3
Bab 2
Daerah Euclid
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai daerah Euclid beserta struktur lain yang terkait dengannya. Beberapa struktur aljabar tersebut selanjutnya akan digunakan untuk melihat struktur gelanggang polinom.
2.1 Struktur Daerah Euclid
Keberadaan suatu fungsi bernilai bulat tak negatif yang memungkinkan berlakunya algoritma pembagian di suatu daerah integral memunculkan suatu definisi daerah Euclid.
Definisi 2.1.1 Suatu daerah integral D disebut daerah Euclid atau Euclidean domain (ED) jika terdapat suatu fungsi sehingga
(i) untuk semua berlaku ,
(ii) untuk semua dengan terdapat dengan
sehingga atau .
Contoh 2.1.2 Berikut contoh-contoh daerah Euclid.
a. Himpunan bilangan bulat beserta fungsi dengan .
b. Himpunan bilangan bulat Gauss (Gaussian integers) dengan bentuk beserta suatu fungsi dengan
(Rujukan Durbin [2000], Section 37).
4
Pengkajian struktur daerah Euclid dibatasi pada kaitan daerah Euclid dengan dua struktur aljabar lain yaitu daerah ideal utama dan daerah faktorisasi tunggal. Berikut definisi dan contoh dari kedua struktur aljabar tersebut.
Definisi 2.1.3 Daerah integral D disebut daerah ideal utama atau principal ideal domain (PID) jika setiap ideal pada D merupakan ideal utama (ideal yang dibangun oleh satu unsur).
Contoh 2.1.4 Himpunan bilangan bulat juga merupakan suatu daerah ideal utama karena setiap ideal pada dapat dibangun oleh satu unsur.
Definisi 2.1.5 Suatu daerah integral D disebut daerah faktorisasi tunggal atau Unique Factorization Domain (UFD) jika memenuhi
(i) jika dan bukan unit, maka dapat ditulis sebagai perkalian sejumlah hingga unsur-unsur tak terurai di D, yaitu dengan
unsur-unsur tak terurai ( ) dan unit di D,
(ii) jika dan dengan masing-masing dan
unsur-unsur tak terurai, unit di D, maka dan untuk suatu
dan .
Contoh 2.1.6 Gelanggang bilangan bulat merupakan suatu daerah faktorisasi tunggal. Pernyataan ini sesuai dengan Teorema Dasar Aritmatika (The Fundamental Theorem of Arithmetic) yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih dari 1 dapat ditulis sebagai hasiil kali bilangan prima secara tunggal. Teorema ini dapat dilihat pada rujukan Durbin (2000), Section 13.
Ketiga struktur aljabar di atas merupakan struktur atau kelas khusus dari daerah integral. Ketiganya berbeda, namun memiliki hubungan yang cukup dinilai penting dalam pengkajian ini.
5
Berikut dua buah teorema yang menyatakan hubungan antara daerah Euclid, daerah ideal utama, dan daerah faktorisasi tunggal.
Teorema 2.1.7 Jika D suatu daerah integral yang merupakan daerah Euclid maka D daerah ideal utama.
Bukti
Misalkan D daerah integral yang merupakan daerah Euclid dan misalkan I suatu ideal di D. Akan ditunjukkan bahwa setiap ideal di D merupakan ideal utama. Untuk jelas I dibangun oleh unsur , sehingga
Misalkan . Karena D merupakan daerah Euclid, maka terdapat
pemetaan sehingga adalah
himpunan tak hampa yang memuat bilangan nonnegatif. Perhatikan bahwa A tak hampa karena terdapat sehingga Karena
yang tak hampa, maka A memilki nilai minimum misalnya . Artinya, untuk
setiap berlaku . Selanjutnya, pilih sehingga
, maka untuk setiap berlaku . Ambil
sehingga menurut definisi daerah Euclid terdapat yang memenuhi
, dengan . Diketahui bahwa (karena
). Karena untuk setiap , maka
untuk setiap . Andaikan maka
, kontradiksi dengan . Dengan demikian, haruslah . Diperoleh . Maka Sedangkan , karena Jadi,
Akibatnya, D merupakan daerah ideal utama.
Perlu dicatat bahwa kebalikan teorema ini tidak berlaku. Tidak setiap daerah ideal utama merupakan daerah Euclid. Contohnya, himpunan bilangan
kompleks dengan merupakan suatu
daerah ideal utama namun bukan daerah Euclid (non-Euclidean PID).
Pembuktian dari contoh ini dapat dilihat pada rujukan Iwanto (2011) halaman 14.
6
Teorema 2.1.8 Setiap daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi tunggal.
Bukti
Misalkan R suatu daerah integral yang merupakan daerah ideal utama. Akan ditunjukkan bahwa R merupakan daerah faktorisasi tunggal.
i) Pertama, akan ditunjukkan bahwa sebarang unsur tak nol dan bukan unit di R dapat dinyatakan sebagai perkalian sejumlah hingga unsur tak terurai.
Misalkan, adalah unsur tak nol dan bukan unit di R. Jika tak terurai, maka selesai. Misalkan komposit (terurai) sehingga terdapat dan di R dengan dan bukan unit yang memenuhi . Artinya,
dan sebab . Jika maka
artinya haruslah unit, kontradiksi.
