Chap 7 Model-Gas Real dan Ekspansi Virial. 1. Ekspansi Virial 2. Gugus Mayer

Chap 7

Model-Gas Real dan

Ekspansi Virial

1. Ekspansi Virial

2. Gugus Mayer

Fungsi Partisi Kanonik Untuk Gas Dengan

Interaksi Lemah

• Misalkan terdapat interaksi (potensial) antar 2 partikel : 𝑢_𝑖𝑗, sehingga Hamiltonian system N partikel diberikan oleh:

𝐻 𝒑, 𝒓 = 1 2𝑚 ෍ 𝑗=1 𝑁 𝑝2 + ෍ 𝑖<𝑗 𝑁 ෍ 𝑗=1 𝑁 𝑢_𝑖𝑗 Dengan 𝑢_𝑖𝑗 = 𝑢 𝒓_𝒊, 𝒓_𝒋 dan 𝑝_𝑗2 = 𝑝_𝑗𝑥2 + 𝑝_𝑗𝑦2 + 𝑝_𝑗𝑧2

• Fungsi partisi kanonik klasik akan diberikan oleh:

𝑄_𝑁 𝑉, 𝑇 = 1

ℎ3𝑁𝑁! න 𝑑𝒑𝑑𝒓 𝑒

−𝛽𝐻(𝒑,𝒓)

Integral Konfigurasi

Integral di ruang momentum segera bisa dilakukan (lihat gas ideal tanpa interaksi): 1 ℎ3𝑁 න₀ ∞ 𝑑𝑁𝑝 exp − 𝛽 2𝑚 ෍ 𝑗=1 𝑁 𝑝_𝑗2 = 1 𝜆3𝑁

Dengan : 𝜆 = ℎ/ 2𝜋𝑚 𝑘𝑇. Jadi fungsi partisi kanoniknya menjadi:

𝑄_𝑁 𝑉, 𝑇 = 𝑍𝑁 𝑁! 𝜆3𝑁

Dengan Z_N adalah integral konfigurasi sbb:

𝑍_𝑁 = න𝑑𝑁𝑟 exp − 𝛽 2𝑚 ෍ 𝑗<𝑖 𝑁 ෍ 𝑖=1 𝑁 𝑢_𝑖𝑗

Integral Konfigurasi

Integral konfigurasi akan dihitung secara perturbative dengan ekspansi parameter kecil . Definisikan f_ij :

𝑓_𝑖𝑗 = 𝑒−𝛽𝑢𝑖𝑗 − 1

Maka Z_N dapat dituliskan sbg:

𝑍_𝑁 = න𝑑𝑁𝑟 ෑ 𝑖<𝑗 𝑁 ෑ 𝑗=1 𝑁 exp −𝛽𝑢_𝑖𝑗 = න𝑑𝑁𝑟 ෑ 𝑖<𝑗 𝑁 ෑ 𝑗=1 𝑁 1 + 𝑓_𝑖𝑗 Perhatikan bahwa: ෑ 𝑖<𝑗 𝑁 ෑ 𝑗=1 𝑁 1 + 𝑓_𝑖𝑗 = 1 + 𝑓₁₂ 1 + 𝑓₁₃ 1 + 𝑓₂₃ … . .

Integral Konfigurasi

ෑ 𝑖<𝑗 𝑁 ෑ 𝑗=1 𝑁 1 + 𝑓_𝑖𝑗 = 1 + ෍ 𝑖<𝑗 𝑁 ෍ 𝑗=1 𝑁 𝑓_𝑖𝑗 + ෍ 𝑖<𝑗 𝑁 ෍ 𝑗=1 𝑁 ෍ 𝑘<𝑙 𝑁 ෍ 𝑙=1 𝑁 𝑓_𝑖𝑗 𝑓_𝑘𝑙 + ⋯

Conoth untuk 3 partikel:

