Fisika Dasar I (FI-321)

(1)

Fisika Dasar I (FI-321)

Topik hari ini (minggu 7)

Gerak Rotasi

Kinematika Rotasi

Dinamika Rotasi

Kekekalan Momentum Sudut

Gerak Menggelinding

(2)

Kinematika Rotasi

(3)

Perpindahan Sudut

►

Riview

Riview gerak linear:

gerak linear:

Perpindahan, kecepatan, percepatanPerpindahan, kecepatan, percepatan

t

v

a

t

r

v

r

_f _i

∆

=

∆

=

−

=

∆

r

,

►

Perlu konsep yang sama untuk

benda bergerak melingkar

►

Seperti sebelumnya:

Perlu sebuah Perlu sebuah sistem acuan tetapsistem acuan tetap (garis)

(garis)

Gunakan sistem koordinat polarGunakan sistem koordinat polar

t

∆

(4)

►

Setiap titik pada benda yang

bergerak melingkar terhadap

titik O

►

Secara umum sudut diukur

dalam

dalam radian

radian

Panjang busur Panjang busur

Perpindahan Sudut (lanjutan)

► ►

Cat:

r

s

=

θ

° = ° = 57.3 2 360 1 π rad

[derajat]

θ

180 π

[rad]

θ

°°°°

====

Panjang busur Panjang busur Jari Jari--jarijari

(5)

►

► Perpindahan sudut

Perpindahan sudut

didefinisikan sebagai sudut yang

dibuat benda yang berotasi

selama selang waktu tetentu

Perpindahan Sudut (lanjutan)

►

Setiap titik dalam piringan

mengalami perpindahan sudut

yang sama dalam selang waktu

tertentu

i f

θ

=

−

∆

(6)

Kecepatan Sudut

►

Kecepatan sudut rata

Kecepatan sudut rata--rata

rata,

,

ω, dari benda tegar adalah

perbandingan dari

perpindahan sudut dengan

selang waktu

t

_f

_i

i

f

∆

θ

∆

=

−

θ

−

θ

=

ω

(7)

►

Kecepatan sudut sesaat (laju)

didefinisikan sebagai limit dari laju

rata

rata--rata dengan selang waktu

rata dengan selang waktu

mendekati nol

dt

d

t

θ

=

∆

θ

∆

=

ω

→ ∆

lim

Kecepatan Sudut

►

Satuan

dari laju sudut adalah

radian/sec

(rad/s)

►

Laju sudut akan menjadi

positifpositif jika θ bertambah (jika θ bertambah (berlawanan berlawanan arah dengan jarum jam

arah dengan jarum jam))

negatifnegatif jika θ berkurang (jika θ berkurang (searah searah jarum jam jarum jam))

dt

t

∆

=

ω

→ ∆

lim

0 Animasi 7-1

(8)

Percepatan Sudut

►

► Bagaimana jika benda awalnya diam dan Bagaimana jika benda awalnya diam dan

kemudian mulai berotasi? kemudian mulai berotasi?

►

► Percepatan sudut rataPercepatan sudut rata--ratarata, , αα, dari , dari

sebuah benda didefinisikan sebagai sebuah benda didefinisikan sebagai perbandingan antara

perbandingan antara perubahan laju perubahan laju sudut dengan selang waktu yang sudut dengan selang waktu yang diperlukan benda untuk mengalami diperlukan benda untuk mengalami diperlukan benda untuk mengalami diperlukan benda untuk mengalami perubahan laju sudut tersebut

perubahan laju sudut tersebut::

►

► Satuannya Satuannya adalah adalah rad/s²rad/s² ►

► Hal yang sama, Hal yang sama, percepatan sudut sesaatpercepatan sudut sesaat::

t

_f _i i f

∆

ω

∆

=

−

ω

−

ω

=

α

dt d t t ω = ∆ ω ∆ = α → ∆lim0

(9)

