Pengantar Teori Bilangan. Kuliah 10

(1)

Pengantar Teori Bilangan

Kuliah 10

(2)

Materi Kuliah

Chinese Remainder Theorem (Teorema Sisa Cina)

2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2

(3)

Pengantar

• Chinese Remainder Theorem (Teorema sisa Cina) adalah hasil tentang Kongruen di teori bilangan dan digeneralisasi dalam aljabar abstrak.

• Pertama kali dipublikasikan pada abad ke-3 sampai abad ke-5 oleh Sun Tzu seorang matematikawan Cina.

Pertama ditemukan pada teka-teki Cina kuno:

Ada beberapa bilangan yang tidak diketahui.

Bilangan itu dibagi 3, sisanya adalah 2;

Bilangan itu dibagi oleh 5, sisanya adalah 3;

Bilangan itu dibagi oleh 7 sisanya adalah 2;

Bilangan yang manakah itu?

Dalam notasi matematika

𝑥 = 2 (mod 3) 𝑥 = 3 (mod 5) 𝑥 = 2 (mod 7)

(4)

Chinese Remainder Theorem

Misalkan 𝑛 ₁ , 𝑛 ₂ , … , 𝑛 _𝑟 bilangan bulat positif sedemikian sehingga 𝑝𝑝𝑏 𝑛 _𝑖 , 𝑛 _𝑗 = 1 untuk 𝑖 ≠ 𝑗 . Maka system kongruen linier

𝑥 ≡ 𝑎 ₁ (𝑚𝑜𝑑 𝑛 ₁ ) 𝑥 ≡ 𝑎 ₂ (𝑚𝑜𝑑 𝑛 ₂ ) 𝑥 ≡ 𝑎 _𝑟 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 ⋮ _𝑟 )

mempunyai solusi simultan, yang tunggal modulo bilangan bulat 𝑛 ₁ 𝑛 ₂ … 𝑛 _𝑟

(5)

Bukti Chinese Remainder Theoremn

Bentuk hasilkali𝑛 = 𝑛₁𝑛₂ … 𝑛_𝑟.

Untuk setiap 𝑘 = 1,2, … , 𝑟, misalkan 𝑁_𝑘 = _𝑛^𝑛

𝑘 = 𝑛₁𝑛₂… 𝑛_𝑘−1𝑛_𝑘+1… 𝑛_𝑟. Atau, 𝑁_𝑘 adalah hasilkali semua bilangan bulat 𝑛_𝑖 dengan factor 𝑛_𝑘 dihapuskan.

Diketahui bahwa 𝑝𝑝𝑏 𝑛_𝑖, 𝑛_𝑗 = 1 untuk 𝑖 ≠ 𝑗 atau 𝑛_𝑖 relative prima dengan 𝑛_𝑗 untuk 𝑖 ≠ 𝑗. Dengan demikian diperoleh 𝑝𝑝𝑏 𝑁_𝑘, 𝑛_𝑘 = 1.

Berdasarkan teori kongruen linier tunggal, hal ini memungkinkan untuk menyelesaikan kongruen 𝑁_𝑘𝑥 ≡ 1 (mod 𝑛_𝑘), sebutlah solusi tunggal𝑥_𝑘.

Tujuannya adalah untuk membuktikan bahwa bilangan

𝑥 = 𝑎₁𝑁₁𝑥₁ + 𝑎₂𝑁₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_𝑟𝑁_𝑟𝑥_𝑟 = 𝑎_𝑘𝑁_𝑘𝑥_𝑘 (𝑚𝑜𝑑 𝑛_𝑘) adalah solusi simultan dari system kongruen linier yg diberikan.

Pertama, amati bahwa𝑁_𝑖 ≡ 0 (mod 𝑛_𝑘) untuk 𝑖 ≠ 𝑘, karena 𝑛_𝑘|𝑁_𝑖 Hasilnya adalah

𝑥 = 𝑎₁𝑁₁𝑥₁ + 𝑎₂𝑁₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_𝑟𝑁_𝑟𝑥_𝑟 = 𝑎_𝑘𝑁_𝑘𝑥_𝑘 (𝑚𝑜𝑑 𝑛_𝑘)

Tapi 𝑥_𝑘 bilangan bulat yang dipilih untuk memenuhi kongruen 𝑁_𝑘𝑥 ≡ 1 (mod 𝑛_𝑘), yang menyebabkan 𝑥 ≡ 𝑎_𝑘. 1 ≡ 𝑎_𝑘 (mod 𝑛_𝑘)

Ini menunjukkan bahwa solusi untuk system kongruen yang diberikan ada.

