Prosiding SEMINAR NASIONAL SAINSTEK 2017 ISSN: TIM PROSIDING

(1)

(2)

Prosiding SEMINAR NASIONAL SAINSTEK 2017 ISSN: 2541-0636

Denpasar, Bali – 21 Oktober 2017 | i

TIM PROSIDING

Penanggung Jawab: Drs. Ida Bagus Made Suaskara, M.Si. Pengarah:

Drs. I Made Satriya Wibawa, M.Si. Anak Agung Bawa Putra, S.Si., M.Si. Drs. I Wayan Santiyasa, M.Si.

Editorial Team Chief-in-Editor

Dr. Dra. Wiwik Susanah Rita, M.Si. Associate Editor

Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si., M.Si. Editorial Board:

Prof. Dr. Marjono, M.Phil. (UB)

Junaidi Khotib, S.Si, Apt, M.Kes, Ph.D (UNAIR) Dr. I Ketut Gede Suhartana, S.Kom., M.Kom. (UNUD) Dr. Dra. Ni Wayan Bogoriani, M.Si. (UNUD)

Dr. Drs. I Made Oka Adi Parwata, M.Si. (UNUD) Made Susilawati, S.Si., M.Si. (UNUD)

Ir. I Komang Dharmawan, M.Math., Ph.D. (UNUD) Dr. Ir. G.K. Gandhiadi, M.T. (UNUD)

Dr. rer.nat. Drs. I Made Agus Gelgel Wirasuta, Apt., M.Si. (UNUD) Dr. Sagung Chandra Yowani, S.Si., Apt., M.Si. (UNUD)

Dr. Dra. Putu Adriani Astiti, M.Si. (UNUD)

Dr. Dra. Meitini Wahyuni Proborini, M.Sc.St. (UNUD) Dr. Drs. Anak Agung Ngurah Gunawan, M.Si. (UNUD) Dr. Ir. Herry Suyanto, M.T. (UNUD)

Dra. Luh Gede Astuti, M.Kom. (UNUD)

I Dewa Made Bayu Atmaja Darmawan, S.Kom., M.Cs. (UNUD) Kartika Sari, S.Si., M.Sc. (UNUD)

Sekretariat:

Dr. I Nengah Wirajana, S.Si., M.Si. Dr. I Ketut Ginantra, S.Pd., M.Si. I Gusti Ayu Made Srinadi, S.Si., M.Si.

Gusti Ayu Vida Mastrika Giri, S.Kom., M.Cs. Ni Made Pitri Susanti, S.Farm., M.Farm., Apt. I Gusti Agung Adnyana Putra, S.Si., M.Si.

(3)

ii | Denpasar, Bali – 21 Oktober 2017 Desain Grafis:

I Komang Ari Mogi, S.Kom., M.Si. I Gede Artha Wibawa, S.T., M.Kom.

I Gede Oka Gartria Atitama, S.Kom., M.Kom. Agus Muliantara, S.Kom., M.Kom.

(4)

Denpasar, Bali – 21 Oktober 2017 | iii

KATA PENGANTAR

Pertama-tama, kita panjatkan puja dan puji syukur kehadirat Ida Sanghyang Widhi Wasa/Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat-Nyalah maka Prosiding Seminar Nasional Sains dan Teknologi (SainTech) yang kedua (II) dapat selesai sesuai dengan harapan. Seminar Nasional Sains dan Teknologi ini mengambil tema “Penguatan Riset Perguruan Tinggi untuk Pengembangan Sains dan Teknologi yang Berkelanjutan” yang diselenggarakan oleh Fakultas MIPA Universitas Udayana pada tanggal 21 Oktober 2017, bertempat di Universitas Udayana Kampus Jl. PB. Sudirman Denpasar, Bali.

Saat ini, kesadaran akan pentingnya publikasi untuk pengembangan ilmu melalui berbagai penelitian khususnya bidang sains dan teknologi masih dipandang rendah. Sebagai pendidik, salah satu tugas pokok dan fungsi adalah melakukan penelitian yang kemudian dipublikasikan untuk dapat disebarkan kepada masyarakat luas. Sebagai mahasiswa salah satu syarat untuk dapat merah gelar S1 wajib mempunyai publikasi ilmiah. Oleh karena itu Fakultas MIPA melaksanakan kegiatan dalam bentuk seminar nasional Sains dan Teknologi ini .

Adapun tujuan dari kegiatan ini yaitu: meningkatkan pengetahuan dan pemahaman tentang keilmuan sains dan teknologi; meningkatkan kepedulian tentang pentingnya publikasi dari hasil penelitian Hibah Unggulan Program Studi (HUPS) dan Dosen Muda; memberikan wahana dalam publikasi ilmiah bagi peneliti, dosen, dan mahasiswa; dan sebagai sarana untuk lebih mempererat civitas akademika dan masyarakat lain.

Peserta kegiatan seminar nasional ini dihadiri oleh dosen, mahasiswa, dan peneliti lain yang berjumlah 95 pemakalah pendamping dan 200 peserta dan tamu undangan.

Invited speaker dalam seminar ini mengundang Prof. Dr. Marjono, M.Phil. (Universitas

Brawijaya) dan Junaidi Khotib, S.Si, Apt, M.Kes, Ph.D (Universitas Airlangga). Atas nama panitia, kami mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya atas kesediaan beliau semua hadir dalam acara ini.

Kami dari pihak panitia mengucapkan terima kasih kepada semua peserta dan pemakalah yang telah mengirimkan makalahnya untuk diterbitkan pada prosiding seminar nasional ini. Terima kasih pula kepada Rektor Universitas Udayana, pihak Fakultas MIPA Universitas Udayana, pihak sponsor dan panitia baik dari staf dosen, staf pegawai, panitia mahasiswa, serta semua pihak yang turut memberikan kontribusi atas suksesnya pelaksanaan kegiatan ini.

