faktor mirip dengan grup faktor Coba perhatikan kemiripan strukturnya !!!!
Ring Faktor
Ring factor mempunyai kemiripan dengan grup faktor.
Jika I ideal dari ring R maka I subring dari R, berarti I juga merupakan ring, sehingga (I,+) merupakan subgrup normal dari (R,+).
Himpunan semua koset kiri (kanan) I dalam R, ditulis sebagai R/I = {r + I | r R}
Operasi penjumlahan dan pergandaan pada R/I didefinisikan :
Untuk setiap (a + I) , (b + I) R/I , dengan a, b R (a + I) + (b + I) = (a + b) + I
Akan ditunjukkan dulu operasi-operasi tersebut well defined, artinya :
Ambil sembarang x + I , y + I , x’ + I , y’ + I R/I jika x + I = x’ + I y + I = y’ + I maka adit
(x + I) + (y + I) = (x’ + I) + (y’ + I) dan (x + I) (y + I) = (x’ + I) (y’ + I) Bukti :
Ambil x + I = x’ + I y + I = y’ + I
Karena I ideal maka x – x’, y – y’ I (kenapa???) , Sehingga :
(x – x’) + (y – y’) I (x + y) – (x’+ y’) I
(x + y) + I = (x’+ y’) + I
(x + I) + (y + I) = (x’+ I) + (y’ + I)
(x – x’)y, x’(y – y’) I, x’, y R xy – x’y, x’y – x’y’ I
(xy – x’y) + (x’y – x’y’) I
xy – x’y’ I
xy + I = x’y’+ I
(x + I) (y + I) = (x’ + I) (y’ + I)
Terbukti bahwa operasi penjumlahan dan pergandaan pada R/I tersebut well defined.
Selanjutnya ditunjukkan bahwa R/I adalah ring, sebagai berikut : 1. Adit (R/I, +) grup komutatif
a. Tertutup
ambil sebarang a + I, b + I R/I maka a, b R dan a + b R (kenapa???) ,
sehingga (a + I) + (b + I) = (a + b) + I R/I
b. Assosiatif
Ambil sebarang a + I, b + I, c + I R/I
maka a, b, c R, dan (a + b) + c = a + (b + c) (kenapa???)
diperoleh
= [(a+b)+I] + (c+I) = [ (a+b)+c ] + I = [ a+(b+c) ] + I
= (a+I) + [ (b+I) + (c+I) ]
c. Ada elemen netral
Ambil e0 + I = I R/I dengan e0 elemen netral dalam R,
maka e0 + I = I adalah elemen netral dalam R/I, sebab:
(a + I) + I = a + I dan I + (a + I) = a + I untuk (a + I) R/I
d. Setiap elemen dalam R/I mempunyai invers
a + I R/I maka a, -a R maka -a + a = a + (-a) = e0 R,
dan –a + I R/I, sehingga (-a + I)+(a + I) = (-a + a)+I = e0 + I = I dan (a + I)+(-a
+ I) = (a + (-a))+I = e0 + I = I
Jadi (-a + I) adalah invers dari (a + I)
e. Kommutatif
(a + I), (b + I) R/I maka a, b R dan a + b = b + a R sehingga (b + a) + I R/I dan berlaku :
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I = (b + a) + I = (b + I) + (a + I)
2. (R/I, . ) tertutup dan asosiatif a. Tertutup
Ambil sebarang (a + I), (b + I) R/I maka a, b R dan ab R, sehingga (a + I) (b
+ I) = ab + I R/I
b. assosiatif
(a.b).c = a.(b.c) (kenapa???)
[(a + I).(b + I)].(c + I) = [( a.b) + I ].(c + I) = [(a.b).c] + I = [a.(b.c)] + I
= (a + I). [(b + I). (c + I)]
3. (R/I, + , . ) distributif
Ambil sebarang a + I, b + I, c + I R/I maka a, b, c R, dengan (a + b). c =
a.c + b.c dan a.(b + c) = a.b + a.c
[ (a + I) + (b + I) ] .(c + I) = [(a + b) + I].(c + I) = [(a + b).c] + I
= [a.c + b.c)] + I = (a.c + I) + (b.c + I)
= (a + I).(c + I) + (b + I).(c + I)]
(a + I). [(b + I) + (c + I)] = [(a + I). [(b + c) + I] = [a .(b + c)] + I = [a.b + a.c)] + I = (a.b + I) + (a.c + I)
= (a + I).(b + I) + (a + I).(c + I)]
Dari 1, 2, dan 3 terbukti bahwa R/I adalah ring , dan selanjutnya disebut ring faktor (qoutient rings).
