Modul Matematika SMA Insan Cendekia Magn

(1)

(2)

Bentuk Pangkat dan Akar

.

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

DEFINISI

BENTUK PANGKAT

SIFAT-SIFAT

BENTUK PANGKAT

PERSAMAAN BENTUK

PANGKAT SEDERHANA

MERASIONALKAN

BENTUK AKAR

SIFAT-SIFAT

BENTUK AKAR

(3)

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

Bentuk Pangkat dan Akar

.

1. BENTUK PANGKAT (EKSPONEN)

Notasi pangkat merupakan suatu cara untuk menyederhanakan penulisan. Contoh 10.000.000 dapat ditulis dengan notasi pangkat menjadi 107_{(dibaca: 10 pangkat 7). Notasi pangkat banyak} digunakan dalam perumusan dan penyederhanaan perhitungan.

A. PANGKAT BULAT POSITIF

Perhatikan berberapa contoh bilangan pangkat berikut :

Dari beberapa contoh di atas, yang termasuk bilangan pangkat positif adalah bentuk nomor 1, 2, 3, dan 6. Jadi bilangan pangkat positif dapat didefinisikan sebagai berikut :

1. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif yang paling sederhana!

3 2 2 5

2. Tentukan hasilnya dalam bentuk pangkat positif yang paling sederhana!

 

3. Sederhanakan bentuk pangkat berikut!

    

4. Buktikan sifat-sifat bentuk pangkat berikut!

1

Latihan Konsep 1.A



    

faktor

Jika bilangan real atau dan bilangan bulat positif, maka :

disebut bilangan pokok dan disebut pangkat.

n

DEFINISI



SIFAT-SIFAT

1. Hasil dari 2ab34a b3 2adalah ….

2. Bentuk sederhana

2 4 3

Contoh

4

(4)

Bentuk Pangkat dan Akar

.

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

B. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL

C. BILANGAN RASIONAL DAN IRASIONAL

1. Nilai dari 24 adalah ….

Jawab:

4 4 1 1 2

16 2

 _ _

2. Nilai dari 8 0 adalah ….

Jawab:

0 8 1

3. Bentuk sederhana dari 2 2

3 5

a b c a bc



 adalah ….

Jawab:

2 2 2 3 5

3 5 2 5 3 4

a b c a a c a

a bc bb c b c



  

Contoh

0

Jika R, 0 dan bulat positif, maka :

1 1

1. dan

2. 1

n n

a a n

a a

a



 

 



DEFINISI

1. Sederhanakan dalam bentuk pangkat positif.

4 7

5 3 2 7

2 3 2

1 6 3

5 4 2

6 3

2 2

2 a. 2 2

b. (6 ) (2 ) 2

c. 2 d.

( ) e.

( 1) p q q

q p

a b a b

y z y z

a b c ab c

a a

a a



 



 



 

 

 

 

 

 

 

2. Buktikan bilangan pangkat berikut. 0

5 5

3 3 a. 2 1

1 b. 3

3 1

c. 5

5



 



Latihan Konsep 1.B

Bilangan rasional adalah bilangan yang

dapat dinyatakan sebagai bentuk pembagian

a

b dengan a (pembilang) dan b (penyebut)

bilangan bulat dan b 0.

DEFINISI

Bilangan irasional adalah bilangan yang

tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk pembagian a

b dengan a (pembilang) dan b

(penyebut) bilangan bulat dan b 0.

DEFINISI

     

 

1. 2 1,4142135... irasional 2. 3,1416... irasional

3

3. 0,75 rasional 4

4. 2,7182818... irasional 120

5. 1,212121... rasional 99

6. log2 0,3020... irasional

e

(Bilangan irasional merupakan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang)

Contoh

1. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk .a

b

a. 0,6666... b. 0,8181... c. 1,2222... d. 1,8282...

2. Tentukan mana yang merupakan bilangan irasional dan mana yang bukan!

3 a. 7

(5)

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

Bentuk Pangkat dan Akar

.

D. PANGKAT PECAHAN

BIlangan pangkat erat kaitannya dengan bentuk akar yang akan dibahas selanjutnya.

Jika aR, m bilangan bulat; n, t bilangan asli

SIFAT-SIFAT

1. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk akar!

