LAPORAN ANALISIS DINAMIK MODEL PREDATOR

(1)

LAPORAN

ANALISIS DINAMIK MODEL PREDATOR-PREY

DENGAN KOMPETITOR TERHADAP PREDATOR

DAN HARVESTING TERHADAP PREY

diajukan untuk memenuhi salah satu Mata Kuliah Pemodelan Matematika yang diampu oleh

Dani Suandi, M.Si

disusun oleh:

Dian Tresnawati (1147010020)

Nanda Priatna (1147010048)

Novia Masriani (1147010055)

Widi Widayanti (1147010070)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SUNAN GUNUNG DJATI

(2)

I. PENDAHULUAN

Ekologi adalah ilmu yang mempelajari interaksi antara organisme dengan lingkungannya. Dalam

ekologi, makhluk hidup dipelajari sebagai kesatuan atau sistem dengan lingkungannya. Pembahasan ekologi

tidak lepas dari pembahasan ekosistem dengan berbagai komponen penyusunnya, yaitu faktor abiotik dan

biotik. Faktor abiotik antara lain suhu, air, kelembaban, cahaya, dan topografi. Sedangkan faktor biotik

adalah makhluk hidup yang terdiri dari manusia, hewan, tumbuhan, dan mikroba.

Ekologi juga berhubungan erat dengan tingkatan-tingkatan organisasi makhluk hidup, yaitu populasi,

komunitas, dan ekosistem yang saling memengaruhi dan merupakan suatu sistem yang menunjukkan

kesatuan. Ekologi mempelajari bagaimana makhluk hidup dapat mempertahankan kehidupannya dengan

mengadakan hubungan antar makhluk hidup dan dengan benda tak hidup di dalam tempat hidupnya atau

lingkungannya. Hubungan antara makhluk hidup yang terjadi di alam bermacam-macam. Salah satunya

adalah predasi dan kompetisi.

Predasi adalah interaksi antara organisme predator dengan preynya. Dapat didefinisikan bahwa

hubungan antara predator dan prey adalah positif (+) dan negatif (-). Predator akan mendapatkan keuntungan

(+), sementara prey akan mendapat kerugian (-) dari proses predasi tersebut. Contohnya interaksi antara

seekor harimau dengan seekor kijang.

Sedangkan kompetisi adalah interaksi antara dua individu (dapat berbeda atau dalam satu spesies)

berupa persaingan. Interaksi ini dapat terjadi karena terdapat kepentingan yang sama antar individu yang

bersaing (kompetitor). Misalnya persaingan mendapat makan, persaingan mendapatkan daerah/wilayah

kekuasaan, berebut wilayah mencari makan (Feeding ground), berebut tempat tinggal, berebut pasangan.

Dapat didefinisikan bahwa kompetisi merupakan hubungan yang bersifat negatif (-) diantara kedua belah

pihak yang berkompetisi.

Prey (mangsa) adalah semua organisme yang diserang, dimakan, atau kalah. Prey juga bisa

didefinisikan sebagai spesies yang dimakan oleh predator. Sedangkan predator (pemangsa) adalah semua

organisme yang menyerang, memakan, atau menang. Atau bisa juga didefinisikan sebagai spesies yang

memangsa prey. Contohnya pada sistem kutu ahpid dan kumbang koksi, maka kutu ahpid adalah mangsa,

sementara kumbang koksi adalah pemangsa. Namun jika pada suatu kondisi, kumbang koksi tersebut

bertemu dengan kumbang koksi lain yang lebih kuat, maka statusnya berubah menjadi mangsa, dan spesies

yang lebih kuat tadi menjadi pemangsa. Ada juga yang disebut pesaing atau kompetitor yaitu spesies yang

berkompetisi dengan predator.

Pada artikel ini dilakukan analisis dinamik model predator-prey dengan harvesting terhadap prey dan

kompetitor terhadap predator sebagai spesies ketiga. Adapun asumsi-asumsi yang digunakan diantaranya:

1) Prey berkurang karena dimakan oleh predator dan adanya harvesting* pada prey. *Harvesting adalah pemanenan yang dilakukan terhadap suatu spesies.

