Open
Source
Not
For
Commercial
Use
Limit dan Kekontinuan
Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2
. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).
Ilustrasi: Perhatikan grafik dan peta kontur f (x, y) = xx22−y+y22 di bawah ini.
Tanpa melakukan proses perhitungan limit, perkirakanlah: • Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f(x, y) → ? • Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu y, f(x, y) → ? • Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang garis y = x, f(x, y) → ? Dari pengamatan di atas, maka lim
(x,y)→(0,0)
x2−y2
x2+y2 . . . . Sekarang, coba pikirkan lim
(x,y)→(2,1)
x2−y2
x2+y2.
Untuk menghitung limit fungsi tsb., kita gunakan rujukan sebagai berikut: Substitusikan titik limit yang dituju pada fungsi yang bersangkutan. Bila nilainya ”terdefinisi”, maka nilai tersebut adalah nilai limitnya.
Tentukan lim
(x,y)→(2,1)
x2−y2
Open
Source
Not
For
Commercial
Use
Definisi Limit Fungsi 2 Peubah
Limit dari fungsi dua peubah f (x, y) untuk
(x, y) mendekati (a, b) disebut L, ditulis
lim
(x,y)→(a,b)f (x, y) = L artinya untuk setiap ǫ > 0, selalu dapat dicari δ > 0 sehingga 0 < |(x, y) − (a, b)| < δ ⇒ |f(x, y) − L < ǫ.
Catatan: |(x, y) − (a, b)| = p(x − a)2
+ (y − b)2
Catatan:
• Fungsi f(x, y) tidak perlu terdefinisi pada titik (a, b).
• Nilai limit f(x, y) tidak boleh bergantung pada arah (x, y) mendekati (a, b).
(Pada fungsi dua peubah tidak ada istilah limit kiri atau limit kanan).
Contoh2 : 1. Tunjukan lim (x,y)→(0,0) x2−y2 x2+y2 tidak ada. 2. Tunjukan lim (x,y)→(0,0) x2y x4+y2 tidak ada.
(Petunjuk: Hitung sepanjang garis y = mx dan parabola y = x2
Open
Source
Not
For
Commercial
Use
Kekontinuan di satu titik
Fungsi f (x, y) disebut kontinu di (a, b) bila memenuhi lim
(x,y)→(a,b) = f (a, b)
Sifat2
:
• Bila f(x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka f + g, f − g, fg dan f/g kontinu di (a, b).
• Polinom dua peubah, p(x, y) = a + bx + cy + dx2
+ exy + f y2
+ · · · kontinu di R2
• fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya.
• Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f(x) kontinu di g(a, b), maka f ◦ g(x, y) = f(g(x, y)) kontinu di (a, b).
Contoh: Jelaskan kekontinuan fungsi f (x, y) = cos(x3
− 4xy + y2
). Kekontinuan di himpunan
Misalkan S ⊂ R2
. Fungsi dua peubah f (x, y) disebut kontinu pada S bila f kontinu pada setiap titik pada S. Perlu diper-hatikan bila S memiliki batas (perdiper-hatikan gambar di samping ini), maka proses limit hanya dilakukan sepanjang jalur yang berada dalam S saja.
Sifat:
Misalkan f (x, y) fungsi dua peubah. Bila fxy dan fyx kontinu pada himpunan buka
Open
Source
Not
For
Commercial
Use
KeterdiferensialanPerkuliahan ini tidak akan membahas konsep diferensial fungsi dua peubah secara teoritik. Pembahasan konsep akan langsung dianalogikan dengan konsep turunan di fungsi satu peubah.
