Mekanika Bahan Bab 6

(1)

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 51

VI. LENTUR MURNI BALOK

1. Pendahuluan

Pada analisis lentur murni yang dibahas disini, penampang balok adalah prismatis (berpenampang konstan). Momen lentur yang bekerja pada balok berada pada sumbu simetri vertikal balok.

2. Asumsi Dasar

Dikemukakan oleh Bernoulli dan Navier

1. Penampang-penampang sebuah balok yang tegak lurus sumbunya akan tetap merupakan bidang datar setelah terjadi lenturan. Titik pangkal sumbu x,y,z adalah titik berat penampang Sebelum balok dibebani, maka bidang ABCD (berimpit dengan bidang xy) merupakan persegi seperti terlihat pada Gambar 6.1.a dan Gambar 6.1.b.Setelah balok dibebani maka balok akan melengkung, titik A dan titik C saling mendekat, sedangkan titik B dan titik D saling menjauh, dapat dilihat pada Gambar 6.1.c. Dengan demikian serat atas balok mengalami tegangan tekan dan serat bawah balok mengalami tegangan tarik. Batas antara tegangan tekan dengan tegangan tarik disebut garis netral, pada Gambar 6.1.b, garis netral digambarkan oleh sumbu x.

y z x bidang ABCD (a) y A C A C x M M B D B D (b) (c) Gambar 6.1 Sifat Balok dalam Lentur

2. Pada balok yang mengalami lentur, regangan yang terjadi pada penampang berbanding langsung dengan jaraknya ke garis netral.

Perhatikan kembali Gambar 6.1.b dan Gambar 6.1.c, pada AC terjadi regangan sebesar :

(2)

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 52 AC AC AC   

demikian pula pada BD akan terjadi regangan sebesar : BD BD BD   

Semakin dekat ke garis netral maka nilai regangan akan semakin kecil, dan nilai regangan nol pada garis netral, seperti terlihat pada Gambar 6.2.

maks

grs netral

maks

Gambar 6.2 Regangan Pada Penampang Balok

3. Tegangan normal yang diakibatkan oleh lentur berubah secara linier dengan jaraknya ke garis netral.

Sesuai dengan hukum Hooke, nilai tegangan akan berbanding lurus dengan regangan. Dengan demikian semakin dekat ke garis netral nilai tegangan akibat lentur akan semakin kecil dan nol pada garis netral, terlihat pada Gambar 6.3.

(a)

(b)

Gambar 6.3 Distribusi Tegangan Akibat Lentur

Diagram tegangan pada balok yang mengalami lentur merupakan benda tegangan dengan arah tegangan sesuai dengan arah momen yang bekerja, pada momen positip serat atas akan tertekan dan serat bawah akan tertarik seperti terlihat pada Gambar 6.3.a. Namun diagram benda tegangan biasanya digambar seperti pada Gambar 6.3.b.

(3)

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 53

3. Rumus Tegangan Lentur

y - _maks c y_ y M x z dA y garis netral dA -y c _maks c y_ maks

Gambar 6.4 Tegangan Pada Lentur Murni

Tanda negatip pada maks c y_

merupakan serat tekan, dan tanda positip untuk serat tarik, demikian pula halnya dengan nilai y, pada serat tekan bertanda positip dan pada serat tarik bertanda negatip.

Gaya = Tegangan x Luas penampang Tegangan = - _maks

c y_

(dapat juga diambil tanda positip) Luas penampang = dA

Maka gaya = - _maks

c y_ dA  Fx = 0



  A maksdA c y 0 . 



  A maks ydA c 0 



  A A y

ydA 0 yadalah ordinat titik berat Karena A tidak nol maka yharus nol.

Dengan demikian maka garis netral harus melalui titik berat penampang.

 M = 0 Mluar = Mdalam M =



      A maks dAy c y .  M = 



A maks dA y c 2 

(4)

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 54 M = x maks I c   x maks I c M.   