(3)

3) Predator & kompetitor bersaing bukan untuk memperebutkan prey, sehingga kompetitor tidak

berinteraksi langsung dengan prey.

4) Tidak diceritakan lebih lanjut makanan dari kompetitor, karena cakupannya akan bertambah luas.

5) Terjadinya kompetisi internal pada masing-masing spesies (prey, predator, dan kompetitor)

II. KONSTRUKSI MODEL

 Populasi Prey

a. Pertumbuhan alami prey

Populasi prey sebelum adanya interaksi dengan spesies lain, maka populasi prey tumbuh secara cepat

tak terbatas. Laju pertumbuhan populasi sebanding dengan populasinya. Artinya, ketika jumlah

populasi semakin bertambah banyak maka laju pertumbuhan prey pun akan meningkat.

Akibatnya :

=

Dengan : Tingkat pertumbuhan alami prey.

b. Dengan adanya kompetisi internal antar sesamanya

Dengan adanya kompetisi internal antar sesamanya, maka populasinya akan berkurang. Laju

pertumbuhan populasi prey sebanding dengan kompetisi internal antar sesamanya. Interaksi antara

sesama prey yang saling berkompetisi merupakan hubungan yang bersifat negatif, sehingga semakin

banyak prey yang saling berkompetisi maka semakin besar pula laju pertumbuhan prey ke arah

negatif (peluruhan menuju kepunahan).

Akibatnya :

=

Dengan : Tingkat pengurangan prey akibat kompetisi internal dengan sesamanya.

c. Dengan adanya predator

Dengan adanya predator, maka populasi prey akan berkurang karena adanya interaksi dengan

predator, yakni prey dimakan predator. Laju pertumbuhan populasi prey sebanding dengan interaksi

antara keduanya. Interaksi yang terjadi antara prey dan predator bersifat negatif bagi prey, sehingga

semakin banyak prey yang berinteraksi dengan predator maka semakin besar pula laju pertumbuhan

prey ke arah negatif (peluruhan menuju kepunahan).

Akibatnya :

=

(4)

d. Dengan adanya harvesting

Dengan adanya harvesting, maka populasi prey akan berkurang. Laju pertumbuhan populasi prey

sebanding dengan harvesting pada prey. Harvesting terhadap prey menyebabkan kerugian pada prey

(negatif), sehingga semakin besar jumlah harvesting pada prey maka semakin besar pula laju

pertumbuhan prey ke arah negatif (peluruhan menuju kepunahan).

Akibatnya :

=

Dengan : Koefisien tertangkapnya prey

: Energi yang digunakan untuk memanen prey, dengan ( ) > 0

Dengan pernyataan – pernyataan tersebut, maka secara bentuk model dan persamaan matematis laju pertumbuhan populasi prey dapat dinyatakan sebagai berikut :

Persamaan laju populasi prey dapat ditulis sebagai berikut :

= Atau

= )

Hal ini menyatakan bahwa walaupun laju pertumbuhan populasi prey meningkat, akan tetapi

dihambat oleh persaingan antar sesamanya, interaksi dengan predatornya, dan juga dengan adanya

harvesting pada prey.

 Populasi Predator

a. Pertumbuhan alami predator

Populasi predator sebelum adanya interaksi dengan spesies lain, maka populasi predator tumbuh

secara cepat tak terbatas. Laju pertumbuhan populasi sebanding dengan populasinya. Artinya, ketika

jumlah populasi semakin bertambah banyak maka laju pertumbuhan predator pun akan meningkat.

