BAB 1. KONSEP DASAR. d y ; 3x = d3 y ; y = 3 d y ; x = @u @z 5 6. d y = 7 y x Dalam bahan ajar ini pemba

Konsep Dasar

1.1 Klasikasi Persamaan Difrensial

Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difren-sial Biasa (PDB) dan Persamaan DifrenDifren-sial ParDifren-sial (PDP). Untuk mengetahui perbedaan kedua jenis persamaan difrensial itu dapat dilihat dalam denisi berikut.

De
nisi 1.1.1 Persamaan Difrensial

Suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas disebut Persamaan Difrensial. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergan-tung pada satu variabel bebas maka disebut Persamaan Difrensial Biasa

(PDB)

dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Difren-sial ParDifren-sial

(PDP)

Contoh 1.1.1

Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB dan PDP. 1. @y @x + @y @t + xy= 5 1

2. dy dx+ d 2 y dx 2 +
dy dx  2 ;3x= 0 3. @ 2 y @s 2 + @y @t ;y= 0 4. d 3 y dx 3 +
d 2 y dx 2  3 +
dy dx  2 ;x= 2y 5. @u @x + @u @y + @u @z = 5 6.
dy dx  5 +d 2 y dx 2 +
dy dx  2 = 7y x

Dalam bahan ajar ini pembahasan persamaan difrensial akan difokuskan pada Persamaan Difrensial Biasa (PDB). Sehingga semua contoh soal dan aplikasinya akan dikaitkan dengan model fenomena persamaan difrensial yang hanya terikat pada satu variabel bebas.

De
nisi 1.1.2 Order

Order suatu PDB adalah order tertinggi dari turunan dalam persamaan F(x
y 0
y 0 0
:::
y (n)) = 0.

De
nisi 1.1.3 Linieritas dan Homogenitas

PDB Order n dikatakan linier

bila dapat dinyatakan dalam bentuk

a 0( x)y (n)+ a 1( x)y (n;1)+ +a n( x)y=F(x)
dimana a 0( x)6= 0 Selanjutnya:

1. Bila tidak dapat dinyatakan dengan bentuk diatas dikatakan tak linier 2. Bila koesiena 0( x)
a 1( x)
:::
a n(

x)konstan dikatakan mempunyai koesien

konstan bila tidak, dikatakan mempunyai koesien variabel.

3. Bila F(x) = 0 maka PDB tersebut dikatakan homogen bila tidak, disebut

1.2 Solusi PDB

Berikut ini akan dijelaskan pengertian dan bentuk solusi suatu PDB.

De
nisi 1.2.1

Suatu PDB order n yang ditulis dalam persamaan berikut:

F ; x
y
y 0
y 0 0
:::
y (n)) = 0 (1.1)

dimana F adalah fungsi real dengan (n + 2) argumen akan mempunyai solusi

eksplisit dan implisit dengan ketentuan sebagai berikut:

1. Bila f adalah suatu fungsi dimana f 2C(I) dan f 2C n(

I) untuk 8x 2I

dan I adalah sebarang interval real, maka f dikatakan solusi eksplisit dari

(1.1) jika F ; x
f
f 0
f 0 0
:::
f (n)) 2 C(I) dan F ; x
f
f 0
f 0 0
:::
f (n)) = 0 untuk 8x2I.

2. Sedangkan g(x
y) = 0 disebut solusi implisit dari (1.1) jika fungsi g

da-pat ditransformasikan dalam fungsi eksplisit f 2 C(I) untuk 8x 2 I dan

minimal satu merupakan solusi eksplisitnya.

Secara umum kedua solusi ini masih dikategorikan lagi kedalam tiga jenis solusi yaitu

1. Solusi umum, yaitu solusi PDB yang mengandung konstanta esensial, katakan-lah C. Sebagai contoh, diketahui sutau PDB y

0 = 3

y + 1 maka solusi

umunnya adalah y=;1=3 +Ce 3x.

