BAB 3 PENENTUAN INTEREST RATE DIFFERENTIAL

23

PENENTUAN INTEREST RATE DIFFERENTIAL

Alasan utama yang menarik dari pengendalian arus masuk modal adalah untuk menahan arus masuk modal yang sangat besar, menghindari apresiasi tingkat nilai tukar riil (real exchange rate), bias terhadap struktur kewajiban eksternal menuju sekuritas jangka panjang, dan membangun ruang untuk pergerakan kebijakan moneter (berkaitan dengan RER). Ringkasnya, semua tujuan tersebut dapat diwujudkan melalui perbedaan tingkat suku bunga internasional yang besar, terutama sekuritas berjangka pendek, tanpa mendorong arus masuk modal. Rancangan kebijakan sering mengambil bentuk dari suatu arus masuk pajak, atau beberapa macam biaya masuk. Pada suatu lingkungan yang sangat berbeda, pengendalian modal juga digunakan sebagai pertahanan menghadapi pelarian modal, yaitu dengan menetapkan suatu kebijakan berupa pajak keluar.

Beberapa jenis pengendalian modal digunakan oleh banyak negara sepanjang 10 tahun terakhir dapat dijadikan sebagai biaya-biaya transaksi keluar dan masuk.

Unremunerated Reserve Requirements (URR) diterapkan oleh Chili sejak 1991,

Colombia sejak 1993 dan Malaysia sejak 1994, juga terjadi pada Spanyol tahun 1989 dan Thailand pada 1994-95. Bea (pajak) masuk diperkenalkan pertama kali di Brazil tahun 1993-94 dan Malaysia tahun 1994.

Lebih spesifik, penulis akan mengamati akibat dari pengendalian modal untuk mengukur potensi maksimum dari penentuan perbedaan suku bunga dengan mempertimbangkan biaya masuk investasi yang dibebankan kepada investor asing. Hal ini dapat mempengaruhi investasi mereka dalam keadaan ekonomi yang tidak menentu dan bagian dari proses optimasi dinamik yang memperhitungkan biaya masuk sebagai proses stokastik seiring dengan perbedaan tingkat suku bunga.

Model sederhana dari keadaan arbitrase dan perbedaan suku bunga dapat dikelompokkan berdasarkan kasus investasi dan mengasumsikan bahwa suku bunga negara penerima (domestik) mengikuti proses stokastik.

3.1 Model Portfolio dengan Biaya Investasi

Model portfolio dengan biaya investasi akan dimodelkan dalam membentuk portfolio antara aset beresiko seperti saham dan aset tidak beresiko seperti tabungan di bank. Misalkan investor asing mempunyai sejumlah uang (modal) yang akan diinvestasikan sebesar Vt di negara penerima (domestik). Portfolio investasi yang dilakukan merupakan kombinasi linier dari aset beresiko dan aset tidak beresiko. Misalkan investor asing hanya mempunyai portfolio dalam bentuk saham, St, dan tabungan di bank , Bt,pada saat t dengan proporsi masing-masing mt dan 1-mt. Nilai kekayaan (wealth) dipengaruhi oleh keadaan pasar dengan koefisien ht. Investor asing memperhatikan biaya investasi, kt , yang dikenakan pada setiap transaksi yang ditetapkan oleh negara penerima (domestik) pada saat menanamkan modalnya. Strategi yang digunakan adalah meminimalkan indeks performansi atau fungsi ongkos. Sebaliknya, negara penerima (domestik) akan memaksimalkan indeks performansi atau fungsi ongkos melalui biaya investasi yang dikenakan kepada investor asing supaya tidak terjadi arus masuk modal dalam jumlah besar.

