SIMULASI KINERJA PENGONTROL CERTAINTY EQUIVALENCE HASIL APROKSIMASI UNTUK SISTEM NONLINIER. Iwan Setiawan *

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir: 6-7 Agustus 2008(203-212)

SIMULASI KINERJA PENGONTROL CERTAINTY EQUIVALENCE HASIL APROKSIMASI UNTUK SISTEM NONLINIER

Iwan Setiawan*

ABSTRAK

SIMULASI KINERJA PENGONTROL CERTAINTY EQUIVALENCE HASIL APROKSIMASI UNTUK SISTEM NONLINIER. Pada penelitian ini, telah diturunkan formulasi

kuadratik untuk sintesa pengontrol nonlinier H ∞ dengan umpan balik. Solusi aproksimasi ini diperoleh dengan terlebih dahulu menerapkan prinsip certainty equivalence dan menggunakan fungsi kuadratik sebagai kandidat solusi persamaan diferensial parsial. Kontribusi penelitian ini adalah mendapatkan solusi aproksimasi kuadratik untuk sistem nonlinier orde dua. Kinerja pengontrol aproksimasi telah diuji pada sejumlah sistem nonlinier berorde satu dan dua seperti sistem bilinier dan sistem dengan nonlinieritas pada pengukuran. Hasil simulasi memperlihatkan bahwa pengontrol yang dihasilkan mampu memberikan kestabilan dan menangani efek nonlinieritas. Tetapi secara umum solusi aproksimasi yang diberikan hanya bisa diterapkan pada domain kondisi awal yang terbatas di sekitar titik keseimbangan.

Kata-kata kunci : Sistem Nonlinier, Pengontrol Information State, Prinsip Certainty Equivalence,

Aproksimasi Kuadratik, Simulasi.

ABSTRACT

In this paper, the researcher formulate a quadratic approximation for nonlinear output feedback

∞

H _{controller. The approximate solution is obtained under the assumption that the certainty} equivalence principle holds and to use quadratic function as candidate solution of partial differential equation. The contribution of this research is to obtained quadratic approximation solution for second order nonlinear system. The performance of the approximate controller has been tested on first and second order system such as bilinear system and system with measurement nonlinearity. The simulation shows that the approximate controller can stabilize the system and handle the nonlinearity effect. But the simulation results suggest that the approximate solution work only for initial conditions around the original point.

Keywords: Nonlinear System, Information State Controller, Principle of Certainty Equivalence,

Quadratic Approximation, Simulation

PENDAHULUAN

Telah dilakukan sintesa pengontrol nonlinier H ∞ dengan umpan balik melalui

aproksimasi kuadratik terhadap solusi teoritis pengontrol information state. Untuk itu

prinsip certainty equivalence diterapkan pada pengontrol information state dan persamaan diferensial yang dihasilkan didekati dengan fungsi kuadratik.

Penelitian ini dilakukan karena solusi problem kontrol H ∞ dengan umpan

balik menggunakan pengontrol nonlinier seperti pengontrol information state ataupun pengontrol certainty equivalence tidak dapat diterapkan pada sistem nonlinier secara umum, hambatannya pada implementasi dari solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi. Kendala lain yang umumnya dijumpai adalah beban komputasi yang sangat tinggi akibat masih dilakukannya komputasi online dari persamaan diferensial (persamaan pemrograman dinamik untuk information state). Untuk mengatasinya, information

state diaproksimasi menggunakan fungsi kuadratik, persamaan diferensial parsial

untuk information state diaproksimasi dengan sejumlah persamaan diferensial biasa agar beban komputasi menjadi berkurang. Aproksimasi yang diadopsi dalam penelitian ini dimotivasi oleh hasil penelitian terdahulu yang menurunkan solusi aproksimasi kuadratik untuk sistem nonlinier berorde satu (Teolis, 1994).

Tujuan penelitian ini adalah melakukan sintesis pengontrol nonlinier H ∞

dengan umpan balik melalui aproksimasi kuadratik terhadap solusi teoretis pengontrol

information state. Untuk mencapai tujuan ini, konsep certainty equivalence akan

diterapkan pada pengontrol information state dan persamaan diferensial yang dihasilkan akan didekati dengan fungsi kuadratik. Dalam penelitian ini akan diturunkan solusi untuk pengontrol berorde dua, yang membutuhkan operasi matriks dalam kalkulasinya. Pengujian kinerja pengontrol hasil aproksimasi akan dilakukan melalui simulasi komputer dengan berfokus pada kestabilan sistem.

