ESTIMASI INTERVAL SPLINE DALAM REGRESI NONPARAMETRIK

Teks penuh

(1)

ESTIMASI INTERVAL SPLINE

DALAM REGRESI NONPARAMETRIK

Muhammad Nafi’

1

, I Nyoman Budiantara

2

Mahasiswa S2 Jurusan Statistika FMIPA ITS Surabaya1 Email: nafi_s2@yahoo.com

Dosen Jurusan Statistika FMIPA ITS Surabaya1

Abstraks

Diberikan model regresi nonparametrik yi = f(xi) + εi, xi

[a,b], i=1,2,…,n. Kurva regresi f diasumsikan

smooth, dalam arti f termuat di dalam ruang Sobolev . Umumnya estimasi titik diperoleh dari meminimumkan Penalized Likelihood (PL). Untuk menyelesaian optimasi PL ini, para peneliti menggunakan pendekatan Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS) atau Gateaux. Sedangkan untuk persoalan inferensi seperti

estimasi interval (interval konfidensi) untuk f, menggunakan pendekatan Bayesian. Tetapi pendekatan ini memerlukan pengetahuan Matematika yang relatif tinggi dan sulit dipahami oleh banyak pengguna Statistika.

]

,

[

2

a

b

W

p ^

f

Dalam tulisan ini, penulis mengestimasi titik dengan menggunakan optimasi Likelihood dan mengkonstruksi selang kepercayaan untuk kurva regresi f dengan pendekatan Spline menggunakan Pivotal Quantity, yang merupakan generalisasi regresi parametrik. Inferensi statistik yang dihasilkan secara matematik lebih mudah dan sederhana, serta mudah dipahami oleh pengguna Statistika. Selanjutnya, diberikan suatu ilustrasi numerik model Spline untuk menduga pola hubungan antara umur balita dengan berat badan balita di Kota Surabaya, beserta interval konfidensinya.

^

f

Kata kunci : Regresi Nonparametrik, Penalized Likelihood, Spline, Pivotal Quantity

1. Pendahuluan

Dalam Statistika untuk mengetahui model pola hubungan antara variabel prediktor xi dan variabel

respon yi dapat digunakan analisis regresi. Asumsikan

data berpasangan (xi, yi) mengikuti model regresi yi =

f(xi) + εi, i=1,2,…,n. Fungsi f(xi) merupakan kurva

regresi dan εi error random yang diasumsikan

berdistribusi normal independen dengan mean nol dan variansi σ2. Apabila dalam analisis regresi bentuk kurva regresi diketahui secara jelas, maka model regresi tersebut dinamakan model regresi parametrik (Hardle,1990). Sebagai ilustrasi, jika pola data cenderung mengikuti model linear/kuadratik/kubik, maka pendekatan regresi yang sesuai untuk data tersebut adalah regresi parametrik linear/kuadratik/kubik (Budiantara,2001a).

Dalam kehidupan nyata, sesungguhnya tidak semua data (xi, yi) diketahui pola hubungannya secara

jelas. Apabila pada kasus seperti ini, model parametrik tetap dipaksakan sebagai model pola data, maka akan diperoleh kesimpulan yang menyesatkan. Regresi nonparametrik merupakan pendekatan regresi yang sesuai untuk pola data yang tidak diketahui bentuknya, atau tidak terdapat informasi masa lalu tentang pola data (Budiantara,2001b). Model regresi nonparametrik

yang sering mendapat perhatian dari para peneliti adalah Kernel (Hardle,1990), Spline (Wahba,1990; Craven dan Wahba,1979; Budiantara, et. al.,1997), Deret Fourier dan Wavelets (Antoniadis, et. al.,1994). Dalam pendekatan regresi nonparametrik, data diharapkan mencari sendiri bentuk pendugaannya, tanpa dipengaruhi oleh faktor subyektifitas peneliti.

