Penggunaan
Vedics Mathematics
Dalam Operasi
Pemangkatan Bilangan
Dewi Murni
1), Vivi Angriani
2)Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Padang 1) Dosen Jurusan Matematika FMIPA UNP 2)Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UNP
Email : dewimunp@gmail.com
Abstrak, Menentukan hasil pemangkatan suatu bilangan biasanya memerlukan proses yang cukup panjang apalagi jika bilangan itu adalah bilangan yang cukup besar. Penelitian ini bertujuan membahas proses mendapatkan formula menentukan pangkat bilangan menggunakan Vedics Mathematic, sehingga proses menjadi relatif pendek. Penelitian ini merupakan penelitian dasar. Hasil dari penelitian ini adalah :(1) Untuk kuadrat bilangan c yang mendekati 10, 100, 1000,…(dari kanan) didapat rumus c2
= [p ( c + )- [a2], (2) Untuk kuadrat bilangan c yang mendekati 10, 100, 1000,…(dari kiri) didapat rumus c2 = [p ( c - )- [a2]; (3) Untuk pangkat tiga bilangan yang dekat ke 10,100,1000,. . .(dari kanan) diperoleh rumus : c3=[(c+2a) p2] [3a2.p] [a3](4) Untuk pangkat tiga bilangan yang dekat ke 10,100,1000,. . .(dari kiri) diperoleh rumus : c3 =[(c-2a) p2] [3a2.p] [a3]
Kata kunci: Pemangkatan bilangan, Vedics Mathematic
PENDAHULUAN
Menentukan hasil pangkat suatu bilangan biasanya dilakukan dengan cara mengalikan bilangan tersebut berulang kali sebanyak bilangan pangkatnya. Untuk bilangan yang lebih kecil dari atau sama dengan 10 maka mudah menentukan hasil pangkatnya. Jika bilangan tersebut adalah lebih besar dari 10 maka proses penyelesaiannya lebih panjang dan membutuhkan waktu yang cukup lama untuk mendapatkan hasilnya. Salah satu cara untuk mengatasi masalah tersebut adalah Vedics Mathematics. Vedics Mathematics adalah suatu sistem penyelesaian permasalahan matematika yang bersumberkan dari veda yang diprakarsai oleh Sri Bharati Krisna Tirthaji. Penelitian ini bertujuan menentukan: (1) kuadrat dari bilangan yang dekat kepada kelipatan 10 dan kelipatan 100 (2) pangkat tiga dari bilangan yang dekat kepada kelipatan 10
dan kelipatan 100. Terdapat sutra-sutra dalam Vedics Mathematicsyang dapat digunakan menentukan pangkat bilangan. Menurut Maharaja (1965) terdapat beberapa sutra yang dapat digunakan untuk menentukan kuadrat bilangan, yaitu Sutra by one more than one before dan Sutra by deficiency. Selanjutnya Aryavarta (2002) mengemukakan Sutra Whatever the Deficiency lessen by that Amount and Set up the Square of the Deficiency dapat digunakan untuk menentukan kuadrat dari bilangan yang dekat ke 10, 100,1000 dan seterusnya. Jika sutra ini dikombinasikan dengan Sutra proortionately, maka sutra ini dapat digunakan untuk menentukan kuadrat dari bilangan yang mendekati kelipatan 10 yaitu: dekat 10, 20, 30, ... dan bilangan mendekati 100, 200, 300, ...dan seterusnya. Sedangkan untuk pangkat tiga bilangan, yaitu: Sutra by the deficiency dan Sutra proportionately.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan penelitian dasar. Metode yang digunakan adalah studi literatur dengan analisa teori yang relevan dengan permasalahan yang dibahas dan berlandaskan pada studi kepustakaan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
a. Kuadrat Bilangan Bulat Mendekati Kelipatan 10 (dari kiri). Menggunakan prinsip dari Sutra Whatever the Deficiency Lessen by that Amount and Set up the Square of the Deficiency yaitu dengan memperhatikan selisih bilangan tersebut dengan kelipatan 10. Prinsip kerja : Misalkan bilangan yang akan dikuaratkan adalah c, dimana c adalah bilangan bulat yang kurang dari kelipatan 10. Bilangan c dapat ditulis sebagai c = p0 – a, dimana a dan p adalah bilangan bulat dg , dan p lambang koefisien puluhan yang didekati c, a adalah selisih c dengan bilangan puluhan. Contoh: 38 = 40-2, dimana c= 38, p=4 dan a=2.
