Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan Menggunakan Modifikasi Model Sei

(1)

Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan Menggunakan Modifikasi Model Sei

Wardatul Jannah1 dan Syarifah Meurah Yuni2 1

Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan Menggunakan

Modifikasi Model

Sei

Wardatul Jannah

1)

, Syarifah Meurah Yuni

2) 1,2,

Jurusan Matematika

Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh, Indonesia

Email:

2

sy.meurah.yuni@unsyiah.ac.id

Abstrak

Penyakit jantung koroner (PJK) memiliki dua faktor resiko yaitu faktor internal dan faktor eksternal. Penyebaran penyakit jantung koroner dapat dimodelkan dalam suatu model matematika. Penelitian ini berkaitan dengan penerapan modifikasi model Susceptible Exposed Infected (SEI) dalam memodelkan penyebaran penyakit jantung koroner (PJK). Faktor yang dikaji pada penelitian ini adalah faktor resiko eksternal. Model SEI merupakan suatu model yang diterapkan untuk memodelkan penyebaran penyakit di dalam suatu populasi. Model SEI telah dimodifikasi untuk penyakit jantung koroner berupa suatu sistem persamaan diferensial liniernon homogen. Penyelesaian masalah ini membutuhkan nilai awal dan nilai paremeter yang terdapat di dalam model. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh nilai peluang individu susceptible menjadi exposed(𝛽∗) sangat mempengaruhi jumlah individu yang rentan terhadap PJK, nilai peluang individu exposed menjadi infected(𝛾) akan meningkatkan jumlah individu yang menderita PJK dan nilai peluang penderita PJK yang terobati(𝜃) akan mengurangi jumlah penderita PJK.

Kata kunci:penyakit jantung koroner, model SEI, sistem persamaan diferensial

1. Pendahuluan

Pemodelan matematika merupakan salah satu teknik dalam bidang matematika

yang mempresentasikan fenomena-fenomena nyata ke dalam bentuk

matematika.Model matematika banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu, salah satunya bidang kesehatan. Kesehatan merupakan hal yang sangat penting, namun banyak orang tidak mempedulikan hal tersebut. Efek yang timbul dari ketidakpedulian ini sangat beragam, salah satunya dapat menimbulkan penyakit mematikan seperti penyakit jantung koroner.

Menurut Yahya (2010) dan berdasarkan laporan Badan Kesehatan Dunia atau

World Health Organization (WHO), penyakit jantung koroner merupakan pembunuh nomor satu di dunia. Pada tahun 2004, diperkirakan 17,1 juta jiwa meninggal karena penyakit jantung koroner. Angka tersebut merupakan 29% dari penyebab kematian global. Pada tahun 2020, angka kematian diperkirakan akan naik hingga mencapai 20 juta jiwa. Sementara itu, berdasarkan Riset Kesehatan Dasar tahun 2007 yang dilaksanakan oleh Kementerian Kesehatan Republik Indonesia menyebutkan bahwa penyebab kematian utama di Indonesia adalah stroke dan penyakit jantung koroner.

(2)

Penyakit jantung koroner terjadi karena adanya penyumbatan pembuluh darah atau arteri yang disebabkan oleh pembentukan plak pada dinding arteri. Penyakit ini memiliki faktor resiko eksternal dan faktor resiko internal. Faktor resiko eksternal adalah faktor resiko yang dapat dihindari dan faktor resiko internal adalah faktor resiko yang tidak dapat dihindari. Faktor resiko yang tidak dapat dihindari diantaranya adalah faktor keturunan, usia dan jenis kelamin. Sedangkan faktor resiko yang dapat dihindari terdiri dari kolesterol, hipertensi, merokok dan diabetes melitus(Hermawati dan Dewi, 2014).

Terdapat beberapa model tentang penyebaran penyakit dalam suatu populasi, seperti model Susceptible Exposed Infected Recovered (SEIR), model Susceptible Infected Recovered (SIR)danmodelSusceptible Exposed Infected (SEI). Ditinjau dari karakteristik penyakit jantung koroner yang tidak bisa disembuhkan secara total, model SEI merupakan model yang paling cocok dari ketiga model yang telah tersebut di atas.

Model SEI diterapkan untuk memodelkan penyebaran penyakit menular dalam suatu populasi. Populasi yang diteliti dalam model SEI dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu kelompok susceptible (rentan), exposed (laten) dan infected (sakit). Masing-masing kelompok tersebut secara berurutan dinotasikan sebagai S, E, dan I.Penyebaran penyakit menular terjadi karena adanya interaksi antar kelompok. Interaksi tersebut menyebabkan model SEI yang dihasilkan berupa sistem persamaan diferensial nonlinier. Penelitian sebelumnya yang membahas tentang model SEI secara umum pertama kali diperkenalkan oleh Li dan Zhen (2004). Ardiansah (2012) telah membahas tentang penerapan model SEI pada penyakit tidak menular, yaitu penyakit

diabetes mellitus tanpa melibatkan faktor genetik.