Tanda negatip dapat dihilangkan dan disesuaikan saja dengan tanda momen yang bekerja. Apabila momen yang bekerja positip maka serat bawah tertarik, tegangan nya diberi tanda positip, dan serat atas tertekan, tegangannya diberi tanda negatip.

Secara umum untuk tegangan sejauh y dari garis netral:

x

I

y

M

.





dengan :

 : tegangan normal akibat lentur M : momen luar

y : jarak tegangan yang ditinjau ke garis netral Ix : momen inersia terhadap sumbu x

4. Balok Dua Bahan

Dalam praktek, komponen struktur tidak hanya terdiri dari satu bahan saja seperti baja atau kayu tetapi komponen struktur dapat juga terdiri dari kombinasi 2 bahan misalnya bahan beton dikombinasi dengan bahan baja, contohnya antara lain beton bertulang. Bahan kayu juga dapat dikombinasi dengan bahan baja, dengan bahan baja yang berfungsi sebagai penguat.

Apabila sebuah penampang balok terdiri dari dua bahan (bahan 1 dan bahan 2) mengalami momen lentur, seperti pada Gambar 6.5.a, maka deformasi (regangan) yang terjadi pada penampang akan tetap sebanding dengan jaraknya ke garis netral, Gambar 6.5.b.

Walaupun regangan yang terjadi sama pada pertemuan kedua bahan, berdasarkan hukum Hooke tegangan yang terjadi pada serat penampang pada masing-masing bahan akan berbeda besarnya, hal ini diakibatkan oleh nilai modulus elastisitas yang berbeda pada masing-masing bahan, Gambar 6.5.c.

Dalam menghitung tegangan pada penampang dengan dua bahan maka penampang dibuat menjadi salah satu bahan padanan dengan ukuran penampang sesuai dengan perbandingan nilai modulus elastisitas kedua bahan tersebut (n =E1/E2), terlihat pada

Gambar 6.6.a dan Gambar 6.6.b. Selanjutnya dihitung posisi garis netral sesuai dengan prinsip penampang satu bahan. Nilai tegangan yang diperoleh disesuaikan dengan perbandingan nilai modulus elastisitas kedua bahan tersebut.

(5)

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 55 a aE1 1 (a) 2 h (b) (c) b 1 b1 b2 bE2

Gambar 6.5 Diagram Tegangan dan Regangan pada Penampang Dua Bahan

h

b2/n

b1 nb1

b2

(a) (b)

Gambar 6.6 (a) Padanan dalam bahan 1 (b) Padanan dalam bahan 2

5. Contoh-Contoh

Contoh 6.1

Balok dengan penampang seperti tergambar, memikul beban sebesar 5 kN/m.

1. Hitunglah tegangan normal akibat momen lentur maksimum pada penampang 2. Gambarkan diagram tegangan pada penampang

5 kN/m 60 mm 30 mm 60 mm 30mm 12 m 200 mm 30mm 40 mm 30 mm 40 mm Penampang Balok Penyelesaian :

Titik berat penampang akan berada pada sumbu simetri vertikal, oleh sebab itu untuk menentukan titik berat hanya nilai ordinat saja yang perlu dihitung.

(6)

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 56 y 1 105 120 x 10 125 2 140 3 Ix = Ixo + Ay2 Ix = 112 3 2 2 3 12 1 2 3 12 1 ₁₅₀_.₃₀ ₁₅₀_.₃₀_.₁₀₅  ₃₀_.₂₀₀ ₃₀_.₂₀₀_.₁₀  ₁₁₀_.₃₀ ₁₁₀_.₃₀_.₁₂₅ Ix = 122360000 mm4

Nilai jarak 125 mm dan 10 mm semestinya ditulis minus, tetapi karena dikwadratkan, dapat tidak ditulis

