3.1 Hasil Pembelajaran - MTE3101 PPG Topik 3 Nombor Asli

26

Topik 3

Nombor Asli

3.0 Sinopsis

Topik ini mengenai Nombor Asli yang merangkumi Nombor Perdana,Nombor

Modular,Teorem Asas Arithmetik dan rekreasi nombor. Dalam Nombor Perdana peraturan

kebolehbahagi dan pemfaktoran perdana dengan menggunakan pokok faktor

dititikberatkan. Cara yang lain untuk mencari gandaan sepunya terkecil dan faktor sepunya

terbesar khasnya untuk nombor besar dicari dengan menggunakan Algoritma Euclidean.

Manakala, Nombor Modular melibatkan operasi asas dan aplikasinya dalam kehidupan

juga dibincangkan. Perkaitan antara Nombor Fibonacci dengan Nisbah Keemasan (Golden

Ratio) dan alam semula jadi akan dibincangkan dan diaplikasikan dalam rekreasi nombor

dan penyelesaiaan masalah.

3.1 Hasil Pembelajaran

1. Menggunakan peraturan kebolehbahagi untuk menentu faktor bagi sesuatu nombor.

2. Mencari hasil darab faktor perdana bagi sesuatu nombor dengan menggunakan pokok faktor.

3. Mengguna algoritma Euclidean untuk mencari gandaan sepunya terkecil dan faktor sepunya terbesar.

4. Menggunakan Nombor Modular untuk menyelesaikan masalah harian.

27

3.2 Kerangka Konsep

3.3 Nombor Perdana

3.3.1 Bahagi

Katakan a dan b adalah sebarang nombor bulat dengan keadaan a≠ 0. Kita kata a bahagi b, dan ditulis sebagai a│b jika dan hanya jika terdapat satu nombor bulat x dengan

keadaan ax = b. Simbol a │b bermakna atidak bahagi b.

Dalam perkataan lain, a bahagi b jika dan hanya jika a adalah faktor bagi b. Apabila a bahagi b, kita juga katakan a adalah pembahagi (divisor) bagi b, b adalah gandaan (multiper) bagi a, dan b boleh dibahagi oleh a.

Contoh:

Faktor bagi 12 adalah 1, 2, 3, 4, dan 12 kerana 1 x 12 = 12, 2 x 6 = 12, 3 x 4 = 12.

Pembahagi 12 = 1, 2, 3, 4, 12 ( sama dengan faktor)

28

Tentukan sama ada yang berikut benar atau palsu. Jelaskan.

(i) 3│12 (ii) 8 adalah pembahagi bagi 96

Pernahkah anda lihat atau fikir bagaimana seseorang dapat menentukan sesuatu nombor itu boleh dibahagi dengan nombor tertentu secara cepat dan pantas? Pasti anda berasa ghairah, bukan?

Mari kita lihat ujian kebolehbahagi bagi nombor yang besar sertai contohnya.

Ujian Kebolehbahagi Contoh

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 2 jika digit akhirnya ialah 0, 2, 4, 6 or 8.

168 boleh dibahagi oleh 2 kerana digit akhirnya ialah 8.

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 3 jika jumlah semua digit boleh dibahagi oleh 3.

168 boleh dibahagi oleh 3 kerana jumlah digitnya ialah 15 (1+6+8=15), dan 15 boleh dibahagi oleh 3

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 4 jika dua digit akhir nombor itu dibahagi 4.

316 boleh dibahagi oleh 4 kerana 16 boleh dibahagi oleh 4.

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 5 jika digit akhir ialah 0 atau 5.

195 boleh dibahagi oleh 5 kerana digit akhirnya ialah 5.

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 6 jika nombor itu boleh dibahagi oleh 2 DAN 3.

168 boleh dibahagi oleh 6 kerana nombor 168 boleh dibahagi oleh 2 DAN 3.

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 8 jika tiga digit akhir boleh dibahagi oleh 8.

7,120 boleh dibahagi oleh 8 kerana 120 boleh dibahagi oleh 8.

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 9 jika jumlah semua digit boleh dibahagi oleh 9.

29

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 10 jika digit akhirnya ialah 0.

1,470 boleh dibahagi oleh 10 kerana digit akhirnya ialah 0.

Adakah anda sudah faham begitu mudah untuk menguji kebolehbahagi sesuatu nombor dengan mengingati beberapa peraturan di atas?

