Konsekuensi keadaan teoritis: jika dadu dilempar, maka P(1) = P(2) = P(3) = P(4) =

STATISTIKA

LEKTION ZWÖLF(#12)

DISTRIBUSI PROBABILITAS

PENARIKAN SAMPEL

Verfasser bei Usmania Institute

PENDAHULUAN



Yang dilakukan pada saat uji hipotesis:

membandingkan

taraf signifikan observasi (

p-value

)

dengan

taraf signifikan



.



Taraf signifikan observasi =

observed

significance level



Jika

p-value <



,

maka

H

₀

ditolak.



p-value

: probabilitas diperolehnya hasil-hasil

ekstrem sesuai hasil sampel (empirik).





: probabilitas terjadinya harga-harga kritis

(harga-harga yang terlalu jauh dari harga teoritis

populasi).



Besarnya



ditentukan oleh si peneliti berdasarkan

tingkat kepercayaan yang ditetapkan.



Tingkat kepercayaan 95% →



= 5%



Besarnya

p-value

dihitung sesuai hasil sampel

(empirik) menggunakan distribusi probabilitas

penarikan sampel (distribusi sampling).



Untuk membuat distribusi sampling, diperlukan:

1.

Distribusi populasi

2.

Distribusi sampel



Distribusi = “sebaran” nilai

-nilai

DISTRIBUSI POPULASI



Distribusi populasi: sebaran unsur-unsur

populasi (titik-titik sampel berukuran 1 dalam

ruang sampel) yang mempunyai probabilitas

tertentu untuk muncul atau terpilih sebagai

sampel.



Distribusi populasi ditentukan berdasarkan:

1.

Unsur-unsur yang ada pada populasi.

2.

Probabilitas masing-masing unsur populasi



Contoh 1:



Percobaan melempar uang koin



Objek percobaan: uang koin



Unsur-unsur populasi: sisi muka (kode/nilai: 1)

dan sisi belakang (kode/nilai: 2).



Distribusi populasi: sisi muka (1) dan sisi

belakang (2) pada uang koin tersebut yang

masing-masing mempunyai probabilitas

tertentu untuk muncul/terjadi bila uang koin

tersebut dilempar.



Jika koin tersebut setimbang maka

P

(1) =

P

(2)

= ½.

→ keadaan ini disebut keadaan teoritis.



Contoh 2:



Percobaan melempar dadu



Objek percobaan: dadu



Unsur-unsur populasi: (1, 2, 3, 4, 5, 6)



Distribusi populasi: sebaran mata dadu (1, 2,

3, 4, 5, 6) yang masing-masing mempunyai

probabilitas tertentu untuk muncul/terjadi bila

dadu tersebut dilempar.



Contoh keadaan teoritis: “dadu setimbang”

Konsekuensi keadaan teoritis: jika dadu

dilempar, maka

P

(1) =

P

(2) =

P

(3) =

P

(4) =

P

(5) =

P

(6) = 1/6.



Contoh distribusi populasi dengan objek

mahasiswa:



Sebaran mahasiswa dalam suatu kelas sedemikian

rupa sehingga masing-masing mempunyai probabilitas

yang sama untuk terpanggil.



Sebaran tinggi badan mahasiswa.



Sebaran indeks prestasi mahasiswa.



Masing-masing unsur populasi dalam distribusi

populasi mengandung probabilitas tertentu untuk

muncul (terjadi/terpilih sebagai sampel).



Distribusi populasi mempunyai karakteristik/

keterangan/ parameter populasi tertentu yang

biasanya ditaksir (diestimasi) atau diuji secara

empiris menggunakan sampel berdasarkan harga

probabilitas



Contoh karakteristik yang akan diestimasi:





dari tinggi badan mahasiswa.





dari percobaan melempar koin 100 kali.



Contoh keterangan yang akan diuji:



Rata-rata tinggi mahasiswa kelas A sama

dengan rata-rata tinggi mahasiswa kelas B.



Uang koin ini setimbang (masing-masing

sisi mempunyai probabilitas yang sama

untuk muncul)



Formulasi hipotesis nol untuk uang koin

setimbang:



H

₀

: uang koin setimbang



H

0

: p

1

= ½



H

0

: p

1

= p

2



H

0

: f

1

= f

2



H

0

:



= 1,5.