Catatan tentang kinematika rotasi

Ketika sebuah benda tegar berotasi terhadap

sumbu tetap tertentu, tiap bagian dari benda

memiliki laju sudut dan percepatan sudut yang

sama

►

Artinya

θ, ω

, dan

αα

tidak

bergantung pada

rr

, jarak

tiap bagian benda ke sumbu rotasi

(10)

Latihan 1

1. Roda sepeda berputar 240 putaran/menit. Berapakah kecepatan sudutnya dalam radian/sec?

dalam radian/sec?

sec .

sec

sec 1put 8 radians 25 1radians rads 2 60 menit 1 menit put 240 ×××× ×××× ππππ ==== ππππ ≈≈≈≈ ==== ω ω ω ω

2. Jika roda melambat beraturan dan kemudian berhenti dalam waktu 5 sec, berapa percepatan sudutnya?

2 sec rad 5 sec 5 sec rad 25 0 − = − = ∆ − = t i f

ω

α

3. Dalam waktu 5 sec tersebut, berapa putaran yang dialami roda?

(11)

Analogi Antara Gerak Linier dan

Gerak Rotasi

Gerak Rotasi Terhadap

Sumbu Tertentu dengan

Percepatan Sudut Konstan

Gerak Linier dengan

Percepatan Konstan

t

α

ω

=

ω

_i

+

α

t

v

=

v

+

at

ω

=

+

2

1 t

t

i

α

ω

θ

=

+

∆

θ

α

ω

2

=

_i2

+

2 ∆

v

2

=

v

_i2

+

2 a

∆

x

2

1 at

t

v

x

=

_i

+

∆

at

v

=

_i

+

(12)

Hubungan Antara Besaran Sudut

dan Besaran Linier

►

► Perpindahan

Perpindahan

Laju

►

► Setiap titik pada benda

Setiap titik pada benda

yang berotasi memiliki

gerak sudut yang

sama

r

s

=

θ

►

► Laju

Laju

►

► Percepatan

Percepatan

sama

►

► Setiap titik pada benda

Setiap titik pada benda

yang berotasi

tidak

memiliki

gerak linier

yang sama

r

v

=

ω

r

a

=

α

(13)

Sifat Vektor dari Besaran Sudut

►

Seperti pada kasus linier,

perpindahan, kecepatan

dan percepatan adalah

vektor:

►

Menentukan arah positif

atau negatif

►

Cara yang mudah dengan

menggunakan

aturan

tangan kanan

Genggam sumbu rotasi Genggam sumbu rotasi dengan tangan kanan anda dengan tangan kanan anda

Kepalkan jariKepalkan jari--jari anda jari anda searah dengan arah rotasi searah dengan arah rotasi

Ibu jari (jempol) anda Ibu jari (jempol) anda menunjukkan arah ω menunjukkan arah ω

(14)

Dinamika Rotasi Benda Tegar

(15)

Torsi

►

Tinjau gaya yang dibutuhkan

untuk membuka pintu.

Apakah lebih mudah

membuka pintu dengan

mendorong/menarik

mendorong/menarik jauh

jauh dari

dari

engsel atau

engsel atau dekat

dekat ke engsel?

ke engsel?

Dekat ke Dekat ke engsel engsel Jauh dari Jauh dari engsel engsel

Jauh dari engsel, efek

rotasi lebih besar!

Konsep Fisika:

torsi

(16)

Torsi

►

► Torsi

Torsi

, , adalah

kecenderungan dari

sebuah gaya

untuk merotasikan

sebuah benda terhadap sumbu

tertentu

τ

Contoh pada pintu:

adalah torsi

d

adalah

lengan gaya

F

adalah gaya

Fd

=

τ

(17)

Lengan Gaya

►

► Lengan gaya, d,

Lengan gaya, d,

adalah jarak terdekat

(tegak lurus)

dari

sumbu rotasi

ke garis

sumbu rotasi

ke garis

searah perpanjangan

gaya

(18)

Arah Torsi

►

► Torsi adalah besaran vektor

Torsi adalah besaran vektor

Arahnya adalah

tegaklurus

terhadap

bidang

yang

memuat

lengan

dan

gaya

Arah dan tanda:

Arah Torsi:

keluar bidang kertas

Arah dan tanda:

Jika gaya cenderung memutar Jika gaya cenderung memutar berlawanan jarum jam

berlawanan jarum jam, torsi , torsi bertanda positif

bertanda positif

Jika gaya cenderung memutar Jika gaya cenderung memutar searah jarum jam

searah jarum jam, torsi , torsi bertanda negatif

bertanda negatif SatuanSatuan SI

SI Newton meter (Nm)Newton meter (Nm) USA & UK

(19)

Penulisan Vektor dari Torsi

=

τ

=

φ

=

τ

×

=

τ

torsi

sin

Fd

FL

F

L

r

φ

=

φ

=

τ

sin

gaya

Lengan

dan

antara

Sudut

benda

pada

bekerja

yang

Gaya

gaya

tangkap

titik

posisi

vektor

torsi

L

d

F

L

F

L

r

(20)

Bagaiman jika dua atau lebih gaya yang

berbeda bekerja pada lengan-lengan gaya?

(21)

Torsi Neto

►

► Torsi neto

Torsi neto

adalah jumlah semua torsi yang

dihasilkan oleh semua gaya

Ingat untuk menghitung arah kecenderungan

rotasi

►

Berlawanan arah dengan arah jarum jam

torsi positif

►

(22)

Latihan 2

Diketahui: Berat: w₁= 500 N w₂= 800 N Lengan: d₁=4 m d₂=2 m 500 N _{800 N} 4 m 2 m N

Tentukan torsi neto:

Dicari: Στ = ? (500 )(4 ) ( )(800 )(2 ) 2000 1600 400 N m N m N m N m N m τ = + − = + ⋅ − ⋅ = + ⋅

∑

Rotasi akan berlawanan jarum jam

(23)

Sejauh ini: torsi neto sama

dengan nol.

(24)

Torsi dan Percepatan Sudut

►

► Ketika benda tegar

Ketika benda tegar

mengalami

torsi neto

tidak nol (≠0),

maka akan

mengalami

percepatan

sudut

►

► Percepatan sudut

Percepatan sudut

berbanding lurus dengan

torsi neto

Hubungannya analogi

dengan ∑F = ma

►

►Hukum II NewtonHukum II Newton

(25)

Torsi dan Percepatan sudut (lanjutan)

(((( ))))

so

r

a

tangensial

percepatan

r

ma

r

F

r

dengan

kalikan

ma

F

t t t t

,

:

,

αααα

====

so

r

a

_t

====

αααα

,

α

2

mr

r

F

_t

=

torsi τ Bergantung pada benda dan sumbu rotasi. Dinamakan

momen inersia I. Satuan: kg mkg m22 2 i i

r

m

I

≡

Σ

α

(26)

Contoh: Momen Inersia dari

Cincin Uniform

►

Bayangkan Cincin terbagi

atas sejumlah bagian kecil,

m

₁₁

…

►

Bagian kecil ini berjarak

sama dari sumbu

►

Benda Kontinu:

2

2 MR

r

m

I

=

Σ

_i

=

dm

r

I

=

∫

2

(27)

Momen Inersia yang Lain

(28)

Teorema Sumbu Sejajar

Momen Inersia terhadap sumbu sembarang I, dimana sumbu sembarang tersebut sejajar dengan sumbu rotasi yang melalui pusat masa benda adalah

I = I

_pm

+ Mh

2

M : Massa total benda

h : jarak antara sumbu rotasi sembarang dengan sumbu rotasi pusat massa h : jarak antara sumbu rotasi sembarang dengan sumbu rotasi pusat massa

Latihan 3:

1. Cari momen inersia batang homogen yang panjangnya L apabila diputar terhadap sumbu rotasi yang tegak lurus batang yang melalui titik ujungnya! 2. Cari momen inersia cincin homogen yang jejarinya R terhadap sumbu rotasi

(29)

