N r< Z f-a. H(n. frl. r- rt. o 6I. :tt. cfl. t{ rt. H o ',O. c.l. =?B ::x. .c ts F.;: A * =,b0 '00. o f. frl 1..

N

@N

NN d;aa

o6 f-N^.ON

b0b0 a.F_OOb0b0

F );EFb0O^1...

N

!E

J

V

€

a

frlo- l<O NN€c.liZ)€i',O

z

N

1..Z oooOo^b0 ctrZ) 6)oof zoG6^b0b0o .;:-_'00=,b0Fb0o6^b0

O: =?B::xv--:::. ln-,(-oRtvA*.ctsF1LVA*oRLV-t\

N r< o 6I V frl H (n Z

f-a

(n ^r-

rt

H

o "a :tt Z t{ rt f,

cflE

t) w

I PUTU WINADA GAUTAMA, S.Si.,M.Sc.

Model Penyebaran Penyakit Demam Dengue dengan Laju Insidensi Nonlinear

I.P.W. Gautama

Denpasar 21 Oktober 2017

Latar Belakang

Ada 4 jenis virus dengue

Model matematika Infeksi Virus dengue

Fakta-fakta di dunia

Siklus Demam dengue

Infeksi Virus Dengue

Tidak menimbulkan Gejala

Menimbulkan Gejala (4-6 hari setelah

gigitan)

Demam tidak spesifik:

Tidak khas, karena dapat terjadi pada penyakit lain, misal : demam pada pilek

Demam Dengue Ciri :

Demam tinggi

mendadak 2-7 hari, setelah gigitan

nyamuk gejala penyerta:

Mual,nyeri

otot,nyeri kepala Nyeri perut

Pendarahan (bintik merah di kulit)

Demam Berdarah dengue

Ciri :

Adanya kebocoran cairan darah pada

pembuluh darah yang menyebabkan

darah mengantal.

Bila tidak tertangani : KEMATIAN Walaupun terinfeksi

Virus Dengue, Penderita tidak akan sakit karena

faktor imunitas

4 Jenis Virus Dengue

4 jenis virus dengue

DEN- 1,Ditemukan , menjangkit di Kepulaian Pasifik

DEN-2,Historis : serotype virus

yang lazim di Asia Tenggara

DEN-3, Ditemukan di

kepulauan Karibia DEN-4

Fakta

Kota-kota Asia yang ditandai dengan sanitasi yang buruk, tempat penyimpanan air yang kurang terawat dan kesesakan oleh padatnya populasi manusia, menciptakan kondisi yang kondusif untuk perkembangbiakan nyamuk A. aegypti. Diperkirakan bahwa 50-100 juta kasus demam berdarah, 500.000 kasus Dengue Shock Syndrome dan lebih dari 20.000 kematian terjadi setiap tahun. Laporan terakhir sebesar 90 % dari anak-anak dibawah usia15 tahun yang menderita demam dengue maupun demam berdarah

Sumber :(http://www.who.int/biologicals/areas /vaccines /dengue/en).

Siklus Penyakit Demam Dengue pada Manusia

Infeksi Virs Dengue

Masa akut (hari 1,2,3)

Masa Kritis ( Hari 4,5,6 )

Masa Pemulihan

(Hari 7,8) Mulai muncul

gejala-gejala.

Demam 2 hari pertama dapat

dipastikan sebagai Demam Dengue dengan

melakukan pemeriksaan di

Laboratorium

Suhu tubuh mulai turun, jumlah trombosit turun

dan darah mengental.

Dikatakan kritis karena dapat

terjadi pendarahan

Laju Kejadian

• Misalkan tingkat kontak dari infeksi adalah

• Peluang terjadinya infeksi oleh setiap kontak adalah

• tingkat kontak yang memadai (adequate contact rate) yang menjelaskan kekuatan infeksi dari infektif dan biasanya bergantung pada racun dari virus atau bakteri dan situasi lingkungan

• proporsi individu rentan dalam sebuah populasi adalah

• Laju insidensi yang memadai dari individu yang terinfeksi dengan individu rentan adalah

• total infektif baru yang terinfeksi oleh individu-individu dalam kelas

terinfeksi per unit waktu t (laju insdensi ) adalah

 