R/I terdiri dari koset-koset kiri (kanan) dari ideal I dalam R.
Dari pembuktian di atas, tampak bahwa setiap ideal dari suatu ring R pastilah membentuk ring faktor R/I.
Definisi :
Misalkan I ideal dari suatu ring R, maka R/I = { r + I | r R } merupakan suatu ring yang disebut ring faktor (qoutient rings) terhadap opersi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan sebagai berikut:
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I (a + I)(b + I) = ab + I Contoh :
Z12 = {0, 1, 2, 3, …, 11} adalah ring dari bilangan-bilangan bulat modulo 12.
IDEAL RING FAKTOR
P = { 0, 6 } Z12 / P = { P, {1,7}, {2,8}, {3,9}, {4,10}, {5,11} }
Q = { 0, 4, 8 } Z12 / Q = {Q, {1,5,9}, {2,6,10}, {3,7,11}}
R = { 0, 3, 6, 9 } Z12 / R = {R,{1,4,7,10}, {2,5,8,11}}
S = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } Z12 / S = {S, {1,3,5,7,9,11}}
TUGAS MANDIRI:
BAB V
HOMOMORFISMA DAN SIFAT-SIFATNYA
Ingat kembali pendefinisian homomorfisme pada teori grup. Homomorfisme pada teori ring mempunyai kemiripan struktur seperti pada teori grup. Coba identifikasi yaa !!!
Definisi 1 :
Misalnya diberikan ring R dan R’.
Pemetaan f : R R’ disebut homomorfisma dari R ke R’ jika
a, b R berlaku :
1. f(a + b) = f(a) + f(b) 2. f(a.b) = f(a) . f(b)
Operasi pada R Operasi pada R’
Homomorfisma merupakan fungsi yang mempertahankan operasi yang disajikan dengan skema berikut :
R f R’ atau R f R’
a a’ a f(a)
a + b a’ + b’ a + b f(a) + f(b)
a . b a’ . b’ a . b f(a) .
f(b)
Catatan :
1. Operasi pada R dan R’ TIDAK HARUS sama, baik penjumlahan maupun pergandaannya.
2. Operasi pada R dan R’ sering kali tidak dinyatakan.
3. Untuk membuktikan homomorfisma, haruslah dibuktikan dulu suatu fungsi, jika belum diketahui fungsi.
(f : R R’ disebut Pemetaan atau fungsi jika
(a, b R) , a = b f(a) = f(b) )
Example 1 :
Jika Z dan Q berturut-turut ring dari bilangan bulat dan ring dari bilangan rasional terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan biasa.
Didefinisikan pengaitan f dari ring Z ke Q, sebagai berikut : aZ, f(a) = 2a,
maka apakah g adalah suatu homomorfisma?
a) f fungsi yakni (a, b Z), a = b f(a) = f(b)
Ambil sebarang a,b Z, dengan a = b
2a = 2b ... (sifat pada Z)
f(a) = f(b) ...( definisi f )
b) f bukan homomorfisma, karena tidak berlaku x, yZ, f(xy) = 2xy
≠ (2x)(2y) = f(x) f(y)
f((-3)5) = f (-15) = 2(-15) = 30 ≠ f (-3) f (5) = (-6)10 = 60
Example 2 :
Diberikan pengaitan h dari Z ke Zn (ring dari bilangan bulat modulo n).
xZ, h(x) = r = sisa x/n, artinya x = kn + r atau r = x – kn , untuk suatu k Z dan 0 r < n. Buktikan bahwa h homomorfisma
Bukti :
a. h merupakan fungsi : bukti sebagai latihan mahasiswa b. h homomorfisma :
x, yZ maka x = pn + r dan y = qn + s, untuk suatu p, q Z. Ini berarti bahwa
h(x) = r, h(y) = s Zn, dimana 0 r< n dan 0s<n, maka r+s, rs Zn.
Diketahui bahwa r, s, r+s, rs Z, sehingga t, uZ berlaku
r + s = tn + v dan rs = un + w, dengan 0 v < n dan 0w<n.