Untuk menunjukkan ketuanggalannya, misalkan 𝑥′ adalah sebarang bilangan bulat yang memenuhi system kongruen ini. Maka 𝑥 ≡ 𝑎_𝑘 ≡ 𝑥′ (mod 𝑛_𝑘) 𝑘 = 1,2, … , 𝑟

dan selanjutnya 𝑛_𝑘| 𝑥 − 𝑥′ untuk setiap nilai 𝑘. Karena 𝑝𝑝𝑏 𝑛_𝑖, 𝑛_𝑗 = 1, maka diperoleh 𝑛₁𝑛₂… 𝑛_𝑟| 𝑥 − 𝑥′, karenanya 𝑥 ≡

𝑥′ (mod 𝑛_𝑘). 5

(6)

Dengan Chinese Remainder Theorem, maka langkah penyelesaian suatu system kongruen linier adalah:

Misalkan system kongruen linier 𝑥 ≡ 𝑎

₁

(𝑚𝑜𝑑 𝑛

₁

)

𝑥 ≡ 𝑎

₂

(𝑚𝑜𝑑 𝑛

₂

)

⋮ 𝑥 ≡ 𝑎

_𝑟

(𝑚𝑜𝑑 𝑛

_𝑟

)

Maka langkah untuk mencari solusi system ini:

1. Periksa 𝑝𝑝𝑏(𝑛

_𝑖

, 𝑛

_𝑗

) untuk 𝑖 ≠ 𝑗, jika 𝑝𝑝𝑏 𝑛

_𝑖

, 𝑛

_𝑗

= 1 maka system punya solusi.

2. Tentukan 𝑛 = 𝑛

₁

𝑛

₂

… 𝑛

_𝑟

dan 𝑁

_𝑘

=

_𝑛^𝑛

𝑘

= 𝑛

₁

𝑛

₂

… 𝑛

_𝑘−1

𝑛

_𝑘+1

… 𝑛

_𝑟

, 𝑘 = 1,2, … , 𝑟.

3. Selesaikan 𝑁

_𝑘

𝑥

_𝑘

≡ 1 (mod 𝑛

_𝑘

), 𝑘 = 1,2, … , 𝑟.

4. Solusinya adalah 𝑥 ≡ (𝑎

₁

𝑁

₁

𝑥

₁

+ 𝑎

₂

𝑁

₂

𝑥

₂

+ ⋯ + 𝑎

_𝑟

𝑁

_𝑟

𝑥

_𝑟

) (𝑚𝑜𝑑 𝑛)

(7)

Contoh 1

Dengan Chinese Remainder Theorem, carilah solusi untuk system kongruen linier berikut:

𝑥 ≡ 3 (mod 4) 𝑥 ≡ 2 (mod 3) 𝑥 ≡ 4(mod 5)

Perhatikan bahwa system ini terdiri dari 3 persamaan konruen linier, jadi 𝑘 = 1,2,3. Dari system diperoleh 𝑎₁ = 3, 𝑎₂ = 2, 𝑎₃ = 4, 𝑛₁ = 4, 𝑛₂ = 3, 𝑛₃ = 5.

1. Oleh karena 𝑝𝑝𝑏 4,3 = 𝑝𝑝𝑏 4,5 = 𝑝𝑝𝑏 3,5 = 1, maka system ini punya solusi.

2. Nilai 𝑛 = 𝑛₁𝑛₂𝑛₃ = 4.3.5 = 60 dan 𝑁₁ = ^𝑛

𝑛₁ = ⁶⁰

4 = 15;

𝑁₂ = _𝑛^𝑛

2 = ⁶⁰₃ = 20;

𝑁₃ = _𝑛^𝑛

3 = ⁶⁰₅ = 12.

