ANALISIS KUALITATIF GEJALA CHAOS PADA GERAK PENDULUM SEDERHANA NONLINIER TEREDAM DAN TERKENDALI
SKRIPSI
SITI UTARI RAHAYU 060801030
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ANALISIS KUALITATIF GEJALA CHAOS PADA GERAK PENDULUM SEDERHANA NONLINIER TEREDAM DAN TERKENDALI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
SITI UTARI RAHAYU 060801030
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2010
PERSETUJUAN
Judul : ANALISIS KUALITATIF GEJALA CHAOS PADA
GERAK PENDULUM SEDERHANA NONLINIER TEREDAM DAN TERKENDALI
Kategori : SKRIPSI
Nama : SITI UTARI RAHAYU
NIM : 060801030
Program Study : SARJANA (S1) FISIKA Departemen : FISIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, 04 Desember 2010
Diketahui/disetujui oleh
Departemen Fisika FMIPA USU
Ketua, Pembimbing,
Dr. Marhaposan Situmorang Dr. Mester Sitepu, M.Sc, M.Phil NIP: 195510301980031003 NIP: 195503161982031002
PERNYATAAN
ANALISIS KUALITATIF GEJALA CHAOS PADA GERAK PENDULUM SEDERHANA NONLINIER TEREDAM DAN TERKENDALI
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya
Medan, 04 Desember 2010
SITI UTARI RAHAYU 060801030
PENGHARGAAN
Puji dan Syukur penulis persembahkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan kasih sayang serta karunia-Nya kepada penulis hingga skripsi yang berjudul:
“Analisis Kualitatif Gejala Chaos Pada Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam dan Terkendali” berhasil diselesaikan dengan baik dan tepat pada waktu yang telah ditetapkan. Shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sebagai suri teladan terbaik di muka bumi.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Dr. Mester Sitepu, M.Sc, M.Phil, selaku pembimbing yang telah memberikan panduan, bantuan, serta segenap perhatian dan dorongan kepada penulis dalam menyempurnakan skripsi ini. Paduan ringkas dan padat serta profesional telah diberikan kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terimakasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Fisika Dr. Marhaposan Situmorang dan Dra.Justinon, M.Si, serta Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas MIPA USU. Ucapan terimakasih jugadiberikan kepada Dr. Kerista Tarigan, M.Eng.Sc, Drs. Takdir Tamba, M.Eng.Sc, dan Drs. Luhut Sihombing, MS, selaku dosen pembanding yang telah banyak memberikan saran dan masukan dalam penyempurnaan skripsi ini. Kemudian ucapan terimakasih kepada Bapak Drs. Setia Sembiring selaku dosen wali yang telah memperhatikan kemajuan studi penulis, serta Bapak dan Ibu Staf Pengajar Departemen Fisika FMIPA USU terima kasih atas ilmu yang diberikan selama ini, semoga menjadi ilmu yang bermanfaat, dan tak lupa pula kepada seluruh staff pegawai pada departemen Fisika FMIPA USU.
Ucapan terimakasih terbesar penulis sampaikan kepada Ibunda tercinta Siti Maryam atas segala cinta kasih dan do’a yang selalu dihadiahkan kepada penulis tanpa henti, juga tak lupa kepada saudara terbaik penulis Edi Sucipto yang selalu memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Tak lupa pula terimakasih kepada sahabat-sahabat terbaik penulis Vika, Tika, Kak Aisyah, Kak Dewi, Kak Lili, Kak Novi, Ulan (Terima kasih atas pinjaman buku-bukunya), Winda, Dian, Farida, Nova, Muti, Linda, Yuni, Fuji, Mutia, Laila, Gina, Imah, Diah, Kata, Mey, Derlina, Heber, Trisno, Kiki, Eva dan semua rekan-rekan fisika angkatan 2006, abang kakak senior dan juga adik-adik junior departemen Fisika. Tak lupa pula terima kasih kepada saudara-saudara seperjuangan di UKMI AL-FALAK FMIPA USU. Semoga Allah SWT akan membalasnya.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Akhir kata, sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas apa yang dikehendaki-Nya.