ෑ 𝑖<𝑗 3 ෑ 𝑗=1 3 1 + 𝑓_𝑖𝑗 = 1 + 𝑓₁₂ 1 + 𝑓₁₃ 1 + 𝑓₂₃ ෑ 𝑖<𝑗 3 ෑ 𝑗=1 3 1 + 𝑓_𝑖𝑗 = 1 + 𝑓₁₂ + 𝑓₁₃ + 𝑓₂₃ + 𝑓₁₂𝑓₁₃ + 𝑓₁₂𝑓₂₃ + 𝑓₁₃𝑓₂₃ + 𝑓₁₂𝑓₁₃ 𝑓₂₃

Integral Konfigurasi

Suku pertama : gas ideal – tak ada interaksi:

𝐼₁ = ׬_𝑉 𝑑𝑁𝑟 1 = ׬_𝑉 𝑑3𝒓₁ ׬_𝑉 𝑑3𝒓₂…׬_𝑉 𝑑3𝒓_𝑁 = 𝑉𝑁 Suku kedua : 𝐼₂ = ෍ 𝑖<𝑗 𝑁 ෍ 𝑗=1 𝑁 න 𝑉 𝑑3𝑟₁ … 𝑑3𝑟_𝑁𝑓_𝑖𝑗

Salah satu sukunya misalnya:

න 𝑉 𝑑3𝑟₁𝑑3𝑟₂𝑓₁₂ න 𝑉 𝑑3𝑟₃ … 𝑑3𝑟_𝑁 = 𝑉𝑁−2 න 𝑉 𝑑3𝑟₁𝑑3𝑟₂𝑓₁₂

Suku semacam ini untuk semua pasangan (I,j) berbeda ada sebanyak 𝑁(𝑁 − 1)/2, sehingga:

Integral Konfigurasi

𝐼₂ = 𝑁 𝑁 − 1 2 𝑉 𝑁−2 _න 𝑉 𝑑3𝑟₁𝑑3𝑟₂𝑓₁₂

Akan tetapi potensial 𝑢_𝑖𝑗 biasanya hanya bergantung jarak relative 𝑟_𝑖, 𝑟_𝑗 sehingga : න 𝑉 𝑑3𝑟₁𝑑3𝑟₂𝑓₁₂ = 𝑉 න 𝑉 𝑑3𝑟 𝑓(𝑟) Dan 𝐼₂ = 𝑁 𝑁 − 1 2 𝑉 𝑁−1 _න 𝑉 𝑑3𝑟 𝑓(𝑟)

Fungsi Partisi Kanonik

Pada umumnya potensial interaksi hanya bergantung jarak r_i dan r_j bukan pada posisi absolutnya, sehingga:

𝑍_𝑁 = 𝑉𝑁 + 𝑁 𝑁 − 1 2 𝑉 𝑁−1 _න 0 ∞ 4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟 + ⋯ .

Dan fungsi partisi kanoniknya dapat dinyatakan sbg:

𝑄_𝑁 𝑉, 𝑇 = 𝑍𝑁 𝜆3𝑁𝑁! = 𝑉𝑁 𝜆3𝑁𝑁! (1 + 𝛼 𝑇 + … ) Dengan 𝛼 = 𝑁 𝑁 − 1 2𝑉 න 0 ∞ 4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟

Fungsi Energi Bebas Helmhotz

Seperti biasa berbagai hubungan thermodinamika bisa didapatkan melalui ungkapan energy bebas Helmhotz:

𝐴 = −𝑘𝑇 ln 𝑄_𝑁 = −𝑘𝑇 ln 𝑉 𝑁 𝜆3𝑁𝑁! 1 + 𝛼 𝑇 + ⋯ . 𝐴 = −𝑘𝑇 ln 𝑉 𝑁 𝜆3𝑁𝑁! − 𝑘𝑇 ln 1 + 𝛼 𝑇 + ⋯ .

