MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT CORONAVIRUS DISEASE 2019 (COVID-19) DENGAN VAKSINASI, ISOLASI MANDIRI, DAN KARANTINA DI RUMAH SAKIT SKRIPSI

MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT CORONAVIRUS DISEASE 2019 (COVID-19) DENGAN VAKSINASI, ISOLASI MANDIRI, DAN KARANTINA DI

RUMAH SAKIT

SKRIPSI

Maghvirotul Azizah 11170940000022

Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta

2021 M / 1442 H

i

MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT CORONAVIRUS DISEASE 2019 (COVID-19) DENGAN VAKSINASI, ISOLASI MANDIRI, DAN KARANTINA DI

RUMAH SAKIT

Skripsi

Diajukan kepada

Universitas Islam Negeri Syarif Hidaytaullah Jakarta Fakultas Sains dan Teknologi

Untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)

Oleh:

Maghvirotul Azizah (11170940000022)

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2021 M/ 1442 H

ii

PERNYATAAN

iii

LEMBAR PENGESAHAN

iv

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI

KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

v

PERSEMBAHAN

“ untuk diriku sendiri yang sudah berjuang sampai tahap ini dan orang – orang yang selalu selalu setia mendukungku ”

MOTTO

“ sainganku bukanlah kamu, dia atau siapapun. Saingan yang harus kuperjuangkan dan harus kukalahkan adalah umur ibuku.

Aku telah kalah pada umur ayah dan untuk ibu, aku tidak boleh gagal ”

vi

KATA PENGANTAR

Assalamua’alaikum Wr.Wb

Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Model Matematika Penyebaran Penyakit Coronavirus Disease 2019 (Covid-19) dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, dan Karantina Di Rumah Sakit”.

Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Matematika (S.Mat) di Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta. Penyusunan skripsi ini dapat terselesaikan atas kerjasama dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada:

1. Bapak Nasrul Hakiem, S.Si., M.T., Ph., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi. Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika dan Ibu Irma Fauziah, M.Sc. selaku Sekretaris Program Studi Matematika.

3. Bapak Muhammad Manaqib, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Irma Fauziah, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing II yang selalu memberikan waktu, saran, bimbingan dan masukan dalam penyelesaian skripsi ini.

4. Ibu Yanne Irene, M.Si selaku penguji I dan Bapak Muhaza Liebenlito, M.Si selaku penguji II yang senantiasa memberikan kritik dan saran dalam penyelesaian skripsi ini.

5. Seluruh Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu-ilmu yang bermanfaat.

6. Kedua orang tua penulis, Alm. Bapak Zainuri dan Ibu Khomsatun, serta kakak penulis Vivin Nur Zainab dan kedua adik penulis Rikha Puspita dan Khoirul Rizal serta keluarga besar yang tidak pernah bosan memberikan doa, kasih sayang, semangat dan dukungan baik moril maupun materil.

vii

7. Teman diskusi Ka Maisy, Ka Eti, Ka Nadhila, dan Ka Wulan yang selalu membantu dalam pengerjaan penelitian ini.

8. Eny, Nadya, Fany, Tazki, Maya, Mesi, Adel, Rani, Aenun, Andi, Bita, Fira, Anggre, Pija, Dina, Maysun, Naya, Pitri, Rista, Siti Ae, Uti, dan Yulis teman sekelas yang selalu memberikan semangat kepada penulis hingga skripsi ini dapat diselesaikan

9. Teman-teman Matematika Angkatan 2017 yang telah menemani perjalanan kuliah dari awal hingga akhir.

10. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu tanpa mengurangi rasa hormat, yang telah memberikan dorongan dan bantuan sehingga skripsi ini terselesaikan.

Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun agar skripsi ini menjadi lebih baik. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat.

Wassalamualaikum Wr.Wb.

