Eksistensi Invers Grup dari Matriks Blok

JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober 2014 492

EKSISTENSI INVERS GRUP DARI MATRIKS BLOK

Riana Wendya1

, Rolan Pane2

, Musraini.M2

1

Mahasiswa Program S1 Matematika 2

Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Kampus Binawidya Pekanbaru 28293, Indonesia

email: riana_wendya@yahoo.com

ABSTRACT

We discuss necessary and sufficient conditions for the existence of the group inverse of block matrices of the forms

0 B A A M and 0 A B A

M , where A, B are square matrices with rank(B) rank(A). In addition, we also give two explicit forms of the considered block matrices.

Keywords: Rank, block matrices, group inverse.

ABSTRAK

Artikel ini membahas syarat perlu dan cukup keberadaaan invers grup dari matriks blok yang berbentuk 0 B A A M dan 0 A B A

M , dengan A, B adalah matriks persegi dengan rank(B) rank(A). Disamping itu diberikan juga bentuk eksplisit dari invers grup untuk kedua jenis matriks blok M tersebut.

Kata Kunci: Rank, matriks blok, invers grup.

1. PENDAHULUAN

Matriks adalah himpunan bilangan-bilangan yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Secara umum diketahui bahwa suatu matriks mempunyai invers apabila matriks tersebut merupakan matriks nonsingular. Dalam perkembangannya dibutuhkan sebuah invers matriks yang diperumum untuk mengetahui invers suatu matriks ada jika matriks tersebut singular. Ada beberapa jenis invers matriks yang diperumum diantaranya yaitu invers kiri dan invers kanan (invers satu sisi), invers Drazin, invers grup, dan invers Bott-Duffin. Pada artikel ini penulis akan membahas mengenai invers grup yang dinotasikan dengan G#. Berkaitan dengan invers grup, di dalam artikel ini dibahas tentang matriks blok, yaitu matriks blok

0 B A A M dan 0 A B A

JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober 2014 493 dan rank(B) rank(A) [3]. Tulisan ini merupakan review dari artikel Changjiang Bu, Jiemei Zhao, dan Kuize Zhang [3].

2. INVERS GRUP

Sebelum membahas tentang eksistensi invers grup dari matriks blok terlebih dahulu diberikan definisi tentang matriks blok, rank matriks, skew field, dan invers grup.

Definisi 1 [4, h: 61] Suatu matriks dapat dipartisi ke dalam satu atau beberapa baris maupun kolom sehingga terbentuklah matriks dengan elemen-elemen dari sub-sub matriks yang disebut matriks blok.

Definisi 2 [1, h: 169] Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan dengan rank A dan dinyatakan dengan rank (A).

Definisi 3 [5, h: 262] Misalkan R adalah division ring yang bersifat komutatif, maka R disebut lapangan (field). Jika R division ring yang tidak komutatif maka R disebut skew field.

Definisi 4 [3] Misalkan K adalah skew field dan Kn n adalah semua himpunan matriks pada K. Untuk n n

K

G , matriks n n

K

G# disebut invers grup dari G bila memenuhi: , # # G G GG (1) , # G G GG (2) . # # # G GG G (3) Jika _G# ada, maka _G#

tunggal, namun jika G adalah matriks nonsingular maka 1

# G

G .

Lema 5 [2]MisalkanG Kn n_{, maka} G# ada jika dan hanya jika rank(G) rank(G2).

3. EKSISTENSI INVERS GRUP DARI MATRIKS BLOK

Untuk menunjukkan eksistensi invers grup dari matriks blok digunakan beberapa Lema dan Teorema sebagai berikut:

Lema 6 [3] MisalkanA,B Knn. Jika r A

rank( ) , rank(B) rank(AB) rank(BA),

maka terdapat matriks-matriks yang mempunyai invers P,Q Kn n sedemikian hingga , , 0 0 0 ₁ 1 1 1 1 1 P X YB YB X B B Q B Q I P A r dengan B₁ Kr r,X Kr (n r),dan Y K(n r) r.

JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober 2014 494

Bukti:

Misalkan rank(A) r, maka terdapat matriks nonsingular P,Q Kn n sedemikian hingga Q I P A r 0 0 0 , 1, 4 3 2 1 1 P B B B B Q B dengan B₁ Kr r, B₂ Kr (n r), B₃ K(n r) r, dan B₄ K(n r)(n r). Selanjutnya , 0 0 0 ₁ 4 3 2 1 1 P B B B B QQ I P AB r , 0 0 1 2 1 P B B P AB

maka diperoleh rank(AB) rankB₁ B₂ .