Untuk 𝛼 kecil maka ln 1 + 𝛼 ≈ 𝛼 sehingga :

𝐴 ≈ −𝑘𝑇 ln 𝑉

𝑁

Persamaan Keadaan Gas Real

Persamaan keadaan dapat diperoleh melalui hubungan:

𝑃 = − 𝜕𝐴 𝜕𝑉 𝑁,𝑇 = 𝑁𝑘𝑇 𝑉 − 𝑘𝑇 𝜕𝛼 𝜕V + . . 𝜕 𝜕𝑉 𝑁 𝑁 − 1 2𝑉 න 0 ∞ 4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟 = −𝑁 𝑁 − 1 2𝑉2 න 0 ∞ 4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟

Dengan aprosimasi 𝑁 𝑁 − 1 ≈ 𝑁2 dan definisi 𝑛 = 𝑁

𝑉, maka 𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 1 + 1 2𝑛 න 0 ∞ 4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟 + ⋯

Persamaan Keadaan Gas Real- Ekspansi Virial

𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 1 + 𝑛𝐴₂ 𝑇 + 𝑛2𝐴₃ 𝑇 + ⋯

Dimana 𝐴₂(𝑇) dikenal sebagai koefisien virial kedua :

𝐴₂ 𝑇 = 2𝜋 න

0 ∞

𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟

• Secara teknis, persoalan menjadi, bagaimana cara mencari koefisien-koefisien virial untuk mendapatkan hasil yg lebih teliti, bilamana model potensial interaksi antar partikel

Potensial Bola Keras (Hard Sphere)

Model potensial Hard-Sphere dg jari-jari a: Sehingga:

Jadi koefisien virial kedua:

𝐴₂ 𝑇 = −2𝜋 න 0 𝑎 𝑟2𝑑𝑟 = − 2 3 𝜋𝑎 3 𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 1 − 2 3 𝑛𝜋𝑎 3 _{+ ⋯ → 𝑃𝑉 = 𝑁𝑘𝑇{1 −} 2𝑁 3𝑉 𝜋𝑎 3 _{+ ⋯ . }}       = a r a r r u 0 ) ( U(r) r      − = − = − a r a r e r f u r 0 1 1 ) (  ( )

Bagaimana merumuskan dan mencari koefisien virial orde-orde berikutnya??

Linked-Cluster Expansions

–

Gugus Mayer

Telah didemonstrasikan kebutuhan untuk secara sistematis mendapatkan suku-suku koreksi pada fungsi partisi atau

persamaan keadaan. Sepasang suami istri Mayer menemukan cara mengasosiasikan suku-suku koreksi dengan sekumpulan grafik yg khas .

Kita mulai dari integral konfigurasi:

      + + + =







    i j i kl k l k ij i j i ij N dr f f f Z 1

Linked-Cluster Expansions

–

Gugus Mayer

Gambar disamping mengilustrasikan berbagai suku-suku:

Biru : suku-suku f_ij merah f_ijf_kl kuning f_ijf_klf_mn , misal

Misal suku f_8b f_ab f_9a dan f₂₃ f₄₇ f₅₆

Jadi tiap garis menghubungkan 2 vertex melambangkan f_ij 2 3 4 5 8 9 b a 7 6

Linked-Cluster Expansions

–

Gugus Mayer

Jadi ekspansi berbagai suku terasosiasi dengan berbagai grafik connected maupun disconnected. Tetapi semua grafik

disconnected bisa dinyatakan dengan grafik connected. Berikut contoh beberapa

gambar-gambar grafik yg terkait dengan suku-suku tertentu: (contoh-contoh)

f_ij

f_ijf_kl f_ijf_klf_mn

Semua bisa dinyatakan sebagai jumlah

connected-graph (gugus) saja

Linked-Cluster Expansions

–

Gugus Mayer

Dapat dibuktikan bahwa fungsi partisi grand kanonik dapat dituliskan sbg: ln 𝜁 = 𝑉 𝜆3 ෍ 𝑘 ∞ 𝑧𝑘𝑏_𝑘

Dengann z : fugacity, dan b_k dihitung berdasarkan linked-cluster (gugus) sbb:

𝑏_𝑘 𝑉, 𝑇 = 1

𝑘! 𝜆3(𝑘−1)𝑉 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑔𝑢𝑔𝑢𝑠 − 𝑘 𝑦𝑔 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑎𝑡

Gugus –k adalah connected-graph dengan k-titik atau vertex. Contoh: _{ } 1 1 1 ! 1 1 1 3 0 ) 1 1 ( 3 1 = ₋ =



= V = V r d V V b    V b_{2 3(2 1)} ! 2 1 − =  =



2 12 3 1 3 3 2 1 f r d r d V  1 2 l= •l=3 •k=1 •k=2

Linked-Cluster Expansions

–

Gugus Mayer

V b_{3 3(3 1)} ! 3 1 − = 



3 12 23 13



3 2 3 1 3 23 12 3 3 2 3 1 3 6 3 3 6 1 f f f r d r d r d f f r d r d r d V b =



+



 + + + 1 3 2 ₂ 3 1 2 1 3 1 3 2 V b_{4 3(4 1)} ! 4 1 − =          + + =







34 13 23 12 4 3 3 3 2 3 1 3 34 12 4 3 3 3 2 3 1 3 34 12 4 3 3 3 2 3 1 3 9 4 6 3 24 1 f f f f r d r d r d r d f f r d r d r d r d f f r d r d r d r d V b  •k=4 •k=3 + 6 + 1 3 2 2 3 1 2 1 3 4 4 4 3

Fungsi Partisi Grand Kanonik

• Fungsi partisi grand kanonik:

𝑃𝑉 𝑘𝑇 = ln 𝜁 = 𝑉 𝜆3 ෍ 𝑘 ∞ 𝑧𝑘𝑏_𝑘

• Jumlah partikel rata-rata:

𝑁 =< 𝑁 > = 𝑧 𝜕 𝜕𝑧 ln 𝜁 = 𝑉 𝜆3 ෍ 𝑘 ∞ 𝑘𝑧𝑘𝑏_𝑘 Atau : 𝑁 𝑉 = 𝑛 = 1 𝜆3 ෍ 𝑘 ∞ 𝑘𝑧𝑘𝑏_𝑘

Perhatikan nilai b_k dihitung dari integral terhadap graph yg terkait.

Ekspansi Virial

Dengan v= V/N persamaan keadaan dapat diekspansikan sebagai deret kuasa dari (3 _/v): 𝑃𝑣 𝑘𝑇 = ෍ 𝑘=1 ∞ 𝑎_𝑘 𝜆 3 𝑣 𝑘−1 =

Koefisien ekspansi a_k dihitung dari 2 persamaan sebelumnya melalui nilai b_k (σ_𝑘=1∞ 𝑧𝑘𝑏_𝑘/σ_𝑘=1∞ 𝑘𝑏_𝑘(𝑧𝑘) 𝑃𝑣 𝑘𝑇 = ෍ 𝑘=1 ∞ 𝑎_𝑘 𝜆 3 𝑣 𝑘−1 𝑃 𝑘𝑇 = 1 𝜆3 ෍ 𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘𝑏_𝑘 1 𝑣 = 1 𝜆3 ෍ 𝑘=1 ∞ 𝑘𝑧𝑘𝑏_𝑘

Ekspansi Virial

෍ 𝑘=1 ∞ 𝑏_𝑘𝑧𝑘 = ෍ 𝑘=1 ∞ 𝑘𝑏_𝑘𝑧𝑘 ෍ 𝑛=1 ∞ 𝑎_𝑛 𝜆 3 𝑣 𝑘−1 = ෍ 𝑘=1 ∞ 𝑏_𝑘𝑧𝑘 = ෍ 𝑘=1 ∞ 𝑘𝑏_𝑘𝑧𝑘 ෍ 𝑛=1 ∞ 𝑎_𝑛 ෍ 𝑚=1 ∞ 𝑚𝑧𝑚𝑏_𝑚 𝑛−1 Berarti: 𝑏₁𝑧1 + 𝑏₂𝑧2 + 𝑏₃𝑧3 + ⋯ . . = 𝑏₁𝑧1 + 2𝑏₂𝑧2 + 3𝑏₃𝑧3 + ⋯ ∗ {𝑎₁+𝑎₂ 𝑏₁𝑧1 + 2𝑏₂𝑧2 + 3𝑏₃𝑧3 + ⋯ + 𝑎₃ 𝑏₁𝑧1 + 2𝑏₂𝑧2 + 3𝑏₃𝑧3 + ⋯ 2 + ⋯ }