2

2. Sederhanakan bentuk di bawah ini! 3

Contoh

1. Sederhanakan dan nyatakan dalam bentuk akar bentuk-bentuk berikut ini!





bentuk berikut ini!





a. 0,0081

b. 4 8 16 32 tentukan hasil dari bentuk berikut!

2

(6)

Bentuk Pangkat dan Akar

.

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

E. BENTUK AKAR

Pernyataan yang ditulis dengan tanda akar disebut bentuk akar. Penarikan akar : x akan meng-hasilkan bilangan real positif apabila x 0 dan akar : x akan menghasilkan bilangan non real jika x < 0.

(1) AKAR SENAMA

Bentuk akar dinamakan senama jika memiliki akar pangkat yang sama. Contoh :

2 dengan 3 , 3_{4 dengan}3_{6 dsb.}

(2) AKAR SEJENIS

Bentuk akar dinamakan sejenis jika memiliki nilai akar yang sama. Contoh :

5 2 dengan 7 2 , 2 5 dengan 9 5 dsb.

(3) OPERASI BILANGAN BENTUK AKAR

Dalam menyelesaikan soal, sering kali suatu bentuk akar harus disederhanakan. Secara umum perhatikan contoh berikut ini.

Bentuk akar adalah bilangan-bilangan di bawah tanda akar yang apabila ditarik akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan rasional.

DEFINISI

1. Selesaikan operasi berikut ini.

5 a. 75 2 48 b. 5 3 2 6 c. 6 15 2 3 d. 3 4 e. 11 4 7

   



Jawab:

2 5 5 2 10 5 2 5

a. 75 2 48 25 3 2 16 3 5 3 (2 4) 3 (5 8) 3 13 3 b. 5 3 2 6 (5 2) 3 6 10 18

10 9 2 10 3 2 30 2

6 15 c. 6 15 2 3 3 5

2 3

d. 3 4 3 4 3 4

e. 11 4 7 11 (2 2) 7 11 2 4 7 11 2 28 (7 4) 2 7 4

7 4 7 2



    

  

  

    

   



  

    

   

  

 

   

   

Contoh

1. ( )

2. ( )

a x b x a b x

  

  

SIFAT-SIFAT

1. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini!











 

  

 

  3

3 3

a. 125 45 20 e. 5 5 5... b. 4 2 3 14 18 f. 2 2 ... c. 5 2 3 5 2 3

d. 2 16 54 3 2

2. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini!

 

   



3 3

5

a. 10 2 24 d. 6

2

b. 9 4 5 e. 2 5 2 5

c. 16 220

Latihan Konsep 1.E

3 2 2

5 2 4 2

4 2

2

1. 300 100 3 100 3 10 3 2. 45 9 5 9 5 3 5 3.

4. 50 25 2

25 2

5 2

b b b b b b b

z y z z y

z z y

z y z

    

         

    



Contoh

3. ( )

4. 5. 6.

7. ( ) 2 ; , 0

8. ( ) 2 ; , 0;

mn n m n m

m n mn mn

mn n n

m n _mn

m m

mn

a x b y a b x y

a x a x

a x b y

b y

b y

x y x y x y

x x

x y

y y

a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

   

  

    

  

     

      

(7)

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

Bentuk Pangkat dan Akar

.

F. MERASIONALKAN BENTUK AKAR PECAHAN

Aturan aljabar mengharuskan kita untuk tidak menggunakan penyebut berbentuk akar dalam suatu bilangan pecahan. Hal ini dimaksudkan agar perhitungan aljabar suatu bilangan pecahan biasa bisa dilakukan dengan lebih mudah. Ada beberapa cara yang bisa dilakukan untuk merasionalkan suatu pecahan, bergantung dari bentuk pecahannya.

G. PERSAMAAN EKSPONEN SEDERHANA

Pada kesempatan kali ini, akan dipelajari persamaan eksponen sederhana, yaitu persamaan eksponen dengan memiliki bilangan pokok yang sama.





sekawan dengan sekawan dengan

a b c

SIFAT-SIFAT

1. Rasionalkan bentuk pecahan berikut! 3

Contoh

1. Rasionalkan bentuk-bentuk berikut!

 

2. Tentukan hasilnya!

1 2 1 2

Latihan Konsep 1.F

( ) ( )

SIFAT-SIFAT

1. Nilai x pada persamaan 32x181 adalah ….

Jawab:

(8)

Bentuk Pangkat dan Akar

.