Jakarta, 31 Maret 2021

Penulis

viii

ABSTRAK

Maghvirotul Azizah, Model Matematika Penyebaran Penyakit Coronavirus Disease 2019 (Covid-19) dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, dan Karantina Di Rumah Sakit. Dibawah Bimbingan Muhammad Manaqib, M.Sc dan Irma Fauziah, M.Sc

Penelitian ini mengembangkan model SVEIQR untuk memodelkan penyebaran penyakit Covid-19 dengan menambahkan faktor penggunaan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit. Populasi dibagi menjadi tujuh subpopulasi yaitu subpopulasi rentan, subpopulasi yang telah melakukan vaksinasi dua tahap, subpopulasi laten, subpopulasi terinfeksi, subpopulasi karantina yaitu isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit, dan subpopulasi sembuh. Dari model matematika yang dibentuk diperoleh dua titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik dan bilangan reproduksi dasar (𝑅₀). Titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal ketika (𝑅₀ < 1). Simulasi numerik titik ekuilibrium bebas penyakit dilakukan untuk memberikan gambaran geometris terkait hasil yang telah dianalisis dengan nilai parameter yang diambil dari beberapa sumber. Hasil simulasi numerik sejalan dengan analisis yang dilakukan bahwa penyakit akan menghilang jika 𝑅₀ < 1 dan menetap dalam populasi jika 𝑅₀ > 1. Dari analisis model diperoleh bahwa upaya yang dapat dilakukan agar penyakit tidak mewabah yaitu mengurangi kontak langsung dengan individu terinfeksi, selalu menjaga kebersihan, melakukan isolasi mandiri atau karantina di rumah sakit dan selalu menjaga jarak.

Kata Kunci: Covid-19, Vaksinasi, Model SVEIQR, Titik Ekuilibrium dan Bilangan Reproduksi Dasar.

ix

ABSTRACT

Maghvirotul Azizah, Mathematical Model for the Transmission of Coronavirus Disease 2019 (Covid-19) with Vaccinate, Self Isolation, and Quarantined in Hospital. Under guidance of Muhammad Manaqib, M.Sc and Irma Fauziah, M.Sc

This research was developed SVEIQR model for transmission of the Covid- 19 disease model by adding factors there are vaccinations, self-isolation, and hospital quarantine. Population was divided into seven part of subpopulations, there are suspect subpopulation, the subpopulation that had two stages of vaccination, the latent subpopulation, the infected subpopulation, the quarantine subpopulation which is self-isolation and quarantined in hospital, and recovered subpopulation.

From the mathematical model formed, it is obtained two equilibrium points, namely the disease-free equilibrium point and the endemic equilibrium point and the basic reproduction number (𝑅₀). The disease-free equilibrium point is locally asymptotically stable when (𝑅₀ < 1). Numerical simulations of disease-free of equilibrium points are performed to provide a geometric picture of the analyzed results with parameter values taken from several sources. The numerical simulation results are in line with the analysis conducted that the disease will disappear if 𝑅₀ <

1 and remain in the population if 𝑅₀ > 1. From the model analysis, it is found that the efforts that can be made so that the disease does not endemic are reducing direct contact with infected individuals, always maintaining cleanliness, conducting independent isolation or quarantine in the hospital and always maintaining distance.

Keywords: Covid-19, Vaccinate, SVEIQR model, Equilibrium Point and Basic Reproduction Number

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...i

PERNYATAAN ... ii

LEMBAR PENGESAHAN ... iii

LEMBAR PERNYATAAN ...iv

PERSEMBAHAN ... v

KATA PENGANTAR ...vi

ABSTRAK ... viii

ABSTRACT ...ix

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR LAMBANG ... xii

DAFTAR TABEL ...xiv

DAFTAR GAMBAR ... xv

BAB I ... 1

PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Perumusan Masalah ... 6

1.3 Batasan Masalah ... 6

1.4 Tujuan Penelitian ... 6

1.5 Manfaat Penelitian ... 7

BAB II ... 8

DASAR TEORI ... 8

2.1 Coronavirus Disease 2019 (Covid – 19) ... 8

2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 9

2.3 Persamaan Diferensial ... 10

2.4 Sistem Persamaan Diferensial ... 12

2.4.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear ... 13

2.4.2 Sistem Persamaan Diferensial NonLinear ... 15

2.5 Titik Ekuilibrium ... 15

2.6 Kestabilan Titik Ekuilibrium ... 17

2.6.1 Kestabilan Sistem Persamaan Diferensial Linear ... 17

2.6.2 Kestabilan Sistem Persamaan Differensial NonLinear... 18

xi

2.7 Kriteria Routh – Hurwitz ... 23

2.8 Matriks Generasi Selanjutnya ... 24

2.9 Bilangan Reproduksi Dasar ... 25

BAB III ... 28

Model Matematika Penyebaran Penyakit CoronavirusDisease 2019 (Covid- 19) Dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, dan Karantina di Rumah Sakit ... 28