Ekspansi Virial

Samakan koefisien 𝑧𝑘: 𝑧 : 𝑏₁ = 𝑏₁𝑎₁ → 𝑎₁ = 1 ingat 𝑏₁ = 1 𝑧2 : 𝑏₂ = 2𝑏₂𝑎₁ + 𝑎₂𝑏₁2 → 𝑏₂ = 2𝑏₂ + 𝑎₂ → 𝑎₂ = −𝑏₂ 𝑧3 : 𝑏₃ = 3𝑎₁𝑏₃ + 2𝑎₂𝑏₁𝑏₂ + 2𝑎₂𝑏₁𝑏₂ + 𝑎₃𝑏₁3 𝑏₃ = 3𝑏₃ − 4𝑏₂2 + 𝑎₃ → 𝑎₃ = −2𝑏₃ + 4𝑏₂2 Dst

Model Hard sphere:

𝑢 𝑟 = ቊ∞ 𝑟 < 𝑎

0 𝑟 ≥ 𝑎 → 𝑓 𝑟 = 𝑒

−𝛽𝑢(𝑟) _{− 1 = ቊ}−1 𝑟 < 𝑎

Ekspansi Virial

𝑢 𝑟 = ቊ∞ 𝑟 < 𝑎 0 𝑟 ≥ 𝑎 → 𝑓 𝑟 = 𝑒−𝛽𝑢(𝑟) − 1 = ቊ −1 𝑟 < 𝑎 0 𝑟 ≥ 𝑎 𝑏₂ = 1 2𝜆3𝑉 න 𝑑 3_𝒓 𝟏𝑑3𝒓𝟐 𝑓12 = 1 2𝜆3 ׬ 𝑑 3_𝒓 12𝑓(𝑟12) 𝑏₂ = 1 2𝜆3 න₀ ∞ 4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟 = − 1 2𝜆3 න₀ 𝑎 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 𝑏₂ = − 2𝜋𝑎 3𝜆3 Dengan ini : 𝑎₂ = −𝑏₂ = 2𝜋𝑎 3𝜆3

Pers. Keadaan

Maka: 𝑃𝑣 𝑘𝑇 = ෍ 𝑘=1 ∞ 𝑎_𝑘 𝜆 3 𝑣 𝑘−1 = 𝑎₁ + 𝑎₂ 𝜆 3 𝑣 + ⋯ 𝑃𝑣 𝑘𝑇 = 1 + 2𝜋𝑎 3 1 𝑣 + ⋯ • Dengan 𝑣 = 𝑉

𝑁 maka hasil ini sama dengan ekspansi virial yang

Perumusan Linked Cluster

Expansions*)

• Pada bagian ini akan diturunkan cara menghitung integral konfigurasi dengan Linked-Cluster Expansions.

• Kita mulai dengan integral konfigurasi Z_N:

𝑍_{𝑁 𝑉,𝑇} = ׬ 𝑑3𝑟₁ … 𝑑3𝑟_𝑁 ෑ 𝑗<𝑖 𝑁 ෑ 𝑖=1 𝑁 (1 + 𝑓_𝑖𝑗)

Arti perkalian tsb, adalah perkalian factor (1 + 𝑓_𝑖𝑗) untuk seluruh kemungkinan pasangan (i,j) (dengan i<j, mengapa?). Contoh N=3:

ς_𝑗<𝑖𝑁 ς_𝑖=1𝑁 (1 + 𝑓_𝑖𝑗) = (1 + 𝑓₁₂) (1 + 𝑓₁₃) 1 + 𝑓₂₃ = = 1 + (𝑓₁₂+𝑓₁₃ + 𝑓₂₃) +

Hubungan Z

_N

dengan Graph

• Sehingga secara umum dapat dituliskan:

𝑍_{𝑁 𝑉,𝑇} = ׬ 𝑑3𝑟₁ … 𝑑3𝑟_𝑁{1 + ෍ 𝑖<𝑗 𝑁 ෍ 𝑗 𝑁 𝑓_𝑖𝑗 + ෍ 𝑘<𝑙 𝑁 ෍ 𝑙 𝑁 ෍ 𝑖<𝑗 𝑁 ෍ 𝑗 𝑁 𝑓_𝑘𝑙𝑓_𝑖𝑗 + … . }

Setiap suku di integrand tsb dapat divisualisasikan sebagai graph: 1 f₁₂ f₁₂ f₃₄ f₁₂ f₁₃ 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3

Apakah Graph?

• Apakah grafik ?

Himpunan titik (vertex) dan garis (bond).

• Grafik bisa berlabel atau tak berlabel

• Grafik bisa connected/linked (terhubung) atau

disconnected (tak terhubung)

1 2

vertex bond

Grafik Partikel-N

• Grafik partikel-N :

– Kumpulan N vertex yang dilabeli 1,2,…N dan mengandung sejumlah

garis penghubung antara vertex yang berbeda

• Jika 𝛼, 𝛽 … 𝛾 adalah garis-garis penghubungnya, maka grafik tsb diasosiasikan dengan integral berikut ini:

׬ 𝑑3𝑟₁ … 𝑑3𝑟_𝑁 𝑓_𝛼𝑓_𝛽 … 𝑓_𝛾

• Karena grafik partikel –N berlabel, maka cara pelabelan berbeda menghasilkan grafik yg beda. Contoh:

2 1 3 1 2 3 3 2 1 1 2 3  =

Grafik Partikel-N dan Z

_N

• Grafik sebagai cara visualisasi berbagai suku integral:

• Maka integral konfigurasi dapat dinyatakan sebagai jumlah total seluruh grafik partikel N:

𝑍 = (𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙 𝑁 𝑦𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎)

Disconnected graph dapat dituliskan sebagai perkalian dari masing-masing connected graph

Grafik Cluster-k dan Integral Cluster-k

• Grafik cluster-k : connected k-vertex graph. Himpunan k vertex yang saling

terhubung.

• Definisikan integral cluster-k sebagai :

𝑏_𝑘 𝑉, 𝑇 = 1

Grafik Cluster-k

• Contoh beberapa integral konfigurasi b_k

• Sebuah Grafik-Partikel N adalah kumpulan (hasil kali) dari cluster-graph dengan jumlah vertex k, yg memenuhi

kriteria:

෍

𝑘

Cara membuat Grafik Cluster-k

• Tetapi dengan mendefinisikan himpunan tertentu {m_k} yg memenuhi kriteria tsb, tidak mendefinisikan secara unik grafik partikel-N. Ada banyak macam cluster-graph yg terkait dengan {m_k} yg sama, sebab:

• a. Banyak cara membentuk cluster-k yg berbeda

• b. Banyak cara labeling untuk cluster-k yang sama

• Jadi himpunan {m_k} tertentu terkait dengan sekumpulan grafik. 2 1 3 1 2 3

S{m

_k

}

• Jika S{m_k} himpunan seluruh grafik yg terkait dengan suatu distribusi {m_k} tertentu, maka jumlah terhadap seluruh

kemungkinan {m_k} yg memenuhi kriteria adalah Z:

𝑍 = ෍

{𝑚_𝑘}

𝑆 𝑚_𝑘

• Yang memenuhi kriteria σ_𝑘 𝑘𝑚_𝑘 = 𝑁

• Bagaimana cara mendapatkan S{m_k}?

1. Buat sebuah grafik partikel-N terkait dengan distribusi jumlah vertex tertentu {m_k}.

1-vertex : m₁ buah 2-vertex: m₂ buah dst

S{m

_k

}

• Masing-masing grafik cluster-k yg terlibat bisa berbeda

• Total vertex =N

• Kemudian tiap vertex bisa diberi label 1,2,…N. Setiap

permutasi label ini akan menghasilkan grafik-N yang berbeda.

