STRUKTUR ALJABAR II
STRUKTUR ALJABAR II
DAERAH FAKTORISASI TUNGGAL
DAERAH FAKTORISASI TUNGGAL
Disusun oleh Disusun oleh Kelompok 2 Kelompok 2
140110140014
140110140014 Tiar Tiar Ferdiana Ferdiana NurpratamaNurpratama 140110140036
140110140036 Hani Hani Siti Siti HanifahHanifah 140110140074
140110140074 Yulian Yulian Zifar Zifar AyustiraAyustira 140110140084
140110140084 Guskenoly Guskenoly FauziyahFauziyah
UNIVERSITAS PADJADJARAN UNIVERSITAS PADJADJARAN
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
JATINANGOR JATINANGOR
2017 2017
Daerah Faktorisasi Tunggal
Definisi 1
Misalkan
daerah integral dan, ∈ .
Apabila terdapat ∈
sehingga
maka dikatakan
membagi
(
faktor dari
) dituliskan|.
Simbol ∤
menyatakan
tidak habis membagi.
Contoh :
Pada daerah integral
ℤ
,3|15
karena terdapat5 ∈
ℤ
sehingga15 3.5.
Tetapi4 ∤ 14
karena untuk setiap ∈
ℤ
, 4 ≠ 14.
Pada daerah integralℤ
,
4|14
karena terdapat3
∈
ℤ
sehingga14 4.3
.
Pada definisi sebelumnya telah dinyatakan bahwa suatu elemen
dalam ring
dinamakan unit apabila terdapat ∈
sehingga 1
. Dengan kata lain,
dinamakan unit apabila|1.
Berikut ini disajikan definisi dari dua elemen yang berasosiasi.Definisi 2
Misalkan
daerah integral dan, ∈ .
dan
dikatakan berasosiasi apabila terdapat unit ∈
sehingga .
Contoh :
Elemen unit pada daerah integral
ℤ
adalah1
dan1
. Dengan demikian setiap ∈
ℤ
berasosiasi dengan
dan– .
Definisi 3
Misalkan
daerah integral, ∈ {0}
dan
bukan unit.
dinamakan elemen tak tereduksi atas
apabila setiap faktorisasi
mengakibatkan
atau
unit. Apabila
dapat difaktorkan menjadi
dengan,
bukan unit maka
dinamakan elemen tereduksi.Contoh :
Pada daerah integral
ℤ
, 13
merupakan elemen tak tereduksi karena faktorisasi dari13
hanyalah13 1.13 13.1 1. 13 13. 1
dengan1
dan1
merupakan elemen unit diℤ
.
Tetapi30
merupakan elemen tereduksi karena30
dapat dinyatakan sebagai30 5.6
dengan5
dan6
bukan unit diℤ.
Definisi 4
Misalkan
daerah integral.
dinamakan daerah faktorisasi tunggal apabila memenuhi :i. Setiap
∈ {0},
bukan unit dapat dinyatakan sebagai hasil kali sejumlah berhingga elemen tak tereduksi.ii. Jika
,
,
, … ,
dan
,
,
, … ,
dua macam faktorisasi dari suatu elemen ∈
dengan
,
elemen tak tereduksi maka
dan apabila perlu dengan mengubah urutan, diperoleh
berasosiasi dengan
.
Contoh 1 :
ℤ
merupakan daerah faktorisasi tunggal. Bukti:1. Ambil
≠ 0 ∈ ℤ
sebarang dengan
bukan unitBerdasarkan teorema dasar aritmatika, yang menyatakan bahwa setiap
> 1
,x ∏
=
secara tunggal, dimana
∈ ℤ
merupakan bilangan prima.Berdasarkan teorema, maka
adalah elemen tak tereduksi 2. Ambil ≠ 0 ∈ ℤ
sebarang dengan
bukan unit Misal terdapat dua faktorisasi dari
yaitu:x
…
danx
…
dimana
dan
elemen tak tereduksiBerdasarkan teorema dasar aritmatika maka faktorisasi dapat dilakukan dengan cara tunggal, maka
dengan merapihkan urutan dari faktor yang diperoleh, kita dapat menentukan bahwa
dan
berasosiasi
.Contoh 2 :
Pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa
ℤ
merupakan daerah faktorisasi tunggal. Di dalamℤ
berlaku48 2.2.2.3.2 2. 2. 2. 3. 2
. Jelas bahwa2
berasosiasi dengan2
dan3
berasosiasi dengan3
.Contoh 3 :
(√ 11) √ 11
, dengan, ∈
bukan merupakan daerah faktorisasi tunggal.Bukti
Misalkan ambil
12 ∈ √ 11
maka diperoleh12 43
namun juga12 1 √ 111 √ 11
Dengan unitnya adalah
1
dan1
maka4,3,1 √ 11,1 √ 11
tidak berasosiasi.Pembahasan selanjutnya akan ditunjukkan bahwa setiap daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi tunggal. Untuk menunjukkan hal tersebut diperlukan beberapa sifat sebagai pendukung.