U N



0

 

0

U N

 / S N

0

U N S N   /



0

U N SI N   /



Bilinear : Jika

Maka dengan

 

U N kN

SI   ₀k

Standar : jika Maka

 

^'

U N  k /

SI N

: mencegah ketidakterbatasan tingkat kontak karena proporsi infektif dalam suatu populasi sangat tinggi sehingga terjadi kesesakan

Dietz (1982) -> tingkat

kontak :

 

^{/ 1}

 

U N N N

Capasso dan Serio (1978) ->

Tingkat kejadian (saturation)

 

,

g I S

 

1 g I I

I



 



Masalah

Bagaimana model

matematika penyebaran penyakit demam dengue dengan laju insidensi nonlinear

Bagaimana titik ekuilibrium dan stabilitas titik ekuilibrium pada model matematika penyebaran penyakit demam dengue dengan laju insidensi nonlinear

Tujuan Penelitian

• Membentuk model matematika penyebaran penyakit demam dengue dengan laju insidensi nonlinear

• Menentukan titik ekuilibrium dan stabilitas titik ekuilibrium pada model model matematika penyebaran penyakit demam dengue dengan laju insidensi nonlinear

• Menampilkan simulasi numerik dari model yang dibahas.

Manfaat Penelitian

Secara umum, manfaat dari penelitian ini adalah memberikan

kontribusi bagi perkembangan ilmu pengetahuan dan menambah

wawasan pengetahuan serta sains dalam bidang matematika terapan

terutama dalam bidang biomatematika. Secara khusus penelitian ini

memberikan gambaran tentang model penyebaran penyakit demam

dengue dengan laju insidensi penyakit, yaitu laju insidensi jenuh pada

populasi manusia dan laju insidensi bilinear pada populasi nyamuk

Tinjauan Pustaka

Alat/Kajian dipakai Penelitian Ilmuan

Fakta

Dalam 40 tahun terakhir, penyakit Demam dengue, demam berdarah dan Dengue Shock Syndrome (DSS), telah menjadi

masalah yang serius pada kesehatan masyarakat, terutama di Asia Tenggara

Konsep Persamaan diferensial dipakai untuk mendiiskripsikan model

Anton (2005) polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari suatu matriks persegi.

Olders (1194) kestabilan titik ekuilibrium ditinjau berdasarkan nilai eigen matriks Jacobian. Sebagai alternatif untuk menentukan tanda bagian real dari nilai eigen suatu matriks digunakan kriteria Routh Hurwitz yang dibahas oleh Hanh (1967). Wiggins (2000) menyatakan bahwa menentukan stabilitas global dari titik ekuilibrium dengan membangun fungsi Lyapunov.

• Z. Ma, Y. Zhou, W. Wang, Z. Jin (2004) menyatakan bahwa dalam pemodelan penyakit menular secara umum, tingkat kejadian (incidence rate) dianggap memainkan peran kunci yang memberikan gambaran kualitatif yang wajar dari dinamika penyakit.

• Tingkat kejadian jenuh (saturation incidence) disajikan oleh C. Liming, G.

Shumin, L. Xue Zhi, G. Mini (2009).

Sebelumnya Capasso dan Serio (1978) menggunakan tingkat kejadian jenuh dari bentuk βSI/( 1 + αI) , untuk α > 0

• Pongsumpun (2008) membahas model matematika penyakit dengue dengan periode inkubasi, dimana kelas laten (exposed) dihadirkan pada populasi manusia dan populasi nyamuk

Metode Penelitian & Sistematika Penulisan

Penelitian ini dimulai dengan membuat beberapa asumsi berdasarkan referensi yang terkait dengan tujuan untuk membatasi masalah yang akan dimodelkan, selain itu masalah yang akah dibahas akan semakin jelas.

Selanjutnya adalah mencari titik ekuilibrium dari persamaan tersebut. Sehingga diperoleh titik ekuilibrium bebas infeksi dan titik ekuilibrium endemik. Titik ekuilibrium yang diperoleh akan diselidiki kestabilannya. Kestabilan lokal dari titik ekuilibrium diperoleh dengan menggunakan matriks Jacobian, sedangkan kestabilan global dari titik ekuilibrium diperoleh dengan salah satunya menggunakan fungsi Lyapunov. Langkah terakhir adalah melakukan simulasi numerik dengan bantuan program MATLAB dari model dengan menggunakan parameter-parameter berdasakan jurnal acuan.