Perubahan harga saham dinyatakan sebagai Δ =S S ht( t −1)artinya apabila ht nilainya lebih besar dari 1 maka harga saham naik dan lebih kecil dari 1 maka harga saham turun. Pada saat t, proporsi pada portfolio yang digunakan pada saham sebesar s

t t t

V =m V sedangkan pada saat t+dt, nilai investasi menjadi s₁

(

)

t t t t

V₊ = h m V . Dengan demikian, pada saat t+1, modal yang diperlukan adalah sebesar

(

)

1 1 1 1 1

S B

t t t t t t t

V₊ =V₊ +V₊ = +_⎣⎡ m h − −k V⎤_⎦ . Akibatnya, persamaan dinamik deterministik untuk investasi (state) dinyatakan sebagai berikut

(

)

1 1 1 .

t t t t t

Misalkan ut sebagai variabel kontrol kebijakan untuk mengoptimalkan biaya investasi (k) dan proporsi diasumsikan selalu tetap untuk setiap t maka persamaan (3.1) diperoleh

(

)

1 1 1 .

t t t t

V₊ = +⎡_⎣ m h − ⎤_⎦V +BU (3.2) Harga saham mengikuti gerak Brown sehingga t 1

t t

t

dS

h dt dW

S = − ≈μ +σ . Dengan

μs _{dan σ}s _{masing-masing adalah mean dan volatilitas dari rate of return saham.} Akibatnya, persamaan dinamik stokastik untuk investasi (state) dinyatakan sebagai berikut

(

)

1 t t t t t t t V₊ = +V m μdt+σdW V −k V

(

1 m dt V_tμ

)

_t k V_{t t} m V dW_tσ _{t t}. = + − + (3.3)

atau dengan proporsi portfolio diasumsikan selalu tetap untuk setiap t sehingga persamaan (3.3) menjadi

.

t t t t t

dV =m V dt BU dt m V dWμ + + σ (3.4)

3.2 Fungsi Objektif atau Indeks Performansi

Fungsi utilitas yang digunakan pada tugas akhir ini adalah CRRA (Constant Relative Risk Aversion) yang didapatkan dari penurunan HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) utility function, yang bisa dituliskan dalam bentuk

1 ( ) , 0 1 1 v v v γ γ β β π γ γ γ ⎛ ⎞ − = _{⎜ ⎟} > − − ⎝ ⎠ dengan β > 0 dan γЄℜ\{0,1}.

CRRA merupakan fungsi utilitas karena fungsi naik dan konkaf π: ℜ→[-∞,∞) sehingga himpunan D={v Є ℜ: π (v)>- ∞} sebagai domain dari π, tak kosong. Asumsikan bahwa π diferensiabel dua kali dan kontinu. Dengan menggunakan fungsi utilitas CRRA bisa dipastikan bahwa nilai dari investasi tidak bisa bernilai negatif. Hal ini yang menjadikan fungsi utilitas kuadratik dan eksponensial kurang cocok untuk digunakan dalam literatur keuangan. Menurut Mossin (1968), fungsi utilitas CRRA merupakan keputusan yang optimal dalam portfolio karena fungsi

yang bebas terhadap waktu, kekayaan, dan keputusan konsumsi. Dengan demikian, jumlah yang optimal selama memegang aset beresiko pada saat t diberikan oleh fungsi utilitas CRRA, yaitu

( )

2 ( ) ( ). (1 ) s B s v μ μ V t π γ σ − = − (3.5)

dimana μs dan σs masing-masing adalah mean dan volatilitas rate of return dari aset beresiko dan μB adalah mean rate of return dari aset tak beresiko. Persamaan (3.5) menjadi fungsi utilitas atau yang bisa juga disebut fungsi objektif yang akan diminimumkan oleh negara penerima (domestik) setelah fungsi tersebut dikenakan dengan biaya investasi yang dikenakan oleh negara penerima (domestik) untuk setiap transaksi yang dibebankan kepada investor asing.

