HENGER KOORDINÁTA-RENDSZER 15.6
A háromdimenziós térben az(x,y,z) pont
henger-koordinátáit úgy kapjuk meg, hogy azx és y koordinátákat polár koordinátákkal írjuk le, az
koordináta pedig marad a Descartes-féle
derékszög˝u koordinátarendszerz koordinátája.
x = r cosθ
y = r sinθ
z = z,
ahol 0≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π, −∞ < z < ∞.
HENGER KOORDINÁTA-RENDSZER
Integrálásnál a térfogatelem:
dV = r drdθdz,
tehát
Z Z Z
D
f(x,y,z)dV =
Z Z Z
D
PÉLDA
GÖMBI KOORDINÁTA-RENDSZER
A Descartes-féle derékszög˝u és a gömbi koordináták közötti összefüggések:
x = ρsinφcosθ
y = ρsinφsinθ
z = ρcosφ,
ahol 0≤ ρ < ∞, 0≤ φ ≤π, és 0 ≤θ ≤2π.
GÖMBI KOORDINÁTA-RENDSZER
Integrálásnál a térfogatelem:
dV = ρ2sinφdρdφdθ,
tehát
Z Z Z
D
f(x,y,z)dV =
Z Z Z
D
PÉLDA
Számítsuk ki azR sugarú gömb térfogatát.
Gömbi koordinátákkal az R sugarú gömb a 0≤ ρ ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤φ ≤ π
egyenl˝otlenségekkel írható le.
Térfogat= RRR R
PÉLDA
Számítsuk ki az
Z Z Z
B
e(x2+y2+z2)3/2dV
integrált aholB az egységgömb
PÉLDA
PÉLDA
Számítsuk ki a
Z
E
PÉLDA
Számítsuk ki a
Z
B
HELYETTESÍTÉS
Hax = g(u,v) és y = h(u,v)
koordináta-transzformáció, ésT ˝osképe G, akkor
Z Z
ahol a transzformáció Jacobi determinánsa
POLÁRKOORDINÁTÁK
Igazoljuk, hogy ha polárkoordinátákra térünk át, azaz x = r cosθ és y = r sinθ, akkor a Jacobi
determinánsJ(r, θ) =r, tehát
Z Z
T
f(x,y)dxdy =
Z Z
G
HELYETTESÍTÉS
Hax = g(u,v,w), y = h(u,v,w) és z = k(u,v,w) koordináta-transzformáció, ésT ˝osképe G, akkor
Z Z Z
PÉLDA
Használjuk azx = 2s+t, y = s−t transzformációt
az Z Z
R
(x +y)dA
integrál kiszámítására, ahol R a (0,0), (3,−3),
PÉLDA
Számítsuk ki
Z Z
R
x2−xy + y2dA
integrált aholR azx2−xy +y2 = 2 görbével határolt ellipszis.
PÉLDA
Számítsuk kix2 + y 2
PÉLDA
Használjuk azx = u2−v2, y = 2uv transzformációt az Z Z
R
y dA
integrál kiszámítására,
TÖBBES INTEGRÁLOK: IGAZ/HAMIS KÉRDÉSEK
FELADATOK
Thomas-féle Kalkulus 15.6–15.7