DASAR TEORI

• Konsep Dasar dari Dinamika Epidemiologi

• Fungsi Diferensiabel Kontinu

• Sistem Persamaan Diferensial Biasa

• Bilangan Reproduksi Dasar

• Analisis Kestabilan Lokal Solusi Ekuilibrium -Matriks Jacobian

-Tes Routh Hurwitz

• Analisis Kestabilan Global Solusi Ekuilibrium

Model Penyebaran Penyakit Demam Dengue dengan Laju Insidensi Nonlinear

r

Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam

dengue dengan laju kejadian nonlinear

• Lemma 3.2.3 Himpunan Ω = ሼ 𝑆

_𝐻

, 𝐸

_𝐻

, 𝐼

_𝐻

, 𝐸

_𝑉

, 𝐼

_𝑉

∈

Eksistensi Titik Ekuilibrium

Teorema 3.3.1 Diberikan

1. Jika , maka Sistem (3.2.30) mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit 2. Jika , maka Sistem (3.2.30) mempunyai titik ekuilibrium endemik

• Titik ekuilibrium diperoleh ketika dan .

Titik ekuilibrium ini menggambarkan kondisi individu manusia dan nyamuk yang terinfeksi oleh salah satu serotipe virus dengue yang pertama dan tidak terjadinya infeksi setelah infeksi yang pertama. Titik ekuilibrium ini kemudian dikenal dengan titik ekuilibrium bebas penyakit.

• Titik ekuilibrium menggambarkan kondisi individu manusia dan nyamuk yang terinfeksi salah satu serotipe virus dengue yang pertama dan individu yang terinfeksi virus dengue yang kedua ada dalam populasi. Titik ekuilibrium ini disebut juga titik ekuilibrium endemik.

   

2

0 2

V H H V

H H H V V V

b AK

R    r

      



 

1 , 0, 0, 0, 0 E  K



^{* * * * *}



2 S ,_{H H}, _H, _V, _V E  E I E I

0 1

R 

0 1 R 

 

1 , 0, 0, 0, 0

E  K ^{I }_V ⁰ R ₀ 1



^{* * * * *}



2 S ,_{H H}, _H, _V, _V E  E I E I

Bilangan Reproduksi Dasar

Untuk menghitung bilangan reproduksi dasar pada Sistem (3.2.30) dengan menggunakan metode next generation matrix yang diperkenalkan oleh den Driessche dan Watmough

Diperoleh bilangan reproduksi dasar adalah

Dengan kata lain, suatu individu atau nyamuk yang telah terinfeksi dan memiliki kemampuan untuk menularkan virus dengue selama masa infeksinya akan dapat menularkan virus dengue kepada individu/nyamuk yang rentan tertular penyakit dengan angka rata-rata sebesar

   

²

1 2

0 4

H V H V

H H H V V V

b AK

R maks

r

   

     

 

 

  

  

 

 

   

2

2 1

4 H V H V

H H H V V V

b AK

maks r

   

     

 

 

    

 

 

Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium

Teorema 3.5.1.1 Diberikan

• 1. Jika , maka titik ekuilibrium bebas penyakit dari Sistem (3.2.30) stabil asimtotik lokal.

• 2. Jika , maka titik ekuilibrium bebas penyakit dari Sistem (3.2.30) tidak stabil.

• 3. Diberikan

seperti pada Lampiran 7. Jika titik ekuilibrium

endemik dari Sistem (3.2.30) ada,

, , dan

maka titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal.