Dengan memanfaatkan aturan Vedics Mathematics diperoleh rumus untuk kuadrat bilangan kelipatan 10 (dari kiri) adalah:
Contoh : 782 = [76x8] [22] = [608] [4] = 6084
Dalam proses biasa untuk mendapatkan 782 terdapat 4 buah perkalian sedangkan menggunakan prinsip Vedics Mathematics menjadi hanya satu buah perkalian.Dalam proses biasa untuk mendapatkan 782 terdapat 4 buah perkalian sedangkan menggunakan prinsip Vedics Mathematics menjadi hanya satu buah perkalian. Pemangkatan bilangan dengan menggunakan Vedics Mathematics mengasumsikan kemampuan menghitung hasil kuadrat dan hasil pangkat tigadari
bilangan yang lebih kecil atau sama dengan 10 sudah dimiliki.
Bukti Rumus: Pandang :c2= [p0 – a]2 = (p0)2 – 2 (p0)a + a2 =(p0)[p0 – 2a] + a2 = (p0)[(p0 – a) - a] + a2 =(p0)[c – a] + a2 =[(c-a)p] [a2] I II
Keterangan: Kurung siku I : merupakan tempat puluhan
Kurung siku II: merupakan tempat satuan
b. Kuadrat Bilangan yang MendekatiKelipatan 10 (dari kanan)Misalkan bilangan yang akan dikuadratkan adalah c, dimana c merupakan bilangan bulat yang lebih dari kelipatan 10. Misalkan a adalah selisih c dengan bilangan kelipatan sepuluh, dimana 1 a
Setiap bilangan c selalu dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan bilangan puluhan dan bilangan satuan, sehingga : c = p0 + a, dimana p0 adalah bilangan bulat kelipatan 10 yang dekat ke c dan 1 p
Dengan memanfaatkan aturan vedics diperoleh rumus untuk kuadrat bilangan kelipatan 10 (dari kanan) adalah:
Contoh : 842 = [88. 8] [16]= [704] [16] = 7056952 = [100. 9] [25] = [900] [25] = 9025 Bukti rumus. Pandang : c2 = (p0 + a )2 = (p0 + a )(p0 + a ) = (p0)2 +2 p0.a + a2 = p0 [p0 +a +a] + a2 = [p0 (c +a)] + a2 = [(c +a) p] [ a2]
Khusus :Untuk bilangan dengan angka satuannya a=5 didapat rumus: p5 = [(p+1)p] [52].
Contoh: 652 = [6.7] [25] = 4225
c2 =[(c + a)p] [a2] c2 =[(c-a)p] [a2]
Untuk bilangan puluhan p = 5, maka c2 = [(c+a)10/2] [a2]
Contoh : 542 = [58/2] [16] = 2900 + 16 = 2916
c. Kuadrat Dari Bilangan Yang mendekati Kelipatan 100.(dari kiri). Misalkan bilangan yang akan dikuadratkan adalah c, dimana c merupakan bilangan bulat yang mendekati kelipatan 100. Misalkan a adalah selisih c dengan bilangan kelipatan seratus p, Bilangan c dapat ditulis c= poo – a. Diperoleh rumus : c2 = [(c - a) p00] +[a2] Contoh: 2072 = [214. 2] +[49] =42800 + 49 =42829 Bukti Rumus : Pandang : c2 = (p00 + a )2 = (p00 + a )(p00 + a ) = (p00)2 +2 p00.a + a2 = p00 [p00 +a +a] + a2 = [p00 (c +a)] + a2 = [(c +a) p] [ a2]
d. Kuadrat Dari Bilangan Yang Mendekati Kelipatan 100.(dari kanan). Misalkan bilangan yang akan dikuadratkan adalah c, dimana c merupakan bilangan bulat yang mendekati kelipatan 100 (dari kanan). Misalkan a adalah selisih c dengan bilangan kelipatan seratus p, Bilangan c dapat ditulis c= poo + a. Dengan cara yang sama pada bagian (c) diperoleh: c2 = [(c + a)p00] +[a2]
Contoh 326 = [352. 3] +[262] = [1056][676]