Hukum II Newton untuk Benda Berotasi

►

Percepatan sudut

berbanding lurus

dengan torsi neto

►

Percepatan sudut

berbanding terbalik

dengan momen

inersia benda

α

τ

=

I

Σ

►

Terdapat perbedaan yang penting antara

Terdapat perbedaan yang penting antara momen inersia

momen inersia

dan

dan massa inersia

massa inersia: momen inersia bergantung pada

: momen inersia bergantung pada

kuantitas materi dan

distribusinya

►

Momen inersia juga bergantung pada posisi sumbu

rotasi

α

τ

=

I

(30)

Energi Total Sistem yang Berotasi

►

► Sebuah benda yang berotasi terhadap sumbu

Sebuah benda yang berotasi terhadap sumbu

tertentu dengan laju sudut ω, mempunyai energi

kinetik rotasi

½Iω

2

2 (coba anda turunkan!!!)

(coba anda turunkan!!!)

►

► Konsep energi dapat digunakan untuk

Konsep energi dapat digunakan untuk

penyederhanaan analisis gerak rotasi

►

► Kekekalan energi mekanik

Kekekalan energi mekanik

Ingat, ini untuk gaya konservatif, tidak ada gaya

disipasi seperti gaya gesek

f g r t i g r t

EK

EP

EK

EP

EK

)

(

)

(

++++

====

++++

(31)

Latihan 4

Sebuah benda tegar terdiri dari empat buah partikel bermassa m₁= 2 kg, m₂ = 3 kg, m₃ = 4 kg dan m₄ = 5 kg. Masing-masing benda dihubungkan dengan batang yang massanya masing-masing 1 kg.

Tentukan energi kinetik sistem ketika

8 m

1 2

X Y

Tentukan energi kinetik sistem ketika

berputar dengan kecepatan sudut 2 rad/s terhadap sumbu: a. X b. Y c. Z 4 3 6 m

(32)

Latihan 5

Roda berjejari 0,5 m dapat berputar pada sumbu horisontal Roda berjejari 0,5 m dapat berputar pada sumbu horisontal melalui sumbu pusatnya. Momen inersianya terhadap sumbu melalui sumbu pusatnya. Momen inersianya terhadap sumbu tersebut adalah 2 kg m

tersebut adalah 2 kg m22_._.

a. Apabila tali yang dililitkan pada roda ditarik dengan tegangan a. Apabila tali yang dililitkan pada roda ditarik dengan tegangan tetap 10 N, tentukan percepatan sudut, kecepatan sudut dan tetap 10 N, tentukan percepatan sudut, kecepatan sudut dan energi kinetik roda pada t = 2 s. Pada t = 0 roda diam.

energi kinetik roda pada t = 2 s. Pada t = 0 roda diam. (Petunjuk: gunakan Hk. II Newton)

(Petunjuk: gunakan Hk. II Newton)

b. Bila roda tersebut diputar dengan menggantungkan beban ber b. Bila roda tersebut diputar dengan menggantungkan beban ber

massa 2 kg di ujung tali di atas, tentukan kecepatan beban massa 2 kg di ujung tali di atas, tentukan kecepatan beban saat beban turun sejauh 2 m!

saat beban turun sejauh 2 m!

(Petunjuk: gunakan Hk. Kekekalan Energi Mekanik) (Petunjuk: gunakan Hk. Kekekalan Energi Mekanik) T

(33)

Momentum Sudut dan

Kekekalan Momentum Sudut

(34)

Momentum Sudut

►

Serupa dengan hubungan antara gaya dan momentum

dalam sistem linier, kita dapat tunjukan hubungan antara

torsi dan momentum sudut

►

Momentum sudut

didefinisikan sebagai

L = I ω

L

d

=

τ

(bandingkan dengan )

F

=

d

p

►

Jika torsi neto nol, momentum sudut konstan

►

Pernyataan

Kekekalan momentum sudut

:

Momentum

sudut dari sebuah sistem adalah

kekal

ketika torsi neto

eksternal yang bekerja pada sistem adalah nol

Ini terjadi ketika:Ini terjadi ketika:

dt

=

τ

f f i i f i

L

atau

I

L

0 ====

ω

====

ω

====

ττττ

ΣΣΣΣ

,

dt

F

=

(bandingkan dengan )