Untuk aplikasinya nanti, pengontrol aproksimasi ini akan diterapkan pada engine control unit untuk mengontrol fuel injector pada fuel delivery system dalam sistem kontrol mesin berbahan bakar bensin. Fuel injector adalah alat yang digunakan untuk menginjeksikan bahan bakar ke ruang pembakaran mesin. Dengan mengoptimalkan kinerja fuel injector akan diperoleh perbandingan udara dan bahan bakar yang ideal sebesar 14,7:1 sehingga penggunaan bahan bakar menjadi efisien. Rencana penelitian tersebut dimotivasi oleh penelitian sebelumnya yaitu kontrol suplai udara pada air induction system menggunakan pengontrol H ∞ (Mianzo, et. al.,

2001) serta kontrol valve pada ruang pembakaran mesin menggunakan pengontrol

linear parameter varying (Genc, 2002).

Tulisan ini adalah hasil penelitian yang telah dilakukan di laboratorium otomasi pusat penelitian informatika LIPI bandung pada tahun 2008.

METODOLOGI

Untuk mendapatkan solusi problem kontrol H ∞ dengan umpan balik

(i) Lakukan aproksimasi terhadap information state dan fungsi value state feedback dengan fungsi kuadratik sbb :

Aproksimasi information state dengan fungsi kuadratik :

( )

(

)

t

(

t

)

T t t x x Q x x P t x p ~ ~ 2 , _{= −} γ 2 ₋ −1 ₋ (1) Nilai maksimum fungsi ini berubah terhadap waktu, bergantung pada parameter

P , ,

~ _Q

x_{t yang juga berubah terhadap waktu :}

(

)

(

~ ,

)

(

(~ ) ( )

)

2 1 , ~ ~ 2 2 Q l x u Q h h x y t u x f x ≈ _t + _t∇_{x t} − _t∇_{x t} − γ D ₍₂₎

(

)

(

)

( )

_      _{∇ − ∇} + + ∇ ≈ x t t t x t x t t t f x u Q I Q l x u h x Q Q ₂ 2 ~ , 2 ~ 2 2 1 , ~ 2 γ D ₍₃₎

(

)

2 2

( ) ( )

~ 2 2 , ~_{x u h x y t} l PD_t ≈ _t − γ _t − ₍₄₎

Aproksimasi fungsi value state feedback dengan fungsi kuadratik :

x x V ≈ TΠ 2 1 (5) Nilai minimum fungsi terletak pada titik asal. Persamaan yang menggambarkan

evolusi bobot fungsi ini

Π

adalah :

( )

t

t

V

x t

∂

∂

∇

=

Π

D

2

0

,

(6) (ii) Definisikan estimasi stress minimum sebagai fungsi information state dan fungsi

value. Estimasi stress minimum sebagai fungsi information state dan fungsi value:

))

(

)

(

(

max

arg

∆

x

V

x

p

x

x t

=

+

(7)

(iii) Karena bentuk persamaan estimasi stress minimum tersebut di atas tidak dikenal dalam teori kontrol maka estimasi stress minimum dinyatakan dalam bentuk persamaan filter sbb :

( )

x g

( )

x u V

( )

x t K

( )(

x t h x y

)

f x = + ∗ + 1₂ ∇ _x , + , ( )− γ D ₍₈₎

(iv) Masukkan solusi persamaan filter tersebut ke dalam formula pengontrol state

( )

t steady state t T

CEC t g x x

u ( ) ≈ − Π ₍₉₎

(v) Turunkan persamaan pengontrol aproksimasi ini untuk sistem nonlinier yang akan dikontrol untuk mendapatkan persamaan hukum kontrol.

Struktur pengontrol yang dihasilkan ditampilkan pada gambar 1.

Gambar 1. Diagram blok pengontrol hasil aproksimasi Keterangan :

∑ = sistem nonlinier

ucec = pengontrol certainty equivalence = estimasi stress minimum

• = estimasi variabel keadaan sistem Q = bobot information state

u* = kontrol optimal

γ = parameter ke-robust-an Π = bobot fungsi cost t = waktu

Untuk sistem nonlinier orde satu diperoleh hasil sbb.:

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

_{( )}

          = =       = + = = + = + + = = = + + = = Σ 2 2 2 2 sehingga 2 dimana ; sin maka sin misal ; maka 1 , misal ; t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t x x x x u x z v x y x x h v x h y w u x x x g x x f w u x g x f x φ φ φ D D (10)

Pada gambar 2 dapat dilihat hasil simulasi variabel keadaan sistem untuk sistem nonlinier orde satu.