Dalam permasalahan pemilihan portfolio berdasarkan mean dan variansi dan fungsi utilitas dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik penyelesaian permasalahan kontrol optimal stokastik linier quadratik. Dengan menggunakan bentuk umum dari fungsi objektif dari LQR (Linier Quadratic Regulator) pada persamaan (2.54), maka persamaan (3.5) menjadi

(

)

1 ' ' ' 0 ( ) N _{t t t t t N N N} t J U − V QV U O U V S V = =

∑

+ + (3.6)

( )

1 2 2 2 2 0 . (1 ) s B N t t t N N s t V OU S V μ μ γ σ − = ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ = + + ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠

∑

(3.7) Dengan unsur stokastik pada sistem dinamiknya maka analisisnya akan menggunakan stokastik LQR (Linier Quadratic Regulator) dalam kontinu. Bentuk fungsi objektif (3.6) menjadi

(

)

0 ' ' ' ( ) N _{t t t t t N N N} t J U =E

∫

V QV U RU dt V S V+ +

( )

0 2 2 2 2 . (1 ) s B N t t t N N t s E μ μ V OU dt V S γ σ ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ = + + ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠

∫

(3.8)

Fungsi objektif atau indeks performansi pada persamaan (3.7) dan (3.8) merupakan fungsi biaya (cost) dari investor asing yang akan diminimumkan maka untuk negara domestik fungsi objektif atau indeks performansi tersebut akan dimaksimumkan. Dengan demikian, persamaan (3.7) dan (3.8) menjadi

( )

1 2 2 2 2 0 ( ) (1 ) s B N t t t N N s t J U μ μ V OU S V γ σ − = ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ = − − − ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠

∑

(3.9) dan

( )

0 2 2 2 2 ( ) . (1 ) s B N t t t N N t s J U E μ μ V OU dt S V γ σ ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ = − − − ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠

∫

(3.10) 3.3 Kasus Investasi tidak Diperpanjang (No- Reinvest)

Kasus investasi menyatakan bahwa seorang investor asing tidak dapat menanamkan modalnya di negara lain, apabila ia sudah menginvestasikan modalnya di negara penerima (domestik). Perbedaan besarnya suku bunga internasional dan domestik mempengaruhi keputusan yang diambil oleh seorang investor asing. Bank sentral dari negara penerima membuat suatu model untuk kasus investasi tersebut.

Model yang digunakan pada kasus ini adalah sebagai berikut

*

₍

*

₎

_[

_].

t

r V dt

ρ

=

ρ

−

r dt

+

E dV

ρ (3.11)

Persamaan (3.11) menyatakan bahwa biaya yang dikeluarkan untuk investasi di negara asing sama dengan total dari perbedaan suku bunga dan ekspektasi return dari modal yang telah diinvestasikan dalam selang waktu.

Ketika suku bunga domestik berada di dalam batas (R,r) mengikuti gerak Brown tanpa parameter drift yaitu

,

t t

dρ σ= dW (3.12)

dimana dW_t adalah gerak brown.

Dengan menggunakan Lemma Ito, terbukti bahwa

'' 2 1 [ ] . 2 t E dV_ρ = V_ρ

σ

dt (3.13)

bukti: t

dW adalah gerak brown dengan dW_t =Y dt_t , Y_t ∼N(0,1).

Perhatikan fungsi dengan peubah acak V =V_ρ, dengan memanfaatkan deret Taylor pada V, yaitu

( )

2 2 2 1 ... 2 V V dV dρ dρ ρ ρ ∂ ∂ = + ∂ ∂ (3.14)

substitusi dρ pada persamaan (3.12) ke dV pada persamaan (3.14) menjadi

(

)

2

(

)

2 2 1 . 2 V V dV σdW σdW ρ ρ ∂ ∂ = + ∂ ∂ (3.15)

Suku dengan orde dt >1 nilainya terlalu kecil sehingga hanya diambil suku dengan orde dt ≤ 1. Maka suku dW pada ruas kanan dari persamaan (3.15) menjadi

(

)

₂

(

)

2

2 2 _.

dW Y dt Y dt

σ = σ ≈σ (3.16) Maka substitusi persamaan (3.16) ke persamaan (3.15) menjadi

2 2 2 2 1 dengan Y N(0,1). 2 V V dV σdW σ Y dt ρ ρ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∼ (3.17)

Berdasarkan sifat bahwa E dW

(

_t

)

=0 dan mengingat bahwa Y berdistribusi normal sehingga Y2 berdistribusi chisquare dengan meannya adalah 1 sehingga persamaan (3.17) menjadi '' 2 2 1 ( ) 2 E dVρ = ⎢E⎡ Vρσ Y dt⎤⎥ ⎣ ⎦= '' 2 1 _. 2Vρσ d t (3.18)

Dengan demikian, persamaan (3.18) membuktikan persamaan (3.13).