Akibatnya :

=

Dengan : Tingkat pertumbuhan alami predator

Dengan adanya kompetisi internal antar sesamnaya, maka populasinya akan berkurang. Laju

pertumbuhan populasi predator sebanding dengan kompetisi internal antar sesamanya. Interaksi

antara sesama predator yang saling berkompetisi merupakan hubungan yang bersifat negatif, sehingga

semakin banyak predator yang saling berkompetisi maka semakin besar pula laju pertumbuhan

(5)

Akibatnya :

=

Dengan : Tingkat pengurangan predator akibat kompetisi internal dengan sesamanya

c. Dengan adanya prey

Dengan adanya prey, maka populasi predator akan meningkat. Laju pertumbuhan populasi predator

sebanding dengan interaksi antara keduanya. Interaksi yang terjadi antara prey dan predator bersifat

positif bagi predator, sehingga semakin banyak predator yang berinteraksi dengan prey maka semakin

besar pula laju pertumbuhan predator ke arah positif (meningkat).

Akibatnya :

=

Dengan : Tingkat bertambahnya predator karena memangsa prey

d. Dengan adanya kompetitor

Dengan adanya kompetitor, maka populasi predator akan berkurang karena adanya interaksi antara

predator dengan kompetitor. Laju peluruhan menuju kepunahan populasi predator sebanding dengan

populasinya. Interaksi antara predator dan competitor yang saling berkompetisi merupakan hubungan

yang bersifat negatif terhadap predator, sehingga semakin banyak predator yang berkompetisi dengan

kompetitor maka semakin besar pula laju pertumbuhan predator ke arah negatif (peluruhan menuju

kepunahan).

Akibatnya :

=

Dengan : Tingkat pengurangan predator karena berkompetisi dengan kompetitor

Dari pernyataan–pernyataan tersebut, maka secara bentuk model dan persamaan matematis laju pertumbuhan populasi predator dapat dinyatakan sebagai berikut :

Persamaan laju populasi predator dapat ditulis sebagai berikut :

= atau

= )

Hal ini menyatakan bahwa laju pertumbuhan populasi predator meningkat jika memakan prey, akan

(6)

 Populasi Kompetitor

a. Pertumbuhan alami kompetitor

Populasi kompetitor sebelum adanya interaksi dengan spesies lain, maka populasi kompetitor tumbuh

secara cepat tak terbatas. Laju pertumbuhan populasi sebanding dengan populasinya. Artinya, ketika

jumlah populasi semakin bertambah banyak maka laju pertumbuhan kompetitor pun akan meningkat.

Akibatnya :

=

Dengan : Tingkat pertumbuhan alami kompetitor

Dengan adanya kompetisi internal antar sesamanya, maka populasinya akan berkurang. Laju

pertumbuhan populasi kompetitor sebanding dengan kompetisi internal antar sesamanya. Interaksi

antara sesama kompetitor yang saling berkompetisi merupakan hubungan yang bersifat negatif,

sehingga semakin banyak kompetitor yang saling berkompetisi maka semakin besar pula laju

pertumbuhan kompetitor ke arah negatif (peluruhan menuju kepunahan).

Akibatnya :

=

Dengan : Tingkat pengurangan kompetitor akibat kompetisi internal dengan sesamanya

c. Dengan adanya predator

Dengan adanya predator, maka kompetisi kompetitor akan berkurang karena adanya interaksi antara

kompetitor dengan predator. Laju pertumbuhan populasi kompetitor sebanding dengan populasinya.

Interaksi antara predator dan competitor yang saling berkompetisi merupakan hubungan yang bersifat

negatif terhadap kompetitor, sehingga semakin banyak kompetitor yang berkompetisi dengan predator

maka semakin besar pula laju pertumbuhan kompetitor ke arah negatif (peluruhan menuju

kepunahan).

Akibatnya :

=

Dengan : Tingkat pengurangan kompetitor karena berkompetisi dengan

predator

(7)

Persamaan laju populasi kompetitor dapat ditulis sebagai berikut :

Hal ini menyatakan bahwa laju pertumbuhan populasinya dihambat oleh persaingan antar

sesamanya dan interaksi dengan predatornya.

