PENGUJIAN HIPOTESIS DALAM MODEL SPLINE PADA REGRESI NONPARAMETRIK

T E S I S – S T 2 3 0 9

PENGUJIAN HIPOTESIS DALAM MODEL SPLINE PADA REGRESI NONPARAMETRIK

AHMAD ZAKI NRP. 1305 201 015 DOSEN PEMBIMBING

Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.S.

Ir. Mutiah Salamah Chamid, M.Kes.

PROGRAM STUDI MAGISTER JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA 2007

T E S I S – S T 2 3 0 9

PENGUJIAN HIPOTESIS DALAM MODEL SPLINE PADA REGRESI NONPARAMETRIK

AHMAD ZAKI NRP. 1305 201 015 DOSEN PEMBIMBING

Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.S.

Ir. Mutiah Salamah Chamid, M.Kes.

PROGRAM STUDI MAGISTER JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

PENGUJIAN HIPOTESIS DALAM MODEL SPLINE PADA REGRESI NONPARAMETRIK

T E S I S

Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains (M.Si.)

di

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

Oleh:

AHMAD ZAKI

NRP. 1305 201 015

Tanggal Ujian : 1 Februari 2007 Periode Wisuda : Maret 2007 Disetujui oleh Tim Penguji Tesis:

1. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.S.

NIP. 131 843 382 (Pembimbing I)

2. Ir. Mutiah Salamah Chamid, M. Kes.

NIP. 131 283 368 (Pembimbing II)

3. Prof. Dra. Susanti Linuwih, M. Stats., Ph.D.

NIP. 130 368 808 (Penguji)

4. Dr. Muhammad Mashuri, M.T.

NIP. 131 651 449 (Penguji)

5. Dr. Purhadi, M.Sc.

NIP. 131 652 051 (Penguji)

6. Dr. Sony Sunaryo, M.Si.

NIP. 131 843 380 (Penguji)

Direktur Program Pascasarjana,

Prof. Ir. Happy Ratna S., M.Sc., Ph.D.

NIP. 130 541 829

PENGUJIAN HIPOTESIS DALAM MODEL SPLINE PADA REGRESI NONPARAMETRIK

Oleh : Ahmad Zaki

Dosen Pembimbing : 1. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.S.

2. Ir. Mutiah Salamah Chamid, M.Kes.

ABSTRAK

Salah satu metode dalam regresi nonparametrik untuk mengestimasi kurva regresi yang diasumsikan tidak diketahui bentuknya dapat dilakukan dengan pendekatan spline. Penelitian ini mengkaji estimator spline dengan pendekatan bayesian, mengkaji inferensi uji Generalized Maximum Likelihood (GML) untuk menguji hipotesis dalam model spline, dan menyelidiki perilaku uji Generalized Maximum Likelihood (GML) yang dibandingkan dengan uji Locally Most Powerful (LMP) dengan menggunakan data simulasi. Pengujian hipotesis dalam model spline pada regresi nonparametrik bertujuan untuk mengidentifikasi apakah pola data dapat dimodelkan dengan pendekatan polinomial atau pendekatan spline. Hasil penelitian diperoleh bahwa estimasi spline dengan pendekatan bayesian identik dengan estimasi spline yang meminimumkan Penalized Least Square (PLS) pada regresi nonparametrik klasik, hasil kajian statistik uji GML yang diperoleh berdistribusi asimtotik Chi-Square, dan hasil simulasi diperoleh bahwa statistik uji GML cenderung lebih sesuai untuk menguji hipotesis dalam model spline pada fungsi- fungsi sinusoidal, sedangkan statistik uji LMP cenderung lebih sesuai digunakan untuk menguji hipotesis dalam model spline pada fungsi-fungsi polinomial.

Kata-kata kunci : Regresi Nonparametrik, Model Spline, Pendekatan Bayesian, Uji Generalized Maximum Likelihood (GML).

iii

HYPOTHESIS TESTING SPLINE MODELS IN NONPARAMETRIC REGRESSION

By : Ahmad Zaki

Under the Supervision : 1. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.S.