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.13) ke persamaan (3.11) diperoleh

* '

₍

*

₎

1

'' 2 _,

2

r V

ρ

=

ρ

−

r

+

V

ρ

σ

(3.19)

dimana C1 dan C2 adalah konstanta yang ditentukan dari kondisi syarat batas. VR = k dan Vr = 0 ' ₀ R V = dan ' _0. r V =

Solusi dari persamaan (3.19) adalah * * 2 2 * 1 2 * . r r V

r

C e C e

r

ρ ρ σ σ ρ ρ − − = + + (3.21) Dari keempat syarat diatas dan persamaan (3.20), diperoleh persamaan tak linier berikut ini * * 2 2 * 1 2 * , R r R r R r C e C e k r σ − σ − _{+ + =} (3.21) * * 2 2 * 1 2 * 0, r r r r r r C e C e r σ − σ − _{+ + =} (3.22) * * 2 2 * * 1 2 * 2 2 1 , R r R r r r C e C e r σ σ σ σ − − = − (3.23) * * 2 2 * * 1 2 * 2 2 1 , r r r r r r C e C e r σ σ σ σ − − = − (3.24) dengan substitusi persamaan (3.23) ke persamaan (3.24) diperoleh

* * * * 2 2 2 2 1 2

,

R r r r R r r r

C e

_⎢

⎡

σ

₋

e

σ

_⎥

⎤

₌

C e

⎡

_⎢

− σ

₋

e

− σ

⎤

_⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

(3.25)

dan mensubstitusikan persamaan (3.21) ke persamaan (3.22) diperoleh

* * * * 2 2 2 2 1 2 * , R r r r r r R r R r k C e e C e e r σ σ − σ − σ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − _{− + ⎢ − ⎥= ⎢ − ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.26)

dengan substitusi persamaan (3.25) ke persamaan (3.26) diperoleh

* * * 2 2 2 , 2 R r r r R r k r C e− σ e− σ − ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.27) * * * 1 2 2 . 2 R r r r R r k r C e σ e σ − ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.28)

Dengan subtitusi (3.27) dan (3.28) ke persamaan (3.25) dan (3.26) diperoleh * * * * * * 2 2 * * * * _{2 2 2 2} , 2 2 R r R r R r r r R r r r R r R r k k R r r _e r _{e k} r e e e e σ σ σ σ σ σ − − − − − ⎡ ₋ ⎤ ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − _{⎣ ⎦ ⎣ ⎦} + + = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.29) * * * * * * 2 2 * * * * _{2 2 2 2} 0. 2 2 r r r r R r r r R r r r R r R r k k r r r _e r _e r e e e e σ σ σ σ σ σ − − − − − ⎡ ₋ ⎤ ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − _{+ ⎣ ⎦ + ⎣ ⎦ =} ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.30) Contoh:

Asumsikan suku bunga internasional (r*) sebesar 6% per tahunnya. Biaya investasi k sebesar $0.0257 per dolar dan volatilitas σ sebesar 1% per tahun. Maka dari persamaan (3.29) dan (3.30) diperoleh R= 7.49% dan r = 4.73%. Sehingga maksimum perbedaan suku bunga (interest rate diff) yang baik adalah 1.49%.

Dengan mengasumsikan bahwa suku bunga domestik bergerak mengikuti gerak Brown Aritmatik, namun asumsi tersebut masih memberikan beberapa kekurangan sehingga tidak mendekati kasus investasi pada kenyataanya. Beberapa kekurangannya, yaitu:

1. Tidak ada yang dapat menjaga suku bunga (ρ) agar tidak bernilai negatif, sehingga model ini sangat tidak cocok untuk pergerakan saham.