2. Solusi khusus, yaitu solusi yang tidak mengandung konstanta esensial yang disebabkan oleh tambahan sarat awal pada suatu PDB. Misal PDB itu

y 0 = 3

y+ 1
y(0) = 1 maka solusi khususnya adalah y=;1=3 + 4 3 e

3. Solusi singular, yaitu solusi yang tidak didapat dari hasil mensubstitusikan suatu nilai pada konstanta pada solusi umumnya. Contoh y = Cx+C

2

adalah solusi umum dari (y 0)2 +

xy 0 =

y, namun demikian disisi lain PDB

ini mempunyai solusi singular y=; 1 4

x 2.

1.3 Metoda Penyelesaian

Terdapat tiga jenis metoda yang dapat digunakan untuk menentukan solusi dari suatu PDB yaitu:

1.

Metoda Analitik

. Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi yaitu bentuk eksplisit dan implisit, yang dicari melalui teknik deduktif analogis dengan menggunakan konsep-konsep matematik. Kelebihannya dapat mengetahui bentuk fungsi solusinya namun tidak cukup eksibel un-tuk masalah-masalah yang komplek. Dengan komputer dapat diselesaikan dengan software MATLAB atau MAPLE. Prosedur dalam MATLAB ditulis sebagai berikut:

%Menggunakan fungsi dsolve

dsolve('Dy=3*y+1, y(0)=1')

2.

Metoda kualitatif .

Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran secara geometris bagaimana visualisasi dari solusi PDB. Dengan mengamati pola grak gradien "eld" (direction eld) maka dapat diestimasi solusi PDB itu. Keunggulannya dapat memahami secara mudah kelakuan solusi suatu PDB namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui, dan juga kurang

eksibel untuk kasus yang komplek. Dengan MATLAB direction eld dapat digambar sebagai berikut:

%Menggunakan fungsi eldplot atau DEplot

%Misal akan diamati pola solusi dari PDB y 0 = 1

;2ty  with(plots):

 eldplot(t
1;2ty]
t=;1::4
y=;1::2
arrows =LINE
color =t)

%Atau dengan menggunakan fungsi DEplot

 eq1:=di(y(t),t)=1-2*t*y(t) DEplot(eq1,y(t),t=-1..4,y=-1..2)

Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini.

Gambar 1.1: Diagram kekonvekan untuk D2R 2

Atau dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada dalam matematika un-tuk menggambar suatu fungsi, (lihat KALKULUS).

yang sangat eksibel. Metoda ini berkembangan sesuai dengan perkem-bangan komputer dan dapat menyelesaiakan suatu PDB dari level yang mudah sampai level yang komplek. Walaupun fungsi solusi tidak dike-tahui secara eksplisit maupun implisit namun data yang diberikan dapat divisualisir dalam grak sehingga dapat dianalisis dengan baik. Namun metoda ini berdasarkan pada prinsip-prinsip aproksimasi sehingga solusi yang dihasilkan adalah solusi hampiran (pendekatan). Sebagai konsuk-wensi dari penggunaan metoda ini adalah adanya evaluasi berulang de-ngan menggunakan komputer untuk mendapatkan hasil yang akurat. Salah satu metoda ang telah anda kenal adalah metoda EULER dengan ru-mus y

n+1 = y

n+

hf(t
y), (lihat catatan Algoritma dan Pemerograman).

Dibawah diberikan programming metoda EULER dengan menggunakan MATLAB programming.

%Programming Untuk Menyelesaikan PDB %y

0 = y;t

2 + 1

y(0) = 0:5

%Dengan menggunakan metoda Euler n=input('Jumlah iterasi :') y(1)=0.5 t(1)=0 h=0.2 for i=2:n fprintf('nn y(i) = 1:2y(i;1);0:2t(i;1) 2+ 0 :2 t(i) = t(1) + (i;1)h end plot(t,y) hold on f =t: 2+ 2 :t+ 1;0:5:exp(t) plot(t,f,'o')

1.4 Masalah Nilai Awal (MNA)

Persamaan difrensial order satu secara umum ditulis dengan

y 0 =

dy dx

=f(x
y)

dimanaf adalah kontinyu atas variabel x
y pada domain D (dalam bidang xy).