Momen maksimum balok Mmaks =  18 2  2 8 1 _ql _.₅_.₁₂ _{90 kNm} 26 , 88 122360000 120 . 10 . 90 . 6    x a a I y M  MPa (tekan) 97 , 102 122360000 140 . 10 . 90 . 6    x b b I y M  MPa (tarik)

a = singkatan dari atas b = singkatan dari bawah

88,26 MPa

102,97 MPa Diagram Tegangan Pada Penampang Contoh 6.2

Balok overstek, terjepit di A dengan penampang seperti tergambar, memikul beban terbagi rata sebesar q

1. Hitung besar beban q (dalam kN/m) apabila tegangan lentur maksimum pada penampang di perletakan jepit sebesar 140 MPa.

2. Gambarkan diagram tegangan normal lentur pada penampang di perletakan jepit. YA = y1A1 + y2A2 + y3A3 Y (150.30 + 200.30 + 110.30) = 150.30.245 + 200.30.130 + 110.30.15 Y = 140 13800 1932000_ mm

(7)

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 57 q 25 mm 2,5 m 225 mm 25 mm 150 mm 25 mm Penyelesaian : y 1 25 mm 99,04 x 2 2 225 mm 150,96 25 mm 150 mm 25 mm Ix = Ixo + Ay’2 Ix1 = 112.200.253200.25.86,542 = 37706274,67 mm4 Ix2 = 2.1₁₂.25.22532.25.225.38,462 = 64101618,00 mm4 + Ix = 101807892,67 mm4 Mmaks = ½ q.l2 = ½ .q.2,52 x b b I y M.  

(dipakai yb supaya tegangan pada serat bawah akan maksimum 140 MPa)

140 = 7 , 101807892 96 , 150 . 10 . 5 , 2 . . 2 6 2 1 _q q = 30,21 kN/m Mmaks = ½ .30,21.2,52 = 94,40625 kNm 84 , 91 7 , 101807892 04 , 99 . 10 . 40625 , 94 . 6    x a a I y M  MPa 140 7 , 101807892 96 , 150 . 10 . 40625 , 94 . 6    x b b I y M  MPa

(8)

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 58 91,84 MPa

garis netral

140 MPa

Diagram Tegangan Pada Penampang

Contoh 6.3

Balok baja dengan penampang I dibebani dengan dua beban terpusat seperti tergambar. Akibat beban maka serat bawah penampang mengalami perpanjangan sebesar 0,12 mm, yang diamati pada titik ukur A dan B. Hitung besar beban P, E baja = 200 Gpa. P P 200 mm A B 2 m 2 m 2 m 16 mm 10 mm 460 mm 16 mm 191 mm Penyelesaian: Luas penampang, A = 191.16.2 + 428.10 = 10392 mm2

(9)

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 59 Momen Inersia Ix = Ixo + Ay’2 Ix = 2(112.191.163 + 191.16.2222) + 112.10.4283 = 366689824 mm4 Hukum Hooke E .    3 10 . 200 200 12 , 0    = 120 MPa M = P.2000 I y M.   120 = 366689824 230 . . 2000P P = 95658 N = 95,658 kN Contoh 6.4

Sebuah balok dengan penampang terdiri dari dua bahan, bagian atas adalah kayu dengan ukuran 150 mm x 250 mm sedangkan bagian bawah terdiri dari baja dengan ukuran 150 mm x 10 mm, seperti terlihat pada gambar. Apabila penampang balok memikul momen lentur sebesar 30 kNm, hitunglah tegangan maksimum dalam dalam kayu dan baja.

E kayu = 10 GPa, E baja = 200 GPa.