Karena rank(B) rank(AB), maka rank(B) rankB₁ B₂ .

Karena Y K(n r) r, diperoleh B₃ YB₁ dan B₄ YB₂, maka 1 2 1 2 1 1 P YB YB B B Q B . Selanjutnya , 0 0 0 1 4 3 2 1 1 Q I P P B B B B Q BA r , 0 0 3 1 1 Q B B Q BA maka diperoleh 3 1 ) ( B B rank BA rank .

Karena rank(B) rank(BA), diperoleh

3 1 ) ( B B rank B rank .

Selanjutnya karena X Kr (n r), diperoleh B₂ B₁X dan B₄ B₃X, maka

1 1 1 1 1 1 P X YB YB X B B Q B .

Lema 7 [3] Misalkan A Kr r, B K(n r) r, dan Kn n

B A M 0 0 . Maka

i. Invers grup dari M ada jika dan hanya jika invers grup dari A ada dan B

A rank A

JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober 2014 495 ii. Jika invers grup dari Mada, maka

0 ) ( 0 2 # # # A B A M . Bukti:

i. _Karena A# ada misalkan

0 ) ( 0 2 # # A B A

Y adalah invers grup dari M,

berdasarkan Definisi 4 maka MYM M, YMY YdanMY YM, sehingga M # ada.

#

M ada, maka rankr(M) rankr(M2), dengan rankr adalahrank kolom dari matriks M. Untuk sebarang n m r m r x rank rank x₁ , ₂ terdapat n m r m r y rank rank y₁ , ₂ sehingga , 0 0 0 0 2 1 2 2 1 y y BA A x x B A

maka Ax₁ A2y₁ artinya rankrA rankrA2, maka # A ada.

Selanjutnya untuk menunjukkan

B A rank A

rank( ) adalah dengan cara menunjukkan rank(A)

B A

rank dan rank(A) B A rank . Misalkan ( ) ( ) 2 2 A rank A B A rank BA A rank M rank . (4) Karena ) ( ) ( ) ( 2 rank A B A rank M rank M rank . (5)

maka dari persamaan (4) dan (5) diperoleh rank(A) B

A

rank .

ii. Untuk menunjukkan

0 ) ( 0 2 # # # A B A

M adalah invers grup dari

0 0 B A

M maka

harus memenuhi Definisi 4 sebagai berikut:

1. . 0 0 0 ) ( 0 0 0 # # 2 # # # BA AA A B A B A MM . 0 0 0 0 0 ) ( 0 # # 2 # # # BA AA B A A B A M M Jadi, MM# M#M . 2. . 0 0 0 0 0 0 # # # B A B A BA AA M MM

JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober 2014 496 Jadi, MM#M M . 3. . 0 ) ( 0 0 ) ( 0 0 0 2 # # 2 # # # # # # A B A A B A BA AA MM M Jadi, M#MM# M#.

Karena Definisi 4 terpenuhi maka M # adalah invers grup dari M.

Lema8 [3] Misalkan A Kr r, B Kr (n r), dan M A B Kn n 0

0 . Maka

i. Invers grup dari M ada jika dan hanya jika invers grup dari A ada dan B

A rank A

rank( ) .

ii. Jika invers grup dari M ada, maka

0 0 ) ( # 2 # # A A B M .

Bukti: Sama seperti cara Lema 7.

Lema 9 [3] Misalkan A,B Kn n. Jika rank(A) rank(B) rank(AB) rank(BA) maka berlaku: (i) AB(AB)#A A, (ii) A(BA)#BA A, (iii) BA(BA)#B B, (iv) B(AB)#A BA(BA)#, (v) A(BA)# (AB)#A, (vi) (BA)#B B(AB)#.

Bukti: Misal rank(A) r. Berdasarkan Lema 6, diperoleh Q I P A r 0 0 0 , 1, 1 1 1 1 1 P X YB YB X B B Q B dengan B₁ Kr r, X Kr (n r), Y K(n r) r. Maka 1 1 1 0 0 P X B B P AB , , 0 0 1 1 1 Q YB B Q BA

Karena rank(A) rank(B), diperoleh bahwa B₁ memiliki invers. Dengan menggunakan Lema 7 dan Lema 8, diperoleh

1 1 1 1 1 # 0 0 ) (AB P B B X P , . 0 0 ) ( ₁ 1 1 1 1 # Q YB B Q BA Maka (i) , 0 0 0 0 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 # A P X B B P P X B B P A AB AB . 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 1 2 # A Q I P Q I P P X I P A AB AB r r r

JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober 2014 497 (ii) , 0 0 0 0 0 ) ( ₁ 1 1 1 1 # QBA YB B QQ I P BA BA A r . 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 1 1 1 1 1 # A Q I P Q YB B QQ B P BA BA A r (iii) , 0 0 0 0 ) ( ₁ 1 1 1 1 1 1 1 # QB YB B QQ YB B Q B BA BA . 0 0 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 # B P X YB YB X B B Q P X YB YB X B B QQ Y I Q B BA BA r (iv) , 0 0 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 # A P X B B P P X YB YB X B B Q A AB B . 0 0 0 0 0 ) ( # 1 1 1 Q Y I Q Q I P P YX Y X I Q A AB B r r r . 0 0 0 0 0 0 ) ( ₁ 1 1 1 1 1 1 1 1 # Q Y I Q Q YB B QQ YB B Q BA BA r . ) ( ) (AB #A BA BA# B (v) . 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 # Q B P Q YB B QQ I P BA A r . 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 # Q B P Q I P P X B B P A AB r A(BA)# (AB)#A. (vi) . 0 0 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 # P YX Y X I Q P X YB YB X B B QQ YB B Q B BA r . 0 0 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 # P YX Y X I Q P X B B P P X YB YB X B B Q AB B r # # ) ( ) (BA B B AB . Teorema 10 [3] Misalkan 0 B A A M , dimana n n K B A, , , dan r A rank B rank( ) ( ) . Maka

(i) Invers grup dari Mada jika dan hanya jika

) ( ) ( ) ( )

(A rank B rank AB rank BA

JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober 2014 498 (ii) Jika invers grup dari M ada, maka

, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( # 2 # # # 2 # # # BA A AB B T A AB B BA A AB A AB M . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (BA #B B AB #A2 BA # B AB #A AB #A2 BA #B T Bukti: (i) Karena 0 B A A M maka ), ( ) ( 0 0 0 ) ( rank A rank B B A rank B A A rank M rank BA A AB rank BA BA A AB A rank M rank 0 ) ( 2 2 2 2 .

Berdasarkan Lema (9) (iii) jika rank(A) rank(B) rank(AB) rank(BA), maka B B AB AB( )# , jadi A2 AB(AB)#A2, diperoleh ). ( ) ( 0 0 0 2 BA rank AB rank BA AB rank BA A AB rank

Jadi, rank(M) rank(A) rank(B) rank(AB) rank(BA) rank(M2). Karena invers grup dari M ada, maka rank(M) rank(M2), sehingga

), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 AB rank B rank A rank AB rank BA A rank AB rank M rank B rank A rank _{( ) ( ).} ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 BA rank B rank A rank BA rank BA rank A AB rank M rank B rank A rank

Maka rank(B) rank(AB), dan rank(B) rank(BA). Oleh sebab itu rank(B) rank(AB) rank(BA).

Dari rank(B) rank(AB) rank(A), dan rank(A) rank(B), diperoleh

rank(A) rank(B).

Karena rank(A) rank(B) rank(AB A2) rank(BA),

dan rank(AB A2) rank(A), diperoleh rank(AB A2) rank(A). Jadi rank(AB A2) rank(AB).

JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober 2014 499 Maka terdapat sebuah matriks U Kn n sedemikian hingga ABU A2.

Maka ). ( ) ( 0 0 ) ( 2 rank AB rank BA BA AB rank M rank Jadi diperoleh ) ( ) ( ) ( )

(A rank B rank AB rank BA

rank . (ii)Misalkan 22 21 12 11 M M M M

X . Akan dibuktikan bahwa matriks X memenuhi kondisi invers grup. 1. Akan ditunjukkan MX XM. , 0 _{11 12} 22 12 21 11 22 21 12 11 BM BM AM AM AM AM M M M M B A A MX . 21 22 21 11 12 11 22 21 12 11 A M B M A M A M B M A M A B A A M M M M XM

Dengan menggunakan Lema 9 (i), (ii), dan (v) diperoleh

. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( # 21 11 # 2 # # # 2 # # # 2 # # 21 11 B BA A AM AM B BA A AB A AB AB BA A AB AB B BA A B BA A AB A A AB A AM AM . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( # 12 11 # # 2 # 2 # 12 11 B BA A B M A M AB AB BA BA A AB A AB B M A M Maka AM₁₁ AM₂₁ M₁₁A M₁₂B.

Dengan menggunakan Lema 9 (i), (ii), dan (v) diperoleh

. 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 22 12 # 2 # 2 # 2 # # 22 12 AM AM BA A BA A BA A AB AB A AB A AM AM . 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 11 2 # 2 # # 2 # 2 # 11 A M A AB A AB BA BA A AB A AB A M Maka AM₁₂ AM₂₂ M₁₁A.