3. Selesaikan 𝑁_𝑘𝑥_𝑖 ≡ 1 (mod 𝑛_𝑘), 𝑘 = 1,2,3, yaitu 15𝑥₁ ≡ 1 mod 4

20𝑥₂ ≡ 1 mod 3 12𝑥₃ ≡ 1 mod 5

Dengan menggunakan solusi dalam persamaan kongruen linier, maka

solusi untuk 15𝑥₁ ≡ 1 mod 4 adalah :

15𝑥₁ ≡ 1 mod 4 ekivalen dengan 15𝑥₁ − 1 = 4𝑘 . Diperoleh 𝑥₁ = ^1+4𝑘

15 . Nilai 𝑘 = 11 menyebakan 𝑥₁ = 3.

Dengan cara yang sama, diperoleh 𝑥₂ = 2, dan 𝑥₃ = 3.

4. Solusinya adalah

𝑥 = (𝑎₁𝑁₁𝑥₁ + 𝑎₂𝑁₂𝑥₂ + 𝑎₃𝑁₃𝑥₃) (mod 𝑛)

= (3.15.3 + 2.20.2 + 4.12.3) (mod 60)

= 359 (𝑚𝑜𝑑 60)

= 59 (𝑚𝑜𝑑 60) Jadi solusi untuk

𝑥 ≡ 3 (mod 4) 𝑥 ≡ 2 (mod 3) 𝑥 ≡ 4(mod 5) adalah 𝑥 ≡ 59 (mod 60)

Yanita, FMIPA Matematika Unand 7

(8)

Contoh 2

Dengan menggunakan Chinese Remainder Theorem, carilah solusi untuk system kongruen linier berikut:

𝑥 = 2 (mod 3) 𝑥 = 3 (mod 5) 𝑥 = 2 (mod 7)

Perhatikan bahwa system ini terdiri dari 3 persamaan konruen linier, jadi 𝑘 = 1,2,3. Dari system diperoleh 𝑎₁ = 2, 𝑎₂ = 3, 𝑎₃ = 2, 𝑛₁ = 3, 𝑛₂ = 5, 𝑛₃ = 7.

1. Oleh karena 𝑝𝑝𝑏 3,5 = 𝑝𝑝𝑏 3,7 = 𝑝𝑝𝑏 5,7 = 1 , maka system ini punya solusi.

2. Nilai 𝑛 = 𝑛₁𝑛₂𝑛₃ = 3.5.7 = 105 dan 𝑁₁ = _𝑛^𝑛

1 = ¹⁰⁵₃ = 35;

𝑁₂ = _𝑛^𝑛

2 = ¹⁰⁵₅ = 21;

𝑁₃ = _𝑛^𝑛

3 = ¹⁰⁵₇ = 15.

3. Selesaikan 𝑁_𝑘𝑥_𝑘 ≡ 1 (mod 𝑛_𝑘), 𝑘 = 1,2,3, yaitu 35𝑥₁ ≡ 1(mod 3)

21𝑥₂ ≡ 1 (mod 5) 15𝑥₃ ≡ 1 (mod 7)

Dengan menggunakan solusi dalam persamaan kongruen linier, maka

solusi untuk 35𝑥₁ ≡ 1 mod 3 adalah :

35𝑥₁ ≡ 1 mod 3 ekivalen dengan 35𝑥₁ − 1 = 3𝑘.

Diperoleh 𝑥₁ = ^1+3𝑘₃₅ . Nilai 𝑘 = 23 menyebakan 𝑥₁ = 2.

Dengan cara yang sama, diperoleh 𝑥₂ = 1, dan 𝑥₃ = 1.