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

e. tidak terdefinisi

10. ₁₀5__.... a. 0,00001 b. 0,000001 c. 0,0000001

d. 0,000005 A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d, atau e pada jawaban yang paling benar!

(9)

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

Bentuk Pangkat dan Akar

.

25.Bentuk sederhana dari 2 5

28.Bentuk ekuivalen dari

(10)

Bentuk Pangkat dan Akar

.

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

32. Bentuk sederhana 3 4 3

33. Bentuk sederhana dari

1 2 sederhana dari

1 2 2 positif menjadi ….

a. 2 2 disederhanakan menjadi ....

(11)

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

Bentuk Pangkat dan Akar

.

42. 32 532 5.... a. 1

b. 2 c. 3

d. 4 e. 5

43.

2 2 4 ₃

1 2 8

.... 125

x y x y

 

 



 

 

a. 0,16x y2 4

b. 0,16xy2

c. 1,6x y2 4

d. 0,16x y2 4

e. 1,6x y2 4

44.



3 3 1



_.... 8x  a. 2x1 b. 3 1

2 x c. 3 3

2 x

d. 23x e. 3 2

2 x

45.Nilai x yang memenuhi persamaan

 

2 1

1 1

2 3 2

2 x 

   adalah .... a. 4

b. 2 c. 0

d. 2 e. 4

46.Hasil _{2 4} x ₂3 2x _17,

nilai dari 2

2 x .... a. 1 atau 8

2 b. 1 atau 4

2

c. 1 atau 4

d. 1 atau 1 2

2 2

e. 1 2 atau 2 2 2

47.Jika 9x9x 51,

maka 3x3x adalah .... a. 8

b. 53 c. 7

d. 4 3 e. 6

48.Nilai x yang memenuhi

3 2 1 2

128 2 3 x y

x y



 _

 

   

adalah ….

a. 21 2



b. 2 c. 1

d. 1 e. 21

2

49.Bentuk sederhana dari

3 2 2

4 3

2 5

3

(2 ) ( ) 4 4

a b ab

a b

b a

           

adalah …. a. ab2

b. 2

a b

c. 4a b2 2

d. 16a b2 2

e. ₆₄ 2 2

a b

50.Bentuk sederhana dari 1

9 80 ....

2 5

  

 dapat

disederhanakan menjadi .... a. 5

b. 4 c. 3

(12)

Bentuk Pangkat dan Akar

.

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

1. (EBTANAS 1990/IPA) Bentuk 13 ,

5 2 3 dapat disederhanakan menjadi ....

a. (5 2 3) b. (5 2 3) c. 1(5 2 3)

7 

d. 13(5 2 3) 37  e. 13(5 2 3)

37 

2. (EBTANAS 2000/IPA) Nilai 2x

yang memenuhi persamaan 3

2 5

4x  16x

adalah .... a. 2

b. 4 c. 8

d. 16 e. 32

3. (EBTANAS 2001/IPA) Diketahui 22x22x 23.

Nilai 2x2x.... a. 21

b. 24 c. 5

d. 21 e. 25

4. (EBTANAS 2002/IPA)

Ditentukan nilai a = 9, b = 16 dan c = 36. Nilai





3

1 1

3 2 ....

a b c  

a. 3 b. 1 c. 9

d. 12 e. 18

5. (UN 2007/IPA)

Bentuk sederhana dari (1 3 2) (4   50) adalah ....

a. 2 2 3 b. 2 2 5 c. 8 2 3

d. 8 2 3 e. 8 2 5

6. (UN 2008/IPS) Hasil dari 3

4 6 adalah .... a. 1 6

4 b. 1 6

5 c. 1 6

6

d. 1 6 12 e. 1 6

18

7. (UN 2008/BAHASA) Bentuk

1 2

3

a b

c dapat dinyatakan dengan

pangkat positif menjadi …. a.