Oleh karena prey, predator, dan kompetitor hidup dalam habitat yang sama, maka persamaan model

matematis dari masalah predator-prey dengan kompetitor terhadap predator dan harvesting terhadap prey,

yaitu:

() Akan terpenuhi jika dan hanya jika, berlaku persamaan berikut :

(8)

2. Untuk y = z = 0

Tinjau persamaan (i):

a1– a11x – a12y – qE = 0 a1– a11x – a12(0) – qE = 0 a1– a11x – 0 – qE = 0

a1 – qE = a11x

x = –

Sehingga diperoleh E2 = (x, y, z) = ( –

, 0, 0)

3. Untuk x = z = 0

Tinjau persamaan (ii):

a2 – a22y + a21x – a23z = 0 a2 – a22y + a21(0) – a23(0) = 0 a2 – a22y + 0 – 0 = 0

a2 = a22y

y =

Sehingga diperoleh E2 = (x, y, z) = (0,

,

0 )

4. Untuk x = y = 0

Tinjau persamaan (iii):

a3 – a33z – a32y = 0

a3– a33z – a32(0) = 0 a3 – a33z – 0 = 0

a3 = a33z

z =

Sehingga diperoleh E4 = (x, y, z) = (0, 0,

)

5. Untuk z = 0

(9)

x = – –

………….… (#)

a2 – a22y + a21x – a23z = 0 a2 – a22y + a21x – 0 = 0

a2– a22y + a21(

– –

)

= 0

a2a11 - a11a22y + a1a21 - a12a21y - a21qE = 0

- y(a11a22 + a12a21 ) + a2a11 + a1a21 - a21qE = 0

y =

Substitusi nilai y ke persamaan (#):

x = – –

x =

)

x =

Sehingga diperoleh E5 = (x, y, z) = (

,

0)

6. Untuk y = 0

(10)

a1 – qE = a11x

x = –

a3 – a33z – a32y = 0

a3 – a33z – a32 (0) = 0

a3 – a33z – 0 = 0

a3 = a33z

z =

Sehingga diperoleh E6 = ( –

)

7. Untuk x = 0

a2– a22y + a21(0) – a23z = 0 a2– a22y +0 – a23z = 0

a23z = a2– a22y

z = –

…..………..(##)

Subtitusi (##) ke persamaan (iii):

a3 – a33z – a32y = 0

( –

= 0

a3a23 – a33(a2-a22y) – a23a32y = 0 . a23 a3a23 – a2a33 + a22a33y – a23a32y = 0 a3a23 – a2a33 + y (a22a33 – a23a32) = 0

y (a22a33 – a23a32) = a2 a33 – a3a23

y =

Subtitusi nilai y ke persamaan (##):

z =

(11)

z = a2a11a33+a1a21a33–a21a33qE–a3a11a23–(a12a21a33+a11a22a33–a11a23a32)y = 0

a2a11 a33+ a1a21 a33 – a21 a33qE – a3 a11a23 = (a12a21 a33 + a11a22 a33 – a11a23 a32)y

– –

(12)

(13)

(14)

Syarat keberadaan : .

Analisis:

 Ketika maka populasi x = 0, sedangkan untuk titik kesetimbangan kelima ini diasumsikan bahwa populasi y itu ada, sehingga

 Ketika maka populasi x < 0, sedangkan populasi suatu spesies tidak mungkin bernilai negatif.

6. Titik Kesetimbangan Keenam ( )

E6 = ( –

)

Syarat keberadaan : Tidak ada

7. Titik Kesetimbangan Ketujuh ( )

E7 = (x, y, z) = (0, ,

)

Syarat keberadaan : (i)

(ii)

(iii)

Analisis:

 Untuk syarat keberadaan (i):

a) Ketika maka populasi y = 0, sedangkan untuk titik kesetimbangan ketujuh ini didefinisikan bahwa populasi y itu ada, sehingga

b) Ketika maka y < 0, sedangkan populasi suatu spesies tidak mungkin bernilai negatif.