Diantara model-model regresi nonparametrik di atas, Spline merupakan model regresi yang mempunyai interpretasi Statistik dan Visual sangat khusus dan sangat baik. Model Spline diperoleh dari suatu optimasi Penalized Least Square (PLS) dan memiliki fleksibelitas yang tinggi (Budiantara,2004). Disamping itu Spline mampu menangani karakter data/fungsi yang mulus (smooth). Spline juga memiliki

kemampuan yang sangat baik untuk menangani data yang perilakunya berubah-ubah pada sub-sub interval tertentu (Cox dan O’Sullivan,1996; Eubank,1988; Budiantara,2006).

Dalam regresi nonparametrik Spline, penduga kurva regresi diperoleh dari optimasi PLS atau

Penalized Likelihood (PL)(Craven dan Wahba,1979;

Budiantara, et. al.,1997). Penyelesaian optimasi ini diperoleh dengan menggunakan metode RKHS atau

(2)

karena memerlukan pengetahuan tentang Analisis Real dan Analisis Fungsional yang tinggi, sehingga sulit dipahami dan diselesaikan oleh para pengguna regresi nonparametrik Spline. Namun untuk menduga kurva regresi yang diperoleh dari optimasi Likelihood dapat

menjadi pilihan yang cukup baik karena secara matematik mudah dan sederhana.

Sedangkan untuk mengkonstruksi selang kepercayaan pada kurva regresi, beberapa peneliti

seperti Wahba (1983) dan Budiantara (2000b)

menggunakan pendekatan Bayesian dengan

menggunakan prior improper sehingga secara

matematis cukup sulit. Akan tetapi jika selang kepercayaan diperoleh dengan pendekatan Pivotal

Quantity tidak akan melibatkan distribusi prior,

sehingga diperoleh model yang sederhana dan inferensi Statistika yang relatif mudah (Eubank, 1988). Berdasarkan hal diatas, penulis tertarik untuk mempelajari pendekatan spline menggunakan optimasi

Likelihood dan menurunkan interval konfidensi untuk

kurva regresi nonparametrik dengan pendekatan

Pivotal Quantity. Penerapan regresi spline dan interval

konfidensi akan digunakan untuk mengetahui pola rata-rata berat badan dan umur balita, khususnya di kota Surabaya pada tahun 2007.

2. Estimasi Titik Untuk Kurva Regresi

Diberikan model regresi nonparametrik

yi = f(xi) + εi, xi [a,b], i=1,2,…,n. Bentuk kurva

regresi f diasumsikan tidak diketahui, termuat di dalam

ruang Sobolev , dengan :

]

,

[

2

a

b

W

p

W

2p

[

a

,

b

]

=

{

g

;

(

f

(p)

(

x

))

2

dx

< }

Selanjutnya estimasi titik untuk kurva f diperoleh dengan menggunakan Optimasi Likelihood. Diberikan suatu Basis untuk ruang Spline (Budiantara,2001(b)) berbentuk : { 1, x, x2,

(

x

λ

1

)

2+, . . . ,

(

x

λ

m

)

2+}, dengan :

<

=

+

λ

λ

λ

λ

x

x

x

x

,

0

,

)

(

)

(

2 2

dan

λ

1,

λ

2,

λ

3 merupakan titik-titik knots. Titik knots merupakan titik perpaduan bersama yang memperlihatkan terjadinya perubahan pola prilaku dari fungsi Spline pada interval-interval yang berbeda. Untuk setiap fungsi f dalam ruang Spline dapat

dinyatakan menjadi : f(x)= 2, (1) 1 2 2 0

)

(

+ = + =

+

k m k k j j j

x

γ

x

λ

γ

dengan

γ

j merupakan konstanta yang bernilai real. Model regresi Spline dapat ditulis menjadi :

yi = f(xi) + εi. = 2 + ε 1 2 2 0

)

(

+ = + =

+

i k m k k j j i j

x

γ

x

λ

γ

i.