Ketua Panitia

(5)

iv | Denpasar, Bali – 21 Oktober 2017

DAFTAR ISI

Halaman TIM PROSIDING... ... i KATA PENGANTAR... ... ii DAFTAR ISI ... ... iii DAFTAR ARTIKEL

ANALISIS KESTABILAN PADA MODEL PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM DENGUE DENGAN MASA INKUBASI VIRUS DAN LAJU INSIDENSI NONLINEAR

I Putu W Gautama, Widodo, I Putu Eka N Kencana... 1-14 KAUSALITAS ANTARA MOTIVASI, PERSEPSI, DAN TINGKAT KEPUASAN

WISATAWAN MANCANEGARA

Eka N. Kencana, Ketut Jayanegara, Trisna Darmayanti.. ... 15-24 PENERAPAN ANALISIS BIPLOT DALAM PERCOBAAN LOKASI GANDA

(MULTI ENVIRONMENT TRIAL)

Brian Yonathan Suryantho, I Komang Gde Sukarsa, I Gusti Ayu Made Srinadi.. ... 25-31 PENDUGAAN DATA HILANG PADA RANCANGAN BUJUR SANGKAR LATIN

DENGAN ANALISIS KOVARIAN

Farida Ayu Rahmawati, Made Susilawati, Kartika Sari.. ... 32-37 ANALISIS PELAYANAN TELLER BRI CANGGU MENGGUNAKAN

TEORI ANTERAN

Made Citra Puspita Dewi, I Wayan Sumarjaya, Tjokorda Bagus Oka.. ... 38-42 PEMODELAN KASUS GIZI BURUK DI PROVINSI BALI

DENGAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF

Diah Arini, I Gusti Ayu Made Srinadi, I Wayan Sumarjaya.. ... 43-48 REGRESI POISSON DALAM MEMODELKAN JUMLAH PENDERITA

KUSTA DI PROVINSI BALI

Kharisma Innaka Arfidina, Made Susilawati, I Gusti Ayu Made Srinadi.. ... 49-54 PENERAPAN MODEL REGRESI PROBIT UNTUK MENDUGA FAKTOR-

FAKTOR YANG MEMENGARUHI PENGELOMPOKAN UKT

Mitta Gargita, Made Susilawati, I.G.A. Made Srinadi .. ... 55-60 PEMODELAN PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE (DBD)

DENGAN PENDEKATAN REGRESI LINEAR BERGANDA

(6)

Denpasar, Bali – 21 Oktober 2017 | v

PENDEKATAN PERSAMAAN SIMULTAN DALAM ANALISIS PERMINTAAN DAN PENAWARAN KOPI INDONESIA

Putu Andri Ayuni Noveria, Eka N. Kencana, Komang Gde Sukarsa.. ... 67-72 ANALISIS PERBANDINGAN KARAKTERISTIK WISATAWAN

MANCANEGARA YANG BERKUNJUNG KE OBYEK WISATA UBUD DAN KUTA

Novita Triani Hamma, Selfia Putri Bukhori, Siti Rahayu Ningsih,

Sherly Eren Saragi, Juita H. Sidadolog, Desak Putu Eka Nilakusumawati.. ... 73-79 EFEKTIVITAS METODE TAI (TEAM ASSISTED INDIVIDUALIZATION)

PADA PEMBELAJARAN SIFAT OPERASI BILANGAN BULAT Moh Ghista Kusuma Shafarda, Ni Made Asih, Muhammad Irfan,

Paulus Lazarus.. ... 80-85 KEBERHASILAN BELAJAR BERDASARKAN GENDER PADA

MATA KULIAH GEOMETRI ANALITIK

Ni Made Asih, Ni Luh Putu Suciptawati, I Nyoman Widana.. ... 86-91 ANALISIS KARAKTERISTIK PENGGUNA DAN KUALITAS

LAYANAN JASA PENGIRIMAN BARANG (Studi Kasus: JNE Cabang Denpasar Selatan)

Ni Wayan Ayu Jusiani, Ni Putu Ria Fitriani, Putri Bella Sagita,

Ni Putu Intan Puspa Dewi, Ni Ketut Tari Tastrawati.. ... 92-98 ANALISIS PENGARUH TRANSPORTASI ONLINE TERHADAP MINAT

MASYARAKAT MEMILIH LAYANAN TRANSPORTASI UMUM Ni Luh Putu Ratna Dewi, Ni Putu Trisna Dewi, Fitri Ananda Dita Saraswita, Ni Putu Ayu Dewi Cahyantari, I Gusti Ayu Meigayoni Lestari,

Desak Putu Eka Nilakusmawati.. ... 99-104 OPTIMALISASI PENJUALAN SEPATU MENGGUNAKAN METODE

LAGRANGE MULTIPLIER DI SHOES SHOP ID BALI

Ni Wayan Uchi Yushi Ari Sudina, Ni Komang Ayu Sedana Dewi, Ni Made Asih.. ... 105-110 PENGGUNAAN TRANSFORMASI BOX-COX PADA PRODUKSI JAGUNG DI BALI

Ni Luh Karina Prilyandari, I Gusti Ayu Made Srinadi, G.K. Gandhiadi .. ... 111-116 ANALISA INTERAKSI MANUSIA DAN KOMPUTER TERHADAP

KINERJA PEGAWAI MENGGUNAKAN METODE PENELITIAN KUALITATIF PADA PERUSAHAAN PENGIRIMAN DAN LOGISTIK JL. GUNUNG SANGHYANG

I Gede Angga Surya Diva, I Ketut Gede Suhartana.. ... 117-123 PROTOTIPE SISTEM PAKAR BERBASIS WEB UNTUK PENYAKIT

