Catatan Kuliah 8 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Pertumbuhan

Catatan Kuliah 8

Memahami dan Menganalisa Optimisasi Pertumbuhan

1. Sifat dari Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial adalah fungsi yang variabel bebasnya muncul sebagai pangkat. Bentuk umum :

( )

t

y= f t =b ; b>1 dimana y : variabel dependent

t : variabel independent b: basis atau bilangan dasar Contoh : y= ; 5t y=4( )t−2

Fungsi eksponensial mempunyai dua basis, yaitu : (i) Basis konstanta b

• Fungsi eksponensial dengan basis b>1 Sifat utama :

¾ Nilai dari fungsi y akan mendekati sumbu t ketika t mendekati nilai negatif tak hingga

( )

−∞

¾ Nilai y akan monoton naik seiring dengan meningkatnya nilai t

y y= ; bt b>1 1 0 t

• Fungsi eksponensial dengan basis 0< <b 1 Sifat utama :

¾ Nilai dari fungsi y akan mendekati sumbu t ketika t mendekati nilai positif tak hingga

( )

+∞

y y= bt 0< <b 1

1

0 t (ii) Basis bilangan natural, e=2, 71828...

Fungsi eksponensial yang memiliki basis ini biasa disebut dengan fungsi eksponensial natural.

2. Fungsi Eksponensial Natural dan Masalah dalam Pertumbuhan ™ Bilangan e

Fungsi eksponensial natural adalah fungsi eksponensial yang menggunakan basis bilangan e=2, 71828...

Nilai e diperoleh dengan mengevaluasi pernyataan fungsi

( )

1 1

m f m m ⎛ ⎞ = +_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

ketika m mendekati bilangan yang semakin besar atau tak hingga. Jika nilai m semakin besar, maka f m

( )

menjadi :

( )

1 1 1 1 2 1 f = +⎛_⎜ ⎞_⎟ = ⎝ ⎠

( )

1 2 2 1 2, 25 2 f = +⎛_⎜ ⎞_⎟ = ⎝ ⎠

( )

1 3 3 1 2, 37037... 3 f = +⎛_⎜ ⎞_⎟ = ⎝ ⎠

( )

1 4 4 1 2, 44141... 4 f = +⎛_⎜ ⎞_⎟ = ⎝ ⎠ #

Selanjutnya, jika nilai m semakin besar sampai tak hingga

( )

∞ , maka f m

( )

akan menjadi konvergen ke bilangan e=2, 71828...

Jadi, e dapat didefinisikan sebagai :

( )

1 lim lim 1 m m m e f m m →∞ →∞ ⎛ ⎞ ≡ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠

™ Interpretasi Ekonomi dari bilangan e

Dalam ekonomi, bilangan e dapat diinterpretasikan sebagai bentuk khusus dari bunga majemuk.

Misalkan diberikan nilai pokok awal (initial principal) sebesar $1. Dan tingkat bunga yang ditawarkan oleh bank sebesar 100% per tahun.

Jika bunganya digabungkan menjadi setahun sekali, maka nilai asset pada akhir tahun akan menjadi $2, yang secara matematis dinyatakan sbb :

( )

1

(

1

)

V =initial principal +Interest rate

(

)

1 1 1 1 100% 1 1 2 1 ⎛ ⎞ = + = _⎜ + _⎟ = ⎝ ⎠

Jika bunganya digabungkan menjadi semi tahunan sekali, maka nilai bunga sebesar 50% dari initial principal akan diberikan pada akhir periode 6 bulan pertama. Karenanya nilai asset awal pada periode 6 bulan kedua sebesar $1,50, dan nilai asset pada akhir tahun menjadi :

( ) (

)(

)

1 2

2 1 50% 1 50% 1 2, 25

2

V = + + = +⎛_⎜ ⎞_⎟ =

⎝ ⎠

Dengan cara yang sama dapat ditulis :

( )

3 1 3 1 3 V = +⎛_⎜ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ ;

( )

4 1 4 1 4 V = +⎛_⎜ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ ; dst. Secara umum dapat dinyatakan dengan :

( )

1 1

m V m m ⎛ ⎞ = +_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

dimana m menunjukkan frekuensi penggabungan bunga dalam 1 tahun.

Jika bunga digabungkan secara kontinu dalam 1 tahun, maka m menjadi tak terbatas, maka nilai asset pada akhir tahun menjadi :

( )

1

(

)

lim lim 1 m m→∞V m m→∞ _m e dollars ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ = ⎝ ⎠

Karenanya, bilangan e dapa diinterpretasikan sebagai nilai akhir tahun dimana nilai pokok awal sebesar $1 akan tumbuh jika tingkat bunga sebesar 100% per tahun digabung secara kontinu.

™ Bunga Majemuk dan Fungsi rt

Ae

Dengan initial principal sebesar $ A , akan diinvestasikan selama t tahun pada tingkat suku bunga nominal r . Maka bentuk umum bunga majemuk dimodifikasi menjadi :

( )

1 mt r V m A m ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠

Bentuk di atas dapat dinyatakan dengan :

( )

1 rt m r r V m A m ⎡_{⎛ ⎞} ⎤ = _⎢⎜ + _{⎟ ⎥} ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 1 rt w A w ⎡_{⎛ ⎞} ⎤ = _⎢⎜ + _{⎟ ⎥} ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , dimana m w r ≡

Ketika m meningkat sampai tak terhingga, maka w→ ∞.

Oleh karena itu, secara umum nilai asset dalam proses penggabungan bunga yang kontinu adalah :

( )

lim rt m V V m Ae →∞ ≡ =

™ Instantaneous Rate of Growth

Koefisien r dalam fungsi Ae dapat diinterpretasikan sebagai instantaneous rate rt

of growth.

