PEMBANDINGAN UJI-UJJ KEBAIK-SUAIAN BAG I SEBARAN POISSON MENGGUNAKAN X2 DAN METODE RICE SECARA SIMULASI FAHMI DARMA W AN

/

O!I

PEMBANDINGAN UJI-UJl KEBAIK-SUAlAN

BAGI SEBARAN POISSON

MENGGUNAKAN

X2

DAN METODE RICE SECARA SIMULASI

(Comparison of Goodness of Fit Tests for Simulated Data from Poisson Distribution

using

X' and Rice Methods)

FAHMI DARMAWAN

•

-,-

'

:00. ' - ,

.:

-

.

~

JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITlJT PERT ANIAN BOGOR

BOGOR

1997

RINGKASAN

FAHMI DARMAWAN. Pembandingan Uji-uji Kebaik-suaian bagi Sebaran Poisson Menggunakan X'

dan Metode Rice seeara Simulasi (Comparison of Goodness of Fit Tests for Simulated Data from

Poisson Distribution using X' and Rice Methods). Dibimbing oleh MUHAMMAD SY AMSUN dan

AGUSBUONO.

Penelitian ini bertujuan membandingkan metode pengujian sebaran Poisson yaitu uji Kebaik-suaian X' dengan metode Rice, terutama menentukan ukuran eontoh terkecil agar uji Kebaik-suaian X' dan metode Rice memberikan hasil yang berbeda.

Data yang digunakan berasal dari pembangkitan sebaran Poisson dengan menggunakan paket program Minitab dan algoritme pembangkitan bilangan acak Poisson.

Pengujian dengan menggunakan uji Kebaik-suaian X' menunjukkan adanya suatu ukuran data mll11mUm pengqjian. Ukuran data minimum ini diperoleh apabila dari kelima ulangan pengujian menghasilkan penolakan hipotesis sebaran Poisson. Ukuran data minimum pengujian akan semakin

meningkat dengan meningkatnya nilai parameter sebaran Poisson.

Total kegagalan pengluian yang terjadi pada pengujian menggunakan uji Kebaik-suaian X' juga akan semakin meningkat dengan meningkatnya nilai parameter sebaran. sehingga dari hasil penelitian menunjukkan bahwa besamya nilai parameter sebaran Poisson berpengaruh dalam pengujian dengan

menggunakan uji Kebaik-suaian "1..2 .

Pengujian sebaran Poisson dengan menggunakan metode Rice menunjukkan bahwa total kegagalan yang terjadi tidak tergantung pada besamya nilai parameter sebaran dan ukuran eontoh yang digunakan.

Uji Kebaik-suaian X' akan baik digunakan dalam pengujian sebaran Poisson untuk ukuran data yang besar dan nilai parameter sebaran Poisson yang keci!. Untuk ukuran data yang kecil atau nilai parameter sebaran Poisson yang eukllp besar uji Kebaik-sllaian X' akan lebih sering menghasilkan penolakan hipotesis sebaran Poisson, untuk keadaan yang demikian metode Rice akan lebih benl1anfaat dari pada uji Kebaik-suaian X2 .

PEMBANDINGAN UJI-UJJ KEBAIK-SUAIAN

BAG I

SEBARAN POISSON

MENGGUNAKAN

X2

DAN METODE RICE SECARA SIMULASI

FAHMI DARMA W AN

Skripsi

sebagai salah satu syarat W1tuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Program Studi Statistika

JURUSAN STATISTIKA

FAKliLTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITlJT PERT

AN IAN

BOGOR

BOGOR

1997

Judul

Nama

NIM

Pembandingan Uji-uji Kebaik-suaian bagi Sebaran Poisson Menggunakan X2

dan Metode Rice secara Simulasi

(Comparison of Goodness of Fit Tests for

Simulated Data from Poisson Distribution using

X'

and Rice Methods)

Fahmi Darmawan

G290387

Menyetujui,

Komisi Pembimbing

Dr. If. Muhammad Syamsun, MSc.

Ketua

Anggota

Ketua JUnisan

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Suruh, Kab. Semarang pada tanggal 4 Februari 1974 sebagai anak kedua dari empat bersaudara putra dari Bapak Hisyam Asyhari dan Ibu Wartafiq.

Tahun 1992 penulis lulus dari SMA Negeri I Salatiga dan pada lahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Tahun 1993 lulus TPB - IPB dan dilerima di Jurusan Statistika. Pada lahun 1993 sampai dengan 1995 penulis menjadi asislen praktikum Kimia Dasar pada Jurusan Kimia FMIPA - IPB.

KATAPENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadiral Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga karya ilmiah ini dapal diselesaikan.

Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan penghargaan dan ucapan terimakasih yang sebesar-besamya kepada :

I. Bapak Dr. Ir. Muhammad Syamsun, M.Sc. dan Bapak Ir. Agus Buono selaku pembimbing yang telah banyak memberikan ide dan bimbingan kepada penulis sehingga karya iImiah ini dapat diseIesaikan. 2. Dosen, staf dan pegawai pada Jurusan Statistika.

3. Dessy Hildayanli yang lelah memberikan dukungan fasilitas perangkal keras kompuler sehingga dapat ·memudahkan penulis daJam menyelesaikan karya iImiall ini.

4. Anang Kurnia atas diskusi-diskusi yang membantu penulis daJanl tahap perumusan masalah.

5. Dewi Rosmala, Yani Nur, Dian H, Imam, Om Gun, 2ul, Asigun, Mbak Dai, lin, Hermawan Yayat dan semua rekan-rekan di Jurusan Stalistika alas banluan yang lelall diberikan.

AkJlirnya penulis menyampaikan rasa lerimakasih yang lidak lerhingga kepada Bapak, Ibu, Simbah, Mbak, Mas-masku serta adik-adik tersayang alas do'a, kasih sayang, perhalian dan semuanya.

PenuI;s sangal menyadari kekurangan-kekurangan daJam karya ihniah ini, namun demikian penulis sangat berharap semoga karya lulis ini dapal bennanfaal bagi yang membutuhkan.

Bogor, Januari 1997

Fahmi Darmawan

DAFTARISI

Halaman DAFTAR TABEL ... : ... , ... . VI

DAFT AR LAMPIRAN ... VII

PENDAHULUAN ... I. Latar Belakang ... ... I. Tujuan Penelitian ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... I. TINJAUAN PUST AKA ... I. Simulasi Sebaran Poisson ... .... .... ... .... ... ... ... ... ... ... .... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... I.

Uji Kebaik·suaian X' ... ... ... ... .... ... .... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... 2.

Metode Rice .... ... ... ... ... ... ... .... ... .... ... .... .... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .... ... 2.

BAHAN DAN METODE ... 3.

Bahan Penelitian ... 3.

Metode Penelitian ... 3.

HASIL DAN PEMBAHASAN ... 3.

Hasil Uji Kebaik·suaian X' ... 3.

Hasil Pengluian dengan Metode Rice ... 4.

Pembandingan Uji Sebaran ... 5.

KESIMPULAN 5. DAFTARPUSTAKA ... 5.

DAFfAR TABEL

Halaman I. Ukuran Data Minimum Pengujian pada Uji Kebaik-suaian X' dari beberapa Parameter Sebaran

Poisson ... 3. 2. Ukuran Data Minimum Pengujian pada Uji Kebaik-suaian X' dari Metode-metode Pembangkitan

Bilangan Acak Poisson ... 3. 3. Total Kegagalan Uji Kebaik-suaian X' dari Parameter Sebaran Poisson ... 4. 4. Total Kegagalan Uji Kebaik-suaian x'dari Metode-metode Pembangkitan Bilangan

Acak Poisson ... . 4. 5. Total Kegagalan Pengujian Sebaran Poisson dengan Metode Rice untuk Beberapa

Parameter Sebaran Poisson. ... 4. 6. Total Kegagalan Pengqjian Sebaran Poisson dengan Metode Rice untuk Beberapa

Metode-metode Pembangkitan Bilangan Acak Poisson. .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4. 7. Total Kegagalan Uji Kebaik-suaian x'dari Beberapa Parameter Sebaran Poisson.

(n;' 30). 5.

8. Total Kegagalan Pengujian Sebaran Poisson dengan Metode Rice untuk Beberapa Parameter Sebaran Poisson. (n ;, 30). ... 5.

DAFf AR LAMPIRAN

Halaman

I. Ukuran Data Minimum Pengujian pada Uji Kebaik-suaian X' ... 7.

2. Total Kegagalan Uji X' untuk n :?: 30 ... 7.

3. Total Kegagalan Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice untuk n:?: 30 ... 7.

4. Total Kegagalan Uji Kebaik-suaian X' ... ... 8.

5. Total Kegagalan Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice ... 8.

6. Hasil Uji X' dengan data berasal dari MINITAB ... 9.

7. Hasil Uji X' dengan data berasal dari MINIT AB (Base = 50) ... 10.

8. Hasil Uji X' dengan data berasal dari MINIT AB (Base = 503) ... I I. 9. Hasil Uji X' dengan data berasal dari Pseudo Number (Seed = 50) ... 12.