DAN ASANA PENYEMBUHAN DALAM YOGA Luh Gede Astuti, I Dewa Made Bayu Atmaja Darmawan,

(7)

vi | Denpasar, Bali – 21 Oktober 2017

RANCANG BANGUN CASE BASE SISTEM REKOMENDASI MUSIK BERDASARKAN DATA KONTEKS DAN EEG

Gst. Ayu Vida Mastrika Giri, A.A. Istri Ngurah Eka Karyawati . ... 131-136 PENGARUH ALGORITMA DIJKSTRA DALAM MENGURANGI BEBAN

KERJA PENGEMUDI OJEK DENGAN METODE ANALISA KUALITATIF

Isa Rizkie Cahyo, I Ketut Gede Suhartana ... 137-143 ANALISIS IMPLEMENTASI KOMPUTASI PARALEL PADA KRIPTOGRAFI

ASIMETRIS DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA RSA

Putu Adi Prasetya, I Gede Arta Wibawa . ... 144-152 KONSERVASI JALAK BALI (Leucopsar rothschildi)

Sudaryanto, Meitini Wahyuni Proborini . ... 153-162 JENIS-JENIS KUPU-KUPU YANG DITEMUKAN DI KAWASAN

PARIWISATA UBUD, BALI

Anak Agung Gde Raka Dalem, Martin Joni .. ... 163-177 IDENTIFIKASI INTRUSI AIR LAUT PADA AKUIFER DEKAT PANTAI DENGAN

METODE GEOLISTRIK (STUDI KASUS DI CANDIDASA KARANGASEM BALI)

I Nengah Simpen, I Wayan Redana, Ni Nyoman Pujianiki.. ... 178-184 KLASIFIKASI KETERBELITAN MULTIPARTIT MENGGUNAKAN NILAI

TUNGGAL TENSOR INTI MATRIK UNFOLDING DALAM SISTEM TELEPORTASI KUANTUM

I N. Artawan, N.L.P. Trisnawati.. ... 185-192 IMPLEMENTASI PIEZOELEKTRIK SEBAGAI SENSOR PADA

KARAKTERISASI MATERIAL BARIUM TITANAT DENGAN SUBSTITUSI CALSIUM (Ba1- xCaxTiO3)

Windaryoto, Poniman, S. .. ... 193-197 DETEKSI OTOMATIS HISTOPATOLOGI TYPE INVASIVE DUKTAL

CARCINOMA (IDC) DAN INVASIVE LOBULER CARCINOMA (ILC) PADA MAMMOGRAM

A.A.N. Gunawan, I.W. Supardi, S. Poniman.. ... 198-205

RESIDU RADIOAKTIF DAN VITAMIN BUAH TOMAT PASCA RADIASI GAMMA Co-60

Ida Bagus Made Suryatika, Gusti Agung Ayu Ratnawati, Gusti Ngurah Sutapa.. ... 206-213 EFEK RADIOTERAPI COBALT-60 TERHADAP PROFIL HEMATOLOGI

PADA PENDERITA KANKER SERVIKS DI RSUP SANGLAH

Ni Nyoman Ratini, I Made Yuliara.. ... 214-221 UJI MODEL INDEKS VEGETASI PADA SPEKTRUM TAMPAK DAN

INFRAMERAH CITRA LANDSAT UNTUK ANALISIS VEGETASI CENGKEH Yuliara, A. Kasmawan.. ... 222-228

(8)

Denpasar, Bali – 21 Oktober 2017 | vii

DISTRIBUSI GAS RADON DI RUANGAN BERBAHAN GIPSUN DAN RESIKO KANKER PARU-PARU

Gusti Agung Ayu Ratnawati, Gusti Ngurah Sutapa, Ni Nyoman Ratini.. ... 229-237 ANALISIS PENGGUNAAN DIURETIK TERHADAP PERUBAHAN TEKANAN DARAH, KADAR NATRIUM DAN KALIUM PADA PASIEN HIPERTENSI DISERTAI GAGAL GINJAL KRONIK

(9)

ANALISIS KESTABILAN PADA MODEL

PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM DENGUE

DENGAN MASA INKUBASI VIRUS DAN LAJU

INSIDENSI NONLINEAR

Abstract

A dengue transmission model with nonlinear incidence rate and the length of time during incubation of dengue virus in human and mosquito is formulated. It is assumed that the incidence rate for human population and mosquito population transmitted disease present, respectively, saturation and bilinear incidence rate. The existence of disease-free equilibrium, endemic equilibrium and its local stability is controlled by the threshold number. If the threshold number less than or equal to one, the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable and the disease always dies out, if it exceeds one there will be an endemic. Numerical simulation is given to illustrate the results.

Keywords: dengue disease, stability analysis, incubation period, basic repro-duction number.

1. PENDAHULUAN

Infeksi virus dengue merupakan masalah kesehatan yang serius dan dapat menyebabkan kematian. Penyebaran virus dengue terbanyak terjadi di negara yang beriklim tropis dan sub tropis di dunia. Virus dengue dapat mengakibatkan demam dengue, deman berdarah dengue (dengue hemorrhagic fever), dan juga dengue shock syndrome (DSS) pada manusia. Jumlah kasus demam dengue yang dilaporkan meningkat dari 2,2 juta di tahun 2010 menjadi 3,2 juta pada tahun 2015 [5].