Nyatakan nombor-nombor yang boleh membahagi nombor berikut:

Dalam sekolah menengah anda telah didedahkan cara mencari gandaan sepunya terkecil (GSTK) dan faktor sepunya terbesar(FSTB) (sila rujuk buku teks Matematik Tingkatan 1) .Terdapat satu cara lain untuk mencari GSTK dan FSTB khasnya untuk nombor yang besar. FSTB boleh dicari dengan mengaplikasi algoritma bahagi secara berulang.Cara ini dipanggil Algoritma Euclidean. FSTB bagi dua integer boleh dicari dengan membahagi pembahagi dengan baki secara berulang sehingga mendapat baki 0. FSTB adalah baki terakhir yang bukan sifar dalam algoritma ini. Contoh berikut menunjukkan algoritma Euclidean:

Contoh:

Cari FSTB bagi 81 dan 57 dengan menggunakan cara Algoritma Euclidean:

30

(Mendapat baki 0 menunjukkan langkah akhir dalam algoritma Euclidean)

Jadi FSTB(81,57) = 3 iaitu baki terakhir yang bukan sifar. 3 adalah faktor bagi 6.

Keputusan di atas diperoleh berdasarkan algoritma Euclidean asas yang dinyatakan di bawah:

Berdasarkan contoh di atas, FSTB (81,57) = FSTB(57,24) =FSTB(24,9)= FSTB(9,6) = FSTB(6,3).

Seterusnya, gandaan sepunya terkecil boleh dicari dengan menggunakan rumus berikut:

Maka,, GSTK (81,57) =

Cari FSTB bagi pasangan nombor berikut dengan menggunakan algoritma Euclidean dan seterusnya mencari GSTK bagi pasangan nombor tersebut.

31

Perkara yang perlu dibuat:

Rujuk bahan resos dan baca

1. S.Groves (2006). Exploring Number and Space. Deakin University. Divisibility: m.s 201-205

2. S Groves (2006).Topic 2 – The natural numbers- Additional notes. Prime Factorization: The Euclidean Logarithm

3. Buat Tutorial 3.

4. Cari sumber yang lain untuk membuat latihan yang berkaitan.

3.4 Teorem Asas Aritmetik

Sebelum kita faham teorem di atas kita perlu faham beberapa definisi penting yang akan dibincangkan di bawah

 Definisi Nombor Perdana

Nombor perdana adalah integer positif p, dimana p > 1 (p lebih besar daripada 1) jika ia hanya boleh dibahagi oleh nombor positif 1 dan p (dirinya sendiri).

Dalam perkataan yang lain, nombor perdana adalah nombor yang mempunyai hanya dua faktor sahaja.

Maksud boleh dibahagi ialah, apabila dibahagi akan menghasilkan integer (rujuk atas) .

 Definisi Nombor Komposit (Composite Number)

Nombor komposit adalah integer q, dimana q > 1 dan boleh dibahagi dengan nombor selain 1 dan dirinya sendiri.Biasanya nombor komposit boleh ditulis sebagai hasil darab nombor perdana. Sebagai contoh : 30 = 2×3×5

32

3.4.1 Teorem Asas Aritmetik (TAR) memberitahui kita hubungan antara nombor komposit dengan nombor perdana. Teorem ini menyatakan bahawa

Apa maksud kenyataan di atas? Mari kita melihat contoh berikut:

60 = 2 × 2 × 3 × 5 atau = 3 x 5 x 2 x 2

TAR memberitahui kita bahawa tiada cara untuk memfaktorkan 60 dalam nombor perdana yang lain selain daripada yang ditulis di atas. Pemfaktoran ini adalah unik. Susunan faktor adalah tidak penting. ( Adalah benar kita boleh faktor 60 menjadi 4 x 15 tetapi 4 dan 15 bukan nombor perdana).

Seterusnya, mari kita lihat cara yang mudah untuk menulis sebarang nombor komposit dalam bentuk hasil darab nombor perdana.

3.4.2 Pokok Faktor

Bahagian ini menerangkan cara menulis nombor komposit dalam bentuk hasil darab nombor perdana dengan menggnakan pokok faktor.

40 630

2 20 2 315

2 10 3 105

2 5 3 35

5 7

Gambarajah di atas menunjukkan pokok faktor bagi 40 dan 630. Pokok faktor ini dibina dengan mencari satu faktor dahulu dengan menggunakan peraturan kebolehbahagi yang telah anda belajar dalam bahagian 3.3.2. Setiap faktor itu mungkin nombor perdana atau komposit. Jika nombor itu komposit teruskan pemfaktoran sehingga ia tidak dapat difaktorkan.