DISTRIBUSI SAMPEL



Distribusi sampel merujuk pada sebuah titik

sampel terpilih dalam ruang sampel.



Distribusi sampel: sebaran unsur-unsur populasi

(yang masing-masing mempunyai probabilitas

tertentu untuk muncul) dalam sebuah titik sampel

terpilih (kejadian).



Distribusi sampel ditentukan berdasarkan:

1.

Unsur-unsur yang ada pada populasi.

2.

Probabilitas masing-masing unsur populasi

tersebut untuk terjadi (terpilih sebagai sampel).

3.

Ukuran sampelnya.



Pada percobaan melempar uang koin

sebanyak 4 kali lemparan:



Unsur-unsur populasi: sisi muka (1) dan sisi

belakang (2).



Banyaknya titik sampel = 2

4

_{= 16.}



Ruang sampel:

{1, 1, 1, 1}

{1, 1, 1, 2}

{1, 1, 2, 1}

{1, 1, 2, 2}

{1, 2, 1, 1}

{1, 2, 1, 2}

{1, 2, 2, 1}

{1, 2, 2, 2}

{2, 1, 1, 1}

{2, 1, 1, 2}

{2, 1, 2, 1}

{2, 1, 2, 2}

{2, 2, 1, 1}

{2, 2, 1, 2}

{2, 2, 2, 1}

{2, 2, 2, 2}



Salah dari satu titik sampel ini akan terpilih

(terjadi) menjadi sampel (kejadian).



Distribusi dari titik sampel terpilih menggambarkan

keadaan empirik.



Titik sampel terpilih akan dihitung harga statistiknya,

misalnya statistik mean

𝑋

, atau simpangan baku

S

.



Harga statistik yang diperoleh digunakan untuk

menetapkan besarnya

p-value

.



Contoh lain:



Pada percobaan 3 kali melempar dadu bersisi

enam, akan diperoleh ruang sampel yang terdiri

dari 6

3

_{= 216 titik sampel yang masing-masing}

berukuran 3.



Pemanggilan 10 orang mahasiswa siswa secara



Jika dari percobaan melempar koin sebanyak 4

kali diperoleh hasil berturut-turut: 1, 1, 2, 1, maka

dikatakan titik sampel {1, 1, 2, 1} terpilih sebagai

sampel.



Distribusi sampel: sebaran nilai 1 (muka) dan 2

(belakang) pada sampel {1, 1, 2, 1}.



Harga statistik yang dapat dihitung dari sampel

terpilih:



Mean:

𝑋

= (1 + 1 + 2 + 1) / 4 = 5/4



Median:

𝑋

= 1



Modus:

𝑋

= 1

Hasil empirik

𝑋

= 5/4 tidak sesuai dengan keadaan

teoritisnya (



= 1,5). Tetapi, kesimpulan statistik

belum bisa diambil (prosedur induksi tidak layak

dilakukan) karena ukuran sampel yang terlalu

kecil.

DISTRIBUSI PROBABILITAS

PENARIKAN SAMPEL



Distribusi probabilitas penarikan sampel (

sampling

distribution

): sebaran nilai-nilai probabilitas dari variabel

probabilitas.



Variabel probabilitas: variabel yang yang berisi harga-harga

statistik tertentu untuk setiap titik sampel dalam ruang

sampel.



Variabel probabilitas dapat berupa statistik mean, median,

modus, simpangan baku, jumlah, dan lain-lain.



Distribusi probabilitas penarikan sampel ditentukan

berdasarkan:

1.

Unsur-unsur yang ada pada populasi.

2.

Probabilitas masing-masing unsur populasi tersebut

untuk terjadi (terpilih sebagai sampel).

3.

Ukuran sampelnya.

4.

Jenis harga statistik (yang akan diuji)



Pada percobaan melempar uang koin sebanyak 4

kali lemparan:



Unsur populasi: 1 dan 2



Ukuran sampel (

n

) = 4



Terdapat 16 titik sampel berukuran 4.