3.1 Alur Penelitian ... 28

3.2 Asumsi Model ... 31

3.3 Variabel dan Parameter ... 32

3.4 Penyebaran Penyakit Covid-19 ... 36

3.5 Titik Ekuilibrium dan Bilangan Reproduksi Dasar ... 44

3.5.1 Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit ... 44

3.5.2 Bilangan Reproduksi Dasar ... 45

3.5.3 Titik Ekuilibrium Endemik ... 50

3.6 Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit ... 55

BAB IV ... 67

SIMULASI MODEL ... 67

4.1 Nilai – nilai Parameter ... 67

4.2 Perhitungan Numerik dan Simulasi ... 71

4.3 Analisis Sensitivitas ... 84

BAB V ... 88

KESIMPULAN DAN SARAN ... 88

5.1 Kesimpulan ... 88

5.2 Saran ... 89

REFERENSI ... 90

LAMPIRAN I ... 95

LAMPIRAN II ... 97

xii

DAFTAR LAMBANG

𝑁(𝑡) : Jumlah Populasi individu pada waktu ke-t.

𝑆(𝑡) : Jumlah Individu rentan terinfeksi pada waktu ke-t.

𝑉(𝑡) : Jumlah Individu yang telah melakukan vaksinasi sebanyak dua kali pada waktu ke-t.

𝐸(𝑡) : Jumlah individu laten pada waktu ke-t.

𝐼(𝑡) : Jumlah individu terinfeksi pada waktu ke-t.

𝑄₁(𝑡) : Jumlah individu yang melakukan karantina di rumah atau isolasi mandiri pada waktu ke-t.

𝑄₂(𝑡) : Jumlah individu yang melakukan karantina di rumah sakit pada waktu ke-t.

𝑅(𝑡) : Jumlah individu sembuh pada waktu ke-t.

𝜇 : Laju kelahiran dan kematian alami.

𝜌 : Laju Perpindahan dari individu rentan menjadi individu yang telah melakukan vaksinasi.

𝑘 : Proporsi dari individu rentan menjadi individu yang telah melakukan vaksinasi.

𝜔 : Laju Perpindahan dari individu yang telah melakukan vaksinasi menjadi individu laten.

𝛽 : Laju Perpindahan dari individu rentan menjadi individu laten setelah terinfeksi dengan individu terinfeksi.

𝛼 : Laju Perpindahan dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan karantina di rumah sakit.

xiii

𝑚 : Proporsi dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan karantina di rumah sakit.

𝜃 : Laju Perpindahan dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan isolasi mandiri.

𝑛 : Proporsi dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan isolasi mandiri.

𝜎 : Laju Perpindahan dari individu laten menjadi individu terinfeksi.

𝛿₁ : Laju Kematian yang diakibatkan oleh penyakit dari individu yang melakukan isolasi mandiri.

𝛿₂ : Laju Kematian yang diakibatkan oleh penyakit dari individu yang melakukan karantina di rumah sakit.

𝛿₃ : Laju Kematian yang diakibatkan oleh penyakit dari individu terinfeksi.

𝛾₁ : Laju Kesembuhan dari individu yang melakukan isolasi mandiri.

𝛾₂ : Laju Kesembuhan dari individu yang melakukan karantina di rumah sakit.

𝛾₃ : Laju Kesembuhan dari individu terinfeksi.

𝜖 : Laju kesembuhan individu yang telah melakukan vaksinasi dan tidak terinfeksi.

∎

: Akhir suatu bukti

xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 3. 1 Daftar variabel model penyebaran Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit ... 32 Tabel 3. 2 Daftar parameter model penyebaran Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit ... 33 Tabel 4. 1 Nilai – nilai Parameter titik ekuilibrium bebas penyakit sistem (3.12)

... 70 Tabel 4. 2 Nilai – nilai Parameter titik ekuilibrium endemik sistem (3.12).... 75 Tabel 4. 3 efektivitas penggunaan vaksin ... 82 Tabel 4. 4 Indeks Sensitivitas Parameter ... 85