Virus dengue terdiri atas empat serotipe, yaitu DEN-1, DEN-2, DEN-3 dan DEN-4. Siklus penyebaran virus dengue dimulai dengan nyamuk Aedes aegypti menggigit individu yang terinfeksi virus. Selanjutnya, nyamuk menjadi terin-feksi namun virus dengue belum dapat ditularkan ke manusia selama periode

1

3_{Universitas Udayana} Email: i.putu.enk@unud.ac.id

1_{Universitas Gadjah Mada} Email: winadagautama@gmail.com

2_{Universitas Gadjah Mada} Email: widodo mathugm@yahoo.com

I Putu W. Gautama1_{, Widodo}2_{, Eka N. Kencana}3

(10)

inkubasi, yaitu selama 8-12 hari [6]. Nyamuk yang terinfeksi dapat menularkan virus dengue ke individu setelah melewati masa inkubasi. Selanjutnya, individu menjadi terinfeksi, namun belum dapat menularkan virus dengue selama masa inkubasi yaitu sekitar 4-7 hari. Seseorang yang terinfeksi oleh salah satu dari empat serotipe tidak akan terinfeksi lagi oleh serotype yang sama (kekebalan ho-mologus), namun dapat terinfeksi oleh tiga serotipe lain (kekebalan heterologus). Pemodelan matematika menjadi alat yang menarik untuk memahami penya-kit demam dengue yang selanjutnya akan dikaji dalam tulisan ini dengan peru-musan model dan simulasi menggunakan estimasi parameter. Laju insidensi atau angka infeksi baru dianggap memainkan peran kunci dalam memastikan bahwa model tersebut memang memberikan gambaran kualitatif yang wajar dari namika penyakit. Laju insidensi dalam model epidemiologi pada umumnya, di-asumsikan bilinear yaitu SI. Peluang penularan per kontak disimbolkan dengan . Populasi rentan dan terinfeksi masing-masing disimbolkan dengan S dan I. Selanjutnya, laju insidensi standar ditunjukkan dengan _NSI, yang menyatakan jumlah infeksi baru. P.Pongsumpun (2008)[3], mempelajari penyebaran penyakit demam dengue dengan periode inkubasi virus dengue pada populasi manusia dan nyamuk dengan laju insidensi standar. Pada dasarnya, untuk mencegah ketidakterbatasan tingkat kontak karena proporsi infektif dalam suatu populasi sangat tinggi sehingga terjadi kepadatan, Capasso dan Serio (1978) [1] mem-pelajari penyebaran epidemi kolera di Bari pada tahun 1973 menggunakan laju insidensi jenuh dalam bentuk _1+↵ISI, dengan ↵> 0. Selanjutnya, Liming Cai, dkk 2009 [2] mempelajari dinamika global penyebaran penyakit demam dengue de-ngan laju insidensi jenuh pada manusia dan laju insidensi bilinear pada nyamuk. Berkaitan dengan itu, dalam tulisan ini dihadirkan model penyebaran penyakit demam dengue dengan masa inkubasi virus dan laju insidensi nonlinear. Laju insidensi nonlinear yang diacu berdasarkan paper [2] yaitu, laju insidensi jenuh pada manusia dan laju insidensi bilinear pada nyamuk.

Naskah publikasi ini dibagi menjadi 6 bagian. Bagian pertama, dihadirkan pendahuluan sebagai panduan mengenai penyakit dengue dan struktur-struktur modelnya. Bagian 2 dibahas pembentukan model, penentuan variabel dan pa-rameter. Bagian 3 dibahas mengenai eksistensi titik ekuilibrium dan kestabilan dari titik ekuilibrium yang diperoleh. Bagian 4 dihadirkan simulasi numerik un-tuk menggambarkan dinamika dari model yang dibenun-tuk. Kesimpulan dan saran dibahas pada bagian 5 dan 6.

2

(11)

Gambar 1: Diagram Transfer Model Penyebaran Penyakit Dengue dengan Masa Inkubasi Virus dan Laju Insidensi Nonliner

2. PERSAMAAN MODEL

Pembentukan model penyebaran penyakit demam dengue ini melibatkan populasi manusia dan nyamuk. Total populasi manusia dilambangkan dengan NH, total populasi nyamuk dilambangkan dengan NV. Populasi manusia dibagi menjadi empat kelas yaitu individu rentan SH, individu terinfeksi tapi belum memiliki kemampuan menularkan virus EH, individu terinfeksi yang mampu menularkan virus IH, dan individu sembuh RH. Populasi nyamuk dibagi men-jadi tiga kelas yaitu nyamuk rentan SV, nyamuk terinfeksi tapi belum memiliki kemampuan menularkan viru EV, dan nyamuk terinfeksi yang memiliki kemam-puan menularkan virus IV.

Laju kelahiran dan laju kematian manusia dianggap sama (µH). Tingkat gigitan nyamuk terinfeksi dengan nyamuk rentan sama. Jumlah rekruitmen SV adalah A dan laju kematian nyamuk adalah µV. Tingkat gigitan SV dan IV adalah ˆb. Laju kesembuhan IH adalah r. Individu dan nyamuk yang baru terin-feksi akan menjadi individu dan nyamuk yang mampu menularkan virus dengue dengan laju H dan V. Peluang penyebaran virus dari IV ke SH adalah H. Laju infeksi dari SH ke EH adalah ₁b_+↵IHI_VV, dengan b= _Nˆb_H. Peluang penyebaran virus dari IV ke SH adalah V. Laju infeksi dari SV ke EV adalah b VIH, dengan b= _Nˆb

H. Berdasarkan asumsi, parameter, dan fakta-fakta maka dapat dibuat

dia-gram transfer model penyebaran penyakit demam dengue dengan laju insidensi nonlinear yang ditunjukkan pada Gambar 1.