(35)

Seorang penari ski es berputar dengan kedua lengannya terlentang

(anggap tidak ada gaya gesekan). Kemudian dia menarik kedua lengan

dan merapatkan pada tubuhnya. Dibandingkan dengan energi kinetik

rotasi awal, energi kinetik rotasi setelah penari tersebut menarik

lengannya haruslah bernilai …

Latihan 6

a. sama

b. lebih besar

c. lebih kecil

(36)

Gerak Menggelinding

(37)

1. Gerak Menggelinding Murni (tanpa selip)

Gerakannya merupakan kombinasi antara gerak rotasi terhadap pusat massa P dan gerak translasi dari pusat massa P tersebut

A P R A x = s = R Ө Ө P

Posisi, kecepatan dan percepatan

pusat massa

roda yang

menggelinding murni:

Rα

dt

dω

R

dt

dv

a

Rω

dt

dθ

R

dt

dx

v

Rθ

x

p p p

=

x = s = R Ө

(38)

Lanjutan Gerak Menggelinding Murni

P

a

c Kecepatan titik a, P dan c terhadap tanah adalah

v_a , v_p dan v_c , berapa besar dan kemana arahnya!

)

ˆ

(

AC

ω

)

ˆ

(

2R

ω

)

ˆ

(

ωR

)

ˆ

(

ωR

v

)

ˆ

(

AP

ω

)

ˆ

(

ωR

)

ˆ

(

ωR

0 v

v

0 )

ˆ

(

ωR

)

ˆ

(

ωR

v

PT cP cT c PT PP PT P PT aP aT a

i

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

−

=

+

=

r

Bagaimana dengan kecepatan titik b!

b

Bagaimana dengan kecepatan titik b!

AB

ω

2 R

ω

v

)

ˆ

(

ωR

)

ˆ

(

ωR

v

b PT bP bT b

=

+

=

+

=

r

i

j

Dari hasil di atas, gerak ini dapat dipandang sebagai:

Gerak rotasi murni roda terhadap sumbu sesaat yang melalui titik sentuh a

dengan kecepatan sudut ω

Sehingga energi kinetik roda yang menggelinding adalah K = ½ I_a ω2

(39)

Lanjutan Gerak Menggelinding Murni

Teorema Sumbu Sejajar: I

_a

= I

_PM

+ M R

2

_{, maka Energi Kinetik (K)}

menjadi

K = ½ ( I

_PM

+ M R

2

_{) ω}

2

_{= ½ I}

PM

ω

2

+ ½ M R

2

ω

2

K =

½ I

_PM

ω

₂

+

½ M v

2 pm

Energi kinetik rotasi terhadap pusat massa

Kesimpulan

Energi kinetik total benda yang menggelinding adalah jumlah

dari

energi kinetik rotasi

terhadap pusat massa dan

energi kinetik translasi

pusat massanya

Energi kinetik translasi pusat massanya

(40)

Latihan 6

Andaikan roda mula-mula diam, kemudian bergerak menggelinding murni (tanpa selip). Jika roda berupa tabung pejal serba sama, hitung berapa percepatan turunnya pusat

massa tabung pejal tersebut dengan menggu-nakan:

h

x

nakan:

a. Hk. Kekekalan energi mekanik b. Hk. Newton

c. Bagaimana syarat terjadinya gerak meng-gelinding murni pada bidang miring tsb. (cari hubungan antara Ө dan µ_s)

(41)

2. Gerak Menggelinding Tergelincir (selip)

N

M g sinӨ M g cosӨ

f = µ_k N Persamaan-persamaan yang berlaku:

Iα

fR

τ

cosθ

Mg

N

µ

f

Ma

f

sinθ

Mg

k p

=

−

Ө M g cosӨ

Iα

fR

τ

=

Dengan substitusi diperoleh:

I

θ

cos

MgR

µ

α

)

θ

cos

µ

θ

(sin

g

a

k k p

=

−

=

Terlihat bahwa antara a_Pdan α tidak terdapat hubungan yang sederhana seperti ketika pada kasus menggelinding murni