Misal (x 0

y

0) adalah titik pada

D, maka masalah nilai awal yang berkenaan

dengan dengan y 0 =

f(x
y) adalah masalah untuk menentukan solusi y yang

memenuhi nilai awaly(x 0) =

y

0. Dengan notasi umum sebabagai berikut: y

0 =

f(x
y)
y(0) =y

0 (1.2)

Permasalahannya sekarang apakah solusi y(x) yang memenuhi y(x 0) =

y 0

selalu ada (principle of existence) , kalau benar apakah solusi itu tunggal (prin-ciple of uniqueness). Pertanyaan ini merupakan hal yang sangat penting un-tuk didahulukan mengingat betapa kompleknya suatu model fenomena riel yang banyak dimungkinkan tidak dapat diselesaikan dengan metoda analitik ataupun kualitatif. Untuk memudahkan pemeriksaan awal tentang dua hal ini dalam hal ini dikembangkan teorema Lipschitz dan teorema Picard.

De
nisi 1.4.1

(

Sarat Lipschitz

) Suatu fungsif(t
y)dikatakan memenuhi sarat

Lipschitz dalam variabel y di suatu domain D 2 R

2 jika ada konstanta

L > 0 sedemikian hingga jjf(t
y 1) ;f(t
y 2) jj Ljjy 1 ;y 2 jj untuk sebarang (t
y 1)
(t
y 2)

2 D. Selanjutnya konstanta L disebut sebagai

De
nisi 1.4.2

(

Konvek

) Suatu himpunan D 2 R

2 dikatakn konvek bila untuk

sebarang (t
y 1)
(t
y 2) 2 D maka titik ((1; )t 1 + t 2
(1; )y 1 + y 2) juga

merupakan elemen dari D untuk 20
1].

Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut

Konvek Tidak Konvek

(t , y ) 1 1 (t , y ) 2 2 1 1 2 2 (t , y ) (t , y )

Gambar 1.2: Diagram kekonvekan untuk D2R 2

Teorema 1.4.1 Teorema Lipschitz.

Andaikata f(t
y) terdenisi dalam

him-punan konvek D2R

2 dan ada konstanta

L>0 dimana         df dy (t
y)         L
untuk semua (t
y)2D
(1.3)

maka f memenuhi suatu sarat Lipschitz.

Teorema 1.4.2

Misal D =f(t
y)ja t b
;1 y 1g dan f(t
y) adalah

fungsi kontinyu dalam D, kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam

vari-abel y maka masalah nilai awal

y 0(

t) =f(t
y)
a t b y(a) =

mempunyai solusi tunggal y(t) untuk a t b.

Contoh 1.4.1

y

0 = 1 +

tsin(ty)
0 t 2
y(0) = 0. Tentukan apakah

Penyelesaian 1.4.1

f(t
y) = 1 + tsin(ty), kemudian terapkan teorema nilai

rata-rata pada KALKULUS yaitu untuk sebarang y 1

< y

2, maka ada bilangan  2(y 1
y 2) sedmikian hingga f(t
y 2) ;f(t
y 1) y 2 ;y 1 = @ @y f(t
) =t 2cos( t): Kemudian f(t
y 2) ;f(t
y 1) = ( y 2 ;y 1) t 2cos( t) jjf(t
y 2) ;f(t
y 1) jj = jj(y 2 ;y 1) t 2cos( t)jj jjy 2 ;y 1 jjjjt 2cos( t)jj jjy 2 ;y 1 jjjjmax 0t2 t 2cos( t)jj = 4jjy 2 ;y 1 jj:

Degan demikian sarat Lipschitz terpenuhi yaitujjf(t
y 1) ;f(t
y 2) jj Ljjy 1 ;y 2 jj,

dimana konstanta Lipschitznya adalah L= 4, berarti persamaan itu mempunyai

solusi tunggal.

Teorema 1.4.3 Teorema Picard.