Berdasarkan pada Gambar 1, diperoleh model matematika penyebaran pe-nyakit demam dengue dengan masa inkubasi virus dan laju insidensi nonlinear

3

(12)

sebagai berikut: dSH dt = µHK− b HSHIV 1+ ↵IV − µHSH dEH dt = b HSHIV 1+ ↵IV − (µH+ H)EH dIH dt = HEH − rIH− µHIH dR dt = rIH− µHRH dSV dt = A − b VIHSV − µVSV dEV dt = b VIHSV − VEV − µVEV dIV dt = VEV − µVIV, (1)

dengan kondisi sebagai berikut: NH = SH+ EH+ IH+ RH dan NV = SV + EV + IV . Diperoleh NH → K dan NV → A�µV untuk t menuju tak hingga. Oleh karena itu, diasumsikan K = SH + EH + IH + RH dan A�µV = SV + EV + IV. Variabel RH hanya dapat ditentukan apabila SH, EH, dan IH diketahui, akibatnya RH = K−SH−EH−IH. Variabel SV hanya dapat didefinisikan jika EV dan IV diketahui dan berakibat SV = A�µV − EV − IV. Oleh karena itu, Sistem (1) dapat ditulis menjadi: dSH dt = µHK− b HSHIV 1+ ↵IV − µHSH dEH dt = b HSHIV 1+ ↵IV − (µH+ H)EH (2) dIH dt = HEH− rIH− µHIH dEV dt = b VIH� A µV − IV − EV� − VEV − µVEV dIV dt = VEV − µVIV,

dengan domain ⌦= {(SH, EH, IH, EV, IV) ∈ R+5 ∶ 0 ≤ EV + IV ≤ A�µV, 0≤SH+ EH +IH ≤ K}. Himpunan ⌦ merupakan himpunan invarian positif terhadap Sistem (2).

4

(13)

3. ANALISIS MODEL

3.1. Eksistensi Titik Ekuilibrium

Titik-titik ekuilibrium pada Sistem (2) dalam domain berikut: ⌦= {(SH, EH, IH, EV, IV) ∈ R+5 ∶ 0 ≤ EV + IV ≤ A�µV,

0≤SH+ EH+ IH ≤ K}. (3)

akan dicari pada bagian ini. Diberikan R0= b

2

V H H VAK

( H+µH)(r+µH)( V+µV)µV2, berdasarkan

[4] R0 adalah bilangan reproduksi dasar. Selanjutnya, dipaparkan hasil-hasil mengenai titik-titik ekuilibrium dari Sistem (2).

Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit

Sistem (2) selalu mempunyai titik ekuilibrium E1= (K, 0, 0, 0, 0). Kestabilan lokal dari titik ekuilibrium E1= (K, 0, 0, 0, 0) diberikan oleh teorema berikut. Teorema 3.1. Jika R0< 1 maka titik ekuilibrium E1= (K, 0, 0, 0, 0) stabil asim-totik lokal.

Bukti. Mengecek kestabilan lokal dari titik E1, dilakukan dengan melinearisasi Sistem (2) disekitar titik E1 dan diperoleh matriks Jacobian JF(E1).

JF(E1) = � �� −µH 0 0 0 −b HK 0 −(µH+ H) 0 0 b HK 0 H−(r + µH) 0 0 0 0 b V_µA_V −( V + µV) 0 0 0 0 V −µV � �� (4)

Persamaan karakteristik dari matriks Jacobian JF(E1) adalah �a0 4+ 3_a

1+ 3a2+ a3+ a4�[ 1+ µH] = 0, (5)

Jika R0< 1 maka a0, a1, a2, a3 dan a4 bernilai positif dan memenuhi 1 = �a1� = a1> 0,

2 = a1a2− a3a0> 0,

3 = a1a2a3− a12a4− a0a3a3> 0, 4 = a4�a1a2a3− a21a4− a1a0a3� > 0.

5

(14)

Kriteria Routh-Hurwitz untuk polynomial (5) dipenuhi. Jadi, semua akar ka-rakteristik dari polynomial (5) merupakan bagian real negatif. Oleh karena itu,

titik E1 stabil asimtotik lokal. �

Teorema 3.2. Asumsikan µH = b VA µV (6) µV = b HSH∗ 1+ ↵IV . (7)

Jika R0≤ 1, maka titik ekuilibrium bebas penyakit E1= (K, 0, 0, 0, 0) dari Sistem (2) stabil asimtotik global dalam ⌦.

Bukti. Kestabilan global dari titik E1 dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat fungsi Lyapunov. Diberikan fungsi Lyapunov

V (SH, EH, IH, EV, IV) = �SH− SH∗ − SH∗ ln S_H∗ SH� + EH+ IH+ EV + IV (8) dengan ˙ V = µHK�1 −S ∗ H SH� − b HSHIV 1+ ↵IV + b HSHIV 1+ ↵IV + � b HS_H∗ 1+ ↵IV − µV�IV + VEV − VEV, berdasarkan (6) dan (7) maka diperoleh

˙ V = µHK�1 −S ∗ H SH� + µH S_H∗ �1 −SH S_H∗ � − µHEH− rIH− b VIHIV − b VIHEV − µVEV, (9)

karena R0≤ 1 maka SH∗ = K, akibatnya persamaan (9) menjadi: ˙ V = −µHK�(S ∗ H− SH) 2 S_H∗.SH � − µH EH− rIH− b VIHIV − b VIHEV − µVEV.