2

ab c

b. 3

2

ac b

c. 2 3

ab c

d. 2 3

b c a

e. 1_{2 3}

ab c

8. (UN 2009/IPS)

Bentuk sederhana dari (62a2 3) (123a3)2 adalah ….

a. 1 2 b. 2 c. ₂ 12

a

d. ₂6 12

a

e. 26a12

9. (UN 2009/IPS)

Diketahui m = 16 dan n = 27. Nilai 2

3 3 4 _....

m n 

a. 72 b. 9

64 c. 6

9

d. 9 8 e. 72

10. (UN 2009/BAHASA) Nilai dari

1 2

2 2

3 36

1 27

2

     _{ }

adalah ….

a. 6 13 b. 13 6 c. 24

37

d. 24 35 e. 6

5

11. (UN 2010/IPA)

Bentuk sederhana dari 4(1 2)(1 2) 3 2 2

 



adalah …. a. 12 2 b.  12 8 2 c.  12 2

d.  12 2 e.  12 8 2 A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d, atau e pada jawaban yang paling benar!

(13)

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

Bentuk Pangkat dan Akar

.

12.(UN 2010/IPS)

Bentuk sederhana









Bentuk sederhana dari (5 3 7 2)(6 3 4 2)  adalah ....

Bentuk sederhana dari

3 4 6

5

Bentuk sederhana dari 5 3 5 3

Bentuk sederhana dari 5 7 .... 5 7

32 18 242 72.... Bentuk sederhana dari

1

Bentuk sederhana dari 5 .... 3 2 3

22.(UMPTN 1994/Dasar) Jika adalah ….

(14)

Bentuk Pangkat dan Akar

.

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

23. (UMPTN 1996/Dasar)

Bentuk

1 2

Diberikan persamaan

3 ₂ persamaan maka nilai 0

3

 

26. (UMPTN 1999/Dasar) Bentuk sederhana dari

5 7 6

27. (SPMB 2002/Dasar) Jika 2 3 6.

28. (SPMB 2002/Dasar)

Jika x > 0 dan x  1 memenuhi

29. (SPMB 2003/Dasar) Jika 1 3

Nilai x yang memenuhi persamaan :

31. (SPMB 2006/Dasar) Jika









(15)

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

Bentuk Pangkat dan Akar

.

33.(SPMB 2007/IPA)

Jika x memenuhi persamaan 9x8(3x1) 1,

34.(SNMPTN 2008/Dasar)

Jika

35.(SNMPTN 2010/Dasar) Jika n memenuhi

0,25 0,25 0,25 0,25

faktor

25 25 25 25 125

36.(SNMPTN 2012/Dasar)

Jika a dan b adalah bilangan bulat positif

37.(SBMPTN 2013/Dasar) Jika 27m8,

38.(UM UGM 2006/Dasar)

   

adalah ….

a. y

39.(SBMPTN 2014/TKPA) Jika 4x4x16,

40.(UM UGM 2007/Dasar) 3



6 2





3 2



18 12 5

Nilai 1x yang memenuhi persamaan

44.(SIMAK UI 2010/Dasar) Jika 81a b 45a b  135,

45.(SIMAK UI 2011/Dasar)

(16)

Bentuk Pangkat dan Akar

.

Modul Matematika SMA Insan Cendekia Kelas X

46. (UM UGM 2014/Dasar)













1 1 1 1 1 2

3 6 2 2 3 3

4 1 2

3 3 3

x x

x x x x x



  

dengan 0

x adalah ….

a.

1 3

x

b. 1 3

x

c. 2 3

x

d. 2 3

x

e. 1 2

x

47. (SIMAK UI 2010/Dasar) Jika diketahui 1 ,

2 3

x y



1 , 2 3

y z



maka nilai 2 2 2

....

x y  z xy yz xz

a. 5 b. 10 c. 15

d. 20 e. 25

48. (SIMAK UI 2012/Dasar) 4022 4018

4020 4016

5 5

....

5 5

  

a. 1

b. 3 c. 25

4

d. 25 2 e. 25

49. (SIMAK UI 2013/Dasar)

Diketahui a, b, c bilangan real yang didefinisikan sebagai berikut.

6 6 6 ...

a    dan

20 20 20 ... .

b    Nilai a b ....

a. 26

b. 8 c. 2 26

d. 16 e. 26

50. (SIMAK UI 2014/Dasar)

Misalkan a3 124 65 , 3₁₂₄ _{65 ,}

b  dan _c ₁₂₄3_65. Hubungan yang benar antara a, b, dan c

adalah …. a. a b c

b. a c b

c. b a c

d. c b a