2. Mean dan volatilitas dari perubahan dolar adalah saling bebas pada tingkat harga saham. Pada prakteknya, jika saham berlipat ganda maka investor asing kan mengharapkan bahwa ekspektasi dan standar deviasi dolar dari pengembalian akan berlipat ganda.

Dengan demikian, penulis tidak menggunakan kasus no-reinvest sebagai pembahasan selanjutnya.

3.4 Kasus Investasi dengan Perpanjangan (Reinvest)

Ketika investor asing memungkinkan untuk menanamkan modalnya selain di negara penerima (domestik), maka fungsi V(ρ) akan memenuhi persamaan berikut

(

*

)

(

*

)

( ).

t

r −ρ V dtρ = ρ−r dt E dV+ ρ (3.31)

Suku bunga domestik mengikuti proses stokastik Ornstein-Uhlenbeck dengan harapan suku bunga domestik akan menuju nilai ρ. Maka suku bunga domestik memenuhi persamaan diferensial stokastik seperti pada persamaan (2.9).

Dengan menggunakan Lemma Ito dapat dibuktikan bahwa

(

)

' 1 '' 2 ( ) . 2 t t E dVρ =ω ρ ρ− V dt_ρ + V_ρσ dt (3.32) bukti: t

dW adalah gerak brown dengan dW_t =Y dt_t , Y_t ∼N(0,1).

Perhatikan fungsi dengan peubah acak: V V= _ρ dengan memanfaatkan deret Taylor pada V

( )

2 2 2 1 ... 2 V V dV dρ dρ ρ ρ ∂ ∂ = + ∂ ∂ _(3.33)

substitusi dρ pada persamaan (3.9) ke dV pada persamaan (3.33) menjadi

(

)

(

)

2

₍

(

)

₎

₂ 2 1 2 V V dV ω ρ ρ dt σdW ω ρ ρ dt σdW ρ ρ ∂ ∂ = − + + − + ∂ ∂ _(3.34)

Suku dengan orde dt >1 nilainya terlalu kecil sehingga hanya diambil suku dengan orde dt ≤ 1. Maka suku dW_tpada ruas kanan dari persamaan (3.34) dan dengan menggunakan persamaan (3.9) menjadi

( )

(

(

)

)

(

)

( )

( )

(

)

( )

2 2 2 _{2 3/ 2} 2 ₂ 2 2 2 2 _. d dt dW dt dt Y Y dt Y dt ρ ω ρ ρ σ ω ρ ρ ω ρ ρ σ σ σ = − + = − + − + ≈ (3.35)

Substitusi persamaan (3.35) ke persamaan (3.34) diperoleh

(

)

(

)

2 2 2 2 1 2 V V V dV ω ρ ρ σ Y dt σdW ρ ρ ρ ⎛∂ ∂ ⎞ ∂ =_⎜ − + _⎟ + ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ denganY ∼N(0,1).(3.36)

Berdasarkan sifat bahwa E dW

(

_t

)

=0 dan mengingat bahwa Y berdistribusi normal sehingga Y2 berdistribusi chisquare dengan meannya adalah 1 sehingga persamaan (3.36) menjadi

( )

'

(

)

1 ''

(

2 2

)

2 E dV_ρ = E V⎡_{⎣ ρ}ω ρ ρ− dt⎤_{⎦+ ⎢}E⎡ V_ρ σ Y dt ⎤_⎥ ⎣ ⎦

(

)

(

)

' 1 '' 2 _. 2 V dt_ρ V_ρ dt ω ρ ρ σ = − + (3.37) Dengan demikian, persamaan (3.37) membuktikan persamaan (3.32).

Sehingga dari persamaan (3.32) disubstitusikan ke persamaan (3.31) menjadi

(

*

)

*

(

)

' 1 '' 2_,

2

V V V

r

−ρ _ρ = − +ρ

r

ω ρ ρ− _ρ + _ρσ (3.38) dengan kondisi batas seperti kasus no re-investment yaitu

dan ' 0 R V = dan ' 0. r V =

Salah satunya untuk mencari solusinya melalui pendekatan diskrit yaitu proses binomial pada persamaan (3.32). Misalkan interval waktu, τ dan pergerakan suku bunga sebesar ε.