= 105600 +676 = 106276 Pandang 262 = [22 . 3] [16]
=[66] [16] = 676
1. Perkalian dua bilangan yang berbeda yang mendekati basis 10,100,1000,... a. Perkalian dua bilangan yang berbeda
yang mendekati kelipatan 10.Misalkan bilangan yang akan dikalikan adalah c1 dan c2, dimana c1 dan c2 merupakan bilangan bulat yang mendekati kelipatan 10. Misalkan a1 adalah selisih c1 dengan bilangan kelipatan 10 dan a2 adalah selisih c2 dengan
bilangan kelipatan 10, dimana 1 a1 dan 1 a2 Sehngga bilangan c1 dan c2 selalu dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan bilangan puluhan dan bilangan satuan, sehingga : c1 = p0 + a1 dan : c2 = p0 + a2, dimana p0 adalah bilangan bulat kelipatan 10 yang dekat ke c1 dan c2 dan 1 p
Untuk perkalian dua bilangan c1 dan c2 diperoleh rumus: c1 . c2 = [(p0 + a1 +
a2)p] [a1. a2]
Contoh:
1) Menentukan 42 . 46 = ? (kedua bilangan mendekat dari kanan)
Pandang 42 = 40 + 2 46 = 40 + 6 Maka : 42 . 46 = [48 . 4] +[12] = [192] +[12] = 1920+12=1932 2) Menentukan 64 . 68 = ? (kedua bilangan mendekat dari kiri)
Pandang 64 = 70 – 6 68 = 70 – 2
Maka: 64 . 68 = [62 . 7] + [12] = [434] + [12] = 4352 3) Menentukan 44 . 52 = ? (Kedua bilangan mendekat dari arah berbeda) Pandang 44 = 50 + (–6) 52 = 50 + 2 Maka : 44 . 52 = [46 . 5] + [-12] =[230] +[-12] =2300 – 12 = 2288 Bukti rumus : c1 . c2= (p0 + a1) (p0 + a2 )
= (p0)2 + p0.a1 + p0.a2 + a1. a2 = [ (p0 + a1 + a2 )p0]+ [a1. a2] = [ (p0 + a1 + a2 )p0]+ [a1. a2]
= [ (p0 + a1 + a2 )p] [a1. a2]
b. Perkalian dua bilangan yang berbeda yang mendekati kelipatan 100.Misalkan bilangan yang akan dikalikan adalah c1 dan c2, dimana c1 dan c2 merupakan bilangan bulat yang mendekati kelipatan 100. Misalkan a1 adalah selisih c1 dengan bilangan kelipatan 100 dan a2 adalah selisih c2 dengan bilangan kelipatan 100, Sehngga bilangan c1 dan c2 selalu dapat ditulis
dalam bentuk penjumlahan bilangan ratusan dan sisa, sehingga : c1 = p00 + a1 dan : c2 = p00 + a2, dimana p00 adalah bilangan bulat kelipatan 100 yang dekat ke c1 dan c2 dan 1 p Untuk perkalian dua bilangan c1 dan c2 diperoleh rumus: c1 . c2 = [(p00 + a1 +
a2)p] [a1. a2]
Contoh:
1) Menentukan 412 . 406 = ? (kedua bilangan mendekat dari kanan)
Pandang 412 = 400 + 12 406 = 400 + 6
Maka : 412 . 406 = [418 . 4] [72] = [1672] [72] = 167212
2. Pangkat tiga dari Bilangan Bulat Yang Mendekati kelipatan 10, 100, 1000, ,,, a. Pangkat tiga dari Bilangan Bulat Yang
Mendekati kelipatan 10. Misalkan bilangan yang akan dipangkattigakan adalah c, dimana c merupakan bilanga bulat yang mendekati kelipatan 10. Misalkan a adalah selisih c dengan bilangan kelipatan sepuluh, dimana 1 a Setiap bilangan c selalu dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan bilangan puluhan dan bilangan satuan, sehingga : c = p0 + a, dimana p0 adalah bilangan bulat kelpatan 10 yang dekat ke c dan 1 p
Maka diperoleh rumus
(i) c3= (p0 + a )3 = [(c+2a) p2][3a2.p] [a3]
(ii) c3 = (p0 - a )3=[(c-2a) p2][3a2.p][ -a3]