Jadi, 60 = 2 x 2 x 2 x 5 ( atau 23 x 5)

33

dan 630 =2 x 3 x 3 x 5 x 7 (atau 2 x 32 x 5 x 7)

(Hasil darab faktor yang ditulis dalam kurungan itu adalah notasi eksponen.)

Dengan demikian kita boleh merumuskan bahawa,

Cari pemfaktoran perdana bagi (a) 200, (b) 75, (c) 36 dan tuliskan jawapan dalam bentuk notasi eksponen.

3.4.3 Konjektur Goldbach

Pernahkah anda dengar tentang konjektur Golbach? Konjektur ini berkaitan dengan nombor perdana. Konjektur Goldbach berbunyi seperti berikut:

Contoh:

4 = 2 +2, 10 = 3 + 7 atau 5 + 5, 100 = 89 + 11

Perhatikan nombor-nombor yang ditambahkan adalah nombor perdana.

Bolehkah anda memberi contoh-contoh yang lain? Ataupun anda boleh membuktikan konjektur ini salah?

Semua nombor asli genap yang besar daripada 2 boleh ditulis sebagai

jumlah 2 nombor perdana.

Jika m adalah nombor komposit, maka terdapat nombor perdana p1, p2 ,..., pn

dengan keadaan

m = p1x p2 x ...x pn

34

Perkara yang perlu dibuat:

1. Baca dari Bahan Resos: “The Fundamental Theorem of Arithmetic” in Susie Groves (2006). Exploring Space and Numbers – Study Guide. p.24.

2. Baca dari Bahan Resos: “Prime Numbers” in Richard J.B. Number Systems: An elementary approach. p. 142 – 145

3. Buat sipnosis dari bacaan “Ryan’s primes” in B. Juraschek & A.S. Evans (2000).

4. Cari sumber yang lain untuk membuat latihan yang berkaitan.

Selamat belajar dan Selamat meneroka!

Peringatan: Anda digalakkan melayari laman web atau cari dari buku rujukan di pusat sumber untuk meningkatkan pemahaman anda. Segala latihan yang dibuat perlu dimasukkan dalam portfolio masing-masing.

3.5 Nombor Modular

Dalam bahagian ini kita akan membincang tentang aritmetik jam, operasi asas yang

melibatkan aritmetik jam dan kekongruenan mod. Aritmetik modular adalah matematik

yang hanya menggunakan set nombor yang finit. Banyak masalah boleh diselesaikan

dengan menggunakan nombor modular antaranya menentukan hari apa yang anda lahir

pada tahun tertentu, mencari kod rahsia, hari tertentu pada tarikh tertentu dan sebagainya.

3.5.1 Aritmetik Jam

Aritmetik jam (atau modular) adalah aritmetik yang anda buat pada jam.

Pada jam - 12 (12-hour clock), terdapat 12 nombor iaitu 1, 2,3,4,5,6,7,8,9.10,11 dan 12.

Biasanya kita mengguna nama piawai untuk nombor-nombor pada jam, dan mula dengan

35

Untuk memudahkan kefahaman anda kita menggunakan jam-12 di atas untuk membuat

aritmetik yang mudah.

Jika sekarang pukul 3 (3 o’clock) dan kita tambah 5 jam dan jam akan menunjukkan pukul 8 (8 o’clock), jadi kita tulis 3 + 5 = 8. Tetapi jika sekarang pukul 11 dan kita tambah 5 jam dan jam akan menunjukkan pukul 4 (4 o’clock), jadi kita perlu menulis 11 + 5 = 4 bukan 16 kerana tidak terdapat nombor 16 pada jam-12.

Setiap kali kita melepasi 12, kita membilang jam mulai 1 semula. Jika kita menambah

nombor dengan cara kita menambah jam dengan menggunakan jam, kita sebenarnya

melakukan aritmetik jam. Maka, dalam jam aritmetik 8 + 6 = 2 kerana 6 jam selepas pukul

8 adalah pukul 2.

Dengan menggunakan model jam di atas sebagai panduan, lengkapkan Jadual 1 di

36

Jadual 1 Penambahan pada Jam-12

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1

2

3 5

4

5

6 12

7 7

8 11

9 7

10

11

12 1

Apakah yang anda perhatikan nilai-nilai yang diperoleh dalam Jadual 1? Apa yang anda

telah lakukan ialah menambah nombor berdasarkan jam-12 dan elemen-elemen dalam

jadual itu adalah finit yang terdiri daripada set {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.