ABSTRAK
Telah dibuat program untuk simulasi dan animasi gerak pendulum sederhana nonlinier teredam dan terkendali dengan perangkat lunak Mathematica versi 6. Persamaan gerak pendulum diperoleh dari analisis gaya-gaya yang bekerja pada sistem. Persamaan diselesaikan secara numerik dengan metode Runge Kutta orde 4. Hasil perhitungan numerik diplot berupa grafik lintasan, diagram ruang fasa, belahan Poincarè dan perbandingan grafik lintasan untuk dua kondisi awal yang berbeda. Keempat grafik ini dipakai untuk menganalisis keadaan sistem yaitu periodik, kuasiperiodik atau chaos secara kualitatif. Animasi dari sistem diberikan untuk memperjelas bagaimana keadaan chaos terjadi pada gerak pendulum sederhana. Dari pengujian program dan eksplorasi terhadap dinamika gerak sistem dapat dikatakan bahwa program ini sudah baik untuk mempelajari karakteristik gejala chaos secara kualitatif.
QUALITATIVE ANALYSIS OF CHAOS BEHAVIOUR ON DAMPED DRIVEN NONLINEAR SIMPLE PENDULUM MOTION
ABSTRACT
A program for dynamics simulation and animation of damped driven nonlinier simple pendulum by using Mathematica version 6 was composed. Equation of motion is derived by analyzing all forces working on the system. The equation is solved by using the fourth-order Runge-Kutta method. The result of numerical integration was plotted in trajectory graphic, phase-space diagram, Poincarè section, and the comparison of trajectories derived by two different initial conditions. All of these graphics are used to observe whether of the system is periodic, quasiperiodic or chaotic by qualitative analysis. Animation of this system is given in order to show chaos case in its motion clearly. From the experiment of this program and the exploration of dynamics in the system, it can be said that this program works well to learn chaos qualitatively.
DAFTAR ISI Halaman Persetujuan ii Pernyataan iii Penghargaan iv Abstrak v Abstract vi
Daftar isi vii
Daftar Tabel ix Daftar Gambar x Bab 1 Pendahuluan 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Tujuan Penelitian 3 1.3 Manfaat Penelitian 3 1.4 Batasan Masalah 4 1.5 Sistematika Penulisan 4 Bab 2 Tinjauan Pustaka 6 2.1 Teori Chaos 6 2.1.1 Studi Chaos Secara Numerik 7
2.1.1.1 Ruang Fasa 9 2.1.1.2 Belahan Poincaré 11 2.1.1.3 Penggandaan Perioda 12
2.1.2 Chaos dan Pengaruhnya Dalam Sains 13
2.2 Pendulum Sederhana 15 2.2.1 Pendulum Sederhana Linier 18 2.2.2 Pendulum Sederhana Nonlinier 20 2.2.3 Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam 22 2.2.4 Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam dan Terkendali 24 2.3 Metode Runge-Kutta 26 Bab 3 Analisis Masalah dan Perancangan Program 29
3.1 Analisis Masalah 29
3.1.1 Persamaan Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam dan Terkendali 29 3.1.2 Penyelesaian dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat 31 3.1.3 Penentuan Ruang Fasa dan Belahan Poincarè 32
3.2 Perancangan Program 33 3.2.1 Perancangan Diagram Alir (Flowchart) 34 3.2.2 Algoritma Program Bantu 39 Bab 4 Hasil dan Pembahasan 42 4.1 Keadaan Periodik 44
4.2 Keadaan Kuasiperiodik 47
4.3 Keadaan Chaos 50
4.4 Perbandingan Keadaan Sistem Untuk Variasi Nilai
Beberapa Parameter 55
Bab 5 Kesimpulan dan Saran 58
5.1 Kesimpulan 58
5.2 Saran 59
Daftar Pustaka 60
Lampiran A: Listing Program Simulasi Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier 61 Lampiran B: Listing Program Animasi Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier 64
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel.4.1. Hasil Pengujian Keadaan Sistem Untuk Variasi Nilai Koefisien
Redaman, q dan Amplitudo Gaya Pengendali Eksternal, a 56 Tabel.4.2. Hasil Pengujian Keadaan Sistem Untuk Variasi Nilai Panjang
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1. Ruang fasa dari rotor dengan kondisi batas periodik. 10
Lintasan fasa bergerak dari kanan ke kiri dan
menghilang pada θ = π dan muncul kembali pada θ =- π.
Gambar 2.2 Ilustrasi Belahan Poincaré. Lintasan fasa Г memotong 12 bidang S ( Dengan x3< 0) pada titik-titik yang berurutan
P0, P1, P2, …. Titik-titik ini merupakan Belahan Poincaré
dari Г pada bidang S.