2. Ir. Mutiah Salamah Chamid, M.Kes.

ABSTRACT

One of method in nonparametric regression to estimate curve of regression assumed unknown can be conducted with spline approach. This research studies spline estimator with bayesian approach, the Generalized Maximum Likelihood (GML) test for hypothesis testing in spline models, and study behavior of the Generalized Maximum Likelihood test (GML) compared to the Locally Most Powerful (LMP) test using simulation data. Hypothesis testing for spline models in nonparametric regression is used to identify that data pattern can be modeled with polynomial or spline approach. The result shows that spline estimation with bayesian approach is identic with the one that minimaze Penalized Least Square in classic nonparametric regression, the GML test obtained is asymptotically Chi-Square distributed, and the simulation study shows that GML test gives better performance for testing hypothesis in sinusoidal functions spline models, while LMP test gives better performance in polynomial functions.

Key words : Nonparametric Regression, Spline Models, Bayesian Approach, Generalized Maximum Likelihood (GML) test.

KATA PENGANTAR

Alhamdullillahi Rabbil Alamin, segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan rahmat, hidayah, petunjuk, kekuatan, kesabaran, dan ilmu pengetahuan sehingga dapat menyelesaikan tesis dengan judul: Pengujian Hipotesis dalam Model Spline pada Regresi Nonparametrik. Salawat dan salam penulis haturkan kepada junjungan Nabi besar Muhammad SAW yang telah membawa manusia dari masa jahiliah ke masa modern yang penuh dengan ilmu pengetahuan. Tesis ini merupakan hasil penelitian sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains (M.Si.) pada Program Studi Magister Jurusan Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

Penulis menyadari bahwa tesis ini dapat diselesaikan dengan tidak lepas dari bimbingan, arahan, petunjuk, dorongan moral maupun bantuan materil dari berbagai pihak. Untuk itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada yang kami hormati:

1. Bapak Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.S., sebagai dosen pembimbing utama dan Koordinator Program Studi Magister Jurusan Statistika F-MIPA ITS Surabaya yang telah memberikan bimbingan, petunjuk, motivasi, dan dorongan moril kepada penulis.

2. Ibu Ir. Mutiah Salamah Chamid, M.Kes., sebagai dosen pembimbing dan Ketua Jurusan Statistika F-MIPA ITS Surabaya, yang telah memberikan bimbingan, petunjuk, motivasi, dan dorongan moril kepada penulis.

3. Bapak dan Ibu dosen pengajar Jurusan Statistika F-MIPA ITS Surabaya yang telah memberikan dan mengajarkan ilmunya.

v

4. Staf administrasi akademik, staf laboratorium komputasi, dan staf ruang baca Jurusan Statistika F-MIPA ITS Surabaya yang telah memberikan pelayanan dan bantuan.

5. Ketua STIE Nobel Indonesia dan Ketua Yayasan Pendidikan Nobel Indonesia yang telah memberikan bantuan dan kesempatan kepada penulis untuk melanjutkan studi di Program Studi Magister Jurusan Statistika F-MIPA ITS Surabaya.

6. Dirjen Dikti yang telah memberikan bantuan beasiswa BPPS kepada penulis selama masa studi di Program Studi Magister Jurusan Statistika F-MIPA ITS Surabaya.

7. Bapak dan Ibu dosen pengajar Jurusan Matematika FMIPA UNM Makassar yang telah memberikan motivasi dan bantuan kepada penulis untuk melanjutkan studi.

8. Kedua orang tuaku yang tercinta A’ba Muchdar Ady Rahardjo dan Amma Hj. Masbena Sulo yang telah membesarkan dan mendidik penulis, serta memberikan motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan studi.

9. Saudara-saudaraku Kartika Sari, Ratna Sari, Ahmad Gunawan dan adikku Nuryetty Indra Sari, serta ponaanku tersayang yang telah memberikan dukungan moril baik lahir dan batin.

10. Mahasiswa Program Studi Magister Jurusan Statistika FMIPA ITS Surabaya angkatan 2005 yang telah banyak membantu dan bekerja sama dengan penulis dalam proses penyelesaian studi.