 Untuk syarat keberadaan (ii):

a) Ketika maka z = 0, sedangkan untuk titik kesetimbangan ketujuh ini didefinisikan

bahwa populasi y itu ada, sehingga

b) Ketika maka z < 0, sedangkan populasi suatu spesies tidak mungkin bernilai

negatif.

 Untuk syarat keberadaan (iii):

a) Ketika maka y atau z akan menuju tak hingga, sedangkan untuk titik

kesetimbangan ketujuh ini didefinisikan bahwa populasi y dan z itu ada dan tidak menuju tak

hingga. Jika populasi suatu spesies menuju tak hingga, maka tidak akan terjadinya suatu

(15)

b) Ketika maka y < 0 dan z < 0, sedangkan populasi suatu spesies tidak mungkin

bernilai negatif.

8. Titik Kesetimbangan Kedelapan ( )

E8 = (x, y, z) = (N1, N2, N3)

dengan

N1 =

N2 =

N3 = (

)

Syarat Keberadaan:

(i) (ii)

(iii) (

(iv)

Analisis:

 Untuk syarat keberadaan (i):

a) Ketika maka populasi x = 0, sedangkan untuk titik kesetimbangan kedelapan ini didefinisikan bahwa populasi x itu ada, sehingga

b) Ketika maka x < 0, sedangkan populasi

suatu spesies tidak mungkin bernilai negatif.

 Untuk syarat keberadaan (ii):

a) Ketika maka y = 0, sedangkan untuk titik

kesetimbangan kedelapan ini didefinisikan bahwa populasi y itu ada, sehingga

b) Ketika maka y < 0, sedangkan populasi suatu

spesies tidak mungkin bernilai negatif.

 Untuk syarat keberadaan (iii):

a) Ketika ( maka z = 0, sedangkan untuk

titik kesetimbangan kedelapan ini didefinisikan bahwa populasi z itu ada, sehingga

(16)

b) Ketika ( maka z < 0, sedangkan populasi

suatu spesies tidak mungkin bernilai negatif.

 Untuk syarat keberadaan (iv):

a) Ketika maka x, y, dan z akan menuju tak hingga, sedangkan untuk titik kesetimbangan kedelapan ini didefinisikan bahwa populasi x, y, dan z itu

ada dan tidak menuju tak hingga. Jika populasi suatu spesies menuju tak hingga, maka tidak akan

terjadinya suatu kesetimbangan.

b) Ketika maka x < 0, y < 0 dan z < 0, sedangkan populasi suatu spesies tidak mungkin bernilai negatif.

V. ANALISIS KESTABILAN

Sistem persamaan () merupakan sistem nonlinear. Menurut Boyce dan DiPrima, kestabilan lokal titik

kesetimbangan dari sistem nonlinear ditentukan dengan terlebih dahulu melakukan linearisasi di sekitar titik

kesetimbangan. Linearisasi tersebut menghasilkan matriks Jacobi. Nilai eigen dari matriks Jacobi pada

masing-masing titik kesetimbangan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan | J - λI | = 0. Selanjutnya

kestabilan titik kesetimbangan dapat ditentukan dengan melihat nilai eigen tersebut. Titik kesetimbangan

dikatakan stabil jika bagian riil dari ketiga nilai eigen bernilai negatif.

1. Titik Kesetimbangan Pertama ( )

E1 = (x, y, z) = (0, 0, 0) Matriks Jacobiannya:

[

]

Nilai eigennya: ( , , )

Dari nilai eigen diatas, diperoleh bahwa semua nilai eigennya bernilai positif, sehingga titik

kesetimbang-an pertama ( ) bersifat tidak stabil.

2. Titik Kesetimbangan Kedua ( )

E2 = (x, y, z) = ( –

, 0, 0)

Matriks Jacobiannya:

[

(17)

Nilai eigennya: ( ,

, )

Dari nilai eigen diatas, diperoleh bahwa nilai-nilai eigennya ada yang bernilai positif dan ada juga yang

bernilai negatif, sehingga titik kesetimbangan kedua ( ) bersifat tidak stabil.