Berdasarkan Jadual 1 yang anda telah lengkap, selesaikan soalan berikut:

1.

2.

3.

4.

5. 7 + 13 = _____

6.

7.

37

3.5.2 Operasi Asas Aritmetik Jam

Penolakan, pendaraban, dan pembahagian dalam aritmetik jam boleh ditakrifkan

sebagaimana dalam aritmetik biasa

(a) Penolakan : a – b = x bermakna a = b + x

(b) Pendaraban : a x b = ab bermakna b + b +... + b

tambah a kali

(c) Pendaraban sifar : Jika a = 0, maka a x b = 0 x b = 0

(d) Pembahagian : a ÷ b = a / b = x bermakna a = bx mempunyai songsang

pendaraban

Dengan menggunakan takrifan operasi asas aritmetik jam seleasaikan soalan berikut

berdasarkan jam-12.

(i) 4 – 9 (ii) 4 x 9 (iii) 4 ÷ 7 (iv) 4/9

Penyelesaian

(i) 4 – 9 = x

Bermakna 4 = 9 + x.

Dari Jadual 1, x = 7

(ii) 4 x 9 bermakna 9 + 9 + 9 + 9 =12 ( dari Jadual 1)

(iii) 4 ÷ 7 = y

Bermakna 4 = 7 y

Dengan cara cuba jaya, 7 x 1 = 7; 7 x 2 = 2; 7 x 3 = 9; 7 x 4 = 4.

Maka y = 4

(iv) 4/9 = t

Bermakna 4 = 9 t

Dengan cara cuba jaya, 9 x 1 =9; 9 x 2 = 6; 9 x 3 = 3; 9 x 4 = 12;

9 x 5 =9; 9 x 6 = 6; 9 x 7 = 3; 9 x 8 = 12;

9 x 9 =9; 9 x 10 = 6; 9 x 11 = 3; 9 x 12 = 12

38

Pertimbangankan sistem matematik berdasarkan jam-5 dengan set finitnya = {0, 1, 2, 3,

4}. Proses penambahan pada jam-5 adalah sama dengan jam-12 kecuali nombor-nombor

dalam set ini adalah {0, 1, 2, 3, 4}.

Laksanakan proses penambahan dan pendaraban untuk jam-5 (modulo 5 arithmetic)

dengan melengkapkan Jadual 2 dan Jadual 3 masing-masing.

Jadual 2 Penambahan pada jam-5

+ 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

Jadual 3 Pendaraban pada jam-5

x 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

Proses penambahan atau pendaraban di atas juga dikenali modulo 5 atau mod 5

Dari Jadual 3, didapati

4 + 9 = 3 dan 2 + 1 = 3

Maka, 4 + 9 = 2 + 1

Untuk menjadi pernyataan di atas benar, kita menggunakan notasi berikut:

4 + 9 = 2 + 1, (mod 5)

39

Kekongruenan Mod m

Contoh

Tentukan pernyataan berikut sama ada benar atau palsu.

(i) 3 ≡ 8, (mod 5) (ii) 3 ≡ 53, (mod 5) (iii) 3 ≡ 19, (mod 5)

Penyelesaian

(i) 3 ≡ 8, (mod 5) kerana 8 – 3 = 5, dan 5 adalah gandaan bagi 5. (ii) 3 ≡ 53, (mod 5) kerana 53 – 3 = 50, dan 50 adalah gandaan bagi 5. (iii) 3 ≡ 19, (mod 5) kerana 19 – 3 = 16, dan 16 bukan gandaan bagi 5.

Terdapat cara yang lain untuk menentukan sama ada dua nombor itu kongruen mod m.

Bahagikan setiap nombor dengan m dan semak bakinya. Jika baki mereka adalah sama

maka nombor-nombor itu kongruen mod m. Contoh, 3 ÷ 5 bakinya 3, dan 53 ÷ 5 bakinya 3

juga, jadi 3 ≡ 53, (mod 5).

Contoh:

Selesaikan persamaan berikut.

1. 4 + 9 ≡ x, (mod 5) 2. 15 + 92 ≡ x, (mod 5) 3. 2 + 4 ≡ x, (mod 5) 4. 2 – 4 ≡ x, (mod 5) 5. 7 x 5 ≡ x, (mod 7) 6. 3 – 5 ≡ x, (mod 12)

Penyelesaian

1. 4 + 9 = 13 ≡3, (mod 5) Maka, x = 3.