Diperhatikan bahwa ˙V = 0 hanya dipenuhi oleh E1 = (K, 0, 0, 0, 0). Oleh karena itu, himpunan{E1} merupakan himpunan invarian terbesar dalam H = {(SH, EH, IH, EV, IV)� ˙V (SH, EH, IHEV, IV) = 0�. Himpunan H tidak memuat solusi lain kecuali solusi ekuilibrium E1, akibatnya setiap solusi akan menuju E1 untuk t menuju tak hingga. Jadi, setiap solusi dalam ⌦ menuju E1 untuk t menuju tak hingga dan titik E1 stabil asimtotik lokal. Oleh karena itu, E1 stabil asimtotik

global. �

6

(15)

Titik Ekuilibrium Endemik

Sistem (2) mempunyai titik ekuilibrium yang disebut titik ekuilibrium en-demik E2 = (S_H∗, E_H∗, I_H∗, E_V∗, I_V∗) dengan S_H∗ = µHK(1 + ↵IV) µH+ (b H+ ↵µH)IV E_H∗ = (r+ µH) H IH I_H∗ = µHµV (R0− 1)( V + µV)µV b V (k1A V + µHzµV) E_V∗ = µVIV V I_V∗ = µHxyµV (R0− 1) Hb2 H VµHK+ k1xyµV dengan k1 = (b H+ ↵µH), z = ( V + µV), x = (µH+ H), y = (r + µH).

Kestabilan titik ekuilibrium endemik akan dibahas berikut ini. Linearisasi Sistem (2) disekitar titik E2, diperoleh matriks Jacobian berikut:

JF(E2) = (10) � �� −µH− b HIV∗ �1+↵I∗ V� 0 0 0 − b HSH∗ �1+↵I∗ V� 2 b HIV∗ �1+↵I∗ V� −(µH+ H) 0 0 b HSH∗ �1+↵I∗ V� 2 0 H −(r + µH) 0 0 0 0 b V �_µA_V − IV∗− EV∗� −b VIH∗ − ( V + µV) −b VIH∗ 0 0 0 V −µV � �� Persamaan karakteristik dari (10) adalah

5_{+ a1} 4_{+ a2} 3_{+ a3} 2_{+ a4} _{+ a5}_{= 0} ₍₁₁₎

Dapat dibuktikan bahwa a1a2− a0a3 > 0. Polinomial (11) memenuhi kriteria Routh Hurwitz jika memenuhi kondisi berikut:

a4> 0, a5> 0,

a1a2a3+ a0a1a5− a21a4− a0a23> 0,

a4�a1a2a3+ a0a1a5− a21a4− a0a3� − a52 �a1a22+ a20a5− a0a1a4− a0a2a3� > 0. (12)

7

(16)

Tabel 1: Tabel Nilai-Nilai Parameter Model

Parameter Lambang Nilai

Peluang penyebaran virus dari nyamuk ke manusia H 0.75 Peluang penyebaran virus dari manusia ke nyamuk V 1

Harapan hidup manusia 1�µH 70 tahun Harapan hidup nyamuk 1�µV 20-36 hari Tingkat gigitan nyamuk rentan dan infeksi ˆb 0.5/hari

Laju kesembuhan manusia r 0.125/ hari Teorema 3.3. Jika titik ekuilibrium endemik ada dan memenuhi persamaan (12), maka titik ekuilibrium endemik pada Sistem (2) stabil asimtotik lokal.

4. SIMULASI NUMERIK

Simulasi numerik penyebaran penyakit demam dengue dengan laju insidensi standar akan disajikan pada bagian ini. Nilai-nilai parameter pada model dis-ajikan pada Tabel (1) Berikut ini diberikan simulasi numerik untuk mengilus-trasikan perilaku dinamik pada model yang telah dibentuk.

1. Dipilih nilai-nilai parameter H = 0.75 , H = 0.1667, V = 0.147, V = 1, ˆb_{= 0.5, K = 3500, r = 0.125, µH} _{= 0.0000391, µV} _{= 0.02. Diagram bifurkasi} antara variabel S_H∗, E_H∗, I_H∗, I_V∗, E_V∗ dari Sistem (2) terhadap R0 diberikan pada Gambar (2). Gambar (2i), (2ii), (2iii), (2iv), dan (2v) menunjukkan

(i) (ii) (iii)

(iv) (v)

Gambar 2: Diagram bifurkasi antara variabel i) S_H∗, ii) E_H∗, iii) I_H∗, iv)

E_V∗, dan v) I_V∗ terhadap parameter R0

8

(17)

terjadinya bifurkasi pada saat R0= 1. Garis yang tidak putus-putus menan-dakan solusi ekuilibrium dari Sistem (2) stabil, sedangkan garis putus-putus menandakan solusi ekuilibrium tersebut tidak stabil. Titik ekuilibrium be-bas penyakit E1 stabil asimtotik lokal dan titik ekuilibrium endemik tidak eksis ketika parameter R0 < 1. Titik ekuilibrium bebas penyakit tidak stabil dan titik ekuilibrium endemik E2 stabil asimtotik lokal ketika saat R0> 1

Gambar (a) menunjukkan diagram trayektori antara variabel SH, EH, IH, EV, dan IV terhadap waktu untuk nilai parameter R0 = 0.939. Diperoleh nilai SH = 3500, EH = 0, IH = 0, EV = 0, dan IV = 0. Diperoleh nilai-nilai eigen dari persamaan karakteristiknya sebagai berikut

1 = −0.0000391 2 = −0.221998

3 = −0.12595218952295 + 0.072822i 4 = −0.12595218952295 − 0.072822i 5 = −0.00087579.

Gambar (b) menunjukkan diagram trayektori antara variabel SH, EH, IH, EV, dan IV terhadap waktu untuk nilai parameter R0= 4.697. Diperoleh ni-lai SH = 759.67, EH = 0.6426, IH = 0.8567, EV = 0.18656, dan IV = 1.33395. Selanjutnya, nilai-nilai eigen dari persamaan karakteristiknya adalah

1= −0.223008168

2= −0.1258246261 + 0.074100507i 3= −0.1258246261 − 0.074100507i 4= −0.0002116539 + 0.001412197i 5= −0.0002116539 − 0.001412197i.