{

ε_ε

ρ

+ −

Δ =

Suku bunga naik sepanjang ε dengan peluang pρ sedangkan suku bunga turun sepanjang ε dengan peluang (1- pρ) dimana p =1 1 ( )

2 ρ ω ρ ρ τ ε ⎡ − ⎤ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dan ε σ τ= ,

Dengan menggunakan pendekatan proses Binomial, maka persamaan (3.38) dapat dituliskan melalui persamaan Bellman, yaitu

R

(

_*

)

* ( ) , r dt d V_ρ ρ r dt e− E V_{ρ ρ} + ⎡ ⎤ = − + _{⎣ ⎦} (3.39) Dari persamaan (3.39) dapat dinyatakan sebagai peluang investasi naik atau turun di suatu periode tertentu, yaitu

(

_*

)

*

(

)

( ) 1 ( ) , r V_ρ ρ r τ e− τ p V_{ρ ρ ε} p V_{ρ ρ ε} + − ⎡ ⎤ = − + _⎣ + − _⎦ (3.40) dengan V_R =kdan 0V_r = .

Dengan menggunakan metode rekursif pada persamaan (3.40) dan syarat batasnya, maka dengan tebakan awal untuk nilai r ( suku bunga domestik minimum) diperoleh dua persamaan berikut ini

(

_*

)

*

(

)

( ) r ( ) 1 ( ) , i i i V ρ ₌ ρ₋r τ₊e− τ _⎡p V_ρ ρ ε_{+ + −} p V_ρ ρ ε_{− ⎤} ⎣ ⎦ (3.41) 1( ) min max 0, ( ) , , i i V₊ ρ = V ρ k (3.42) dengan menggunakan kondisi V r( )=V r( −ε)dan V R( )=V R( +ε)_.

Selanjutnya, akan ditentukan biaya investasi yang optimal untuk menentukan interest rate differential. Pada permulaan, bentuk sistem LQR tanpa unsur stokastik dan selanjutnya akan dibandingkan sistem LQR dengan unsur stokastik karena adanya unsur pergerakan harga saham.

3.4.1 Kontrol Biaya Investasi (k) dengan Sistem Deterministik

Sistem dinamik untuk investasi yang telah dinyatakan pada persamaan (3.2) menjadi

(

)

1 1 1 ,

t t t

V₊ = +⎡_⎣ m h− ⎤_⎦V +BU (3.43) dimana m menyatakan proporsi saham pada dalam portfolio, dan µ adalah mean rate of return dari saham, dan Ut sebagai kontrol dari investasi yang masuk dalam bentuk biaya investasi dari setiap transaksi. Asumsikan bahwa ht (market-fall out) tetap untuk setiap waktu yaitu h. Dengan demikian, akan meminimumkan indeks performansi yang telah dinyatakan pada persamaan (3.10).

Untuk mendapatkan persamaan- persamaan rekursif seperti yang telah diuraikan pada persamaan (2.66)-(2.69), maka dapat dilakukan hal yang serupa untuk fungsi

objektif atau indeks performansi (3.10) dan persamaan dinamik (3.43) sebagai berikut:

Fungsi objektif yang optimal pada saat kondisi akhir dimana t = N , yaitu

* 2_.