Apabila diasumsikan sesatan random εi berdistribusi

normal independen dengan mean nol dan variansi , maka y

2

σ

i juga berdistribusi normal dengan mean f(xi)

dan variansi

σ

2. Akibatnya diperoleh fungsi Likelihood:

)

,

(

y

f

L

=

= −

n i i i

f

x

y

Exp

1 2 2 / 1 2

))

(

(

2

1

(

)

2

(

σ

πσ

= 2 2 2 / 2

))

(

(

2

1

(

)

2

(

i i n

x

f

y

Exp

σ

πσ

Estimasi titik untuk f diperoleh dengan menyelesaikan Optimasi Likelihood

Max

{

L

(

y

,

f

)

}

f = 1 2+ + ∈

Max

R m γ {

=

n i i n

y

Exp

1 2 2 / 2

(

2

1

(

)

2

(

σ

πσ

2 1 2 2 0

)

(

+ = + =

k m k k j j j

x

γ

x

λ

γ

)2)}

Apabila diambil transformasi Logaritma dan mengingat persamaan (1) maka diperoleh fungsi :

Log

L

(

y

,

λ

,

γ

)

=

= n i i

y

n

1 2 2

(

2

1

)

2

log(

2

πσ

σ

2 1 2 2 0

)

(

+ = + =

k m k k j j j

x

γ

x

λ

γ

)2.

Dengan penyajian matriks, diperoleh : Log

L

(

y

,

λ

,

γ

)

=

log(2

2

)

2

n

πσ

(

(

,

)

)

(

(

,

)

)

2

1

2

λ

γ

λ

γ

σ

y

T

x

y

T

x

, (2) dengan

γ

=

(

γ

0

,

γ

1

,

γ

2

,

γ

3

,

γ

4

,

γ

5

,

γ

6

)

,

y=

(

y

1

,...,

y

n

)

, dan

T

(

x

,

λ

)

matriks berukuran

nx(m+3), diberikan oleh :

)

,

(

x

λ

T

= .

+ + + + + + 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1

)

(

)

(

1

)

(

)

(

1

)

(

)

(

1

m n n n n m m

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

λ

λ

λ

λ

λ

λ

L

M

O

M

M

M

M

L

L

Apabila persamaan (2) diderivatifkan parsial terhadap

(3)

γ

γ

λ

Log

L

( y

,

,

)

=

)]

)

,

(

(

)

)

,

(

(

2

1

[

2

λ

γ

λ

γ

σ

γ

y

T

x

y

T

x

= 0. Dengan sedikit penjabaran dan mengingat

)

,

(

x

λ

T

merupakan matriks dengan rank penuh, maka

diperoleh estimasi Likelihood untuk

γ

adalah :

γ

ˆ

(

x

,

λ

)

=

[

T ′

(

x

,

λ

)

T

(

x

,

λ

)

)

]

−1

T ′

(

x

,

λ

)

y. Estimator kurva regresi

f

(x

)

diberikan oleh :

)

,

(

^

λ

x

f

=

T

(

x

,

λ

)

[

T ′

(

x

,

λ

)

T

(

x

,

λ

)

)

]

−1

T ′

(

x

,

λ

)

y. =

W

(

x

,

λ

)

y, dengan :

W

(

x

,

λ

)

=

T

(

x

,

λ

)

[

T ′

(

x

,

λ

)

T

(

x

,

λ

)

)

]

−1

T ′

(

x

,

λ

)

.

Terlihat bahwa merupakan estimator linear

dalam observasi y dan sangat tergantung pada titik

knots

)

,

(

^

λ

x

f

λ

= {

λ

1,

λ

2, . . .,

λ

m}. Dalam model Spline titik knots harus dipilih dengan berbagai metode seperti

Generalized Cross Validation (GCV) (Budiantara,2000a

dan Wahba,1983), Cross Validation (CV) (Craven dan

Wahba,1979), Generalized Maximum Likelihood (GML) (Wang,1998), atau metode-metode yang lainnya. Estimator linear ini sangat membantu dalam membangun inferensi Statistik, seperti interval konfidensi untuk kurva regresi f.