Jika diketahui koin setimbang, yaitu

masing-masing unsur populasi mempunyai probabilitas

yang sama untuk terpilih sebagai sampel

(

equally likely

), sehingga

p

1 =

p

2 = ½, dan

kemudian untuk setiap titik sampel dihitung

statistik mean, maka akan diperoleh distribusi

probabilitas penarikaan sampel mean (

sampling

distribution of mean

) sebagai berikut:

𝑋

:

4/4

5/4

6/4

7/4

8/4

Frek. :

1

4

6

4

1

 Total = 16

P(

𝑋

) :

1/16

4/16

6/16

4/16

1/16



_𝑋

: variabel probabilitas (dalam hal ini berupa

statistik mean untuk setiap titik sampel)



Frek: frekuensi/banyaknya titik sampel yang

mempunyai mean

𝑋 .



_𝑋

= 4/4 → untuk titik sampel semua tampak

muka: {1, 1, 1, 1}.



_𝑋

= 5/4 → untuk titik sampel tampak 3 muka 1

belakang: {1, 1, 1, 2}, {1, 1, 2, 1}, {1, 2, 1, 1},

{2, 1, 1, 1}.



Karena p1 = p2 = ½, maka:



Untuk titik sampel

{1, 1, 1,

1} → frekuensi = 1:

P

(

𝑋

) = 1* (½ * ½ * ½ * ½ ) = 1/16



Untuk titik sampel 3 muka & 1 belakang

→

frekuensi = 4:

P

(

𝑋

) = 4* (½ * ½ * ½ * ½ ) = 4/16



Khusus untuk p1 = p2 = ½, P(

𝑋

) dapat

ditentukan dengan cara membagi frekuensi

kemunculan variabel probabilitas dengan

banyaknya titik sampel.

Soal:

1. P(

𝑋

= 5/4) =?

2. P(

𝑋

< 5/4) =?

3. P(

𝑋

≤ 5/4) =?

4. P(

𝑋

≥ 5/4) =?

5. P(

𝑋

≥ 6/4) =?



Distribusi probabilitas penarikan sampel mean

untuk percobaan melempar koin tidak

setimbang sebanyak 4 kali, di mana p1 = ¼

dan p2 = ¾:

𝑋

:

4/4

5/4

6/4

7/4

8/4

Frek.:

1

4

6

4

1

 Total = 16

P

(

𝑋

) :

1/256

12/256

54/256

108/256

81/256

Soal:

1. P(

𝑋

= 6/4) =?

2. P(

𝑋

≤

5/4) =?

3. P(

𝑋

≥ 7/4) =?



Distribusi probabilitas penarikan sampel

median untuk percobaan melempar koin

setimbang (p1 = ½ dan p2 = ½) sebanyak 4

kali:

𝑋

:

1

3/2

2

Frek.:

5

6

5

 Total = 16

P

(

𝑋

) :

5/16

6/16

5/16

Soal:



Histogram distribusi probabilitas penarikan

sampel mean untuk percobaan melempar koin

setimbang (p1 = ½ dan p2 = ½) sebanyak 4

kali (n = 2

4

_{= 16):}



Histogram distribusi probabilitas penarikan

sampel mean untuk percobaan melempar koin

setimbang (p1 = ½ dan p2 = ½) sebanyak 10

kali (n = 2

10

_{= 1024):}



Jenis-jenis distribusi probabilitas menurut jenis statistik

yang akan diuji:



Distribusi probabilitas penarikan sampel mean.



Distribusi probabilitas penarikan sampel median.



Distribusi probabilitas penarikan sampel modus.



Distribusi probabilitas penarikan sampel simpangan

baku.



Dan lain-lain.



Bentuk geometrsi (histogram) berbeda-beda sesuai

dengan:



Ukuran sampel dan besarnya populasi.



Besarnya probabilitas masing-masing unsur

populasi untuk ditarik sebagai sampel.



Jenis statistik yang akan diukur/diuji (mean,

median, modus, lainnya).

CONTOH DISTRIBUSI PROBABILITAS

PENARIKAN SAMPEL



Kasus: distribusi probabilitas penarikan sampel

mean dari IPK mahasiswa.