10. Hasil Uji X' dengan data berasal dari Pseudo Number (Seed = 503) ... 13.

II. Hasil Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice, data berasal dari Minitab ... 14.

12. HasiJ Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice, data berasaJ dari Minitab (Base 50) ... IS. 13. Hasil Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice, data berasal dari Minitab (Base 503) ... 16. 14. HasiJ Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice, data berasal dari Pseudo Number (Seed = 50). 17. 15. Hasil Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice, data berasal dari Pseudo Number (Seed = 503) 18.

PENDAHULUAN

Lata .. Beiakang

Pola sebaran teoritis data (antara lain sebaran Binom, Poisson, Normal dan Eksponensial) memegang peran penting dalam analisis data, terutama yang menyangkut tallap pendugaan parameter, pengujian hipotesis dan penetapan taraf kepercayaan atau taraf nyata atas kesimpulan yang akan diambil (Aunuddin, 1988). Analisis data sering dilandasi oleh anggapan sebaran tertentu, sehingga hasil analisis data yang dilakukan menjadi tidak sah apabila asumsi yang melandasi tersebut tidak dipenuhi.

Pengujian bentuk sebaran data biasanya menjadi langkah awal dalam tahap analisis data. Pengujian ini dilakukan untuk melihat apakah data yang akan dianalisis memenuhi anggapan-anggapan yang mendasari metode yang akan digunakan dalam analisis data. Metode-metode Kebaik-suaian (Goodnes of Fit) yang salah satu-nya adalah uji Kebaik-suaian X' sering digunakan untuk menguji apakah data contoh yang ditarik

menyebar menurut sebaran teoritik tertentu. Sedangkan untuk pengujian sebaran Poisson di

samping uji Kebaik-suaian X', Rice (1995) dengan berdasarkan kenyataan bahwa E(X) = Var(X) menyarankan suatu metode utuk menguji sebaran Poisson. Metode Rice ini akan lebih peka apabila dibandingkan dengan uji Kebaik-suaian X' terutama untuk data yang berukuran kecil.

Thjuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan membandingkan metode pengujian sebaran Poisson yaitu uji Kebaik-suaian X' dengan metode Rice, terutama menentukan ukuran contoh terkecil agar uji Kebaik-suaian X' dan metode Rice memberikan hasi I yang berbeda.

TINJAUAN PUSTAKA

Simulasi Sebaran Poisson

Peubah acak X yang menyebar Eksponensial dengan parameter A memiliki fungsi peluang dan fllngsi sebaran komlliatif sebagai berikut :

x

F(X

=

x)

=

fJ.e-Axdx

=

1_e- Ax

o

Sebaran peubab acak Eksponensial dibangkit-kan dengan Inverse Transformation Method, dimana fungsi sebaran kumulatif Eksponensial memiliki kebaIikan yang bisa diucapkan secara

eksplisit. Karena untuk peubah acak

Eksponensial, 0,;; F(X) ,;; 1 sehingga F(X) dapat direpresentasikan dalam sebaran seragam,

U - Uta, 1), 0,;;

u ,;;

1 -Ax -Ax u=1-e , e =1-u -1n(I-u) X= . O<u<1 'A. • -

-Karena u - Seragam(O,I) maka (I-u) juga akan meyebar Seragam(O,I) sehingga bila X adalah peubah acak Eksponensial, maka X dapat dibangkitkan dengan cara :

Inu

x=-T

;u-Seragam(O,l).

Peuball acak X yang menyebar secara Poisson dengan parameter A dapat dinyatakan dengan :

. e- A xAx

P(.\ = x) =

° ,;;

x,;; 00

x!

E(X) = A , dan Var(X) = A

Menurut Morgan (1984), untuk membangkit-kan peUbaIl acak Poisson (A), dapat dilakukan dangan menggunakan kenyataan bahwa dalam Proses Poisson (At) terdapat kenyataan bahwa :

1. Waktu antar kejadian menyebar secara eksponensial.

2. Banyaknya kejadian dalam setiap selang

waktu tertentu t akan menyebar Poisson (At). Jika Ei - Eksponensial (A), bila ditetapkan X sedemikian sehingga :

x-I x

L

E. < 1,;

L

E. ;x = 0,1,2,3,4, .. ·

i=OI i=OI

maka X adaIah peubab acak Poisson (A).

x - 1 x L E.<l:S; L E. ;x=O,1,2.3.···.~:::::·, i = O ' i = O I x - 1 In 11. X In 11. L ___ I <1~ L - - - ' i=O A i=O A

x - I

,

E - In II E - In II , • 0

,

I=:O

,

(

,._')

(,.)