3. Interval Konfidensi Untuk Kurva Regresi

Persoalan inferensi yang sangat penting dalam regresi Spline, adalah interval konfidensi untuk kurva regresi , i = 1,2,...,n. Untuk memperoleh

interval konfidensi, umumnya digunakan pendekatan Bayesian (Wahba,1983 ; 1990 dan Wang,1998). Dalam tulisan ini digunakan pendekatan lain, yaitu Pivotal

Quantity. Karena

)

(

x

i

f

ε

= (

ε

1,...,

ε

n

)′

berdistribusi N(0,

σ

2

I

) maka : y berdistribusi N(

f

(x

)

,

σ

2

I

). Selanjutnya variabel random

γ

ˆ

(

x

,

λ

)

berdistribusi N(

f

(x

)

,

[

T ′

(

x

,

λ

)

T

(

x

,

λ

)

)

]

−1

σ

2).

Ekspektasi dan Variansi dari , berturut-turut

diberikan oleh :

)

,

(

^

λ

x

f

E(

(

,

)

)= ^

λ

x

f

T

(

x

,

λ

)

[

T ′

(

x

,

λ

)

T

(

x

,

λ

)

)

]

−1

T ′

(

x

,

λ

)

T

(

x

,

λ

)

γ

=

T

(

x

,

λ

)

γ

=

f

(x

)

, dan Var(

(

,

)

)= ^

λ

x

f

σ

2

T

(

x

,

λ

)

[

T ′

(

x

,

λ

)

T

(

x

,

λ

)

)

]

−1

T ′

(

x

,

λ

)

=

σ

2

W

(

x

,

λ

)

.

Karena sifat linearitas dari distribusi normal maka variabel random :

(

,

)

berdistribusi N( , ^

λ

x

f

f

(x

)

σ

2

W

(

x

,

λ

)

).

Jika diambil Transformasi :

U

(

x

,

λ

)

=

(

σ

W

(

x

,

λ

)

)

−1( - ), atau :

)

,

(

^

λ

x

f

f

(x

)

U

(

x

i

,

λ

1

,

λ

2

,

.

.

.,

λ

m

)

=

)

.,

.

.

,

,

,

(

)

(

)

.,

.

.

,

,

,

(

2 1 2 2 1 ^ m i i i m i

x

x

f

x

f

λ

λ

λ

ω

σ

λ

λ

λ

, i = 1,2,...,n. =

)

.,

.

.

,

,

,

(

)

(

)

(

ˆ

ˆ

2 1 2 2 1 2 2 0 m i i i k i m k k j i j j

x

x

f

x

x

λ

λ

λ

ω

σ

λ

γ

γ

+

+

= + =

dengan

ω

i

(

x

i

,

λ

1

,

λ

2

,

.

.

.,

λ

m

)

elemen diagonal ke-i

dari matriks

W

(

x

,

λ

)

. Variabel random

)

.,

.

.

,

,

,

(

x

i 1 2 m

U

λ

λ

λ

berdistribusi N(0,1). Dengan

demikian

U

(

x

i

,

λ

1

,

λ

2

,

.

.

.,

λ

m

)

merupakan Pivotal

Quantity untuk Kurva regresi . Interval Konfidensi

)

(

x

i

f

α

1

diperoleh dari menyelesaikan

persamaan:

P

(

a

U

(

x

i

,

λ

1

,

λ

2

,

.

.

.,

λ

m

)

b

)

=

1

α

,

dengan

a

∈ ,

R

b

R

, dan a < b, i = 1,2,...,n.

Persamaan di atas dapat dinyatakan menjadi :

α

λ

λ

λ

ω

σ

λ

γ

γ

=

+

+ = + =

1

)

)

.,

.

.