Hal ini berarti jika manusia/nyamuk yang terinfeksi menginfeksi kurang dari 1 individu/nyamuk maka penyakit tidak akan tersebar ke dalam po-pulasi. Sebaliknya, jika manusia/nyamuk menginfeksi lebih dari 1 manu-sia/nyamuk rentan maka di dalam populasi manumanu-sia/nyamuk akan tetap tersebar virus dengue, dengan kata lain penyakit akan tersebar di dalam populasi.

2. Dipilih nilai-nilai parameter H = 0.75 , H = 0.1667, V = 0.147, V = 1, ˆb = 0.5, K= 200000, r = 0.125, A = 100, µH = 0.0000391, µV = 0.0287, diperoleh nilai R0 = 0.7614 < 1. Menurut Teorema 3.2, Sistem (2) mempunyai titik

9

(18)

ekuilibrium bebas penyakit E1= (SH, EH, IH, EV, IV) = (200000, 0, 0, 0, 0) yang stabil asimtotik lokal.

(a) (b) (c)

(d) (e)

Gambar 3: Diagram Trayektori Sistem (2): (a) variabel SH, (b) variabel

EH, (c) variabel IH, (d) variabel EV, (e) variabel IV, yang menunjukkan

kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit E1

Diagram trayektori (3) menunjukan bahwa ketika mula-mula endemik per-tama ada, jumlah manusia rentan menurun sedangkan jumlah manusia yang terinfeksi meningkat. Jumlah manusia terinfeksi akan menurun sete-lah waktu tertentu karena adanya proses penyembuhan dan seiring dengan berjalannya waktu nyamuk terinfeksi mati sehingga tidak ada manusia yang terinfeksi.

Jumlah nyamuk yang terinfeksi juga mengalami penurunan, hal ini disebab-kan oleh kematian nyamuk. Kematian nyamuk bisa disebabdisebab-kan oleh bebe-rapa faktor, yaitu salah satunya manusia melakukan tindakan pemberan-tasan terhadap nyamuk seperti penyemprotan pestisida. Jumlah manusia yang terinfeksi mengalami penurunan seiring dengan penurunan jumlah nyamuk yang terinfeksi. Hal ini berarti, jika nyamuk sebagai perantara virus dengue mengalami penurunan jumlah maka manusia rentan beresiko kecil terserang virus dengue. Manusia yang terifeksi akan berkurang karena penyembuhan. Akibatnya, tidak ada lagi manusia dan nyamuk yang ter-infeksi. Hal ini berarti penyakit demam dengue tidak tersebar ke dalam populasi manusia dan nyamuk. Diagram trayektori (3) menunjukkan un-tuk t menuju tak hingga jumlah manusia rentan semakin mendekati 200000

10

(19)

orang, sedangkan jumlah manusia dan nyamuk laten, jumlah manusia ter-infeksi dan nyamuk terter-infeksi akan menuju nol.

3. Dipilih nilai-nilai parameter µH = 0.0000391, µV = 0.0287, H = 0.75, H = 0.1667, V = 0.147, V = 1, ˆb = 0.5, K = 400000, ↵ = 10−5, r = 0.125 dan A = 1100, diperoleh nilai R0 = 4.1876 > 1. Sistem (2) mempunyai titik ekuilibrium endemik E2= (9.60415x104_{, 71.277, 95.026, 25.804,}

1.3217x102). Selanjutnya, diperoleh nilai a4= 1.508x10−6_{, a}

5= 1.308x10−8, 4 = 2.775x10−10, dan 5 = 3.6314x10−18. Menurut Teorema 3.3, titik ekuilibrium endemik E2 = (S_H∗, E_H∗, I_H∗, E_V∗, I_V∗) stabil asimtotik lokal yang diilustrasikan oleh Diagram Trayektori (4).

(a) (b) (c)

(d) (e)

Gambar 4: Diagram Trayektori Sistem (2): (a) variabel SH, (b) variabel

EH, (c) variabel IH, (d) variabel EV, (e) variabel IV, yang menunjukkan

kestabilan titik ekuilibrium endemik E2

Diagram trayektori (4) menunjukkan bahwa pada awalnya jumlah manu-sia rentan meningkatnya, kemudian terjadi penurunan jumlah manumanu-sia rentan yang disebabkan oleh terjadinya infeksi. Jumlah manusia terinfeksi akan mengalami penurunan setelah waktu tertentu karena adanya proses penyembuhan. Awalnya nyamuk yang berada pada kelas laten akan berku-rang dan nyamuk yang memiliki kemampuan menularkan virus dengue ke individu rentan akan bertambah setelah 8-12 hari. Seiring dengan berjalan-nya waktu jumlah berjalan-nyamuk pada kelas laten dan kelas infeksi menuju pada jumlah titik ekuilibrium endemik. Selanjutnya, untuk t menuju tak hingga jumlah manusia rentan mendekati 96041 orang, jumlah manusia yang be-rada pada kelas laten mendekati 71 orang, jumlah manusia dalam kelas

11

(20)

terinfeksi mendekati 95 orang. Jumlah nyamuk yang berada pada masa inkubasi mendekati 25 ekor nyamuk dan nyamuk terinfeksi yang mampu menularkan virus mendekati 132 ekor nyamuk.