2. Metode Penelitian

Prosedur penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Memodifikasi model SEI

2. Menentukan nilai awal dan nilai parameter dalam model

3. Menentukan titik ekuilibrium dari model

4. Menyelesaikan model yang berupa sistem persamaan diferensial

5. Melakukan plot solusi yang diperoleh dari model

6. Menganalisa solusi

3. Model SEI untuk Penyakit Jantung Koroner (PJK)

Penyakit jantung koroner merupakan penyakit tidak menular sehingga tidak ada interaksi dalam penyebarannya antara individu kelompok S dengan individu kelompok

E atau kelompok I. Oleh karena itu, model SEI yang dihasilkan berbentuk linier. Sebelum memodifikasi model SEI, terlebih dahulu dibuatkan asumsi-asumsi sebagai berikut:

1. Penambahan populasi ke dalam kelompok susceptible selalu konstan.

2. Semua individu di dalam kelompok susceptible dan exposed memiliki pola hidup yang buruk.

(3)

3. Laju kematian alami setiap populasi sama.

4. Individu pada kelompok infected akan merubah pola hidup. 5. Tidak ada individu yang sembuh total.

6. Faktor genetik diabaikan.

Model SEI yang terbentuk dari hasil modifikasi untuk permasalahan penyakit jantung koroner adalah sebagai berikut:

𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝐴 − (𝛿 + 𝛽∗)𝑆 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽∗𝑆 − (𝛿 + 𝛾)𝐸 + 𝜃𝐼 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛾𝐸 − (𝛿 + 𝛼 + 𝜃)𝐼

4. Penentuan Nilai Awal dan Nilai Parameter

Nilai awal (𝑆(𝑡0), 𝐸(𝑡0), 𝐼(𝑡0)) untuk masalah ini diperoleh dari laporan Badan

Penelitian dan Pengembangan Kesehatan tahun 2013 dan didukung dengan data dari Badan Pusat Statistik (BPS). Sehingga diperoleh nilai awal untuk kelompok E sebesar

𝐸(𝑡₀) = 75,088 jiwa dan nilai awal untuk kelompok I sebesar 𝐼(𝑡₀) = 22,853 jiwa.

Penentuan nilai awal untuk kelompok S juga diperoleh dari laporan Badan Penelitian dan Pengembangan Kesehatan tahun 2013 dan didukung oleh beberapa referensi lainnya. Pada umumnya, setiap individu berpeluang menderita penyakit jantung koroner. Peluang tersebut akan lebih besar jika individu memiliki salah satu faktor resiko eksternal PJK atau bahkan keempat faktor resiko tersebut. Dengan demikian, penentuan nilai awal untuk kelompok S dilakukan dengan meninjau keempat faktor tersebut dan dengan menerapkan Prinsip Inklusif-Eksklusif diperoleh nilai awal untuk kelompok S sebesar 1,917,786 jiwa.

Nilai parameter pada model diperoleh dari hitungan yang disesuaikan dengan nilai awal, asumsi dan beberapa referensi lain. Nilai parameter-parameter yang diperoleh adalah 𝐴 = 53,587; 𝛿 = 0.0167; 𝛽∗= 0.039; 𝛾 = 0.304; 𝛼 = 0.04 dan 𝜃 = 0.02.

5. Hasil dan Pembahasan

Solusi yang diperoleh dari model SEI untuk penyakit jantung koroner adalah sebagai berikut: 𝑆 = 955,721𝑒−(0.0557)𝑡_{+ 962,065} 𝐸 = −152,359𝑒−(0.3435)𝑡_{+ 1,591,911𝑒}−(0.0539)𝑡_{− 1,519,875𝑒}−(0.0557)𝑡 + 155,409 𝐼 = 173,609𝑒−(0.3435)𝑡_{+ 21,235,280𝑒}−(0.0539)𝑡_{− 22,002,005𝑒}−(0.0557)𝑡 + 615,964

(4)

Setelah diperoleh solusi dari model, selanjutnya dilakukan plot solusi untuk masing-masing persamaan dengan menggunakan MATLAB versi R2010a. Plot solusi yang diperoleh adalah sebagai berikut:

Gambar 4.1. Plot solusi untuk kelompok S

Gambar 4.1 menunjukkan bahwa terjadinya penurunan jumlah individu pada kelompok S setiap tahunnya. Penurunan individu pada 50 tahun pertama cukup signifikan. Hal ini diakibatkan oleh persentase penambahan individu ke dalam kelompok S pada 50 tahun pertama (2.87% pada 𝑡 = 1 sampai 5.25% pada 𝑡 = 50) lebih kecil dibandingkan dengan persentase pengurangan jumlah individu pada kelompok tersebut setiap tahunnya (5.57%). Pada tahun berikutnya penurunan jumlah individu lebih lambat dan pada akhirnya jumlah individu pada kelompok tersebut menuju nilai ekuilibriumnya yaitu 962,065 jiwa.

