4.1 Hasil Pembelajaran - MTE3101 PPG TOPIK 4 NOMBOR NISBAH

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

1

Topik 4 Nombor Nisbah

4.0 Sinopsis

Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang Nombor Nisbah serta ciri-ciri asas

nombor tersebut. Kardinaliti (cardinality) bagi Nombor Nisbah juga dibincangkan. Selain itu,

turut dibincangkan juga Nombor Nisbah Kompleks dan Pecahan Berterusan (continued fractions). Akhir sekali, topik ini memuatkan beberapa penyelesaian masalah tentang Nombor Nisbah.

4.1 Hasil Pembelajaran

1. Mengenal pasti ciri-ciri Nombor Nisbah.

2. Melakukan operasi ke atas pelbagai Nombor Nisbah.

3. Menyelesaikan masalah harian yang melibatkan Nombor Nisbah.

4.2 Kerangka Konsep

NOMBOR NISBAH

Ciri-ciri asas / Definisi

Kardinaliti

Nombor Nisbah Kompleks Dan Pecahan Berterusan (Continued Fractions)

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

2

4.3 Ciri-ciri Asas Nombor Nisbah

4.3.1 Definisi

Nombor Nyata ( Real Numbers ) terdiri daripada :

(a) Nombor Bulat ( Whole Numbers )

(b) Nombor Asli ( Natural Number )

(c) Nombor Integer ( Integers )

(d) Nombor Nisbah ( Rational Numbers )

(e) Nombor Bukan Nisbah ( Irrational Numbers )

Set Nombor di atas boleh digambarkan seperti rajah di bawah :

Dalam dunia Matematik, Nombor Nisbah adalah sebarang nombor yang dapat ditulis

sebagai nisbah / pecahan (ratio) dua integer , dengan keadaan penyebut, tidak sama

dengan 0. Set Nombor Nisbah disimbolkan sebagai , Selanjutnya, sebarang nombor

perpuluhan yang berulang dan berakhir adalah Nombor Nisbah.

p (pengangka)

q

(penyebut) p / q =

1 1 1/1 1

1 2 1/2 0.5

55 100 55/100 0.55

1 1000 1/1000 0.001

253 10 253/10 25.3

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

3

Contoh umum:

1.5 adalah Nombor Nisbah, boleh ditulis sebagai nisbah 3/2.

7 adalah Nombor Nisbah, boleh ditulis sebagai nisbah 7/1.

0.317 adalah Nombor Nisbah, boleh ditulis sebagai nisbah 317/1000.

Berikut adalah beberapa contoh lain:

Nombor

Sebagai Nisbah

Rasional?

5 5/1 Ya

1.75 7/4 Ya

0.001 1/1000 Ya

0.111... 1/9 Ya

√2

(Punca kuasadua bagi 2) ? TIDAK !

Punca kuasa dua bagi 2 adalah 1.4142135…( nombor perpuluhan yang tidak berulang ) dan tidak dapat ditulis sebagai nisbah / pecahan.

Perhatikan pernyataan berikut :

... , 8 16 , 2

4 , 2 10

Dalam set integer,

,

operasi pembahagian seperti di atas dapat dijalankan dan memberi

hasil yang tepat. Perhatikan pula pernyataan berikut :

... . 7 2 ,. 12

5 , 5 16

Kita mendapati set nombor yang kedua di atas tidak dapat memberi jawapan yang tepat /

jitu.

Set yang pertama di atas dikenali sebagai set NOMBOR NISBAH manakala set yang

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

4

Contoh 1

a) Tukar 0. 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 …….kepada pecahan.

b) Seterusnya, tentukan samada 10.262626 ……adalah Nombor Nisbah atau tidak.

Penyelesaian

(a) Jadikan x = 0.26262626 … --- (persamaan 1)

(Darab dengan 100) , 100 x = 26.262626 …. --- (persamaan 2)

(persamaan 2 – persamaan 1) 100x – x = 26.26262626 0.26262626….. 99 x = 26

x = 99 26

#

(b) Jadikan y = 10. 26262626 … --- (persamaan 1)

(Darab dengan 100) 100 y = 1026.262626..--- (persamaan 2)

(persamaan 2 – persamaan 1) 99 y = 1016

y = 99 1016

(pecahan)

Maka 10.262626 adalah Nombor Nisbah, Q. # DEFINISI NOMBOR NISBAH

NOMBOR NISBAH adalah set nombor yang terdiri daripada b a

di mana a dan b merupakan

nombor integer, dan b 0. Ia dilambangkan sebagai Q. (contoh , 4 3 75 . 0 , 4 1

8

,

1 3

, 0.4,

1 20 20

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

5

4.3.2 Operasi Ke Atas Nombor Nisbah

Jika b a dan d c

adalah nombor Nisbah, maka

PENAMBAHAN :

bd bc ad bd bc bd ad d c b a

PENOLAKAN :

bd bc ad bd bc bd ad d c b a

PENDARABAN :

bd ac d c b a

PEMBAHAGIAN : (c 0)

bc ad d c b a Contoh 2: Tambahkan 10 1 15 2 Penyelesaian:

Langkah 1: Cari GSTK bagi 10 dan 15. Didapati GSTK(10,15) = 30

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

6

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari GSTK bagi 180 dan 1200. Didapati GSTK(180,1200) = 3600

Langkah 2:

3600

3253

3600

)

69

3

(

)

173

20

(

1200

69

180

173

Contoh 4:

Darabkan Nombor Nisbah berikut :

(a) 7 4 3 2 (b) 5 3 2 2 1 3 Penyelesaian: (a) 21 8 7 4 3 2 (b) 5 3 2 2 1 3 = 10 91 5 13 2 7 Contoh 5:

Bahagikan Nombor Nisbah berikut :

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

7

(b)

2

3

24

36

8

9

3

4

9

8

3

4

Contoh 6:

Cari Nombor Nisbah antara 3 2

dan 6 5

Penyelesaian:

Langkah 1: Tambahkan kedua-dua pecahan/nombor nisbah itu.

2 3 6 9

6 5 6 4 6 5 3 2

Langkah 2: Ambil setengah/separuh daripada hasil tambah di atas:

4 3

2 3

2 1

Nombor Nisbah

4 3

berada antara

6 5 3 2

dan

Cuba anda selesaikan soalan-soalan berikut:

(a)

4

7 53

(b)

9 5

7 4

(c)

25 14

7 5

(d)

21 8

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

8

4.4 Kardinaliti

Kardinaliti merujuk kepada bilangan elemen / saiz dalam sesuatu set. Kardinaliti boleh

mengambil nilai INTEGER POSITIF TERHINGGA ( FINITE ) atau TAK TERHINGGA (

INFINITE ). Sebagai contoh, kardinaliti bagi set penduduk di Malaysia adalah lebih kurang

30 juta orang; kardinaliti bagi set INTEGER adalah infiniti.

Cuba jawab soalan berikut :

Berapakah jumlah kesemua Nombor Nisbah ? Jawapan anda tentunya : INFINITI.

Kita akan membincangkan tentang konsep PADANAN SATU DENGAN SATU bersama

KARDINALITI.

Perhatikan gambarajah berikut :

(a)

Set C Set D

f i

g j

h k

(b) x y

Jika terdapat / wujud PADANAN SATU DENGAN SATU antara semua elemen daripada

dua set, kita dapat katakan kedua-dua set tersebut mempunyai KARDINALITI yang sama.

Kita boleh katakan set { -3, -1, 0, 2 } dan { 1, 0, 2, 4 } mempunyai kardinaliti yang sama:

-3 1 -1 0 0 2 2 4

-3

-1

0

2

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

9

Bagi SET TERHINGGA( finite set ),KARDINALITI adalah bilangan elemen dalam set

tersebut. Maka, dalam contoh di atas, set X { -3, -1, 0, 2 } mempunyai kardinaliti 4. ( ditulis

juga sebagai

X

4

4.5 NOMBOR NISBAH KOMPLEKS DAN PECAHAN BERTERUSAN (CONTINUED

FRACTIONS)

4.5.1 Nombor Nisbah Kompleks

Pecahan kompleks (atau pecahan majmuk) ialah pecahan yang pengangka atau

penyebutnya (atau kedua-duanya sekali) mengandungi pecahan.

Sebagai contoh: 4 3

2 1

, 95 78 17

, 26

4 3 12

dan sebagainya.

Untuk memudahkan satu pecahan/nombor nisbah kompleks, bahagikan pengangka

dengan penyebut seperti dalam pecahan yang lain. Persoalan sekarang,

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

10

Contoh 7:

Mudahkan

16 3 8 7

4 1 3 1

Penyelesaian:

Langkah 1: Selesaikan pengangka dengan mencari GSTK bagi 3 dan 4.

Didapati GSTK(3,4) = 12, maka

12

7

12

)

1

3

(

)

1

4

(

4

1

3

1

Langkah 2: Selesaikan penyebut dengan mencari GSTK bagi 8 dan 16.