xv

DAFTAR GAMBAR

3. 1 Diagram Alur Penelitian ... 30 3. 2 Diagram Transfer Model Penyebaran Covid-19 Dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, dan Karantina di Rumah Sakit ... 36 4. 1 Simulasi sistem (3.12) menuju titik ekuilibrium bebas penyakit ... 72 4. 2 (a) simulasi titik s, (b) simulasi titik v, (c) simulasi titik e, (d) simulasi titik i, (e) simulasi titik 𝒒𝟏, (f) simulasi titik 𝒒𝟐 Sistem (3.12) titik ekuilibrium bebas penyakit ... 73 4. 3 simulasi sistem (3.12) titik ekuilibrium endemik ... 78 4. 4 (a) simulasi titik s, (b) simulasi titik v, (c) simulasi titik e, (d) simulasi titik i, (e) simulasi titik 𝒒𝟏, (f) simulasi titik 𝒒𝟐 Sistem (3.12) titik ekuilibrium endemik ... 79 4. 5 (a) simulasi titik i ketika u=0, (b) simulasi titik i ketika u=0.2, (c) simulasi titik i ketika u=0.4, (d) simulasi titik i ketika u=0.6, (e) simulasi titik i ketika u=0.8, dan (f) simulasi titik i ketika u=1 ... 83

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Penyakit menular adalah masalah yang dihadapi hampir disemua negara tanpa memandang status. Penyakit menular diantaranya adalah campak, gondok, rubella, HIV, SARS, flu burung dan lainnya yang merupakan penyakit infeksi yang sangat berbahaya. Penyakit tersebut disebabkan oleh virus yang dapat menyebar melalui kontak langsung maupun tidak langsung dengan penderita seperti melalui udara, batuk, atau bersin, dan kotoran manusia [1]. Salah satu virus yang menyebabkan penyakit menular adalah virus corona [2]. Akhir tahun 2019 dunia sedang diguncangkan oleh ancaman pandemik virus corona yang berawal dari daerah Wuhan propinsi Hubei, Cina. Saat ini kasus Covid – 19 (per 26 Februari 2020) telah menginfeksi lebih dari 70.000 kasus dan paling sedikitnya 2.000 orang yang telah meninggal dunia. Virus ini juga telah menyebar ke-3 negara dan World Health Organization (WHO) sudah mengumumkan kasus penularan antara manusia (human to human transmission) di beberapa negara [3] . Virus corona jenis baru yaitu SARS-CoV-2 pada akhir tahun 2019 di temukan pertama kali di Wuhan. SARS-CoV-2 ini menyebabkan penyakit yang disebut Covid-19 (Corona Virus Disease-2019) yang menyerang jaringan pernapasan, sehingga pada fase awal penderita dapat mengalami flu dan batuk hingga mengakibatkan sesak nafas pada fase kronis [2].

Virus corona sudah pernah menyebabkan epidemik sebelumnya dengan morbiditas dan mortalitas cukup tinggi yaitu Severe Acute Respiratory Syndrome (SARS-CoV) dan Middle East Respiratory Syndrome (MERS-Cov) pada beberapa tahun yang lalu. Total akumulatif kasus MERS-CoV dan SARS sekitar 10.000 yang terdiri dari 1000-an kasus MERS dan 8000-an kasus SARS. Rerata mortalitas akibat SARS sekitar 10% sedangkan MERS lebih tinggi yaitu sekitar 40%[3]. Kasus Covid – 19 di Indonesia pertama kali terkonfirmasi pada 2 Maret 2020, Pemerintah Indonesia

2 segera menindak lanjuti SOP pandemik tersebut dengan membatasi pergerakan ke dalam dan luar negeri hingga pergerakan antar pulau dan menerapkan pola bekerja dari rumah (work from home) [4].

Penyebaran penyakit Covid-19 yang semakin meningkat dilihat dari [5], pada 31 Oktober 2020 pemerintah mengumumkan jumlah yang positif sebanyak 410.008 jiwa, yang sudah sembuh sebanyak 337.801 jiwa, dan yang meninggal akibat Covid- 19 sebanyak 13.689 jiwa. Jumlahnya yang semakin hari semakin meningkat setiap harinya dan terjadi peningkatan tinggi ketika liburan akhir tahun menjelang tahun baru pada bulan januari 2021 jumlah yang positif perharinya bisa mencapai 12.001 jiwa yang positif covid-19. Pada 31 Januari 2021 di umumkan kasus positif sudah mencapai 1.078.314 jiwa, yang sudah sembuh mencapai 873.221 jiwa, dan meninggal akibat Covid-19 mencapai 29.998 jiwa.