250 mm

10 mm 150 mm

Penyelesaian :

Perbandingan E baja dengan E kayu:

20 10 200    Ekayu Ebaja n

Kedua bahan tersebut dijadikan satu bahan yaitu bahan padanan baja, sehingga ukuran penampang menjadi :

(10)

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 60 tb 250 mm tb = mm n 20 7,5 150 150   10 mm 150 mm Menghitung garis netral

Y.A = y1A1 + y2A2 Y.(150.10 +250.7,5) = 5.150.10 + 135.250.7,5 Y= 77,22 3375 260625_ mm y 182,78 57,78 mm x 72,22mm 77,22 mm Ix = Ixo + Ay’2 Ix = 112.7,5.2503 +7,5.250.57,782 + 112.150.103 + 150.10.72,222 Ix = 23861458,35 mm4 49 , 11 35 , 23861458 . 20 78 , 182 . 10 . 30 . 6    x a kayu nI y M  MPa 08 , 97 35 , 23861458 22 , 77 . 10 . 30 . 6    x b baja I y M  MPa

(11)

garis netral

97,08 MPa

Diagram Tegangan Pada Penampang Contoh 6.5

Hitung tegangan maksimum pada beton dan baja untuk balok beton bertulang dengan penampang seperti tergambar. Balok memikul momen positip sebesar 120 kNm. Luas penampang baja total sebesar 3000 mm2. Perbandingan E baja terhadap E beton adalah 15, atau n =15. 900 mm 100 mm 900 mm 400 mm Penyelesaian :

Beton adalah bahan yang mampu memikul tegangan tekan, tetapi lemah dalam memikul tegangan tarik, bahkan apabila terjadi retak maka tegangan tarik pada beton akan hilang. Akibat lentur maka penampang diatas garis netral akan tertekan sedangkan dibawah garis netral akan tertarik. Oleh sebab itu penampang beton dibawah garis netral dianggap tidak ada. Bahan yang ada dibawah garis netral hanya baja, sebab baja mampu memikul tegangan tarik.

(12)

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 62 900 mm 100 mm x garis netral 900 mm As 400 mm

Kedua bahan tersebut dijadikan satu bahan yaitu bahan padanan beton.

Luas baja setelah dijadikan padanan beton menjadi As = 3000.15 = 45000 mm2 Pada garis netral berlaku :



0

A ydA sehingga : 900.100(x-50) + (x-100) 400        2 100 x = 45000 (1000- x) 9.104x – 4,5.106 + (x-100)2.200 = 45.106- 45.103 x 9.104_{x – 4,5.10}6_{+ 200x – 4.10}4_{x + 2.10}6_{= 45.10}6_{- 45.10}3_x 200 x2 + 95000 x – 47,5.106 =0 x2 + 475 x –237500 = 0 x12 = 2 237500 . 4 475 475 2   x = 304,63 mm Momen inersia Ix1 = 112.900.1003 + 900.100.254,632 = 59,103.108 mm4 Ix2 = 112.400.204,633 + 400.204,63. 102,312 = 11,424.108 mm4 Ix3 = 45000.695,372 + 0 = 217,59.108 mm4 + Ix total = 288,12.108 mm4

Tegangan maksimum pada beton dan baja :

26 , 1 10 . 12 , 288 63 , 304 . 10 . 120 . 8 6    x beton I y M  MPa 44 , 43 10 . 12 , 288 37 , 695 . 10 . 120 15 . 8 6    x baja I y M n  MPa

(13)

garis netral

43,44 MPa

(14)

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 64 Soal-soal :

1. Balok terletak pada sendi-rol dengan penampang seperti tergambar, memikul beban terbagi rata sebesar q.

1. Hitung besar beban q (dalam kN/m) apabila tegangan lentur maksimum pada penampang di tengah bentang sebesar 150 MPa.

2. Gambarkan diagram tegangan normal lentur pada penampang di tengah bentang.

8 m

120 15 30 15 120

15

16 0

Penampang balok (ukuran dalam mm)

2. Penampang balok beton bertulang berongga seperti tergambar. Luas tulangan baja sebesar 3600 mm2, dan n = 12. Bila tegangan tekan maksimum dalam beton akibat lentur sebesar 5 MPa, maka hitunglah :

1.Tegangan tarik pada baja.

2. Momen yang bekerja pada penampang. 120 400 120

120

1000