4. Solusinya adalah

𝑥 ≡ (𝑎₁𝑁₁𝑥₁ + 𝑎₂𝑁₂𝑥₂ + 𝑎₃𝑁₃𝑥₃) (mod 𝑛)

≡ (2.35.2 + 3.21.1 + 2.15.1) (mod 105)

≡ 233 (mod 105)

≡ 23 (mod 105) Jadi solusi untuk

𝑥 ≡ 3 (mod 4) 𝑥 ≡ 2 (mod 3) 𝑥 ≡ 4(mod 5) adalah 𝑥 ≡ 23 (mod 105)

Yanita, FMIPA Matematika Unand 8

(9)

Dengan Chinese Remainder Theorem, langkah penyelesaian jika persamaan kongruen linier yang diketahui:

1. Dari persamaan kongruen linier 𝑎𝑥 ≡ 𝑏 (mod 𝑛), maka cari faktorisasi prima dari 𝑛, yaitu 𝑛 = 𝑛 ₁ 𝑛 ₂ … 𝑛 _𝑟 dengan 𝑛 _𝑖 adalah prima, 𝑖 = 1,2, … 𝑟

2. Selesaikan system 𝑎𝑎 _𝑘 ≡ 𝑏 (mod 𝑛 _𝑖 ) , 𝑘 = 1,2, … , 𝑟 . Untuk mendapatkan nilai 𝑎 _𝑖 .

3. Cari 𝑁 _𝑘 = _𝑛 ^𝑛

𝑘 dengan 𝑘 = 1,2, … , 𝑟 dan selesaikan system 𝑁 _𝑘 𝑥 _𝑘 ≡ 1 (mod 𝑛 _𝑘 ) untuk mendapatkan nilai 𝑥 _𝑘 .

4. Solusinya adalah

𝑥 ≡ (𝑎 ₁ 𝑁 ₁ 𝑥 ₁ + 𝑎 ₂ 𝑁 ₂ 𝑥 ₂ + ⋯ + 𝑎 _𝑟 𝑁 _𝑟 𝑥 _𝑟 ) (mod 𝑛)

(10)

Contoh 3: Selesaikan persamaan linier kongruen 17𝑥 ≡ 9 mod 276 dengan dua cara.

Dengan cara biasa (solusi persamaan kongruen linier),

1. 𝑝𝑝𝑏 17,276 = 1

2. Persamaan 17𝑥 ≡ 9 mod 276 ekivalen dengan 17𝑥 − 276𝑘 = 9 atau diperoleh 𝑥 =

^9+276𝑘₁₇

. Nilai 𝑘 = 2 , menyebabkan 𝑥 = 33

3. Solusinya adalah 𝑥 ≡ 33 (mod 276)

Dengan Chinese Remainder Theorem,

1. faktorisasi prima dari 276 adalah 2². 3.23. Jadi 276 = 3.4.23. Dengan demikian diperoleh 𝑛 = 276, 𝑛₁ = 3,

𝑛₂ = 4, 𝑛₃ = 23.

2. Selesaikan system 17𝑎_𝑘 ≡ 9 (mod 𝑛_𝑘) , 𝑘 = 1,2,3, yaitu system

17𝑎₁ ≡ 9 (𝑚𝑜𝑑 3) 𝑎₁ = 3 17𝑎₂ ≡ 9 (𝑚𝑜𝑑 4) Diperoleh: 𝑎₂ = 5 17𝑎₃ ≡ 9 (𝑚𝑜𝑑 23) 𝑎₃ = 10 3. Cari nilai

𝑁

_𝑘

=

_𝑛^𝑛

𝑘

dengan 𝑘 = 1,2,

3, yaitu 𝑁₁ = _𝑛^𝑛

1 =

276

3 = 92; 𝑁₂ = ^𝑛

𝑛₂ = ²⁷⁶

4 = 69; 𝑁₃ = ^𝑛

𝑛₃ = ²⁷⁶

23 = 12.

Selesaikan system

𝑁

_𝑘

𝑥

_𝑘

≡ 1 (mod 𝑛

_𝑘

)

, yaitu:

92𝑥₁ ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 3) 𝑥₁ = 2 69𝑥₂ ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 4) Diperoleh 𝑥₂ = 1 12𝑥₃ ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 23) 𝑥₃ = 2 4. Solusinya adalah

𝑥 ≡ (𝑎₁𝑁₁𝑥₁ + 𝑎₂𝑁₂𝑥₂ + 𝑎₃𝑁₃𝑥₃) (mod 𝑛) 𝑥 ≡ (3.92.2 + 5.69.1 + 10.12.2)(mod 276) 𝑥 ≡ 1137 (mod 276)

𝑥 ≡ 33 (mod 276)

(11)

Contoh 4: Selesaikan persamaan linier kongruen 13𝑥 ≡ 1 mod 70 dengan dua cara.