N N N

J = −S v (3.44) Untuk t = N-1, persamaan (3.44) dapat dinyatakan sebagai berikut

( )

2 2 2 1 2 1 1 (1 ) s B N N N N N s J μ μ v Ou S v γ σ − − − − = − − − −

( )

2 2 1 2 1 (1 ) s B N N s v Ou μ μ γ σ − − − = − − − −

(

(

(

)

)

)

2 1 1 1 1 N N N S +m h− v ₋ +Bu ₋

( )

(

(

)

)

1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 (1 ) N s B N N N s v Ou m h S v μ μ γ σ − − − − = − − − + − −

(

)

(

)

1 2 2 1 1 2 1 1 . N N N N N B m h S v u_{− −} B S u ₋ − + − − (3.45) Fungsi objektif pada persamaan (3.45) akan diminimumkan terhadap u sehingga diperoleh

(

)

(

)

2 1 1 1 1 1 0 N 2 2 1 1 2 N N N N N N J Ou B m h S v B S u u − − − − − ∂ = = − − + − − ∂

(

2

)

(

(

)

)

1 1 2O 2B SN uN− 2 1B m h 1 S vN N−. = − − − + −

(

)

(

)

1 * 1 2 1 1 . N N N N B m h S u v O B S − − + − = − + (3.46)

Definisikan bahwa kalman gain disebut juga sebagai pemasukan pemerintah yang optimal melalui biaya investasi yang ditanggung oleh investor asing, yaitu

(

)

(

)

1 2 1 1 . N N N B m h S k O B S Δ − + − = + (3.47)

Substitusi dari persamaan (3.47) ke persamaan (3.46) dapat dikatakan bahwa

*

1 1 1.

N N N

u ₋ = −k ₋v ₋

Setelah u* telah diperoleh pada persamaan (3.46) maka fungsi objektif pada persamaan (3.45) yang optimal dinyatakan sebagai berikut

( )

(

)

(

(

)

)

1 1 2 2 * 2 2 1 1 1 2 1 1 (1 ) N N s B N N N N s J μ μ v O k v m h S v γ σ − − − − − − = − − − − + − −

(

(

)

)

1 2 2 2 1 1 1 2 1B m h 1 S v kN _N− N− B SN( kN−vN−) + + − − −

( )

1

(

(

)

)

2 2 2 1 1 (1 ) N s B N s Ok m h S μ μ γ σ − ⎛ ₋ ⎜ = − − − + − ⎜ ₋ ⎝

(

)

(

)

1

)

1 2 2 2 1 2 1B m h 1 S k_{N N−} B S k_{N N−} v_N−. + + − − (3.48)

Definisikan bahwa persamaan Riccati sebagai berikut

( )

1

(

(

)

)

2 2 1 2 1 1 (1 ) N s B N N s S μ μ Ok m h S γ σ − Δ − − = + + + − − −

(

)

(

)

1 2 2 1 2 1 1 . N N N N B +m h− S k ₋ +B S k ₋ (3.49) Substitusi persamaan (3.48) ke persamaan (3.49) sehingga diperoleh

1 1

* 2

1

N N N

J ₋ = −S ₋v ₋

Dari uraian penurunan persamaan (3.44) sampai persamaan (3.49) diperoleh persamaan rekursif mundur sebagai berikut

untuk t = N-1, N-2, …, 0,yaitu

(

)

(

)

1 2 1 1 1 , t t t B m h S k O B S + + + − = + (3.50) * _, t t t u = −k v (3.51)

( )

(

(

)

)

(

(

)

)

2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 (1 ) , t t s B t t s t t t S Ok m h S B m h S k B S k μ μ γ σ + + + − = + + + − − + − − + (3.52)

dan untuk t=N,N-1,…,0 yaitu

(

)

(

)

1 0 0 1 1 ( ) t t j v v − m h Bk j = =

∏

+ − − (3.53) * 2_. t t t J = −S v (3.54)

3.4.2 Kontrol Biaya Investasi (k) dengan Sistem Stokastik

Sistem dinamik untuk investasi yang telah dinyatakan pada persamaan (3.4) dengan unsur stokastik. Negara penerima (domestik) akan meminimumkan indeks performansi yang telah dinyatakan pada persamaan (3.10). Seperti pada persamaan (2.73), bentuk persamaan diferensial parsial tak linier untuk mencari solusi dari persamaan tersebut mendefinisikan suatu operator diferensial berikut

[

]

2 1 , 1 1 ( , , ) ( , ) . 2 n n t t t t i ij i i i j i j L t v u A v B u c t v v v v χ χ χ Δ = = ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂

∑

∑

Dimana At = mµ, Bt = b, cij(t,v)=(mσvt)2. Mengacu pada persamaan (2.73), maka suku ke dua pada persamaan tersebut diminimumkan menjadi

min ( , , ) ( , , ) u L t v u χ γ+ t v u

[

]

2 2 2 1 1 1 min 2 n n t t t t i u i i i i A v B u c v v χ χ = = ∂ ∂ = + + ∂ ∂

∑

∑

_{( )}

2 2 2 . (1 ) s B t t t s v O u μ μ γ σ − − − −

[

( , , ) ( , , )

]

0. L t v u t v u u χ γ ∂ + = ∂ ' ' * 2 0. . 2 t v t t t v t t B u O B u O χ χ − = − = − (3.55) Dengan melakukan langkah seperti pada persamaan (2.80), maka substitusi persamaan (3.55) ke persamaan (2.73) diperoleh

(

)

( )

( )

2 2 ' 2 ' '' 2 2 1 1 m 0, 2 _{(1 )} 4 s B t v t t v t v t s t B A v v v t O χ χ _{χ σ χ} μ μ γ σ ∂ − + + − + = ∂ _{− (3.56)}

dengan kondisi akhir _{( , )} 2 _.

t f

T x v Q

χ = −

Pendekatan solusi persamaan (3.56) dalam bentuk kuadratik

2 ( , )t v v P q_{t t t}, χ = − + (3.57) '_{( , ) 2 ,} v t v Pvt t χ = − (3.58)

''_{( , ) 2 .}

v t v Pt

χ = − (3.59) Substitusi persamaan (3.57), (3.58), dan (3.59) ke persamaan (3.56) diperoleh

(

)

( )

2 2 2 2 2 ' 2 m , (1 ) s B t t t t t t t t t _s v P q P A v P σv v μ μ γ σ − − + − − − − 2 2 2 0, t t t t B P v O + = (3.60)

dan kondisi akhir dipenuhi oleh 2 2 _.

T T f

v P q v Q

− + = − (3.61) Dengan mencocokan ruas kiri dan kanan pada persamaan (3.57) dan (3.60) diperoleh

(

)

( )

2 2 2 2 ' 2 m 0, (1 ) s B t t t t t t _s t B P P P A P O μ μ σ γ σ − − − − − + = − (3.62) dan q_t =0, (3.63) sedangkan dari persamaan (3.61) diperoleh PT = Qf dan qt = 0.

Dengan menggunakan persamaan (3.58), kontrol optimal yang didapatkan dengan substitusi persamaan (3.58) ke persamaan (3.55), yaitu

*_{( , )} t t _, t t P B u t v v O = − (3.64)

atau yang bisa ditulis juga dalam bentuk *_{( , ) ,}

t t u t v = −k v dimana t t t t B P k O = atau t t t t

B P O k= sehingga pada suku P di persamaan (3.62) dapat ditulis sebagai berikut

2 2 . t t t t t t t t t B P B Pk k O k O = = (3.65) Substitusi persamaan (3.65) ke persamaan (3.62) sehingga diperoleh

(

)

( )

2 2 ' 2 m 0, (1 ) s B t t t t t t t t t t t t t s P A P P σ μ μ k B P B Pk k O k γ σ − − − − − + + − = − atau

(

(

)

)

( )

2 ₂ 2 ' 2 2 m 0 (1 ) s B t t t t t t t _s P A B k σ P k O μ μ γ σ − − − − + − − = − (3.66)

Penentuan solusi dari persamaan diferensial stokastik (3.4) dapat dilakukan hal serupa seperti penentuan solusi yang telah diperoleh pada persamaan (2.28). Dengan demikian, solusi persamaan diferensial stokastik (3.4) adalah sebagai berikut

( )

[ ]

2 2 2 0 ( , ) t, 0, m B p m t m W O t t V f t W V e t T σ μ σ ⎛ ⎞ ⎜ − − ⎟+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = ∈ (3.67)