Jika dan tak terurai, selesai. Namun jika tidak, misalkan komposit (sama halnya jika komposit), sehingga ada dan di R yang bukan
unit dan memenuhi sehingga dan dan
seterusnya sehingga jika merupakan hasilkali sejumlah tak hingga
unsur lain, maka diperoleh dan untuk
setiap Selanjutnya, misalkan . Ambil sebarang , maka terdapat dan , sedemikian sehingga dan . Tanpa mengurangi keumuman misalkan ,
maka sehingga dan . Untuk dan
berlaku dan . Perhatikan bahwa , maka
dan . Jadi, ideal di R.
Karena R merupakan daerah ideal utama maka terdapat sehingga . Karena, , maka untuk suatu . Jadi,
. Diperoleh, . Padahal, . Diperoleh
kontradiksi. Maka haruslah ada sehingga untuk setiap . Jadi, unsur sebarang dapat dinyatakan sebagai hasil kali sejumlah hingga unsur tak terurai.
7
ii) Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa penulisan unsur tak nol dan bukan unit di R sebagai perkalian sejumlah hingga unsur tak terurai adalah tunggal.
Ambil . Misalkan dengan
dan adalah unsur-unsur tak terurai di R serta u dan v adalah unit di R. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan . Perhatikan bahwa , hal ini berarti . Akibatnya, untuk suatu . Misalkan . Karena tak terurai, maka , dengan
unit. Jadi, diperoleh . Andaikan .
Karena R komutatif, dengan mengulangi proses, akan diperoleh
Karena haruslah
Persamaan terakhir menimbulksn kontradiksi karena tidak mungkin unsur-unsur tak terurai membagi 1. Dengan demikian pengandaian di atas salah dan haruslah .
Selanjutnya, untuk setiap terdapat sehingga atau , dengan unit. Jadi, ( dan sekawan/
associated).
Seperti juga teorema sebelumnya, Teorema 2.1.8 ini pun tidak berlaku sebaliknya. Tidak semua daerah faktorisasi tunggal merupakan daerah ideal
utama. Contohnya, yaitu
gelanggang polinom atas bilangan bulat. Himpunan polinom dengan konstanta genap membentuk ideal di namun bukan merupakan ideal utama. Contoh ini dapat dilihat di rujukan Durbin (2000), Section 41.
8
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa daerah Euclid merupakan daerah ideal utama dan juga merupakan daerah faktorisasi tunggal. Hal ini dapat digambarkan dalam bagan berikut.
2.2 Gelanggang Polinom atas Lapangan sebagai Daerah Euclid
Berikut akan diuraikan mengenai gelanggang polinom dan kaitannya dengan struktur aljabar yang telah dijelaskan pada Subbab 2.1.
Definisi 2.2.1 Misalkan R suatu gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan (untuk selanjutnya gelanggang R selalu dimaksudkan bersifat komutatif juga dengan unsur kesatuan kecuali jika disebut lain). Polinom
dalam atas R berbentuk dengan
. Dengan definisi ini dapat dikatakan sebagai variabel tak diketahui dan R sebagai gelanggang koefisien dari polinom tersebut. Jika
maka adalah derajat polinom dan disebut koefisien utama (leading coefficient).
Polinom-polinom tersebut dihimpun dalam suatu gelanggang polinom
Contoh 2.2.2
adalah gelanggang polinom atas bilangan bulat, yaitu himpunan polinom
berbentuk dengan masing-masing
bilangan bulat.
Daerah Euclid Daerah Ideal Utama
Daerah Faktorisasi Tunggal
9
Contoh di atas merupakan suatu contoh gelanggang polinom atas gelanggang (koefisien-koefisien dari polinom-polinomnya merupakan anggota suatu gelanggang). Namun, jika kita melihat ke ruang yang lebih khusus daripada gelanggang yaitu lapangan, akan ditemukan bahwa suatu gelanggang polinom atas lapangan merupakan suatu daerah Euclid.
Misalkan F suatu lapangan. Kita dapat membentuk suatu gelanggang polinom atas F yang berbentuk:
Karena F adalah suatu lapangan maka F merupakan daerah integral. Berikut pembuktiannya. Ambil sebarang dengan dan akan dibuktikan bahwa atau . Misalkan . Karena F lapangan dan maka terdapat dengan demikian sehingga diperoleh
atau .
Selanjutnya, karena F adalah daerah integral maka merupakan daerah integral. Perhatikan bahwa untuk setiap di dengan
dan
berlaku atau .
Misalkan pemetaan dengan untuk
setiap . Perhatikan bahwa
(i) Untuk setiap dengan
dan
berlaku .
Maka, .
Jadi,
10
(ii) Juga untuk setiap dengan
Untuk , pilih dan , maka berlaku
. Dalam hal ini, jelas .
Untuk , terapkan induksi matematika pada .
Misalkan sifat berlaku untuk . Selanjutnya, akan dibuktikan juga sifat berlaku untuk dengan .
Misalkan dan
, dengan dan . Pandang dua kasus:
a) Jika .
Pilih dan . Diperoleh
dengan .
b) Jika .
Pandang .
Dalam hal ini, .
Menurut hipotesis induksi terdapat dan di yang
memenuhi hubungan dengan
atau .
Diperoleh
Tulis maka .
Dengan uraian di atas terbukti bahwa gelanggang polinom atas suatu lapangan merupakan suatu daerah Euclid yang berarti juga merupakan daerah ideal utama dan daerah faktorisasi tunggal.