Melihat jumlah kasus penyebaran yang semakin bertambah banyak setiap harinya maka dilakukan pencegahan untuk mengurangi penyebaran wabah penyakit yaitu dengan tetap berada di rumah jika memang mengharuskan keluar rumah maka tetap menjaga kebersihan dan tetap mengikuti protokol kesehatan yaitu menggunakan masker saat berpergian dan sering mencuci tangan, karena virus corona ini dapat menyebar karena berkontak dengan individu yang terinfeksi. Rasulullah Shallallahu

‘alaihi wasallam bersabda:

َخ َرَمُع هنَأ َةَعيِب َر ِنْب ِرِماَع ِنْب ِ هاللَّ ِدْبَع ْنَع َغَ ْرَسَ َءَاَجَ اهمَلََفَ ِمِاهشَّلَا ىَلَِإِ َجَ َر

َب ُهَغَلَ

ْح هرلَا ُدْبَع ُه َرَبْخَأَفَ ِمِاهشَّلَاِب َعَق َو ْدَق َءَاَب َوْلَا هنَأ ُهاللَّ ىهلََصَ ِ هاللَّ َلَوُسَ َر هنَأ فٍ ْوَع ُنْب ِنَم

ِهْيَلََع

َق َمهلََسَ َو َع اوُمَدْقَت َلََفَ ض ْرَأِب ِهِب ْمُتْعِمَسَ اَذِإِ َلَا اَهِب ْمُتْنَأ َو ض ْرَأِب َعَق َو اَذِإِ َو ِهْيَلَ

اوُجَ ُرْخَت َلََفَ

غَ ْرَسَ ْنِم ِباهطَخْلَا ُنْب ُرَمُع َعَجَ َرَفَ ُهْنِم ا ًرا َرِفَ

“Dari Abdullah bin Amir bin Rabi‘ah, Umar bin Khattab RA menempuh perjalanan menuju Syam. Ketika sampai di Sargh, Umar mendapat kabar bahwa wabah sedang menimpa wilayah Syam. Abdurrahman bin Auf mengatakan kepada Umar

3 bahwa Rasulullah SAW pernah bersabda, jika kalian mendengar ada wabah disuatu daerah maka jangan memasuki daerah tersebut. Dan jika wabah terjadi disuatu daerah sedangkan kalian sedang berada di dalamnya, janganlah keluar dari daerah tersebut.”(HR. Bukhari dan Muslim).

Berdasarkan hadist diatas kita dilarang untuk memasuki daerah yang sedang terjangkit wabah penyakit, seperti saat ini sedang mewabah penyakit covid – 19 maka seharusnya kita menghindari wabah tersebut dengan tetap di rumah jika tidak ada keperluan yang mendesak, tidak berkontak dengan orang yang sedang di karantina dan selalu menjaga kebersihan. Selain menjaga kebersihan, kesehatan, kita juga harus senantiasa berikhtiar kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala karena hanya kepada – Nya lah kita dapat memohon perlindungan dan kesehatan, serta memohon kesembuhan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala karena hanya Allah Subhanahu Wa Ta’ala yang dapat menyembuhkan segala penyakit. Seperti Firman Allah Subhanahu Wa Ta’ala di dalam surat Al – Anbiya ayat 83 – 84 yang berbunyi:

Artinya : “dan (ingatlah kisah) Ayyub, ketika dia berdoa kepada Tuhannya, (Ya Tuhanku), sungguh, aku telah ditimpa penyakit, padahal Engkau Tuhan Yang Maha Penyayang dari semua yang penyayang Maka Kami kabulkan (doa)nya lalu Kami lenyapkan penyakit yang ada padanya dan Kami kembalikan keluarganya kepadanya, dan (Kami lipat gandakan jumlah mereka) sebagai suatu rahmat dari Kami, dan untuk menjadi peringatan bagi semua yang menyembah Kami."(QS. Al-Anbiya 21: Ayat 83 – 84).

Melihat penyebaran Covid-19 yang semakin mewabah dan sangat fatal, bahkan di Indonesia jumlah kematian sudah mencapai 29.998 jiwa yang melebihi jumlah kematian di kota Wuhan, China yang merupakan tempat asal virus tersebut muncul.

4 Jumlah terinfeksi dan jumlah kematian akibat Covid-19 di Indonesia yang tinggi akibat dari banyaknya penduduk Indonesia yang tidak patuh terhadap perintah pemerintah.