,

,

,

(

)

(

)

(

ˆ

ˆ

(

2 1 2 2 1 2 2 0

b

x

x

f

x

x

a

P

m i i i k i K k k j i j j

(4)

Dengan sedikit penjabaran, diperoleh interval konfidensi

1

α

untuk

f

(

x

i

)

, untuk i = 1,2,...,n

α

λ

λ

λ

ω

σ

λ

γ

γ

λ

λ

λ

ω

σ

λ

γ

γ

=

+

+

= = + + = = + +

1

)

.,

.

.

,

,

,

(

)

(

ˆ

ˆ

)

(

)

.,

.

.

,

,

,

(

)

(

ˆ

ˆ

2 1 2 2 0 1 2 2 2 1 2 2 0 1 2 2 m i i j K k k i k j i j i m i i j K k k i k j i j

x

a

x

x

x

f

x

b

x

x

P

(3)

Dengan menggunakan konsep Interval konfidensi terpendek, harus ditentukan nilai

a

R

dan

b

R

,

sehingga panjang dari interval pada

Persamaan (3) terpendek. Untuk tujuan ini, dicari penyelesaian optimasi bersyarat berikut.

)

,

( b

a

l

=

{

(

,

)

}

,

a

b

Min

R b R a∈ ∈

l

{

(

)

2

(

,

1

,

2

,

.

.

.,

)

}

,b R i i m R a

Min

b

a

σ

ω

x

λ

λ

λ

, (4) Dengan syarat :

=

b a

atau

du

u

)

1

,

(

α

ϕ

Φ

(

b

)

Φ

(

a

)

(

1

α

)

=

0

(5) Fungsi

ϕ

merupakan distribusi probabilitas N(0,1) dan

merupakan distribusi probabilitas Kumulatif N(0,1). Optimasi (4) dan (5) dapat diselesaikan dengan

menggunakan metode Lagrange Multiple. Dibentuk

fungsi Lagrange :

Φ

)

.,

.

.

,

,

,

(

)

(

)

,

,

(

a

b

c

=

b

a

σ

2

ω

i

x

i

λ

1

λ

2

λ

m

+

=

. b a

du

u

c

[

ϕ

(

)

(

1

α

)

]

umur bayi berat bayi 0 10 20 30 40 50 46 8 1 0 1 2 1 4 umur bayi berat bayi 0 10 20 30 40 50 46 8 1 0 1 2 1 4

Selanjutnya dengan menderivatifkan fungsi terhadap a, b, dan c diperoleh:

)

,

,

(

a

b

c

=

0

)

,

,

(

a

c

b

a

σ

2

ω

i

(

x

i

,

λ

1

,

λ

2

,

.

.

.,

λ

m

)

c

ϕ

(a

)

= 0. (6)

=

0

)

,

,

(

b

c

b

a

σ

2

ω

i

(

x

i

,

λ

1

,

λ

2

,

.

.

.,

λ

m

)

+

c

ϕ

(b

)

= 0. (7)

=

0

)

,

,

(

c

c

b

a

0

)

1

(

)

(

)

(

Φ

=

Φ

b

a

α

(8)

Persamaan (6) dan (7) menghasilkan penyelesaian :

ϕ

(

a

)

=

ϕ

(

b

)

. (9)

Mengingat persamaan (8) dan maka

penyelesaian Persamaan (9) adalah , atau

(

~

0,1

U

N

)

b

a

=

b

a

=

. Tetapi persamaan tidak memenuhi.

Jadi agar diperoleh interval konfidensi terpendek harus diambil nilai a dan b yang memenuhi persamaan :

b

a

=

∞ − ∞

=

=

a b

du

u

du

u

(

)

2

)

(

α

ϕ

ϕ

(10)

Jika tingkat konfidensi

1

α

diberikan, maka nilai a

dan b dapat dilihat dalam tabel distribusi N(0,1). Interval konfidensi

1

α

untuk kurva regresi

f

(

x

i

)

,

i = 1,2,...,n diberikan oleh Persamaan (3), dengan a

dan b memenuhi Persamaan (10).