3. Titik Kesetimbangan Ketiga ( )

Dari nilai eigen diatas, diperoleh bahwa semua nilai eigennya bernilai negatif, sehingga titik

kesetimbangan ketiga ( ) bersifat stabil, yakni stabil asimtotik dengan syarat kestabilannya adalah

i. <

Dari nilai eigen diatas, diperoleh bahwa nilai-nilai eigennya ada yang bernilai positif dan ada juga yang

bernilai negatif, sehingga titik kesetimbangan keempat ( ) bersifat tidak stabil.

5. Titik Kesetimbangan Kelima ( )

E5 = (x, y, z) = (

(18)

(19)

kesetimbangan kelima ( ) bersifat stabil, yakni stabil asimtotik dengan syarat kestabilannya adalah

<

kesetimbangan keenam ( ) bersifat stabil, yakni stabil asimtotik dengan syarat kestabilannya adalah

(20)

kesetimbangan ketujuh ( ) bersifat stabil, yakni stabil asimtotik dengan syarat kestabilannya adalah

(21)

 m8 =

 m9 =

Nilai eigennya:

tidak dapat dituliskan, karena panjang keluarannya hampir melebihi 1000000 [mengunakan maple] Dari jurnal mengatakan bahwa diperoleh semua nilai eigennya bernilai negatif, sehingga titik

kesetimbangan kedelapan ( ) bersifat stabil, yakni stabil asimtotik dengan syarat kestabilannya adalah

(i)

(ii)

(iii) (

(iv)

Dari hasil analisis tersebut diketahui bahwa titik E1, E2, dan E4 bersifat tidak stabil, sedangkan titik E3, E5,

E6, E7, dan E8 bersifat stabil asimtotik dengan syarat-syarat tertentu.

VI. SIMULASI NUMERIK

Untuk mengilustrasikan hasil analisis model yang diberikan, dilakukan simulasi numerik dengan

menggunakan nilai parameter seperti yang diberikan pada tabel berikut.

Simulasi Parameter

a1 a2 a3 a11 a22 a33 a12 a21 a23 a32 qE

1 2 3 4 0.1 0.2 0.3 0.12 0.13 0.14 0.15 0.15

2 2 6 4 0.2 0.2 0.3 0.12 0.13 0.14 0.15 0.3

3 5 1 1 0.1 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1 0.5 2.3

4 1 3 4 0.1 0.2 0.3 0.12 0.13 0.14 0.15 0.7

5 5 2 6 0.1 0.5 0.3 0.12 0.1 0.5 0.15 2.7

(22)

(23)

VII. INTERPRETASI HASIL

Berdasarkan hasil dari simulasi numerik, nilai parameter yang digunakan pada simulasi 1 menyebabkan

syarat keberadaan dari semua titik kesetimbangan terpenuhi, sehingga semua titik kesetimbangan ada.

Namun syarat kestabilan dari E2, E5, E6, dan E7 tidak terpenuhi. Titik E8 (3.65, 12.37, 7.15) bersifat stabil asimtotik karena syarat kestabilannya terpenuhi. Hal ini ditunjukkan oleh potret fase solusi pada Gambar 1

hanya menuju ke titik E8. Pada kasus ini, populasi prey, predator, dan competitor akan hidup berdampingan dalam batasan nilai tertentu.

Potret fase solusi pada Gambar 2 dengan menggunakan beberapa nilai awal menuju ke titik E2 (0, 30, 0). Hal ini terjadi karena nilai parameter yang digunakan pada simulasi 2 mengakibatkan syarat kestabilan

(24)

tersebut tidak ada. Hasil dari simulasi 2 menandakan bahwa hanya populasi predator yang bertahan hidup,

sedangkan populasi prey dan competitor akan punah.