Didapati GSTK(8,16) = 16, maka

16

11

16

)

3

1

(

)

7

2

(

16

3

8

7

Langkah 3: Selesaikan

16 3 8 7

4 1 3 1

33 28

11 16 12

7 16 11 12 7

16 3 8 7

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

11

Contoh 8:

Mudahkan x x ₈ 5 6 7

Penyelesaian :

Langkah 1: Penyebut adalah 6x dan 8x

Langkah 2: GSTK bagi 6x dan 8x adalah 24x

Langkah 3: Selesaikan masalah diberi

x x x x x 24 43 24 15 28 24 ) 5 3 ( ) 7 4 ( 8 5 6 7

4.5.2 Pecahan Berterusan ( Continued Fractions)

(A) Definisi :

Pecahan Berterusan yang mewakili nombor nyata, x adalah dalam bentuk

...

1

1

1

3 2 1 0

a

a

a

a

x

di mana a₀,a₁,a₂,a₃,..._{adalah nombor integer , , , ,...} 3 2 1 0 a a a

a _{> 0.} 0 a _boleh

mengambil nilai integer negatif. (Untuk menjimatkan ruang, pecahan berterusan

boleh juga diringkaskan sebagai x [a₀,a₁,a₂,a₃,...]

Cuba anda mudahkan soalan-soalan berikut:

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

12

Contoh 9:

Tulis 9 31

sebagai pecahan berterusan.

Penyelesaian:

Langkah 1: cari bahagian integer bagi 9 31

Langkah 2: kita tahu bahawa 31 = 9 x 3 + 4, jadi kita tulis

9 4 3 9 31

Langkah 3: pastikan pengangka sentiasa bernilai 1, jadi kita tulis

4

9

1

9

4

Langkah 4: kita tahu bahawa 9 = 4 x 2 + 1

Langkah 5: Jadi,

4

1

2

1

4

9

1

9

4

Langkah 6: Jadi, kita dapat menulis

4

1

2

1

3

9

4

3

9

31

( ini dikenali sebagai pecahan berterusan

yang mudah/ringkas ).

Contoh 10:

Diberi pecahan berterusan

5 1 2

1 3

1 4

x _.

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

13

Penyelesaian:

Langkah 1:

5 1 2 1 3 1 4 x ₌ 5 11 1 3 1 4

Langkah 2:

11 5 3 1 4 5 11 1 3 1 4 x

Langkah 3:

11

38

1

4

11

5

3

1

4

x

Langkah 4:

38

11

4

11

38

1

4

x

Langkah 5:

38 163 38 11 4 x

Cuba anda selesaikan soalan-soalan berikut:

(1)Cari pecahan berterusan kepada Nombor Nisbah berikut:

(a) 5 12

(b)

16 181

(c)

30 43

(2) Tukarkan Pecahan Berterusan berikut kepada Nombor Nisbah:

(a)

2

1

4

1

7

(b)

5 1 1 1 1 1

2

(c)

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

14

(B) Menggunakan Algoritma Euclidean untuk mendapatkan Pecahan

Berterusan

Proses mendapatkan Pecahan Berterusan daripada Nombor Nisbah adalah sebenarnya mencari Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi pengangka dan

penyebut dengan menggunakan Algoritma Euclidean

Contoh 11:

Tulis

189 900

sebagai pecahan berterusan.

Langkah 1: 900 = 189 x 4 + 144 , jadi

189 144 4

189 900

Langkah 2: 189 = 144 x 1 + 45

Langkah 3:

144

45

1

1

4

189

900

Langkah 4: 144 = 45 x 3 + 9 dan 45 = 9 x 5 + 0

Langkah 5:

5 1 3

1 1

1 4

189 900

NOTA: Jawapan yang kompak ( compact form), diberi sebagai

[4,1,3,5]

189 900

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

15

Peringatan: Anda digalakkan melayari laman web atau cari dari buku rujukan di

pusat sumber untuk meningkatkan pemahaman anda. Segala latihan yang dibuat

perlu dimasukkan dalam portfolio masing-masing.

SELAMAT BELAJAR! Cuba anda selesaikan soalan-soalan berikut:

(1)Cari pecahan berterusan kepada Nombor Nisbah berikut:

(a) 51 239

(b) 999 2160

(c) 322 819

(2) Beri jawapan anda juga dalam bentuk kompak(compact form).

(3)

Nyatakan samada nombor-nombor berikut adalah nombor nisbah

dan berikan sebabnya.

a.

7329

b.

√4

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

16

Rujukan

Hardy, G.H.& Wright, E.M.(1979). An introduction to the theory of numbers, 5th edn.Oxford

University Press, Oxford.

Michon, G.P. 2005, Final answers – Continued fractions. Retrieved 9 January 2006 from http://home.att.net/~numericana/answer/fractions.htm#patterns

Knott,R. 2006, An introduction to the continued fraction. Retrieved 7 January 2006 from

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html

Shakuntala Devi. (1986). The joy of numbers. Delhi, India: Orient Paperbacks.

Sullivan, Michael. (1999). Algebra and Trigonometry. 5th ed. New Jersey: Prentice Hall.