Teorema 1A
Misalkan
daerah ideal utama.Jika
⊂
⊂ ⋯
merupakan rangkaian naik dari ideal-ideal
di
maka ⋃
ideal dari D.
Bukti :
Misalkan
⊂
⊂ ⋯
rangkaian naik dari ideal-ideal
di
. Bentuk ⋃
(i) Ambil sembarang
, ∈
Maka terdapat
dan
sehingga ∈
dan ∈
Karena
⊂
⊂ ⋯
rangkaian naik maka
⊂
atau
⊂
Misalkan
⊂
Maka
, ∈
Karena
ideal maka , ∈
Jadi , ∈ .
(ii) Ambil sembarang
∈
dan ∈
Karena
∈
maka ∈
untuk suatu ∈
+ Karena
ideal maka, ∈
Jadi
, ∈ .
Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa
ideal diD.
Teorema 1BMisalkan
daerah ideal utama. Jika
⊂
⊂ ⋯
merupakan rangkaian naik ideal-ideal di D maka terdapat bilangan bulat positif
sehingga
untuk semua ≥
.Bukti :
Dari Teorema sebelumnya, didapat
ideal di
dimana
merupakan daerah ideal utama.Karena
daerah ideal utama maka 〈〉
untuk suatu ∈ .
Karena ⋃
maka ∈
untuk suatu ∈
+.
Untuk
≥
diperoleh〈〉 ⊂
⊂
⊂ 〈〉.
Sehingga haruslah
.
Jadi, terbukti bahwa terdapat
∈
+ sehingga
untuk semua ≥
. Teorema 2i.
〈〉 ⊂ 〈〉
jika dan hanya jika|
ii.
〈〉 〈〉
jika dan hanya jika
dan
berasosiasi Bukti :i.
[⇒]
Dik :〈〉 ⊂ 〈〉
Adt :|
〈〉 ⊂ 〈〉
artinya ,∃ ∈ ℝ
Berdasarkan definisi, maka|
.[⇐]
Dik :|
Adt :〈〉 ⊂ 〈〉
|
artinya∃ ∈ ℝ
sehingga .
Ambil ∈ 〈〉 { | ∈ ℝ}
Maka ,∃ ∈ ℝ.
Diperoleh , ∃ ∈ ℝ
. Sehingga ∈ 〈〉
.∀ ∈ 〈〉
berlaku ∈ 〈〉
maka〈〉 ⊂ 〈〉.
ii.[⇒]
Dik :
daerah integrala,b ∈
〈a〉 〈b〉
Adb :
a dan b
berasosiasi Bukti :Diketahui bahwa
〈a〉 〈b〉
, artinya〈a〉 ⊆ 〈b〉
dan〈b〉 ⊆ 〈a〉
Berdasarkan teorema 2i, maka:〈b〉 ⊆ 〈a〉 ↔ a|b
a|b
artinyab a
dan
b|a a
rtinyaa b
dengan, ∈
Substitusikanb a
kea b
a b a a
Karena
a
dikatakan berasosiasi denganb
jika∃
unit∈
, sehinggaa b
Maka,
a a
dengan
unit∈
Sehingga 1
Karena
,
adalah unit, maka a dan b berasosiasi (a~b
).[⇐]
Dik :
daerah integrala,b ∈
dan b
berasosiasi (a~b
). Adb :〈a〉 〈b〉
Bukti :
Diketahui bahwa
a~b
, artinya∃
elemen unit ∈ ∋ a b
Dengan demikian, berakibat
b|a
dan〈a〉 ⊆ 〈b〉
Karenab|a
artinyaa b
Maka
b
−a
.Karena
b
−a
maka,a|b
dan〈b〉 ⊆ 〈a〉
maka〈a〉 〈b〉
〈a〉 〈b〉
Berdasarkan
[→]
dan[←]
maka〈a〉 〈b〉
jika dan hanya jikaa
danb
berasosiasi.Teorema 3
Misalkan
daerah ideal utama. Jika ∈ {0}
,
bukan unit maka
dapat dinyatakan sebagai hasil kali elemen-elemen tak tereduksi.Bukti :
Ambil
∈ {0}
sembarang,
bukan unit. Klaim :
mempunyai faktor elemen tak tereduksi.Bukti klaim :
Jika
tak tereduksi maka bukti klaim selesai. Misalkan
tereduksi.Maka
untuk suatu
,
∈
dan keduanya bukan unit. Berdasarkan teorema 2 diperoleh〈〉 ⊂ 〈
〉
.Jika
〈〉 〈
〉
maka
dan
berasosiasi sehingga
unit. Bertentangan dengan
bukan unit.Jadi
〈〉 ≠ 〈
〉
.Jadi
tak tereduksi maka bukti klaim selesai.Misalkan
tereduksiMaka
untuk suatu
,
∈
dan keduanya bukan unit Berdasarkan teorema 2 diperoleh〈
〉 ⊂ 〈
〉, 〈
〉 ≠ 〈
〉
.Apabila proses ini dilanjutkan maka diperoleh rangkaian naik ideal-ideal di
yaitu〈〉 ⊂ 〈
〉 ⊂ 〈
〉 ⊂ ⋯
.Berdasarkan teorema 1 haruslah terdapat
∈
ℤ
+ sehingga〈
〉 〈
〉
untuk setiap ≥
.Hal ini menunjukkan bahwa
merupakan elemen tak tereduksi. Jadi klaim terbukti, yaitu
mempunyai faktor elemen tak tereduksi.Jika
tak tereduksi maka bukti selesai Misalkan
tereduksiBerdasarkan klaim
mempunyai faktor elemen tak tereduksiMisalkan
dengan
elemen tak tereduksi dan
bukan unit. Akibatnya〈〉 ⊂ 〈
〉
dengan〈〉 ≠ 〈
〉.