Perhatikan fungsi satu peubah f (x), p ∈ Df dan h ∈ R. Bila fungsi tersebut
mem-punyai turunan, maka berlaku f (p + h) = f (p) + f′(p)h + ǫ(h2
)
Untuk fungsi dua peubah hal yang analog berlaku. Misalkan f (x, y) fungsi dua peubah dan p = (x, y) ∈ Df. Untuk memudahkan notasi, kita akan menuliskan p sebagai
vektor ~p = hx, yi. Pada fungsi dua peubah berlaku hubungan f(~p + ~h) = f(~p) + ∇f(~p) · ~h + ǫ(h2
) dengan,
∇f(~p) = hfx(~p), fy(~p)i = fx(~p)ˆi + fy(~p)ˆj
Catatan: Vektor ∇f dibaca grad dari f dan disebut vektor gradien dari fungsi dua peubah f (x, y).
Sifat: Bila fx(x, y) dan fy(x, y) kontinu di lingkungan sekitar (a, b) maka f (x, y)
terdiferensialkan di (a, b) dengan gradien ∇f(a, b). Contoh: Tunjukan f (x, y) = xey+ x2
y terdiferensialkan di mana-mana dan tentukan gradiennya. Sifat2 ∇: a. ∇[f(~p) + g(~p)] = ∇f(~p) + ∇g(~p) b. ∇[αf(~p)] = α ∇f(~p) c. ∇[f(~p) g(~p)] = ∇f(~p) g(~p) + f(~p) ∇g(~p) Sifat:
Open
Source
Not
For
Commercial
Use
Turunan berarahPopon berada pada sebuah keping dengan distribusi suhu seperti pada gambar di samping.
a. Bila dia bergerak pada arah horizontal, berapakah laju perubahan suhunya ?
b. Pada arah manakah dia harus bergerak supaya penurunan suhunya maksimum?
Pertanyaan (a) sudah dapat anda jawab yaitu · · · ·.
Untuk menjawab pertanyaan (b), kita akan mempelajari konsep turunan berarah. Mis-alkan f (x, y) fungsi dua peubah dan ~p = hx, yi ∈ Df .
fx(~p) = lim h→0 f (~p + hˆi) − f(~p) h dan fy(~p) = limh→0 f (~p + h ˆj) − f(~p) h
Misalkan ~u vektor satuan pada bidang,
~u = hu1, u2i = u1ˆi+ u2j.ˆ Turunan berarah dari f (x, y)
pada arah ~u di titik p adalah:
D~uf (~p) = ∂f ∂~u (~p) = limh→0 f (~p + h ~u) − f(~p) h Perhatikan: fx(~p) = Dˆif (~p) dan fy(~p) = Djˆf (~p)
Secara fisis, turunan berarah menyatakan laju perubahan f (x, y) di titik ~p bila f begerak pada arah ~u.
Secara umum, menghitung D~uf (~p) dari konsep limit di atas cukup menyulitkan.
Bi-asanya perhitungan dilakukan melalui sifat berikut:
Misalkan f (x, y) terdiderensialkan di ~p, maka D~uf (~p) = ~u · ∇f(~p) Contoh: Misalkan f (x, y) = 4x2
− xy + 3y2
, tentukan turunan berarah dari f di titik (2, −1) : (a.) pada arah ~a = h4, 3i. (b.) pada arah menuju titik (5, 3).
Diskusi: Misalkan z = f (x, y), pada arah manakah D~uf (~p) naik dan turun paling
Open
Source
Not
For
Commercial
Use
Contoh: Seekor kutu berada pada titik (2,-1,21) di permukaan f (x, y) = 4x2
− xy + 3y2
, tentukan pada arah mana dia harus bergerak agar tanjakannya maksimum dan berapa tanjakan tersebut ?
Kurva Ketinggian vs Gradien
Perhatikan kurva ketinggian L dari z = f (x, y) yang melalui titik P (x0, y0). Misalkan ~u vektor singgung satuan terhadap
L di titik P . D~uf (p) = 0 (mengapa ?). Dilain pihak
D~uf (p) = ~u · ∇f(p). Dengan demikian ∇f(p) ⊥ ~u atau
∇f(p) ⊥ L di titik P .