Populasi: IPK milik 5 orang mahasiswa (A =

2.5, B = 2.6, C = 2.4, D = 2.8 dan E = 2.6).



Penarikan sampel: acak sederhana (sehingga

masing-masing unsur mempunyai probabilitas

yang sama untuk terpilih)



Mean populasi:



Distribusi populasi = distribusi probabilitas

penarikan sampel mean untuk ukuran sampel

1 (ditarik 1 unsur sebagai sampel, n = 1):

Buat histogramnya!

𝑋

:

2,4

2,5

2,6

2,8

Frek.:

1

1

2

1

 Total = 5

P

(

𝑋

) :

1/5

1/5

2/5

1/5



Distribusi probabilitas penarikan sampel mean

untuk ukuran sampel 2 (n = 2):



Ruang sampel:

{2.5, 2.5} {2.5, 2.6} {2.5, 2.4} {2.5, 2.8} {2.5, 2.6}

{2.6, 2.5} {2.6, 2.6} {2.6, 2.4} {2.6, 2.8} {2.6, 2.6}

{2.4, 2.5} {2.4, 2.6} {2.4, 2.4} {2.4, 2.8} {2.4, 2.6}

{2.8, 2.5} {2.8, 2.6} {2.8, 2.4} {2.8, 2.8} {2.8, 2.6}

{2.6, 2.5} {2.6, 2.6} {2.6, 2.4} {2.6, 2.8} {2.6, 2.6}



Variabel probabilitas mean

𝑋

untuk setiap

titik sampel:



Diperoleh distribusi probabilitas:

𝑋

:

2,40 2,45 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70 2,80

Frek.:

1

2

5

4

6

2

4

1



Total = 25

P(

𝑋

) :

1/25 2/25 5/25 4/25 6/25 2/25 4/25 1/25



Histogram distribusi probabilitas penarikan

sampel mean untuk ukuran sampel 4 (n = 4):

MENGHITUNG

P-VALUE



Jika dari 2 orang mahasiswa yang terpilih

sebagai sampel ternyata mempunyai rata-rata

IPK sebesar 2,55, tentukan besarnya

probabilitas diperolehnya hasil-hasil ekstrem

(p-value)?

p-value =

P

(

𝑋

≤

2,55) =

1

25

+

2

25

+

5

25

+

4

25

=

12

25

𝑋

:

2,40 2,45 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70 2,80

Frek.:

1

2

5

4

6

2

4

1



Total = 25

P(

𝑋

) :

1/25 2/25 5/25 4/25 6/25 2/25 4/25 1/25



Jadi, sebenarnya p-value merupakan

probabilitas bersyarat, yaitu probabilitas

diperolehnya hasil-hasil ekstrem bilamana

diketahui H

₀

benar.

Pada kasus di atas, H

0

adalah: “Masing

-masing mahasiswa mempunyai kesempatan

yang sama untuk terpilih sebagai sampel”,

dengan kata lain “dalam kondisi normal”.



Soal:

1. P(

𝑋

= 2,50 | H

₀

) =?

2. P(

𝑋

< 2,50 | H

₀

) =?

3. P(

𝑋

≤

2,50 | H

0

) =?

4. P(

𝑋

≥

2,65 | H

0

) =?

5. P(

𝑋

≥

2,70 | H

₀

) =?

DISTRIBUSI PROBABILITAS

TEORITIS



Populasi: IPK milik 50 orang mahasiswa (A = 2.9,

B = 3.2, C = 3.4, D = 2.8 dan E = 3.1, dst.).



Diambil 10 orang mahasiswa sebagai sampel

secara acak sederhana (sehingga masing-masing

unsur mempunyai probabilitas yang sama untuk

terpilih).



Apakah untuk menghitung besarnya p-value

kita memerlukan distribusi probabilitas

penarikan sampel?



Apakah distribusi sampling tersebut harus kita

sajikan terlebih dahulu?



Apakah untuk menyajikannya kita harus

membuatnya terlebih dahulu? Bisakah kita

membuatnya? Mengapa?



Jenis distribusi probabilitas sampling:



Eksak: untuk sampel kecil yang ditarik dari

populasi yang kecil (buat sendiri).