• Jika seluruh kemungkinan di atas dilakukan maka akan diperoleh S{m_k}:

Permutasi dan Labelling

• Arti notasi jumlah P: dijumlahkan terhadap seluruh

kemungkinan permutasi label 1,2,…N. Dan jika suku

(..+..+..)m _{dibuka akan menghasilkan banyak grafik, tetapi}

ketika dijumlahkan thd P, total vertex =N

• Jadi ada m_k cluster-k, permutasi diantara m_k ini tidaklah menghasilkan grafik baru!

• Di dalam penjumlahan terhadap seluruh cluster-k, permutasi label diantara k vertex tsb tidak akan menghasilkan grafik N-partikel yg baru. Contoh:

Banyak Suku terkait {m

_k

}

• Jadi banyaknya suku terkait dengan suatu distribusi {m_k} tertentu di S{m_k} adalah:

𝑁!

1! 𝑚1! 2! 𝑚2! … 𝑚₁! 𝑚₂! …

• Dan setiap suku tsb berkontribusi (lihat definisi b_k):

1! 𝑉𝑏₁ 𝑚1 _{2! 𝜆}3_𝑉𝑏

2

𝑚₂

3! 𝜆6𝑉𝑏₃ 𝑚3 …

• Menggunakan ini maka S{m_k} adalah:

𝑆 𝑚_𝑘 = 𝑁! ෑ 𝑘 𝑁 𝑉𝜆3𝑘−3𝑏_𝑘 𝑚𝑘 𝑚_𝑘! = 𝑁! 𝜆 3𝑁 _ෑ 𝑘 𝑁 𝑉𝑏_𝑘/𝜆3 𝑚𝑘 𝑚_𝑘!

Q

_N

sebagai Integral Cluster-k

• Mengingat fungsi partisi kanonik Q_N:

𝑄_𝑁 𝑉, 𝑇 = 1

𝑁! 𝜆3𝑁 𝑍𝑁

Dan definisi Z_N dalam S{m_k}:

𝑄_𝑁(𝑉, 𝑇) = ෍ {𝑚_𝑘} ෑ 𝑘=1 𝑁 𝑉𝑏_𝑘/𝜆3 𝑚𝑘 𝑚_𝑘! Dengan kendala σ_𝑘 𝑘𝑚_𝑘 = 𝑁

• Kendala ini mempersulit penjumlahan tsb. Untuk

melonggarkan hal tsb maka digunakan fungsi partisi Grand Kanonik, sehingga setiap m_k=0,1,2,…..

𝜁(𝑧, 𝑉, 𝑇)

dan Integral Cluster

• Fungsi partisi grand kanonik:

𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 = ෍ 𝑁=0 ∞ 𝑧𝑁𝑄_𝑁 𝑉, 𝑇 = ෍ 𝑁=0 ∞ 𝑧 𝜆3 𝑁 _𝑍 𝑁 𝑉, 𝑇 𝑁! 𝜁(𝑧, 𝑉, 𝑇) = ෍ 𝑁=0 ∞ 𝑧𝑁 ෍ 𝑚_𝑘 ෑ 𝑘=1 𝑁 𝑉𝑏_𝑘/𝜆3 𝑚𝑘 𝑚_𝑘! • Dengan σ_𝑘 𝑘𝑚_𝑘 = 𝑁 maka 𝑧𝑁 = 𝑧1𝑚1+2𝑚2+⋯ 𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 = ෍ 𝑚₁=0 ∞ ෍ 𝑚₂=0 ∞ … 𝑉𝑧𝑏1/𝜆 3 𝑚₁ 𝑚₁! 𝑉𝑧2𝑏₂/𝜆3 𝑚2 𝑚₂! …

𝜁(𝑧, 𝑉, 𝑇)

dan Integral Cluster

• Dengan mengingat 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 2! + 𝑥3 3! + ⋯ 𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 = ෑ 𝑘=1 ∞ exp 𝑉𝑧 𝑘_𝑏 𝑘 𝜆3 Atau ln 𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 = 𝑉 𝜆3 ෍ 𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘𝑏_𝑘