Gambar 2. x( t) _{untuk sistem nonlinier orde satu}

Persamaan hukum kontrol yang dihasilkan adalah:

t steady t steady CEC t Q x u ( ) 1 1 ~ 1 state 2 state −     _{− Π} Π − = γ (11) di mana : 12 1Π2 + 2      ₋ = ΠD t _γ t

( )

~ 4~ 1 cos 2 2 2 2  + +      ₋ = t t t t t x Q x Q Q γ D

( ) ( )

t

[

t t

]

t t t t t x u x x x y Q x _      _{− −} + + = ~ 2 ~ cos ~ sin ~ ~ 2 2 γ D

Simulasi kinerja pengontrol certainty equivalence hasil aproksimasi untuk sistem nonlinier orde satu dapat dilihat pada gambar 3.

Dari gambar 2 dan 3, dapat disimpulkan bahwa pengontrol aproksimasi yang dihasilkan mampu menstabilkan sistem. Karena kisaran sinyal kontrol sebesar 0.6 sedangkan nilai variabel keadaan sistem berosilasi disekitar 0.3 maka untuk membuat sistem nonlinier tersebut tetap stabil, dibutuhkan energi kontrol yang lebih besar dari kecepatan respon sistem.

Untuk sistem nonlinier orde dua diperoleh hasil sbb:

(

) (

)

( )

(

)

( )

( )

( )

_{( )}

_{( )}

( )

( )

_{( )}

_{( )}

            + = =       = +       =       = + = + + + = = + = + + = = Σ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 sehingga 2 dimana ; sin sin maka sin sin misal ; maka 1 , , misal ; , , x x x x x u x z v x x y x x x h v x h y w u x x x x x g x x x f w u x x g x x f x t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t φ φ φ D DD D D D D DD (12)

Persamaan hukum kontrol yang dihasilkan adalah:

[

]

_                  Π − Π − Π − Π − Π Π − = − ) ( ~ ( ) ~ 1 1 1 1 1 1 ) ( 2 1 1 state 22 2 state 21 2 state 12 2 state 11 2 state 22 21 t x t x Q Q Q Q t u steady t steady t steady t steady t steady CEC γ γ γ γ (13) di mana :













=

Π

22 21 12 11

p

p

p

p

t

D

) ( 1 1 ) ( 1 2 2 12 2 2 11 2 11 t t p _Π      ₋ + Π + = γ γ ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( _{12 2 11 21 2 12 22} 11 21 12 p t t t t t t p Π Π     ₋ + Π Π + Π + Π = = γ γ ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 2 2 22 2 2 21 2 22 21 22 t t t t p _Π      ₋ + Π + Π + Π + = γ γ













=

22 21 12 11

q

q

q

q

Q

D

t

) ( ~ cos 1 ) ( ~ cos 1 2 1 2 12 2 2 2 2 11 1 2 2 21 11 Q x Q t x Q t q _      ₋ +       ₋ + + = γ γ ) ( ) ( ~ cos 1 ) ( ) ( ~ cos 1 ) ( 2 2 _{2 12 22} 2 21 11 1 2 2 22 12 Q t x Q t Q t x Q t Q t q     ₋ +     ₋ + = γ γ ) ( ) ( ~ cos 1 ) ( ) ( ~ cos 1 ) ( 2 ) ( ~ 4 1 11 21 2 2 1 11 21 2 2 2 12 22 21 x Q t Q t x Q t Q t x Q t Q t q     ₋ +     ₋ + + = γ γ ) ( ~ cos 1 ) ( ~ cos 1 ) ( 2 ) ( ~ 4 1 2 22 2 2 2 2 21 1 2 2 22 12 1 21 x Q t Q t x Q t x Q t q     ₋ +     ₋ + + + = γ γ

Pada gambar 4 dan 5, dapat dilihat hasil simulasi variabel keadaan sistem untuk sistem nonlinier orde dua.

Gambar 4. x1(t) untuk sistem nonlinier orde dua

) (t x

Simulasi kinerja pengontrol certainty equivalence hasil aproksimasi untuk sistem nonlinier orde dua dapat dilihat pada gambar 6.