Memperhatikan penyebaran virus yang menular secara meluas pemerintah Indonesia membuat peraturan yaitu dengan melakukan pelaksanaan karantina di rumah atau isolasi mandiri, karantina wilayah, karantina di rumah sakit, menjaga kesehatan serta penggunaan vaksin [6]. Vaksin yang digunakan untuk covid-19 saat ini bukanlah obat.

Vaksin mendorong pembentukan kekebalan spesifik pada penyakit Covid-19 agar terhindar dari tertular ataupun kemungkinan sakit berat atau mengurangi gejala berat yang muncul. Selama vaksin yang aman untuk mencegah dan efektif belum ditemukan, upaya perlindungan yang bisa kita lakukan adalah disiplin 3M: Memakai masker dengan benar, Menjaga jarak dan jauhi kerumunan, serta Mencuci tangan pakai air yang mengalir dan sabun [7].

Covid-19 merupakan penyakit yang muncul di akhir tahun 2019 yang menggemparkan dunia karena penyebarannya yang begitu cepat. Sudah banyak yang penelitian terkait model penyebaran penyakit Covid-19, seperti yang dilakukan Bitla Hari Prasad dkk[8] yang melakukan penelitian model matematika Covid-19 dengan model sederhana SIR (Substible Infected Recovered). Lalu ada penelitian [9] yang mengembangkan model SEQIR yaitu manusia rentan 𝑆(𝑡), populasi yang sedang melakukan imigran 𝐸(𝑡), manusia terinfeksi disertasi gejala klinis 𝐼(𝑡), manusia yang dikarantina 𝑄(𝑡), dan manusia yang pulih 𝑅(𝑡) dengan membagi kompartemen quarantine menjadi dua kompartemen yaitu karantina di rumah atau isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit dan terdapat parameter kematian akibat penyakit.

Selanjutnya penelitian yang dilakukan [10] pada penelitian ini mengembangkan model SEIR dengan menambahkan kompartemen 𝐼_𝑐, 𝐼_𝑎, 𝐼_ℎ dan 𝑄 dimana kompartemen 𝐼_ℎ merupakan individu yang sudah terinfeksi yang dirawat di rumah sakit, 𝐼_𝑎adalah individu yang terinfeksi secara asimtotik, 𝐼_𝑐 adalah individu terinfeksi yang sudah sangat kritis dan kompartemen 𝑄 adalah karantina. Kemudian ada penelitian [11] yang membahas penyakit sejenis dengan covid – 19 yaitu MERS – CoV yang

5 mengembangkan model SEIR dengan penggunaan masker kesehatan dan vaksinasi dimana kompartmen 𝑆 dan 𝐼 dibagi menjadi dua kompartmen yaitu pengguna masker kesehatan dan tidak menggunakan masker kesehatan. Selanjutnya penelitian [12]

pemodelan penyakit covid – 19 yang menggunakan model SEIR dengan menambahkan kompartemen V (vaksinasi), Q (karantina), dan D (kematian akibat penyakit), penelitian tersebut mengasumsikan individu yang sudah sembuh dari penyakit dapat kembali menjadi individu rentan dan mendapatkan vaksinasi.

Salah satu pendekatan untuk menjelaskan solusi dari permasalahan yang terjadi dalam dunia nyata adalah memodelkan atau merumuskan permasalahan nyata dalam bahasa matematika. Setelah model matematika diperoleh maka dapat diselesaikan secara sistematis, dan dapat diaplikasikan kembali dalam masalah nyata. Dalam penelitian ini, akan dibentuk model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan pemberian vaksin, isolasi mandiri dan melakukan karantina di rumah sakit. Model ini mengasumsikan individu yang diberikan vaksin sampai 2 kali tahap, individu yang telah melakukan vaksinasi sebanyak 2 kali masih dapat tertular Covid-19 namun gejalanya tidak seberat individu yang belum melakukan vaksinasi sehingga pasien tidak akan mengalami kesakitan yang parah dan meminimalisir risiko kematian [13]

individu yang telah melakukan vaksinasi akan kebal terhadap penyakit dengan syarat tetap menjaga kebersihan dan mematuhi protokol kesehatan. Dari model tersebut akan dicari titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik untuk masing- masing kompartemen serta bilangan reproduksi dasar untuk melihat apakah terjadi endemik atau tidak, dan melihat parameter mana saja yang paling berpengaruh secara signifikan terhadap nilai reproduksi dasar. Kemudian akan dilakukan simulasi model untuk melihat visualisasi model dan untuk mendukung teorema sebelumnya dan melihat efektivitas penggunaan vaksin terhadap model, dengan nilai-nilai parameter yang digunakan diambil dari jurnal – jurnal sebelumnya. Kemudian dilakukan analisis sensitivitas untuk melihat parameter mana saja yang berpengaruh secara signifikan terhadap nilai reproduksi dasar.