Contoh: Diberikan fungsi z = x42 + y2
. Tentukan vektor gradien yang melalui titik (2, 1), lalu gambarkan kurva ketinggian yang melalui titik tersebut dan vektor gradi-ennya.
Aturan Rantai Jenis 1
Misalkan z = f (x, y), dengan x = x(t) dan y = y(t). Di sini f merupakan fungsi dua peubah terhadap x dan y, tetapi terhadap t merupakan fungsi satu peubah. Aturan rantai memberikan formula untuk menghitung turunan f terhadap t: dz dt = ∂z ∂x dx dt + ∂z ∂y dy dt Contoh: Misalkan z = x3 y dengan x = 2t dan y = t2 . Tntukan dzdt. Aturan Rantai Jenis 2
Misalkan z = f (x, y), dengan x = x(s, t) dan y = y(s, t). Di sini f merupakan fungsi dua peubah terhadap x dan y, juga fungsi dua peubah terhadap s dan t. Aturan rantai memberikan formula untuk menghitung turunan parsial f terhadap s dan t:
∂z ∂s = ∂z ∂x ∂x ∂s + ∂z ∂y ∂y ∂s dan ∂z ∂t = ∂z ∂x ∂x ∂t + ∂z ∂y ∂y ∂t Contoh: Misalkan z = x3 y dengan x = 2s + 7t dan y = 5st. Tentukan ∂z∂s dan ∂z∂t.
Open
Source
Not
For
Commercial
Use
Penurunan Fungsi Implisit dengan aturan Rantai a. Untuk fungsi satu peubah
Misalkan F (x, y) = 0 mendefinisikan y sebagai fungsi x secara implisit. Turunkan kedua ruas terhadap x, maka diperoleh: ∂F∂xdxdx + ∂F∂y dydx = 0.
dy
dx = −
∂F /∂x ∂F /∂y b. Untuk fungsi dua peubah
Misalkan F (x, y, z) = 0 mendefinisikan z sebagai fungsi x dan y secara implisit. Turunkan terhadap x, diperoleh: ∂F∂x∂x∂x + ∂F∂y ∂x∂y + ∂F∂z ∂x∂z = 0.
Turunkan terhadap y, diperoleh: ∂F∂x ∂x∂y + ∂F∂y ∂y∂y + ∂F∂z ∂z∂y = 0. Karena ∂x∂y = 0 dan ∂y∂x = 0 (mengapa ?), maka
∂z ∂x = − ∂F /∂x ∂F /∂z dan ∂z ∂y = − ∂F /∂y ∂F /∂z Contoh: 1. Tentukan dxdy dari x3 + x2 y − 10y4 = 0
(gunakan dua cara: aturan rantai dan penurunan implisit). 2. Tentukan ∂x∂z dan ∂z∂y dari x3
Open
Source
Not
For
Commercial
Use
Bidang SinggungPerhatikan permukaan F (x, y, z) = 0 dan V bidang singgung di titik p = (x0, y0, z0).
∇F (p) = hFx(p), Fy(p), Fz(p)i ⊥ V (?).
Misalkan (x, y, z) sebarang titik pada bidang V . Jelas ∇F (p) ⊥ hx − x0, y − y0, z − z0i (?).
Dengan demikian setiap titik pada bidang singgung memenuhi persamaan: ∇F (p) · hx − x0, y − y0, z − z0i = 0.
hFx(p), Fy(p), Fz(p)i · hx − x0, y − y0, z − z0i = 0
Fx(p)(x− x0) + Fy(p)(y − y0), Fz(p)(z − z0) = 0 Hal khusus, bila z = f x, y).
Tulis f (x, y) − z = 0 = F (x, y, z). ∇F = hfx, fy, −1i.
Dengan demikian persamaan garis singgung terhadap f (x, y) di titik p adalah
fx(p)(x− x0) + fy(y − y0) − (z − z0) = 0
Contoh:
1. Tentukan persamaan garis singgung terhadap x2
+ y2
+ 2z2
= 23 di titik (1, 2, 3). 2. Tentukan persamaan garis singgung terhadap z = x2
+ y2
di titik (1, 1, 2).
3. Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan bidang xoy terhadap z = x2
− 2xy − y2
Open
Source
Not
For
Commercial
Use
Diferensial dan Aproksimasi
Misalkan fungsi z = f (x, y). (x0, y0, z0) & (x, y, z) ∈ Df.
Diferensial dari peubah bebas x dan y adalah:
dx = ∆x = x− x0
dy = ∆y = y − y0
tetapi,
∆z = z − z0 = f (x, y) − f(x0, y0)
dan diferensial dari peubah tak bebas z adalah
dz = fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy.
Interpretasi geometri dari ∆z dan dz diperlihatkan pada gambar di atas. Untuk dx dan dy yang cukup kecil ∆z ≈ dz. Diperoleh rumus aproksimasi
∆z = f (x, y, z) − f(x0, y0, z0) ≈ fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy = dz Contoh2
:
1. Misalkan z = 2x3
+ xy − y3
. Tentukan ∆z dan dz bila (x, y) berubah dari (2, 1) ke (2, 03 ; 0, 98).
Open
Source
Not
For
Commercial
Use
Maksimum dan Minimum Fungsi 2 Peubah Misalkan z = f (x, y) dan p0 ∈ Df
a. f disebut mencapai maksimum di p0 bila
f (p0) ≥ f(p) ∀ p ∈ Df, nilai maksimumnya f (p0).
b. f disebut mencapai minimum di p0 bila
f (p0) ≤ f(p) ∀ p ∈ Df, nilai minimumnya f (p0).
c. f disebut mencapai maksimum lokal di p0 bila
f (p0) ≥ f(p) untuk semua titik p disekitar p0.
d. f disebut mencapai minimum lokal di p0 bila
f (p0) ≤ f(p) untuk semua titik p disekitar p0.
Titik tempat terjadinya maksimum/minimum global/lokal disebut titik ekstrim.
Titik ekstrem tidak selalu ada (berikan contoh).
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan ter-tutup dan terbatas, maka titik ekstrim global selalu ada.
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari: a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0 b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada.
c. Titik batas dari Df
T itik kritis
Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2
− 2x + y42.
fx(x, y) = 2x − 2 dan fy(x, y) = y2. Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1.
Titik singular dan titik batas tidak ada. Perhatikan bahwa: f (x, y) = x2 − 2x + y42 = x 2 − 2x + 1 + y42 − 1 = (x − 1) 2 + y42 − 1 ≥ −1
Jadi (1, 0) merupakan titik minimum global, dan tidak ada titik maksimum.
Teorema Pengujian titik ekstrim lokal
Misalkan f (x, y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu disekitar titik sta-sioner p0 = (x0, y0). tetapkan D = fxx(p0) fyy(p0) − fxy2 (p0),
a. Jika D > 0 dan fxx(p0) < 0, maka p0 titik maksimum lokal.
b. Jika D > 0 dan fxx(p0) > 0, maka p0 titik minimum lokal.
c. Jika D < 0, maka p0 titik pelana (bukan titik ekstrim).
Open
Source
Not
For
Commercial
Use
Latihan1. Tentukan titik ekstrim lokal dan titik pelana dari z = −xa22 +
y2
b2.
2. Tentukan titik pada z2
= x2
y + 4 yang jaraknya paling dekat ke titik asal. 3. Tentukan titik ekstrim dari f (x, y) = 2 + x2
+ y2
pada daerah S = {(x, y) : x2
+ y42 ≤ 1}
(petunjuk: untuk mencari titik ekstrim pada batas S, gunakan substitusi x = cos t dan y = 2 sin t dengan · · · ≤ t ≤ · · ·).