Dengan cara biasa (solusi persamaan kongruen linier),

1. 𝑝𝑝𝑏 13,70 = 1

2. Persamaan 13𝑥 ≡

1 mod 70 ekivalen dengan 13𝑥 − 70𝑘 = 1 atau diperoleh 𝑥 =

^1+70𝑘₁₃

. Nilai 𝑘 = 5 , menyebabkan 𝑥 = 27

3. Solusinya adalah

𝑥 ≡ 27 (mod 70)

Dengan Chinese Remainder Theorem,

1. faktorisasi prima dari 70 adalah 2.5.7. Jadi 70 = 2.5.7.

Dengan demikian diperoleh 𝑛 = 70, 𝑛

₁

= 2, 𝑛

₂

= 5, 𝑛

₃

= 7.

2. Selesaikan system 13𝑎

_𝑘

≡ 1 (mod 𝑛

_𝑘

) , 𝑘 = 1,2,3, yaitu system

13𝑎

₁

≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 2) 𝑎

₁

= 1 13𝑎

₂

≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 5) Diperoleh: 𝑎

₂

= 2 13𝑎

₃

≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 7) 𝑎

₃

= 6 3. Cari nilai

^𝑁𝑘 = _𝑛^𝑛

𝑘

dengan

𝑘 = 1,2,3

, yaitu

^𝑁1 = _𝑛^𝑛

1 = ⁷⁰₂ = 35; 𝑁₂ = ^𝑛

𝑛₂ = ⁷⁰

5 = 14; 𝑁₃ = ^𝑛

𝑛₃ = ⁷⁰

7 = 10.

Selesaikan system

𝑁_𝑘𝑥_𝑘 ≡ 1 (mod 𝑛_𝑘),

yaitu:

35𝑥₁ ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 2) 𝑥₁ = 1

14𝑥₂ ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 5) Diperoleh 𝑥₂ = 4

10𝑥₃ ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 7) 𝑥₃ = 5

4. Solusinya adalah

𝑥 ≡ (𝑎

₁

𝑁

₁

𝑥

₁

+ 𝑎

₂

𝑁

₂

𝑥

₂

+ 𝑎

₃

𝑁

₃

𝑥

₃

) (mod 𝑛) 𝑥 ≡ (1.35.2 + 2.14.4 + 6.10.5)(mod 70) 𝑥 ≡ 447 (mod 70)

𝑥 ≡ 27 (mod 70)

(12)

Solusi Sistem Kongruen Linier dengan dua Variabel

Definisi

Persamaan kongruen linier dengan dua variabel adalah persamaan dalam bentuk 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≡ 𝑐 mod 𝑛 , dengan 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ.

Teorema 4.9

Sistem kongruen linier

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≡ 𝑟 mod 𝑛 c𝑥 + 𝑑𝑦 ≡ 𝑠 mod 𝑛

mempunyai solusi tunggal modulo 𝑛 jika 𝑝𝑝𝑏 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐, 𝑛 = 1

(13)

Bukti Teorema 4.9

Diketahui system kongruen linier 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≡ 𝑟 mod 𝑛

c𝑥 + 𝑑𝑦 ≡ 𝑠 mod 𝑛

Dengan 𝑝𝑝𝑏 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐, 𝑛 = 1.

Akan dibuktikan system ini mempunyai solusi tunggal modulo 𝑛.

Misalkan

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≡ 𝑟 mod 𝑛 … (1) c𝑥 + 𝑑𝑦 ≡ 𝑠 mod 𝑛 … (2)

Kalikan persamaan (1) dengan 𝑑, dan persamaan (2) dengan 𝑏, maka diperoleh

𝑑(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) ≡ 𝑑𝑟 mod 𝑛 … (1′) 𝑏(c𝑥 + 𝑑𝑦) ≡ 𝑏𝑠 mod 𝑛 … (2′)

Jika pers (1′) dikurangkan dengan pers (2′) maka diperoleh

𝑑𝑎𝑥 − 𝑏𝑐𝑥 ≡ 𝑑𝑟 − 𝑏𝑠 (mod 𝑛) atau 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑥 ≡ 𝑑𝑟 − 𝑏𝑠 (mod 𝑛) … (3) Oleh karena 𝑝𝑝𝑏 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐, 𝑛 = 1, maka dijamin bahwa 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑧 ≡ 1 (mod 𝑛) mempunyai solusi tunggal; misalkan solusi tersebut adalah 𝑡.