6 1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan, maka permasalahan pada penelitian ini antara lain:

1. Bagaimana model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit?

2. Bagaimana titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik serta kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit?

3. Bagaimana bilangan reproduksi dasar pada model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit?

4. Bagaimana simulasi numerik model matematika penyebaran peyakit Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit?

5. Bagaimana hasil simulasi numerik efektivitas pada penggunaan vaksin dan hasil analisis sensitivitas?

1.3 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, agar pembahasan lebih terarah maka penulis membatasi objek kajian pada:

1. Model yang digunakan adalah model SVEIQR dengan membagi kompartemen Quarantine menjadi 2 kompartemen yaitu isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit.

2. Penyakit yang di bahas hanya penyakit Covid-19, tidak membahas penyakit lain meskipun memiliki ciri yang sama dengan penyakit Covid-19.

3. Individu yang melakukan isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit tidak dapat menularkan penyakit.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini, antara lain:

7 1. Mengetahui model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan

vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit.

2. Mengetahui titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik serta kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit.

3. Mengetahui bilangan reproduksi dasar pada model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit.

4. Mengetahui simulasi numerik model matematika penyebaran peyakit Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit.

5. mengetahui simulasi numerik efektivitas pada penggunaan vaksin dan hasil analisis senstivitas.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini diharapkan dapat membantu pemerintah maupun pihak-pihak terkait untuk mencegah penyebaran penyakit Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit. Model matematika yang dihasilkan dapat menjadi pilihan yang tepat untuk memahami dinamika penyakit. Dan penulis berharap penelitian ini dapat menambah wawasan dan pengetahuan baru mengenai model matematika penyebaran penyakit, serta dapat membawa masalah-masalah baru dalam bidang pemodelan, sehingga akan muncul penelitian-penelitian yang lain.

8

BAB II DASAR TEORI

2.1 Coronavirus Disease 2019 (Covid – 19)

Coronavirus Disease 2019 atau Covid-19 adalah penyakit menular yang disebabkan oleh salah satu jenis corona virus SARS-CoV-2. Infeksi virus Corona disebut Covid-19 (Corona Virus Disease 2019) dan pertama kali ditemukan di kota Wuhan, China pada akhir Desember 2019. Virus ini menular dengan sangat cepat dan telah menyebar ke hampir semua negara, termasuk Indonesia. Hal tersebut membuat beberapa negara menerapkan kebijakan untuk memberlakukan lockdown dalam rangka mencegah penyebaran virus Corona. Di Indonesia sendiri, diberlakukan kebijakan Pembatasan Sosial Berskala Besar (PSBB) untuk menekan penyebaran virus tersebut [14].

Covid-19 di Indonesia, telah menyebar ke seluruh provinsi. Menurut data yang disampaikan oleh Gugus Tugas Percepatan Penanganan Covid-19 pada tanggal 10 Juni 2020 tercatat kasus positif terkonfirmasi sebanyak 1.241 orang, sehingga total jumlah kumulatif kasus terkonfirmasi positif sebanyak 34.316 kasus di Indonesia.

Pertambahan kasus tertinggi selama data terkonfirmasi sejak Maret 2020. Pemerintah juga mencatat ada penambahan 715 pasien yang telah dinyatakan sembuh, dengan demikian total pasien sembuh 12.129 orang. Sedangkan penambahan pasien meninggal berjumlah 36 orang atau totalnya menjadi 1.959 orang [14].

Infeksi Covid-19 dapat menimbulkan gejala ringan, sedang atau berat. Gejala klinis utama yang muncul [15] yaitu :

1. Demam (Suhu > 38℃) 2. Batuk

9 3. Kesulitan Bernapas

4. Nyeri Tenggorokan 5. Sesak Memberat 6. Fatigue (Kelelahan) 7. Myalgia (Nyeri Otot)

Pada kasus berat perburukan secara cepat dan progresif, seperti ARDS, syok septik, asidosis metabolik yang sulit dikoreksi dan perdarahan atau disfungsi sistem koagulasi dalam beberapa hari. Pada beberapa pasien, gejala yang muncul ringan, bahkan tidak disertai dengan demam. Kebanyakan pasien memiliki prognosis baik, dengan sebagian kecil dalam kondisi kritis bahkan meninggal. Berikut sindrom klinis yang dapat muncul jika terinfeksi. (PDPI, 2020). Berikut sindrom klinis yang dapat muncul jika terinfeksi [15].