(r, s Zn maka r+s = v, rs = w Zn)
i. x + y = (pn + r) + (qn + s) ii. xy = (pn + r)(qn + s) = (p+q)n + (r+s) = (pqn)n + (ps)n + (qr)n + rs
= (p+q)n + tn +v = [(pqn)+(ps)+(qr)]n+un + w
= (p+q+t)n + v = [(pqn)+(ps)+(qr)+u]n + w
= p*n + v = q*n + w
Tampak dari i, bahwa h(x+y) = v = r+s = h(x)+h(y)
dari ii, diperoleh h(xy) = w = rs = h(x).h(y)
Jadi h adalah homomorfisma
A. Monomorfisma, Epimorfisma dan Isomorfisma
Sebelum membahas materi ini, perlu diingatkan kembali beberapa hal yang berkaitan dengan pemetaan (fungsi), yaitu:
a. Fungsi f : G G’ disebut onto/pada/surjektif jika f(G) = G’ atau dengan kata lain : (a’ G’)(a G) , sehingga a’ = f(a).
b. Fungsi f disebut injektif (1–1) jika (a, b G) f(a) = f(b) a = b
c. Fungsi f disebut bijektif (korespondensi 1–1) jika f injektif dan surjektif
Mahasiswa akan kesulitan memahami materi isomorfisma tanpa faham definisi 2 di atas (Buka kembali Logika Matematika dan Himpunan )
Definisi 3 :
1. Suatu homomorfisma dari R ke R’ yang injektif (1-1) disebut monomorfisma. 2. Suatu homomorfisma dari R ke R’ yang surjektif (pada/onto) disebut
epimorfisma.
3. Suatu homomorfisma dari R ke R’ yang bijektif (injektif dan surjektif) disebut isomorfisma.
4. Suatu homomorfisma dari R ke R’ dengan R = R’ disebut endomorfisma (suatu homomorfisma dari suatu ring R ke ring R itu sendiri)
5. Endomorfisma yang bijektif disebut automorfisma.
6. Jika terdapat suatu homomorfisma dari R ke R’ maka dikatakan R dan R’ homomorfik
7. Jika terdapat suatu isomorfisma dari R ke R’ maka dikatakan R dan R’ isomorfik, dinotasikan R ~ R’
B. SIFAT-SIFAT HOMOMORFISMA Teorema 1 :
Misalkan f homomorfisma dari R ke R’ maka :
1. f(e0) = e0’, dengan e0 dan e0’ berturutan adalah elemen netral dalam R dan
R’.
2. f(- a) = - f(a) , untuk a R
Diketahui f adalah homomorfisma dari R ke R’
1. Elemen netral dalam R adalah e0 maka x R
berlaku x+ e0 = e0+x = x, sehingga:
f(x+ e0) = f(x) atau f(e0+x) = f(x) f fungsi
f(x)+f(e0) = f(x) f(e0)+f(x) = f(x) f homomorfisma
-f(x)+f(x)+f(e0) = -f(x)+f(x) f(e0)+f(x)-f(x) = f(x)+(-f(x))
f(e0) = e0’ f(e0) = e0’
2. Dari Teorema 1 bag 1, di atas f(e0) = e0’ =
f(x)+(-f(x)) = -f(x)+f(x)untuk x R dan x+(-x) = e0 = -x+x sehingga
f(e0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)= e0’, dan f(e0) = f(-x+x) = f(-x)+f(x) = e0’.
Sehingga diperoleh :
f(x)+f(-x) = f(x)-f(x)dan f(-x)+f(x)= -f(x)+f(x) dengan sifat kanselasi pada R’, diperoleh f(-x) = -f(x).
Definisi 2 :
Misalkan f homomorfisma dari R ke R’ maka :
1. Himpunan semua peta (bayangan) anggota dari R dalam R’ oleh f ditulis f(R) atau Im(f) didefinisikan,
Im(f) = { x’ R’ | x’ = f(x) untuk suatu x R }
2. Kernel f dinotasikan dan didefinisikan sebagai Ker(f) = { x R | f(x) = e0’, e0’ elemen netral dalam R’ }
Example 3 :
(Q,+,*) adalah ring bilangan rasional dengan operasi penjumlahan biasa dan perkalian * yang didefinisikan, x, yQ, x*y = xy/2. (coba tunjukkan dulu yaa !!! )
f : Z Q adalah HOMOMORFISME RING ( coba tunjukkan dulu yaa !!! ) yang didefinisikan dengan :
aZ, f(a) = 2a
Tentukan Ker(f) dan Im(f) !
Jawab :
Ker f = {x Z | f(x) = 0} = {x Z | 2x = 0} = {x Z | x = 0} = {0}
Im f = {y Q | f(a) = y, a Z} = {y Q | 2a = y, a Z}
= {y = 2a Q | a Z} = 2Z
Teorema 2 :
Misalkan f homomorfisma dari R ke R’ maka :
a. Im(f) subring dari R’ b. Ker(f) ideal dari R
c. Ker f = {0} f monomorfisma