In n " > - i. ~ In n II I = 0 I I = 0 I

ii'lI,

> e ). ~

Ii

II, , . 0 '00

Artinya agar X menjadi peubah Poisson (A) maka han,s dipenuhi :

x

A

n

u.:;;

e-j = 0 I

Langkah-Iangkah pembangkitan peubah acak Poisson (A) adalah :

I. Mulai dari i = 0

2. Bangkitkan bilangan acak Seragam

u;-u(O,I) 3.

4.

x

-A

Periksa apakah

n

u. :;; e kalau ya

i = 0 /

proses dil8l~utkan ke langkah 4, kalau tidak proses dilanjutkan ke langkah 2 dengan i =i + I

Cetak X = i; X - Poisson (A)

Uji Kebaik-suaian

1:

Uji Kebaik-suaian X' digunakan untuk menguji apakah sekumpulan data berasal dari sebaran tertentu.

Pengujian ini menggunakan prinsip bahwa apa bila sebuah contoh ditarik dari suatu populasi yang dihipotesiskan, diharapkan adanya suatu kecocokan yang erat antara frekuensi yang teramati dengan frekuensi harapan untllk hap kategori yang ada. Hipotesis yang digunakan adalah:

H" : Gugus data ditarik dari Populasi dengan sebaran yang telah ditentllkan

H, Gugus data bukan berasal dari Populasi dengan sebaran yang telah ditetapkan. Sehingga bila H" benar diharapkan adanya kesesuaian yang erat antara frekuensi-frekuensi yang teramati dengan frekuensi harapan untuk tiap kategori.

Pearson dalam Lindgren (1976) memberikan statistik uji : r

(/'_11".)2

.\"2 =

L

I I 111t. I i =-1 2 dengan

fi Frekuensi yang teramati pada kategori ke

i.

7t; : PeJuang kejadian dalam kategori ke i

n : Jumla11 data, r : Banyaknya kategori,

Untuk ukuran contoh besar, X' kurang lebih mengikuti sebaran X' dengan derajat bebas banyaknya kategori (r) - I. H. akan ditolak apa bila nilai X' lebih atau sarna dengan nilai X' tabel pada derajat bebas r - I, dengan taraf nyata a.

Untuk penggunaan praktis ukuran contoh yang cukup sekurang-kurangnya adalah 30, asalkan tidak ada satu pun frekuensi harapan yang terlalu kecil (Daniel, 1978). Sedangkan Cochran dalam Daniel memberikan ukuran minimum bagi frekuensi harapan yang tidak boleh kurang dari satu. Bila dijumpai frekuensi harapan yang kurang dari satu, biasanya kategori yang berfrekuensi harapan kurang dari satu digabungkan dengan kategori terdekat sampai frekuensi harapan minimum terpenuhi, Banyak-nya kategori akan berkurang sesuai dengan banyaknya kategori yang digabungkan dengan kategori terdekat.

Apa bila par8l1leter populasi yang dihipotesis-kan tidak diberidihipotesis-kan maka harus diduga, Derajat bebas X' harus dikurangi lagi dengan banyaknya parameter yang harus diduga. Sehingga bila parameter yang harus diduga sebanyak g maka derajat bebas pengujian menjadi r - g -1.

Metode Rice

Rice (1995) menganjurkan suatu uji untuk sebaran Poisson dengan mendasarkan pada kenyataan bahwa E(X)

=

Var(X) dan uji perbandingan Likelihood.

Jika X; adalall frekuensi kategori-kategori yang saling bebas maka :

H. :

A; = A, Vi = 1,2,3,4, ... ,n

H, : AI, A2, A"

1." .. " A.,

Apa bila

H.

benar maka :

i

=

x

H, benar maka :

i;

Dengan menggunakan perbandingan Likelihood

.x

i

i

~

1 A

~\.;~

II

(.,¥)X;

(x. _ .,¥) 6.

=

. =

n -

f! I .x. -A. i = 1 x. 11 1...1 f! I I

n

-1.~~ i = 1 Xi!