Dengan menggunakan Lema 9 (ii), (iv), dan (v) diperoleh . ) ( ) ( ) ( # # 2 # 11 B AB A B AB A BA B BM . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( # 2 # # 22 21 # 2 # # # 2 # # 2 # # 22 21 B BA A AB B A AB B B M A M B BA A AB B BA BA A BA A AB B A BA A AB B BA BA B M A M

JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober 2014 500 Maka BM₁₁ M₂₁A M₂₂B.

Dengan menggunakan Lema 9 (ii), (iv), dan (v) diperoleh . ) ( # 12 B AB A BM . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( # 12 # # 2 # # 2 # # 12 A AB B A M BA BA A BA A AB B A BA A AB B BA BA A M Maka BM₁₂ M₁₂A. Sehingga . ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( # # 2 # # A AB B B BA A AB B A AB B B BA A XM MX 2. Akan ditunjukkan MXM M. Misalkan 0 21 12 11 X X X MXM . . 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 # # # 2 # # # 2 # # 2 # # B BA BA A AB AB B BA A AB AB A AB AB B BA A MXM A AB B B BA A AB B A AB B B BA A B A A MXM

Dengan menggunakan Lema 9 (i) dan (iii) diperoleh

. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 11 # 2 # 2 # 2 # # # 2 11 A X B BA A A B BA A B BA A AB AB A AB AB B BA A X . ) ( 12 # 12 A X A AB AB X . ) ( 21 # 21 B X B BA BA X Sehingga M B A A MXM 0 . 3. Akan ditunjukkan XMX X. Misalkan 22 21 12 11 Y Y Y Y XMX . . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( # 22 # 2 2 # 22 # 21 # 12 # 2 # # 12 # 11 # # 2 # # # 22 21 12 11 A AB B M B BA A AB B A AB B M B BA A M A AB B M B BA A AB B A AB B M B BA A M XMX A AB B B BA A AB B A AB B B BA A M M M M XMX

JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober 2014 501 Dengan menggunakan Lema 9 (i) dan (ii) diperoleh

. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 11 11 # 2 # # # 2 # # # # # # 2 # # 2 # 11 M Y B BA A AB A AB B BA A AB AB AB A AB AB AB B BA BA BA A AB B BA A AB Y

Dengan menggunakan Lema 9 (i) diperoleh . ) ( ) ( 12 12 # # 12 M Y A AB AB AB Y

Dengan menggunakan Lema 9 (i), (iii), (iv), dan (v) diperoleh

. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 12 21 # 2 # # # 2 # # # 2 # # 2 # # # 2 # # # 2 # # # 2 # # # 21 M Y B BA A AB A AB B BA A AB B B BA B BA A AB B BA A AB B A AB B BA A AB B B BA A BA A AB B B BA A BA A AB B B BA BA BA Y

Dengan menggunakan Lema 9 (ii), (iv), dan (v) diperoleh

. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 22 22 # 2 # # # 2 # # # 2 # 22 M Y BA A AB B BA BA BA A AB B A AB B BA A AB B Y Sehingga . 0 22 21 11 X M M M XMX

Jadi diperoleh X M#. Karena X M#, maka M # adalah invers grup dari M.

Teorema 11 [3] Misalkan 0 A B A M , dimana A,B Knn, dan r A rank B rank( ) ( ) . Maka :

(i) Invers grup dari M ada jika dan hanya jika ) ( ) ( ) ( )

(A rank B rank AB rank BA

rank .

(ii) Jika invers grup dari M ada, maka

, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( # 2 # # # 2 # # # B BA A AB A AB T BA A AB B A AB M . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (AB # AB #A2 BA #B B AB #A2 BA #A BA # B T

Bukti: Sama seperti cara Teorema 10.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer Edisi Kelima. Terj. Dari Elementary Linear Algebra, Fifth Edition, oleh Silaban, Ph.D & Susila, I. N. Penerbit Erlangga, Jakarta.

JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober 2014 502 [2] Bu, C, Zhao, J & Zheng, J. 2008. Group Inverse For a class 2 2 Block Matrices

Over Skew Fields. Applied Mathematics and Computation, 204: 45-49.

[3] Bu, C, Zhao, J & Zhang, K. 2009. Some results on Group Inverses of Block Matrices Over Skew Fields. Electron. J Linear Algebra, 18:117-125.

[4] Cullen, C.G. 1991. Linear Algebra and Differential Equations 2nd edition. PWS-KEN, massachusets.