Gambar 4.2. Plot solusi untuk kelompok E

Gambar 4.2 menunjukkan jumlah individu pada kelompok E sangat dipengaruhi oleh banyaknya individu yang masuk ke dalam kelompok E dari kelompok S dan I serta banyaknya individu yang keluar dari kelompok E. Grafik menunjukkan bahwa dalam jangka waktu 10 tahun ke depan, akan terjadi peningkatan yang signifikan terhadap jumlah individu pada kelompok

E. Titik maksimum dari grafik berada pada tahun ke-10 dengan jumlah individu sebesar 208,336 jiwa. Peningkatan tersebut terjadi karena besarnya jumlah individu yang masuk ke dalam kelompok E dari kelompok S dan I . Pada sepuluh tahun pertama, jumlah individu pada kelompok S relatif besar sehingga mengakibatkan besarnya penambahan individu ke dalam kelompok E. Kemudian pada tahun ke-11 jumlah individu mulai menurun menuju nilai ekuilibriumnya yaitu 155,409 jiwa. Hal ini dikarenakan penurunan jumlah

(5)

individu pada kelompok S sehingga jumlah individu yang masuk ke dalam kelompok E lebih kecil dari pada individu yang keluar dari kelompok E. Nilai ekuilibrium yang diperoleh lebih besar dari pada nilai awal yang diberikan. Hal ini menunjukkan bahwa jika tidak ada perubahan gaya hidup pada masyarakat Aceh, maka akan lebih banyak masyarakat yang memiliki gejala penyakit jantung koroner ke depannya.

Gambar 4.3. Plot solusi untuk kelompok I

Gambar 4.3 menunjukkan bahwa dalam jangka waktu 38 tahun ke depan, akan terjadi peningkatan yang signifikan terhadap jumlah individu pada kelompok I

menjadi sebanyak 704,680 jiwa. Hal ini diakibatkan oleh besarnya persentase perubahan individu dari kelompok E menjadi kelompok I. Namun, pada tahun berikutnya jumlah individu mulai menurun dan menuju nilai ekuilibriumnya yaitu

615,964 jiwa. Penurunan jumlah individu tersebut dikarenakan menurunnya jumlah

individu pada kelompok E, sehingga jumlah yang masuk ke dalam kelompok I juga menurun. Nilai ekuilibrium yang diperoleh lebih besar dari pada nilai awal yang diberikan. Hal ini menunjukkan bahwa jika tidak ada peningkatan kesembuhan penyakit jantung koroner pada masyarakat Aceh, maka banyak masyarakat yang akan menderita penyakit jantung koroner ke depannya.

Gambar 4.4 Plot ketiga solusi

Gambar 4.4 menunjukkan perubahan jumlah individu pada ketiga kelompok yang ditinjau. Kelompok S terus mengalami penurunan jumlah individu dibandingkan dengan kedua kelompok lainnya. Hal ini diakibatkan persentase penambahan individu ke dalam kelompok S lebih kecil (2.87% pada saat 𝑡 = 1 sampai 5.57% pada saat

𝑡 = ∞) dibandingkan dengan persentase pengurangan jumlah individunya (setiap

tahunnya berkurang sebesar 3.9% + 1.67% = 5.57%). Pada lima tahun pertama, jumlah individu kelompok E lebih banyak dibandingkan dengan jumlah individu pada

(6)

kelompok I. Namun, pada tahun berikutnya jumlah individu pada kelompok I melebihi jumlah individu pada kelompok E dan peningkatan jumlah individu pada kelompok I

lebih drastis dibandingkan dengan kelompok E. Hal ini diakibatkan banyaknya individu dari kelompok E yang positif menderita penyakit jantung koroner.

6. Kesimpulan

Nilai ekuilibrium kelompok S lebih kecil dari pada nilai awal, sedangkan nilai ekuilibrium kelompok E dan kelompok I jauh lebih besar dari pada nilai awal. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa jumlah individu yang rentan terkena penyakit jantung koroner akan terus berkurang. Sedangkan jumlah individu yang memiliki gejala PJK dan menderita PJK akan meningkat, bahkan jumlah penderita PJK jauh lebih banyak dari jumlah individu yang memiliki gejala PJK.

Berdasarkan solusi yang diperoleh dari model, dapat disimpulkan bahwa nilai peluang individu rentan menjadi laten(𝛽∗) sangat mempengaruhi jumlah individu yang rentan terhadap PJK, nilai peluang individu laten menjadi sakit(𝛾) akan meningkatkan jumlah individu yang menderita PJK dan nilai peluang penderita penyakit jantung yang terobati(𝜃) akan mengurangi jumlah penderita PJK.

(7)

Pemodelan Penyakit Jantung Koroner Dengan Menggunakan Modifikasi Model Sei