I II III
Ket. I : nilai tempat ratusan II : nilai tempat puluhan III : nilai tempat satuan
Contoh : 1) 233 = [ 20 +3]3 = [29.4] [27 . 2] [27] = [116] [54] [27] =12167 2) 273 = [30- 3]3 = [21 . 9] [ 27. 3] [-27] = [189] [81] [-27] = 18900+ 783=19683 3) 683 = (70 – 2)3 = [64 . 49] [12 . 7] [-8] = [3136] [84] [ -8] = 314432 (Pandang 64 .49 = [(60+4-11)6] [-44] = [53 . 6] [-44] = [318] [-44] = 3136) Bukti rumus: (1) c3 = (p0 + a )3 = (p0 + a ) (p0 + a ) (p0 + a ) = (p0)3 + 3 (p0)2.a + 3 p0.a2 + a3 = (p0)2 [p0 + 3a] + p0.3a2 + a3 = [ (p0+a + 2a)p200] + [3a2.p0] +a3 = [(c + 2a)p] [3a2.p] [a3] Bukti rumus: (2) c3= (p0 - a )3= (p0 - a ) (p0 - a ) (p0 - a ) = (p0)3 - 3 (p0)2.a + 3 p0.a2 - a3 = (p0)2 [p0 - 3a] + p0.3a2 - a3 = [ (p0 - a - 2a)p200] + [3a2.p0] - a3 = [(c - 2a)p2] [3a2.p] [ -a3]
b. Pangkat tiga dari Bilangan Bulat Yang Mendekati kelipatan 100. Misalkan bilangan yang akan dipangkattigakan adalah c, dimana c merupakan bilangan bulat yang mendekati kelipatan 100. Misalkan a adalah selisih c dengan bilangan kelipatan 100.Setiap bilangan c selalu dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan bilangan ratusan dan bilangan sisa, sehingga : c = p00 + a, dimana p00 adalah bilangan bulat kelipatan 100 yang dekat ke c dan 1 p
Dengan prosedur yang sama dengan bilangan mendekati kelipatan 10, maka diperoleh Rumus:
(i)c3= (p00+ a )3 = [(c+2a) p2] [3a2.p] [a3]
(ii)c3= (p00 - a )3 = [(c-2a) p2] [3a2.p] [ -a3] I II III
Ket. I : nilai tempat puluhan ribu II : nilai tempat ratusan
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan dapat diperoleh kesimpulan berikut:
1. Kuadrat Bilangan Bulat Mendekati Kelipatan 10
a. c2 = [(c - a) p0] +[a2] ( mendekat dari kiri)
b. c2 = [(c - a) p0] +[a2] (mendekat dari kanan)
2. Kuadrat Bilangan Bulat Mendekati Kelipatan 100
c. c2 = [(c - a) p00] +[a2] ( mendekat dari kiri)
d. c2 = [(c - a) p00] +[a2] (mendekat dari kanan)
3. Perkalian Bilangan bulat Berbeda Mendekati Kelipatan 10. c1 . c2 = [ (p0
+ a1 + a2 )p] [a1. a2]
4. Perkalian Bilangan bulat Berbeda Mendekati Kelipatan 100. c1 . c2 = [
(p00 + a1 + a2 )p] [a1. a2]
5. Pangkat Tiga Bilangan Bulat Mendekati Kelipatan 10.
c3= (p0 + a )3 = [(c+2a) p2] [3a2.p] [a3]
6. Pangkat Tiga Bilangan Bulat
Mendekati Kelipatan 100.c3 = (p00 + a )3 =[(c+2a) p2] [3a2.p] [a3]
DAFTAR PUSTAKA
Aryavarta, Ancienct. (2002) Yavadunam Tavadunikriya Vargamca Yojayet. http://www.class10maths.com
/vedic/indek.php. diakses 2 April2009 Glover.James T.(2003). Vedic
Mathematics For School, Delhi: Motilal Banarsidas Publishers
Maharaja,Tirthaji B.K ( 1965), Vedic Mathematics or Sixteen Simple Mathematical Formulae from The Vedas, New Delhi: Motilal Banarsidas Muhammad Rikki, (1965), Beberapa Sutra
Dalam Vedic Mathematics, Padang, FMIPA UNP
Supi Pauzi, (2008), Perpangkatan dan
Akar Bilangan,
http://aplikasi.wordpress.com/2008/06/ 06/perpangkatan dan akar bilangan,
diakses 8 April 2009