Teoritis: untuk sembarang sampel dengan

ukuran yang tidak terlalu kecil yang ditarik

dari populasi yang besar (dibuat secara

teoritik, bersifat teoritis).



Penyelesaian:



Kasus: pengujian mean → gunakan

distribusi probabilitas Normal Z.



X = 3,00. Misal:



= 3,10,



= 0,2



Dari tabel statistik distribusi normal

diperoleh:

Z = -

0,5 →

p-value = 0,3085.



Jadi, besarnya probabilitas diperolehnya

hasil-hasil ekstrem (p-value)

=

P

(

𝑋

≤ 3,00)

= 0,3085



Distribusi teoritis (lengkap: distribusi probabilitas

penarikan sampel teoritis): adalah distribusi

probabilitas yang digunakan sebagai dasar

pengujian statistik.



Distribusi teoritis mewakili keadaan teoritis

populasi.



Distribus normal (standar) mewakili keadaan

teoritis mean populasi dalam kondisi normal,

seperti: koin setimbang, dadu setimbang,

kumpulan mahasiswa yang masing-masing

mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih

sebagai sampel, dan lain-lain.



Oleh karenanya, pengujian tentang mean

menggunakan dasar/pola distribusi normal.



Jenis-jenis distribusi probabilitas sampling teoritis:



Distribusi Probabilitas Diskret



Distribusi Binomial



Distribusi Multinomial



Distribusi Hipergeometris



Distribusi Poisson



Distribusi Probabilitas Kontinu



Distribusi Normal

Z



Distribusi Student’s

t



Distribusi Fisher

F



Distribusi Chi-kuadrat



2



Distribusi Uniform



Distribusi Eksponensial



dll.

TABEL STATISTIK DISTRIBUSI

PROBABILITAS



Tabel statistik dari distribusi probabilitas teoritis

banyak dijumpai di lampiran berbagai buku

Statistika.



Digunakan untuk:



Menetapkan besarnya

p-value

jika harga

statistik sampel (contoh:

z

-hitung) diketahui.



Sebaliknya, menetapkan besarnya harga statistik

sampel

(contoh:

z

-hitung), jika

p-value

diketahui.



Menetapkan harga titik kritis (contoh:

z

-tabel),

untuk taraf signifikan



yang diberikan.



Yang dilakukan dalam pengujian hipotesis:



p-value

vs



(berlaku umum), atau



z-hitung vs

z

-tabel (tergantung distribusinya).



Peyajian dan cara membaca tabel statistik tergantung

pada distribusi probabilitasnya.



Pada distribusi normal, batang tubuh tabel memuat

nilai probabilitasnya (

p-value

/ ), sedangkan

statistik

z

termuat di kolom dan baris pertama

(

heading

).



Pada distribusi student, batang tubuh tabel memuat

statistik

t

, kolom pertama memuat derajat bebas

(

df

), dan baris pertama memuat nilai probabilitasnya

(

p-value

/ ).



Pada distribusi Fisher, batang tubuh tabel memuat

statistik

F

, baris pertama dan kolom pertama

memuat derajat bebas (

df

1

dan

df

2

), dan tabel

disajikan untuk sejumlah nilai probabilitasnya (

p-value

/ ).



Lain buku, lain pula cara menyajikan tabel.



Buku yang baik disertai cara membaca tabel.

DISTRIBUSI PROBABILITAS

Luas daerah diarsir =

P

(Z ≥ Z

0

)



Jika diketahui mean populasi  = 3,00, dan simpangan

baku populasi  = 0,2, maka untuk harga statistik mean

𝑋

= 3,10 akan diperoleh statistik Z:



Z = 0,5 → luas daerah dirsir (probabilitas) = 0,3085



Jadi, jika diketahui mean populasi  = 3,00, dan



Jika untuk uji 2 sisi digunakan



= 30%, berapa

harga kritis statistik Z?



Jika dari hasil pengujian diperoleh Z = 0.87,

maka berapa besarnya p-value?



Jika diketahui bahwa dalam populasi, rata-rata

kredit macet (NPL) pada BPR-BPR di