Gambar 6. u_CEC ( t) _{untuk sistem nonlinier orde dua}

Dari gambar 4, 5, dan 6 dapat disimpulkan bahwa pengontrol aproksimasi yang dihasilkan mampu menstabilkan sistem. Karena kisaran sinyal kontrol sebesar 1 sedangkan nilai variabel keadaan sistem x1(t) berosilasi disekitar 0.6 dan x2(t)

berosilasi disekitar 0 maka untuk membuat sistem nonlinier tersebut tetap stabil, dibutuhkan energi kontrol yang lebih besar dari kecepatan respon.

Selanjutnya ingin diketahui perbandingan kinerja pengontrol nonlinier hasil aproksimasi relatif terhadap pengontrol linier untuk mengontrol sistem nonlinier. Untuk itu sistem nonlinier dilinerisasi terlebih dahulu kemudian diterapkan pengontrol linier, hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 7.

Gambar 7. u _linier ( t) _{untuk sistem nonlinier orde satu}

Dari gambar 7 terlihat bahwa besaran sinyal kontrol menuju tak hingga, ini berarti pengontrol linier tidak mampu mengontrol sistem nonlinier padahal pengontrol nonlinier H ∞ yang digunakan dalam penelitian ini mampu melakukannya.

Berikutnya ingin diketahui pengaruh nilai awal variabel keadaan sistem terhadap kinerja pengontrol. Pada gambar 8 dan 9, nilai awal untuk sistem nonlinier orde dua diubah menjadi

Gambar 8. uCEC ( t) untuk sistem nonlinier orde dua dengan nilai awal

Gambar 9. u_CEC ( t) _{untuk sistem nonlinier orde dua dengan nilai awal}

Dari gambar 8 terlihat ada lonjakan sinyal kontrol di awal, ini menunjukkan kerja keras pengontrol untuk membuat sistem tetap stabil. Sedangkan dari gambar 9 perubahan nilai awal menjadi 1.1 membuat pengontrol tidak mampu lagi membuat sistem tersebut tetap stabil.

KESIMPULAN

Hasil simulasi memperlihatkan bahwa pengontrol yang dihasilkan mampu memberikan kestabilan dan menangani efek nonlinieritas lebih baik daripada yang diberikan oleh pengontrol linier. Tetapi pengontrol aproksimasi yang diperoleh hanya bisa diterapkan pada domain kondisi awal yang terbatas di sekitar titik keseimbangan. Dengan perkataan lain, solusi aproksimasi yang diperoleh hanya dapat mengatasi efek

[

1

1

]

dan

[

1

.

1

1

.

1

]

.

0 T T

x

=

) (x0       = 1 1 0 x       = 1 . 1 1 . 1 0 x

nonlinieritas secara terbatas. Untuk penelitian lanjutan disarankan menggunakan pendekatan kuadratik yang dikembangkan dalam penelitian ini dan dikombinasikan dengan strategi controller scheduling ataupun piece-wise quadratic. Diharapkan efek nonlinieritas yang lebih signifikan dapat diatasi dengan cara ini.

DAFTAR PUSTAKA

1.

TEOLIS, C. A., “Robust H ? Output Feedback Control for Nonlinear

Systems”, Theses PhD, University of Maryland, 1994.

2.

TEOLIS, C. A., YULIAR, S., JAMES M. R., BARAS J. S., “Robust H ?

Output Feedback Control for Bilinear Systems”, Technical Research Report,

Institute of System Research, 1996.

3.

MIANZO, L., PENG, H., HASKARA, I., ”Transient Air-Fuel Ratio H ?

Preview Control of a Drive-By-Wire Internal Combustion Engine”, Proceeding

of the American Control Conference Arlington, VA June 25-27, 2001.

4.

GENC, A. U., “Linear Parameter-Varying Modelling and Robust Control of

Variable Cam Timing Engines” Dissertation, University of Cambridge, 2002.

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

1. Nama : Iwan Setiawan.

2. Tempat/Tanggal Lahir : Brebes, 21 Mei 1975

3. Instansi : Bidang Otomasi Pusat Penelitian Informatika LIPI

4. Pekerjaan / Jabatan : Peneliti Bidang Otomasi Pusat Penelitian Informatika LIPI 5. Riwayat Pendidikan : S2 Instrumentasi dan Kontrol ITB (2006)

6. Pengalaman Kerja : Kepala Bagian QC, PT Halim Samudera Interutama (2007) Peneliti Bidang Otomasi Puslit Informatika LIPI (2008)