0

1

R 

   

2

0 2

V H H V

H H H V V V

b AK

R    r

     



 

1 , 0, 0, 0, 0 E  K

0 1

R 

 

1 , 0, 0, 0, 0 E  K

1

,

2

,

3

,

4

,

5

a a a a a



^{* * * * *}



2 _H , _H , _H , _V, _V E  S E I E I

4 0

5 0 a 

a  ^{a a a}_{1 2 3} ^{a a a}_{0 1 5} ^{a a}₁² ₄ ^{a a}_{0 3}^{2  0 a4}



^{a a a1 2 3  a a a0 1 5 a a12 4 a a0 32}





^{2 2}



5 1 2 0 5 0 1 4 0 2 3 0

a a a a a a a a a a a

    

Intepretasi

• Hal ini berarti jika nilai parameter ambang batas kurang dari atau sama dengan satu dan populasi manusia dan nyamuk memiliki jumlah individu yang cukup dekat dengan jumlah individu pada titik ekuillibrium bebas penyakit, maka jumlah individu di dalam populasi manusia maupun nyamuk akan menuju jumlah individu pada titik ekuilibrium bebas penyakit. Jumlah individu maupun nyamuk yang terinfeksi berkurang dan akan menuju 0 sehingga penyakit tidak menyebar di dalam populasi manusia maupun nyamuk. Jika nilai parameter ambang batas >1, maka akan memunculkan fenomena dimana penyakit akan tetap beredar pada populasi manusia maupun nyamuk walaupun populasi memiliki jumlah individu dan nyamuk yang dekat dengan individu dan nyamuk pada titik ekuilibrium bebas penyakit

• Dengan kata lain, jika kondisi , , , dan terpenuhi dan suatu populasi memiliki jumlah individu yang cukup dekat dengan jumlah individu pada titik ekuilibrium endemik, maka dengan berjalannya waktu jumlah individu dalam populasi tersebut akan mendekati jumlah individu pada titik ekuilibrium endemik.

Hal tersebut mengakibatkan penyakit akan tetap ada di dalam suatu populasi.

Ro

4 0

a  a ₅ 0  ₃ 0  ₄ 0

Kestabilan Global Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit

dengan menggunakan fungsi berikut

dan teorema berikut, dibahas kestabilan global titik ekuilibrium endemik

Teorema 3.5.2.1 Asumsikan

Jika , maka titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik global pada Ω.

V H

V

b  A

 ^ 

*

1

H H V

V

b S I

 

 



0

1

R 

 

1

, 0, 0, 0, 0 E  K



H ^, H ^, H^, V^, V



H H^* H^{* ln H*} H H V V H

V S E I E I S S S S E I E I

S

 

      

 

Diperoleh jika dalam daerah . Kemudian diperoleh himpunan bagian dari , dimana himpunan bagian tersebut memuat anggota-anggota yang menyebabkan .Dapat diperhatikan bahwa hanya dipenuhi oleh . Oleh karena itu himpunan merupakan himpunan invarian terbesar dalam

𝐻 = 𝑆

_𝐻

, 𝐸

_𝐻

, 𝐼

_𝐻

𝐸

_𝑉

, 𝐼

_𝑉

| ሶ𝑉 𝑆

_𝐻

, 𝐸

_𝐻

, 𝐼

_𝐻

𝐸

_𝑉

, 𝐼

_𝑉

= 0 . Oleh karena himpunan H tidak memuat solusi kecuali titik ekuilibrium maka setiap solusi menuju untuk t menuju tak hingga. Karena stabil asimtotik lokal dan setiap solusi dalam Ω menuju untuk t menuju tak hingga maka stabil asimtotik global. Jadi dari Akibat (2.6.9), titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik global.

 ^

E

1

0

V 

R 

₀

1

0 0 V 

V 

E

1

Diagram antara variabel

0.75, 0.1667, 0.147

H H V

     

, 

_V

 1

, b  ˆ 0.5

3500, 0.125, K  r 

0.0000391,



H



V 0.02





*

SH E^*_H I_H^* E_V^* I_V^* R₀

H 0.75

  0.1667

H 

0.147

V 

V 1

 

ˆ 0.5 b  200000

K 

0.125

r  A 100 0.0000391

H 

0.0287

V 

0 0.7614 1

R  

0.0000391

H 

0.0287

V 

H 0.75

  0.1667

H 

0.147

V 

V 1

 

ˆ 0.5 b  400000 K 

10 5

  ^ 0.125

r  1100 A 

0 4.1876 1

R  