Gambar 2.3 Gaya-gaya yang bekerja pada pendulum, tegangan tali 16 dan gaya berat, gaya peredam, dan gaya pengendali eksternal.
Gambar 2.4 Grafik θ Vs t untuk θo = π/4 dan L = 0,5 m. 19
Gambar 2.5 Grafik θ Vs θ dari pendulum sederhana merupakan 19 gambar fasa pendulum dengan bentuk elips.
Gambar 2.6 Perbandingan Grafik θ Vs t untuk θo = π/4 dan θo = π/3.5 20
Gambar 2.7 Grafik θ Vs t untuk θo = 0 dan θ = 1.95 rad/s. 21
Gambar 2.8 Grafik θ Vs θ dari pendulum sederhana nonlinier 21 merupakan gambar fasa pendulum nonlinier
Gambar 2.9 Perbandingan Grafik θVs t untuk θo= 1.95 rad/s 22
dan θo = 1.9 rad/s
Gambar 2.10 Grafik θ Vs t untuk kondisi awal θo = 0; q=0.08; θo = 3 rad/s 23
Gambar 2.11 Grafik θ Vs θ untuk pendulum nonlinier teredam dengan 23 orbit yang berpilin menuju satu titik.
Gambar 2.12 Perbandingan Grafik θ Vs t untuk kondisi awal q=0.04 24 dan q=0.081
Gambar 3.1 Diagram Alir Simulasi persamaan gerak pendulum 35 sederhana nonlinier teredam dan terkendali dengan metode
Runge-Kutta Orde 4.
Gambar 3.2. Diagram Alir Animasi persamaan gerak pendulum 37 sederhana nonlinier teredam dan terkendali.
Gambar 4.1 Hasil eksekusi Program “Simulasi Gerak Pendulum 43 Sederhana Nonlinier Teredam Dan Terkendali“ pada
Lampiran A
Gambar 4.2 Hasil eksekusi program “Animasi Gerak Pendulum 44 Sederhana Nonlinier” pada Lampiran B
Gambar 4.3 Grafik θVs t dengan a = 0,3, q = 0,4, Ω2= 1, ΩD= 3 2
Gambar 4.5 Ruang fasa dengan a = 0,3, q = 0,4, Ω2= 1, ΩD= 3
2
46
pada kondisi awal ω0 = 0,8, dan θ0= 0.8.
Gambar 4.6 Belahan Poincarè dengan a = 0,3, q = 0,4, Ω2= 1, 47
D Ω = 3
2
pada kondisi awal ω0 = 0,8, dan θ0= 0.8.
Gambar 4.7 Grafik θVs t dengan a = 1,23, q = 0,4, Ω2
= 1, 48
D Ω =
3 2
pada kondisi awal ω0 = 0,8, dan θ0= 0.8.
Gambar 4.8 Grafik θVs t dengan a = 1,23, q = 0,4, Ω2= 1, 49
D Ω = 3
2
pada dua kondisi awal ω0 = 0,8, dan
θ01= 0.8 dan θ01= 0.81 masih berjalan selaras.
Gambar 4.9 Ruang fasa dengan a = 1,23, q = 0,4, Ω2
= 1, 49
D Ω = 3
2
pada kondisi awal ω0 = 0,8, dan θ0= 0.8.
Gambar 4.10 Belahan Poincarè dengan a = 1,23, q = 0,4, Ω2= 1, 50
D Ω = 3
2
pada kondisi awal ω0 = 0,8, dan θ0= 0.8.
Gambar 4.11 Grafik θVs t dengan a = 1,36, q = 0,4, Ω2= 1, 51
D Ω = 3
2
pada kondisi awal ω0 = 0,8, dan θ0= 0.8.
Gambar 4.12 Grafik θVs t dengan a = 1,36, q = 0,4, Ω2
= 1, 52
D Ω =
3 2
pada dua kondisi awal ω0 = 0,8, dan θ01= 0.8 (Hitam) dan θ01= 0.81 (Hijau).
Gambar 4.13 Ruang fasa dengan a = 1,36, q = 0,4, Ω2= 1, 53 D
Ω =
3 2
pada kondisi awal ω0 = 0,8, dan θ0= 0.8.
Gambar 4.14 Belahan Poincarè dengan a = 1,36, q = 0,4, Ω2= 1, 54
D Ω = 3
2