4. Aplikasi Model dan Interval Konfidensi

Spline

Pada umumnya pola pertumbuhan balita tidaklah konstan, tetapi terjadi perubahan pola pertumbuhan pada umur-umur tertentu. Sejak kelahiran sampai umur 6 bulan pertumbuhan balita umumnya sangat pesat, tetapi setelah umur 6 bulan pertumbuhannya agak perlahan. Hal ini dapat dilihat dengan memodelkan pola hubungan antara umur dan berat badan balita di Kota Surabaya dengan model spline polinomial truncated :

f(x) = k p, m k p k p j j j

x

x

+ = + =

+

(

)

1 0

λ

γ

γ

untuk berbagai nilai p yang menunjukan orde spline dan berbagai m yang menunjukan banyak titik knot.

Untuk memilih titik knot optimal dalam model spline digunakan metode GCV. Dengan menggunakan Program S-Plus 2000 didapatkan nilai GCV terkecil 0,02526942 terjadi pada model spline kuadratik dengan tiga titik knot pada umur 4 bulan, umur 8 bulan, dan umur 14 bulan.

Gambar 1. Plot data dan spline kuadratik dengan titik

(5)

Setelah diperoleh titik – titik knot optimum selanjutnya dilakukan pendugaan pada model:

2 3 5 2 2 4 2 1 3 2 2 1 0

)

(

)

(

)

(

)

(

+ + +

+

+

+

+

+

=

λ

γ

λ

γ

λ

γ

γ

γ

γ

x

x

x

x

x

x

f

Secara lengkap model regresi spline setelah diperoleh nilai – nilai estimasi dari γj yang signifikan adalah

sebagai berikut : 2 2 2 2 ^

)

14

(

4

0.00724217

)

8

(

0.01593129

)

4

(

0.03508034

0.05900713

-0.9431169

3.556999

)

(

+ + +

+

+

+

+

=

x

x

x

x

x

x

f

Dari hasil pemilihan titik–titik knot optimal 4, 8, 14, diperoleh R2 = 0.9968227, atau R2 = 99,682%

Tabel 1. Ringkasan statistik estimasi parameter model

spline kuadratik.

Koefisien Estimasi Stdev t-hit.

γ0 3.556999 0.06147854 57.85758 γ1 0.9431169 0.05019262 18.78995 γ2 -0.05900713 0.008360408 -7.05792 γ3 0.03508034 0.01137463 3.084086 γ4 0.01593129 0.004361522 3.65269 γ5 0.007242174 0.001009004 7.177547 umur bayi ber at bayi 0 10 20 30 40 50 46 8 1 0 1 2 1 4 umur bayi ber at bayi 0 10 20 30 40 50 46 8 1 0 1 2 1 4 umur bayi ber at bayi 0 10 20 30 40 50 46 8 1 0 1 2 1 4

Jadi berdasarkan Tabel 1, dapat disimpulkan pula bahwa model spline kuadratik dengan titik-titik knot 4, 8 dan 14 dengan nilai GCV = 0.02526942 adalah memadai sebagai model pendekatan untuk data.

Setelah mendapatkan model spline terbaik dengan model kuadratik tiga titik knot 4, 8 dan 14 bulan, akan dibangun interval konfidensi 95%. Kurva berwarna hitam adalah kurva spline dengan titik knot optimal dan kurva lain berturut-turut merupakan interval konfidensi spline bawah dan atas.

Gambar 2. Interval Konfidensi Spline

5. Kesimpulan

1. Untuk memperoleh estimasi titik kurva regresi dalam regresi nonparametrik spline, umumnya

digunakan optimasi Penalized Likelihood.

Disamping itu dapat pula menggunakan optimasi

Likelihood yang memberikan hasil relatif mudah.