Jika persamaan (3) dikalikan dengan 𝑡, diperoleh 𝑥 ≡ 𝑡 𝑑𝑟 − 𝑏𝑠 (mod 𝑛).

Dengan cara yang sama dapat dicari nilai 𝑦, yaitu Kalikan persamaan (1) dengan 𝑐, dan persamaan (2) dengan 𝑎, maka diperoleh

𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) ≡ 𝑐𝑟 mod 𝑛 … (1′′) 𝑎(c𝑥 + 𝑑𝑦) ≡ 𝑎𝑠 mod 𝑛 … (2′′)

Jika pers (1′′) dikurangkan dengan pers (2′′) maka diperoleh

𝑐𝑎𝑥 − 𝑏𝑐𝑦 ≡ 𝑎𝑠 − 𝑐𝑟 (mod 𝑛) atau 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑦 ≡ (𝑎𝑠 − 𝑐𝑟)(mod 𝑛) … (3′)

Oleh karena 𝑝𝑝𝑏 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐, 𝑛 = 1, maka dijamin bahwa 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑧 ≡ 1 (mod 𝑛) mempunyai solusi tunggal; misalkan solusi tersebut adalah 𝑡′.

Jika persamaan (3′) dikalikan dengan 𝑡′, diperoleh 𝑦 ≡ 𝑡′ 𝑎𝑠 − 𝑐𝑟 (mod 𝑛).

(14)

Contoh

Carilah solusi untuk sitem kongruen linier:

7𝑥 + 3𝑦 ≡ 10 mod 16 … (1) 2𝑥 + 5𝑦 ≡ 9 mod 16 … (2) Penyelsaian

Dari system tersebut diperoleh 𝑎 = 7, 𝑏 = 3, 𝑐 = 2, 𝑑 = 5, 𝑟 = 10, 𝑠 = 9 dan 𝑛 = 16

Perhatikan bahwa 𝑝𝑝𝑏 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐, 𝑛 = 𝑝𝑝𝑏 7.5 − 3.2,16 = 𝑝𝑝𝑏 29,16 = 1, maka system ini punya solusi.

Kemudian dengan metode eliminasi, untuk mencari nilai 𝑥:

Dengan solusi untuk persamaan kongruen linier,

29𝑥 ≡ 23 (𝑚𝑜𝑑 16) ekivalen dengan 29𝑥 − 16𝑘 = 23 atau 𝑥 = ^23+16𝑘₂₉ . Nilai 𝑘 = 4 menyebabkan 𝑥 = 3. Jadi solusi untuk 29𝑥 ≡ 23 (mod 16) adalah 𝑥 ≡ 3 (mod 16)

Mencari nilai 𝑦

Persamaan 29𝑦 ≡ 43 (𝑚𝑜𝑑 16) ekivalen dengan 29𝑦 − 16𝑘 = 43 atau 𝑥 = ^43+16𝑘₂₉ . Nilai 𝑘 = 10 menyebabkan nilai 𝑥 = 7. Jadi solusi untuk 29𝑦 ≡ 43 (mod 16) adalah 𝑦 ≡ 7 (mod 16).

Jadi solusi untuk system adalah

𝑥 ≡ 3 (mod 16) 𝑦 ≡ 7 (mod 16)

(15)

Latihan

1. Carilah solusi untuk system 𝑥 ≡ 5 mod 11

𝑥 ≡ 14 (mod 29) 𝑥 ≡ 15 (mod 31)

2. Selesaikan dengan 2 cara (solusi persamaan kongruen linier dan Chinese Remainder Theorem) persamaan 17𝑥 ≡ 3 mod 210 .

3. Carilah solusi untuk system 3𝑥 + 4𝑦 ≡ 5 mod 13 2𝑥 + 5𝑦 ≡ 7 mod 13

2/5/2014 selesai 4 Mei 2014 15

Pengantar Teori Bilangan. Kuliah 10