Jika
tak tereduksi maka bukti selesai. Misalkan
tereduksi.Maka
dengan
elemen tak tereduksi dan
bukan unit.Apabila langkah ini diteruskan maka diperoleh rangkaian naik ideal-ideal di
yaitu〈〉 ⊂ 〈
〉 ⊂ 〈
〉 ⊂ ⋯
.Berdasarkan teorema 1 terdapat
∈
ℤ
+ sehingga
dengan
elemen tak tereduksi.Jadi
…
dengan
dan
elemen-elemen tak tereduksi.Teorema 3 menunjukkan bahwa syarat pertama dari daerah faktorisasi tunggal telah terpenuhi dalam daerah ideal utama. Kajian selanjutnya adalah menunjukkan bahwa syarat kedua juga dipenuhi. Untuk itu diperlukan kajian beberapa sifat berikut :
Teorema 4
Misalkan
daerah integral dan ∈ . 〈〉
merupakan ideal maksimal jika dan hanya jika
elemen tak tereduksi.Teorema 5
Misalkan
daerah ideal utama dan,, ∈ .
Jika
tak tereduksi dan|
maka|
atau|
.Bukti :
Misalkan
elemen tak tereduksi dan|
. Karena|
maka
untuk suatu ∈
. Akibatnya ∈ 〈〉
.Akibatnya
∈ 〈〉
atau ∈ 〈〉
.Dengan demikian
atau
untuk suatu
,
∈
. Jadi|
atau|
.Berdasarkan Teorema 5, menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan akibat berikut:
Akibat Teorema 5
Misalkan D daerah ideal utama dan
∈
elemen tak tereduksi. Jika|
…
dengan
∈
maka|
untuk paling sedikit sutu nilai
. Definisi 5Misalkan D daerah integral dan
∈
-{0}
,
bukan unit.
dinamakan elemen prima apabila|
maka|
atau|
.Contoh :
5
merupakan elemen prima dalam daerah integralℤ
karena apabila, ∈
ℤ
dan5|
maka5|
atau5|
.Teorema 6
Setiap daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi tunggal. Bukti:
Berdasarkan Teorema 3, syarat pertama dari daerah faktorisasi tunggal telah dipenuhi. Untuk menunjukkan daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi tunggal, cukup ditunjukkan bahwa syarat kedua dipenuhi, yaitu faktorisasi dalam daerah ideal utama tunggal.
Ambil sebarang
∈
-{0}
,
bukan unit.Misalkan
dapat difaktorkan menjadi
…
dan
…
dengan
,
elemen tak tereduksi.Akibatnya
|
untuk suatu ∈
ℤ
+.
Apabila perlu dengan mengubah urutan, maka dapat diasumsikan
1,
sehingga
|
.Akibatnya
untuk suatu
∈
. Karena
tak tereduksi maka
unit. Dengan demikian
dan
berasosiasi. Diperoleh
…
…
.Berdasarkan hukum kanselasi di
diperoleh
…
…
.Apabila proses tersebut dilanjutkan maka diperoleh
1
…
+…
. Karena
tak tereduksi maka haruslah
, dan karena
unit di
maka
berasosiasi dengan
.Dengan demikian terbukti bahwa daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi tunggal.
Teorema 7 :
DAFTAR PUSTAKA
D. S. Malik, John N. Mordeson, M.K. Sen. Introduction to Abstract Algebra. Creighton University, Calcutta University. 2007.
Gallian, Joseph A. Contemporary Abstract Algebra. University of Minnesota Duluth. 2010.
Herstein, I.N . Abstract Algebra. University of Chicago.1995.
Herstein, I.N. Topics in Algebra 2nd Edition. University of Chicago. 1996.