2. Untuk membangun interval konfidensi dalam regresi nonparametrik spline, umumnya digunakan pendekatan Bayesian. Pendekatan

Pivotal Quantity juga dapat digunakan dan

memberikan hasil yang relatif sederhana.

3. Model Spline kuadrat sangat memadai untuk digunakan menduga pola hubungan antara umur balita dan berat badan balita di Kota Surabaya.

6. Referensi

Antoniadis, A., Gregorire, G. and Mackeagu, W., 1994, Wavelets Methods for Curve Estimation, Journal

of the American Statistical Association., 89,

1340-1353.

Budiantara, I.N, Subanar, and Soejoeti, Z., 1997, Weighted Spline Estimator, Bulletin of the

International Statistical Insitute, 51, 333-334.

Budiantara, I.N, 2000a, Metode U, GML, CV dan GCV Dalam Regresi Nonparametrik Spline, Majalah Ilmiah Himpunan Matematika Indonesia (MIHMI),

6, 285-290.

Budiantara, I. N., 2000b, Optimasi dan Proyeksi Dalam

Regresi Nonparametrik Spline, Majalah Berkala

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (BMIPA), Universitas Gadjah Mada, 10, 35-44.

Budiantara, I.N, 2001(a), Regresi Nonparametrik dan Semiparametrik Serta Perkemba-ngannya,

Makalah Pembicara Utama pada Seminar Nasional Alumni Pasca Sarjana Matematika Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.

Budiantara, I.N, 2001(b), Estimasi Parametrik dan Nonparametrik untuk Pendekatan Kurva Regresi,

Makalah Pembicara Utama pada Seminar nasional Statistika V, Jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya.

Budiantara, I.N, 2004, Spline : Historis, Motivasi, dan Perannya Dalam Regresi Nonparametrik,

Makalah Pembicara Utama pada Konferensi Nasional Matematika XII, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Udayana (UNUD), Denpasar.

Budiantara, I.N, 2006, Regresi Nonparametrik Dalam

Statistika, Makalah Pembicara Utama pada

Seminar Nasional Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Makasar (UNM), Makasar.

Cox, D. D. and O’Sullivan, F.,1996, Penalized Type Estimator for Generalized Nonparametric

Regression, 1983, Journal of Multivariate

Analysis, 56, 185-206.

Craven, P. and Wahba, G.,1979, Smoothing Noise

Data with Spline Functions, Numerische

(6)

Eubank, R.L.,1988, Spline Smoothing and Nonparametric Regression, Marcel Deker, New

York.

Hardle, W.,1990, Applied Nonparametric Regression, Cambridge University Press, New York.

Soetjiningsih, (1995), Tumbuh Kembang Anak,

Laboratorium Ilmu Kesehatan Anak Universitas Airlangga, Surabaya.

Supariasa, I.N.,Bakri, B., dan Fajar, I., (2002), Penilaian Status Gizi, Penerbit Buku Kedokteran EGC,

Jakarta.

Wahba, G.,1983, Bayesian Confidence Interval for the Cross Validated Smoothing Parameter in the Generalized Spline Smoothing Problems, The Annals of Statistics, 13, 1378-1402.

Wahba, G.,1990, Spline Models for Observasional Data, SIAM Pensylvania.

Wang, Y., 1998, Spline Smoothing Models With Correlated Errors, Journal of the American

Figur

Gambar 1. Plot data dan spline kuadratik dengan titik                    knot 4, 8 dan 14, GCV: 0.02526942

Gambar 1.

Plot data dan spline kuadratik dengan titik knot 4, 8 dan 14, GCV: 0.02526942 p.4
Tabel 1.  Ringkasan statistik estimasi parameter model                  spline kuadratik

Tabel 1.

Ringkasan statistik estimasi parameter model spline kuadratik p.5
Gambar 2. Interval Konfidensi Spline

Gambar 2.

Interval Konfidensi Spline p.5

Referensi

Memperbarui...

Related subjects : estimasi interval