5. KESIMPULAN

Berikut diberikan kesimpulan dari hasil yang sudah dibahas sebelumnya se-bagai berikut:

Pembentukan model penyebaran penyakit demam dengue diberikan dalam Sis-tem (2). Faktanya bahwa manusia rentan yang baru digigit oleh nyamuk yang terinfeksi belum mampu menularkan virus selama periode inkubasi, yaitu se-lama 4 hari sampai 8 hari. Sebaliknya, pada nyamuk rentan yang baru meng-gigit manusia terinfeksi namun belum mampu menularkan virus ke manusia rentan lainnya selama periode inkubasi, yaitu sekitar 5-12 hari. Secara psikologi, manusia rentan melakukan tindakan pencegahan terhadap penyebaran endemik, seperti menyemprotkan insektisida dan menggunakan obat nyamuk ketika malam hari. Oleh karena itu, pada model digunakan laju insidensi nonlinear b HIV

1+↵IV untuk

mencegah ketidakterbatasan laju kontak akibat besarnya populasi nyamuk Aedes aegypti. Nilai dari parameter ↵ menjelaskan besarnya pencegahan yang dilakukan oleh manusia rentan. Sistem (2) selalu memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit E1 = (K, 0, 0, 0, 0) dan titik ekuilibrium endemik E2 = (SH∗, EH∗, IH∗, EV∗, IV∗), de-ngan S_H∗ = µHK(1 + ↵IV) µH+ (b H+ ↵µH)IV , E_H∗ = (r+ µH) H IH, EV∗ = µVIV V I_H∗ = µHµV (R0− 1)( V + µV)µV b V ((b H + ↵µH)A V + µH( V + µV)µV) I_V∗ = µH(µH+ H)(r + µH)µV (R0− 1) Hb2 H VµHK+ (b H+ ↵µH)(µH+ H)(r + µH)µV R0= b2 V H H VAK ( H + µH)(r + µH)( V + µV)µV2

dimana R0 adalah parameter ambang batas . Bilangan reproduksi dasar untuk Sistem (2) adalah ˜R0 = maks�

1 4

√

R0� . Berdasarkan Teorema 3.1 titik

ekui-librium bebas penyakit stabil asimtotik lokal saat R0 < 1 dan tidak stabil saat R0 > 1. Hal ini berarti jika nilai parameter ambang batas kurang dari satu, po-pulasi manusia dan nyamuk memiliki jumlah individu yang cukup dekat dengan jumlah individu pada titik ekuillibrium bebas penyakit, maka jumlah individu di dalam populasi manusia maupun nyamuk akan menuju jumlah individu pada titik ekuilibrium bebas penyakit. Jumlah individu maupun nyamuk yang

terin-12

(21)

feksi berkurang dan akan menuju 0 sehingga penyakit tidak menyebar di dalam populasi manusia maupun nyamuk. Jika nilai parameter ambang batas R0> 1, maka akan memunculkan fenomena dimana penyakit akan tetap beredar pada populasi manusia maupun nyamuk walaupun populasi memiliki jumlah individu dan nyamuk yang dekat dengan individu dan nyamuk pada titik ekuilibrium be-bas penyakit. Selajutnya diketahui a1, a2, a3, a4, a5 dengan a1, a2, a3, a4, a5seperti dalam analisis model. Titik ekuilibrium endemik E2 = (SH∗, EH∗, IH∗, EV∗, IV∗) dari Sistem (2) stabil asimtotik lokal jika a4 > 0 ,a5> 0 ,a1a2a3+a0a1a5−a21a4−a0a23> 0 ,dan a4(a1a2a3+ a0a1a5− a21a4− a0a23).

Selanjutnya diberikan fungsi:

V (SH, EH, IH, EV, IV) = �SH− SH∗ − SH∗ ln S_H∗

SH� + EH+ IH+ EV + IV . Berdasarkan Teorema 3.2 ketika R0 ≤ 1 , µH = b_µV_VA ,dan µV = b HS

∗ H

1+↵IV , titik

ekuilibrium bebas penyakit E1 dari Sistem (2) stabil asimtotik global pada do-main

⌦={(SH, EH, IH, EV, IV) ∈ R+₅ ∶ 0 ≤ EV + IV ≤ A�µV, 0≤SH+ EH+ IH ≤ K}.

Dengan kata lain jika populasi manusia dan nyamuk memiliki individu dan nyamuk dengan jumlah tidak melebihi daerah ⌦ maka seiring dengan berjalannya waktu jumlah individu dan nyamuk akan semakin dekat dengan jumlah individu dan nyamuk pada titik ekuilibrium bebas penyakit.

6. SARAN

Karena keterbatasan penulis, terdapat banyak hal yang belum termasuk dalam pembahasan dalam penelitian ini seperti analisis global dari titik ekui-librium endemik. Dalam penelitian ini juga diasumsikan hanya ada satu strain virus di dalam populasi, analisis lebih lanjut dapat dilakukan dengan menam-bahkan infeksi kedua, ketiga, dan keempat. Oleh karena itu, penelitian be-rikutnya dapat dilanjutkan untuk mengamati dan menganalisis secara detail ten-tang hal-hal tersebut.

13

(22)

REFERENSI

[1] Capasso,V., dan Serio, G., (1978). A generalization of the KermackMcK-endrick deterministic epidemic model. Math Biosci;42:4361.

[2] Liming, C., Shumin, G., XueZhi, L., Mini Ghosh, (2009). Global dynamics of a dengue epidemic mathematical model, Chaos, Solitons and Fractals 42, 22972304

[3] Pongsumpun, P., (2008). Mathematical Model of Dengue Disease with the Incubation Period of Virus, World Academy of Science, Engineering and Technology.

[4] Van den Driessche P, Watmough J., (2002). Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease trans-mission.Math Biosci ;180:2948.

[5] WHO Home Page: Dengue http://www.who.int/mediacentre/ factsheets/fs117/en/ Desember 2017.

[6] World Health Organization, (2009). Dengue: Guidelines for diag-nosis, treatment, prevention and control, http://www.who.int/tdr/ publications/documents/dengue-diagnosis.pdf

14