Diberikan fungsi V =Aert, maka tingkat perubahan V adalah : dV rAert rV

dt = =

Tingkat pertumbuhan (rate of growth) V adalah tingkat perubahan V yang dinyatakan dalam bentuk relative atau persentase, karenanya :

dV dt rV

Rate of growth of V r

V V

≡ = =

Nilai r di atas disebut instantaneous rate of growth. ™ Discounting & Negative Growth

Permasalahan discounting adalah menentukan present value A . Untuk kasus diskrit, diketahui future value : V =A

(

1+i

)

t

Maka bentuk discounting untuk kasus diskrit :

(

1

)

(

1

)

t t V A V i i − = = + +

Sedangkan untuk kasus kontinu, diketahui future value : V = Aert

Maka bentuk discounting untuk kasus kontinu : A V_rt Ve rt e

−

= =

3. Logaritma

Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu.

Bentuk umum : logb t

Basis atau bilangan dasar

( )

b dari suatu logaritma dapat berupa bilangan positif, kecuali 1. Akan tetapi, basis yang lazim digunakan adalalah basis 10 dan basis e.

(i) Logaritma biasa (common logarithms)

Logaritma yang menggunakan basis 10 dan dilambangkan dengan log . Contoh : 10log100=10 log102 = 2

(ii) Logaritma natural

Logaritma yang menggunakan basis e=2, 71828..., dan dilambangkan dengan loge atau ln .

Aturan-aturan logaritma : • ln

( )

uv =lnu+lnv • ln u lnu lnv v ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ • lnua =alnu

( )

ln a ln a u a u u = e =e

• blogu=

(

bloge

)(

elogu

)

• log 1 1 log ln b e e b b = = • blogy b =y • log log log b y y b =

• blogy=

(

bloge

)(

elogy

)

1 log log e e y b = ln ln y b = 4. Fungsi Logaritma

Jika suatu variabel dinyatakan sebagai fungsi logaritma dari variabel lain, maka fungsi ini disebut sebagai fungsi logaritma.

Bentuk umum : t=b logy→ = dan y bt elog

(

ln

)

t= y = y

Perhatikan grafik di bawah ini :

t y

y= et y=t y=t

t= elogy

(

=lny

)

1

0 1 y 0 t Berdasarkan grafik di atas, ternyata kurva fungsi log adalah pencerminan dari kurva fungsi eksponensial.

5. Derivatif Eksponensial dan Fungsi Logaritma • Aturan derivatif fungsi eksponensial

(i) y t

( )

= →et y t'

( )

=et

(ii) y t

( )

=ef t( ) →y t'

( )

= f '

( )

t ef t( )

(iii) y t

( )

=bt →y t'

( )

=btlnb • Aturan derivatif fungsi logaritma

(i) y t

( )

lnt y t'

( )

1 t = → = (ii)

( )

( )

( )

( )

( )

' ln ' f t y t f t y t f t = → = Optimal Timing

1) Seorang pedagang wine, mempunyai 1 unit wine yang dapat dijual sekarang atau nanti dengan harga yang lebih mahal. Apabila harga sekarang adalah k dan harga pada waktu ke- t adalah V t

( )

=ke t dimana t>0.

Kapankah wine tersebut harus dijual agar keuntungannya maksimum? (Perlihatkan SOSC)

Jawab :

Misal diasumsikan suku bunga sebesar r , maka present value A t

( )

dari nilai jual wine pada waktu ke- t adalah :

( )

( )

rt A t =V t e− t rt ke e− ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦

=ke t rt−

Tujuan dari masalah ini adalah memaksimumkan A t

( )

. Berdasarkan persamaan di atas :

( )

t rt

A t =ke −

Log linierkan kedua ruas :

( )

(

)

lnA t =ln ke t rt−

( )

lnA t =lnk+lne t rt−

( )

lnA t =lnk+ t− rt

Differensialkan kedua ruas terhadap t :

( )

[ ]

[ ]

ln ln d t d A t d k d rt dt dt dt dt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ _{= +} ⎣ ⎦₋ 1 1 12 2 dA t r A dt − = −

( )

1 12 2 dA A t t r dt − ⎡ ⎤ = _⎢ − _⎥ ⎣ ⎦

Agar A t

( )

maksimal, maka syarat FONC yang harus dipenuhi adalah dA 0

dt = , maka

( )

1 2 1 0 2 dA A t t r dt − ⎡ ⎤ = _⎢ − _⎥= ⎣ ⎦ Karena A t

( )

≠0 maka 1 12 ₀ 2t r − ⎡ ₋ ⎤₌ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ _t−12 =_2r

( )

( )

2 1 ₂ 2 ₂ t r − − − = * 1₂ 4 t r = SOSC :

( )

1 2 2 2 1 2 d A t t r d A dt dt − ⎡ ⎛ ₋ ⎞⎤ ⎜ ⎟ ⎢ _{⎝ ⎠}⎥ ⎣ ⎦ =

( )

2 3 1 2 2 2 1 1 2 4 d A dA t r A t t dt dt − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟+ _⎜− _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Karena dA 0

dt = , maka persamaan di atas menjadi :

( )

( )

2 3 2 2 ₃ 1 4 ₄ A t d A t A t dt _t − = − = − Substitusi nilai * 1₂ 4 t r

= ke persamaan di atas menghasilkan :

( )

(

)

2 2 ₃ 2 0 4 1 4 A t d A dt r = − < Karena 2 2 0 d A

dt < maka waktu optimal agar A t

( )

maksimum adalah 2

1 * 4 t r =

2) Jika nilai wine tumbuh mengikuti fungsi : V t

( )

=ke2 t