(Panduan: 13 ÷ 5 dan dapatkan bakinya)

2. 15 + 92 = 107 ≡2, (mod 5) Maka, x = 2.

3. 2 + 4 =6 ≡ 1, (mod 5) Maka, x = 1.

40

4. 2 – 4 ≡ 7 – 4, (mod 5) kerana 2 ≡ 7, (mod 5)

≡ 3, (mod 5). Maka, x = 3

5. 7 x 5 =35 ≡ 0, (mod 7) Maka, x = 0

6, 3 – 5 = 15 – 5, (mod 12) kerana 3 ≡ 15, (mod 12) ≡ 10, (mod 12)

Maka, x = 10.

Contoh:

Februari 2011 mempunyai 28 hari dan 1 Februari adalah hari Selasa. Tentukan hari

apakah pada 13 Februari dan 28 Februari ?

Penyelesaian

Bina jadual berikut:

Hari Selasa Rabu Khamis Jumaat Sabtu Ahad Isnin

Hari

(mod 7) 1 2 3 4 5 6 0

Hari Selasa kita letak nilainya 1 kerana 1 hb bersamaan 1≡ 1, (mod 7). Maka 14 Feb , 13 ≡ 6, (mod 7)

Jadi, 14 Feb jatauh pada hari Ahad (rujuk jadual di atas)

41

Untuk melihat aplikasi modulo aritmetik dalam kehidupan harian yang lain sila baca contoh

5 dan 6 dalam “Clock Arithmetic” and “Modulo Five Arithmetic” in Smith (2001). The Nature of Mathematics, p.216 – 221. m.s 220 dan 221 masing-masing.

1. Pernyataan mana yang benar?

(a) 5 + 8 ≡ 1, (mod 6); (b) 5 + 4 ≡ 1, (mod 7); (c) 108 ≡ 12 , (mod 8) 2. Selesaikan:

(a) 9 + 6, (mod 5); (b) 7 -11, (mod 12); (c) 4 x 3, (mod 5)

(d) 1 ÷ 2, (mod 5)

3. Cari nilai x jika (i) x– 2 ≡ 3, (mod 6); (ii) 3x≡ 2, (mod 7); (iii) x ÷ 4 ≡ 5, (mod 9)

4. 1 Mac 2011 jatuh pada hari Selasa. Bina jadual modulo 7 untuk bulan Mac.

Seterunya, tentukan hari apakah (i) 9 Mac, (ii) 22 Mac dan (iii) 31 Mac ?

Perkara yang perlu dibuat:

1. Baca dari Bahan Resos: “Clock Arithmetic” and “Modulo Five Arithmetic” in Smith (2001). The Nature of Mathematics, p.216 – 221 dan Modular Arithmetic p.118 - 134

2. Buat latihan dari “Problem Solving” in Smith (2001). The Nature of Mathematics. 9th ed. p. 225-226

3. Baca “A card trick” in Miller, Heeren & Hornsby (1990). Cuba helah dengan kawan anda.Tuliskan satu ringkasan bagaiman helah aritmetik modular boleh digunakan

untuk menerangkan helah itu.

SELAMAT BELAJAR!

42

Rujukan

S.Groves (2006). Exploring Number and Space. Deakin University. Divisibility: m.s 201-205

S Groves (2006).Topic 2 – The natural numbers- Additional notes. Prime Factorization: The Euclidean Logarithm

“TheFundamental Theorem of Arithmetic” in Susie Groves (2006). Exploring Space and Numbers – Study Guide. p.24

“Prime Numbers” in Richard J.B. Number Systems: An elementary approach. p. 142 – 145

“Clock Arithmetic” and “Modulo Five Arithmetic” in Smith (2001). The Nature of Mathematics, p.216 – 221 dan Modular Arithmetic p.118 - 134

“Problem Solving” in Smith (2001). The Nature of Mathematics. 9th

ed. p. 225-226

Laman web yang berkaitan:

1. Aritmetik Jam (clock arithmetics):

http://www-math.cudenver.edu/~wcherowi/clockar.html

2. Matematik Modular:

http://www.shodor.org/succeedhi/succeedhi/modularmath/introduction.html

3. Kekongruenan modulo:

http://syssci.atu.edu/math/faculty/finan/4033/absalg10.pdf

4. “Encode and decode secret messages”