Open
Source
Not
For
Commercial
Use
Ekstrim dengan Kendala, Metode Lagrange
Masalah titik ekstrim pada fungsi 2 peubah ada dua macam:
a. Masalah ekstrim bebas (yang telah dibahas pada pasal sebelumnya). b. Masalah ekstrim dengan kendala/syarat
Masalah ekstrim dengan kendala membahas masalah mencari titik ekstrim sepan-jang kurva z = f (x, y) dengan syarat titik-titik (x, y) berada sepansepan-jang lengkunagn g(x, y) = 0. Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut:
Carilah nilai maksimum dari f (x, y) = 2+x2
+y2
sepanjang g(x, y) = x2
+y42−1 = 0.
Dengan mesubstitusikan kurva kendala pada f (x, y) akan diperoleh masalah ekstrim bebas (dengan jumlah peubah bebas yang lebih sedikit), selanjutnya dapat diselesaikan dengan metode pencarian ekstrim bebas. Namun demikian, tidak selalu kurva kendala dapat disubstitusikan ke dalam fungsi semula (cari contohnya).
Metode Pelipat Lagrange merupakan alter-natif lain untuk mencari ekstrim dengan kendala. Perhatikan kurva ketinggian dari f (x, y) = k untuk k = 200, 300, · · · , 700 yang digambarkan bersama-sama dengan kendala g(x, y) = 0.
Yang harus ditentukan adalah titik pada kurva ketinggian dengan nilai k terbesar yang juga dilalui kendala g(x, y) = 0 (mengapa demikian ?).
Open
Source
Not
For
Commercial
Use
Titik tersebut terletak pada kurva ketinggian yang bersinggungan dengan g(x, y) = 0. Pada ilustrasi, titik tersebut adalah p0 dengan nilai k = 600. ∇f(p0) ⊥ kurva
keting-gian f (x, y) = 600 dan ∇g(p0) ⊥ g(x, y) = 0 (mengapa ?). Karena f(x, y) = 600
dan g(x, y) = 0 bersinggungan di p0 maka ∇f(p0) segaris dengan ∇g(p0). Jadi di
titik maksimum diperoleh hubungan ∇f(p0) = λ∇g(p0) dengan λ suatu bilangan real.
Hal yang sama juga berlaku di titik minimum (titik p1).
Dengan demikian diperoleh kesimpulan sebagai berikut: (Metode Lagrange)
Untuk mencari titik ekstrim dari z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0, carilah solusi dari sistem persamaan
∇f(x, y) = λ∇g(x, y) dan g(x, y) = 0
Titik-titik p yang memenuhi persamaan tersebut merupakan titik kritis dari masalah ekstrim terkendala. Bilangan λ disebut pelipat Lagrange.
Diskusi:
1. Bila didapatkan n buah titik kritis, bagaimanakah menentukan titik maksimum dan minimumnya ?
2. Bila didapatkan 1 buah titik kritis, bagaimanakah menentukan titik maksimum dan minimumnya ?
Contoh2
:
1. Carilah nilai maksimum dari f (x, y) = 2+x2
+y2
sepanjang g(x, y) = x2
+y42−1 = 0.
2. Carilah titik-titik ekstrim dari f (x, y) = y2
− x2
pada elips x42 + y 2
= 1.
3. Tentukan volume maksimum dari sebuah kotak yang dapat dibuat bila harga bahan alasnya tiga kali harga bahan sisi yang lain. Harga bahan alasnya Rp 6.000/m2
dan jumlah uang yang tersedia Rp. 120.000. (Catatan: ∇f(x, y, z) = hfx, fy, fzi). 4. Tentukan titik ekstrim dari f (x, y, z) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan
perpotongan silinder x2
+ y2
= 2 dengan bidang y + z = 1.
Catatan: Masalah ini adalah masalah ekstrim dengan dua kendala yaitu g(x, y, z) = 0 dan h(x, y, z) = 0, rumus metode Lagrange-nya adalah:
∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z) g(x, y, z) = 0 h(x, y, z) = 0