Suatu masalah nilai awaly 0 =

f(x
y)
y(x 0) = y

0 mempunyai solusi tunggal

y=(x)pada intervaljx;x 0

j , dimana adalah

bilangan positif dan kecil sekali, bila

1. f 2C(D) dimana D adalah daerah pada bidang xy, yaituD =f(x
y)
a< x<b
c<y<dg

2. @y @x

2C(D) yang memuat nilai kondisi awal (x 0

y 0)

Latihan Tutorial 1

1. Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB dan PDP. (a) @y @x + @y @t + xy= 5 (b) dy dx + d 2 y dx 2 +
dy dx  2 ;3x= 0 (c) @ 2 y @s 2 + @y @t ;y= 0 (d) d 3 y dx 3 +
d 2 y dx 2  3 +
dy dx  2 ;x= 2y (e) @u @x + @u @y + @u @z = 5 (f)
dy dx  5 + d 2 y dx 2 +
dy dx  2 = 7y x

2. Tentukan orde dan sifat-sifat kelinieran dari persamaan diferensial berikut ini (a) @y @x + x y = xe x (b) d 4 y dx 4 + 3
d 2 y dx 2  5 + 5y= 0 (c) d 2 y dx 2 + ysinx= 0 (d) d 6 u dt 6 +
d 2 u dt 2 
d 5 u dt 5  +t= 2u (e) x 2 dy+y 2 dx= 0 (f)
d 2 y dx 2  5 +xsiny = 0 (g)
d 2 u dt 2  4 =q d 5 u dt 5 + t= 2u (h) d 3 y dt 3 + t dy dt + ( cos 2 t)y =t 2 (i) (1 +s 2) d 2 y ds 2 + s dy ds + y =e s

(j) d 4 y dt 4 + d 3 y dt 3 + d 2 y dt 2 + y= 0 (k)
d 3 y dx 3  2 +xtan 2( xy) = 0 (l) d 2 y dt 2 + dy dt + ( cos 2( t+ 2))y=t 2 (m) (1 +t 2) d 2 y dt 2 + t dy dt + te y = 0 (n) d 5 y ds 5 + cosec(2s 2 ;2) =siny

3. Ulangilah soal nomor 2, tentukan sifat kehomgenan dari masing-masing soal tersebut

4. Selidikilah apakah solusi yang diberikan merupakan solusi dari persamaan diferensial berikut ini

(a) y 00+ 2 y 0 ;3y= 0 y 1( t) =e ;3t
y 2( t) = e t (b) ty 0 ;y=t 2 y(t) = 3t+t 2 (c) y (4)+ 4 y (3)+ 3 y=t y 1( t) = t 3
y 2( t) =e ;t + t 3 (d) 2t 2 y 00+ 3 ty 0 ;y= 0
t>0 y 1( t) =t 1 2
y 2( t) =t ;1 (e) y 0 ;2ty= 1 y(t) =e t 2 R t 0 e ;s 2 ds+e t 2

5. Cermati apakah fungsi solusi dibawah ini merupakan solusi terhadap masalah nilai awal yang bersesuaian

(a) y 0 = ;y y(0) = 2
y(x) = 2e ;x (b) y 00+ 4 y= 0 y(0) = 1
y 0(0) = 0
y(x) = cos(2x) (c) y 00+ 3 y 0+ 2 y= 0 y(0) = 0
y 0(0) = 1
y(x) =e ;x ;e ;2x

6. Periksalaha mana diantara soal berikut ini yang memenuhi teorema Lips-chitz:

(a) f(t
y) =ycost
0 t 1
y(0) = 1 (b) f(t
y) = 1 +tsiny
0 t 2
y(0) = 0 (c) f(t
y) = 2 t y+t 2 e 2
1 t 2
y(1) = 0 (d) f(t
y) = 4t 3 y 1+t 4
0 t 1
y(0) = 1

dan

tentukan besar

konstanta Lipschitz dari masing-masing soal ini. 7. Selidiki apakah persamaan diferensial berikut ini mempunyai solusi tunggal

pada interval yang memuat kondisi awal berikut (a) y 0 = ;1;2y
y(0) = 0 (b) y 0 = ;2 +t;y
y(0) = 1 (c) y 0 = e ;t+ y
y(1) = 3 (d) y 0 = ; y x
y(0) = 1

8. Tentukan untuk titik-titik (x 0

y

0) yang mana PDB berikut ini memenuhi

teori kewujudan dan ketunggalan dari Picard. (a) y 0 = x 2 +y x;y (b) y 0 = (2 x;y) 1 3 (c) y 0 = (1 ;x 2 ;2xy 2) 3 2 (d) 2xy 0 = x 2+ y 2