11. Saudara-saudara seperjuangan dalam pendidikan Magister ITS: Sifriyani Ishaq, Arisamdy, Nursalam, Guntur Gau, Rudi, Muhammad Kasim Aidid, dan Jasmir yang telah banyak memberi masukan, bantuan, motivasi, dan pengertian kepada penulis selama proses penyelesaian studi.

12. Semua pihak yang telah banyak membantu yang tidak tersebut namanya.

Akhirnya penulis berharap dan memohon semoga bantuan semua pihak mendapat ridho dan bernilai amal ibadah yang saleh serta mendapat balasan yang setimpal dari Allah SWT, dan sebagai suatu karya ilmiah yang dapat memberikan manfaat untuk menambah wawasan keilmuan dan mendapat ridho dari Allah SWT.

Surabaya, Pebruari 2007 Penulis

vii

DAFTAR ISI

LEMBAR PERSETUJUAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

DAFTAR ISI vii

DAFTAR GAMBAR ix

DAFTAR TABEL x

DAFTAR LAMPIRAN xi

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1. Latar Belakang 1.2. Rumusan Masalah 1.3. Tujuan Penelitian 1.4. Manfaat Penelitian

1.5. Batasan Masalah Penelitian

1 3 4 4 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6

2.1. Regresi Nonparametrik 2.2. Model Spline

2.3. Pendekatan Bayesian untuk Estimasi Model Spline 2.3.1. Distribusi Prior Gaussian Improper

2.3.2.Fungsi Kerugian/Loss Function 2.3.3. Estimasi Bayes

2.3.4. Mean Posterior 2.4. Pengujian Hipotesis

2.4.1. Uji Generalized Maximum Likelihood (GML) 2.4.2. Uji Locally Most Powerful (LMP)

6 7 7 7 8 9 10 15 16 16

2.5. Proses Gaussian dan Wiener 2.6. Distribusi Asimtotik LRT

17 18

BAB III METODOLOGI PENELITIAN 19

3.1. Bahan dan Alat 3.2. Metode Penelitian

19 19

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 22

4.1. Estimasi Model Spline dengan Menggunakan Pendekatan Bayesian

4.2. Inferensi Statistik Uji Generalized Maximum Likelihood (GML) 4.3. Simulasi

22

32 45

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 52

5.1. Kesimpulan

5.2. Saran

52 53

DAFTAR PUSTAKA 54

LAMPIRAN 56

ix

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

4.1 Plot fungsi f t

( )

= + +1 t 2 cos 6a

(

πt

)

, dengan n =100, koefisien a = , dan 3 σ² = 1

46

4.2 Plot fungsi f t

( )

= + +1 t 3a t

(

−0.5

)

³,

dengan n =100, koefisien a = , dan 3 σ² =0.4

46

4.3 Data hasil bangkitan fungsi f t

( )

= + +1 t 2 cos 6a

(

πt

)

, dengan n =100, koefisien a = , dan 3 σ² = 1

47

4.4 Data hasil bangkitan fungsi f t

( )

= + +1 t 3a t

(

−0.5

)

³, dengan n =100, koefisien a = , dan 3 σ² =0.4

47

4.5 Kurva regresi sebenarnya, spline, dan data bangkitan 48 4.6 Grafik proporsi penolakan hipotesis untuk

Fungsi f t

( )

= + +1 t 2 cos 6a

(

πt

)

49

4.7 Grafik proporsi penolakan hipotesis untuk Fungsi f t

( )

= + +1 t 3a t

(

−0.5

)

³

51

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

4.1 Rekapitulasi proporsi penolakan hipotesis untuk Fungsi f t

( )

= + +1 t 2 cos 6a

(

πt

)

49

4.2 Rekapitulasi proporsi penolakan hipotesis untuk Fungsi f t

( )

= + +1 t 3a t

(

−0.5

)

³

50

xi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Teks Halaman

Lampiran 1 Langkah-Langkah Program Simulasi Data 56

Lampiran 2 Macro Program Simulasi Data 58

Lampiran 3 Plot Kurva Regresi 71

Lampiran 4 Plot Bangkitan Data Simulasi 72

Lampiran 5 Plot Normalitas Residual Data Simulasi 75 Lampiran 6 Hasil Pengujian Hipotesis Data Simulasi 78