Hasil dari simulasi 3 dengan menggunakan nilai parameter yang diberikan menunjukkan bahwa syarat

kestabilan titik E5 (1, 13, 0) terpenuhi. Selain itu, hanya titik E1 sampai E6 yang ada karena syarat keberadaan titik E7 dan E8 tidak terpenuhi. Pada kasus ini, populasi prey dan predator akan hidup berdampingan dalam

batasan nilai tertentu, sedangkan populasi competitor akan punah.

Pada simulasi 4, nilai parameter yang digunakan menyebabkan syarat keberadaan titik E7 terpenuhi.

Namun, syarat keberadaan titik E5 dan E8 tidak terpenuhi. Hal ini ditunjukkan oleh potret fase pada Gambar 4

menuju ke titik E7 (0, 8.72, 8.97). Hasil simulasi 4 menandakan bahwa populasi prey akan punah, sedangkan

populasi predator dan competitor dapat bertahan hidup.

Berdasarkan Gambar 5 dapat diketahui bahwa titik E6 (23, 0, 20) stabil, ditunjukkan melalui potret fase

solusi dari beberapa nilai awal hanya menuju ke titik E6. Hal ini karena nilai parameter pada simulasi 5

menyebabkan syarat kestabilan titik E6 terpenuhi. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa dalam waktu

berhingga populasi prey dan competitor akan hidup berdampingan dalam batasan nilai tertentu, sedangkan

populasi predator akan punah.

VIII.KESIMPULAN

Model predator-prey dengan competitor terhadap predator dan harvesting terhadap prey merupakan

system autonomous nonlinear dengan tiga persamaan dan sebelas parameter. Pada model tiga spesies ini

terdapat delapan titik kesetimbangan, yaitu satu titik kesetimbangan trivial, enam titik kesetimbangan batas,

dan satu titik kesetimbangan interior yang menunjukkan ketiga spesies hidup berdampingan. Titik

kesetimbangan E1, E3, dan E4 tidak stabil sedangkan E2, E5, E6, E7, dan E8 bersifat stabil asimtotik jika memenuhi syarat kestabilan dari masing-masing titik kesetimbangan tersebut. Simulasi numeric yang

dilakukan menunjukkan hasil yang sesuai dengan hasil analisis.

IX. DAFTAR PUSTAKA

Andayani, P . 2012 . Analisis Dinamik Model Predator-Prey dengan Omnivora. Skripsi. Universitas

Brawijaya, Malang, Indonesia

Boyce, W.E. dan DiPrima, R.C. 2008 . Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems,

Ninth Edition. John Willey & Sons Inc. New York.

Rao, A. V. P. Narayan, K.L. dan Bathul, S. 2012 . A Three Species Ecoogical Model with A Prey, Predator

and Competitor to Predator and Optimal Harvesting of The Prey. Buletin of Society for Mathematical

Service & Standarts, I (1), hal. 49-62.

Anonim. Predator-Prey dengan Kompetitor terhadap Predator dan Harvesting terhadap Prey.

(25)

Lampiran

Nama Kehadiran Nilai

Dian Tresnawati 90 % 96

Nanda Priatna 95 % 96

Novia Masriani 100 % 96

Widi Widayanti 100 % 97

Kesulitan yang dihadapi:

Selama proses dalam penyusunan laporan ini, kami banyak menemukan kesulitan. Namun, sejauh ini, dengan

melakukan diskusi bersama tiap minggunya, masalah-masalah yang timbul dapat terselesaikan. kecuali salah

satu masalah ini, yaitu kami sulit menemukan nilai eigen titik kesetimbangan ke delapan (E8), karena

beberapa faktor yaitu

1. Nilai x, y, dan z pada E8 cukup panjang, sehingga dengan penghitungan manual sangatlah merepotkan.

2. Karena perhitungan manual sangat merepotkan, akhirnya kami menggunakan maple. Namun dengan

maple pun kami tidak menemukan hasilnya juga.

3. Akhirnya kami harus menggunakan polynomial characteristic untuk mendapatkan nilai eigennya dengan

menggunakan Routh Hurwitz Criteria. Kami sudah mengubah persamaan nilai eigennya kedalam bentuk