Salah satu kewaspadaan yang penting dalam hal penanganan pasien dalam pengawasan atau terkonfirmasi virus corona ini adalah pencegahan kontak yaitu [3] :

1. Membatasi kunjungan keluarga dengan pasien

2. Menghindari menyentuh mata, hidung dan mulut dengan tangan yang berpotensi terkontaminasi

3. Membatasi gerak pasien, hindari perpindahan pasien keluar ruangan, apabila sangat dibutuhkan maka pasien menggunakan masker dan gunakan transport yang sudah ditentukan untuk menghindari paparan pasien dengan orang lain

4. Membersihkan dan desinfeksi semua permukaan yang terpapar dengan pasien secara rutin

5. Mencatat semua orang yang keluar dan masuk dalam ruangan dan berkontak dengan pasien

2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 2.2.1

10 Jika A adalah sebuah Matriks n x n, maka sebuah vektor tak nol x pada ℝ^𝑛 disebut vektor eigen (eigen vektor) dari A jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x, maka persamaannya dapat ditulis ,

𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 (2.1)

Untuk skalar sebarang 𝜆. Skalar 𝜆 disebut nilai eigen (eigen value) dari A, dan x disebut sebgai vektor eigen dari A yang terkait dengan 𝜆.

Untuk mendapatkan nilai eigen dari matriks A, maka persamaan (2.1) dapat kita tuliskan kembali 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 sebagai

(𝜆𝐼 − 𝐴)𝑥 = 0 (2.2)

Dimana I adalah matriks identitas, supaya mendapatkan nilai eigen dari 𝜆, maka haruslah terdapat satu solusi tak nol dari persamaan (2.2) jika dan hanya jika

𝑑𝑒𝑡( 𝜆𝐼 − 𝐴) = 0 (2.3)

Sehingga persamaan (2.3) ini disebut persamaan karakteristik (characteritic equation) matriks A [16].

2.3 Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas sebuah fungsi [17].

Persamaan Diferensial diklasifikasikan bergantung jumlah variabel bebasnya, yaitu:

1. Persamaan Diferensial Biasa, merupakan persamaan yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.

Contoh 2.3.1

𝑥²𝑑³𝑦

𝑑𝑥³ + 3𝑑²𝑦

𝑑𝑥² + 5𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥

11 2. Persamaan Diferensial Parsial, merupakan persamaan yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap dua atau lebih variabel bebas.

Contoh 2.3.2

𝜕𝑢

𝜕𝑡 − 6𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕³𝑢

𝜕𝑥³ = 0

Berdasarkan [18] menjelaskan Orde adalah turunan tertinggi pada suatu persamaan. Hal terpenting dalam suatu persamaan diferensial yaitu klasifikasi persamaan diferensial berdasarkan kelinearannya, yaitu:

1. Persamaan Diferensial Linear.

𝐹(𝑡, 𝑦, 𝑦^′, … 𝑦^𝑛) = 0

Persamaan Diferensial merupakan linear jika F adalah fungsi linear dari variabel 𝑦, 𝑦^′, … 𝑦^𝑛 [18]. Definisi persamaan differensial biasa linear adalah persamaan diferensial biasa orde 𝑛 dengan variabel bebas 𝑥 dan variabel tak bebas 𝑦 yang dapat dinyatakan dalam bentuk [17] :

𝑎₀(𝑥)^𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛+ 𝑎₁(𝑥)^{𝑑𝑛−1𝑦}

𝑑𝑥^𝑛−1+ ⋯ + 𝑎_𝑛−1(𝑥)^𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎_𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥) (2.4) Suatu Persamaan Diferensial dikatakan linear jika variabel – variabel tak bebas dan semua turunan dari persamaan diferensial tersebut muncul dalam bentuk linear dalam arti ciri – cirinya :

(a) Variabel – variabel tak bebas dan semua turunannya hanya muncul berderajat satu

(b) Tidak terdapat perkalian antara variabel – variabel tak bebas dan turunannya.

(c) Tidak terdapat fungsi transenden dari variabel – variabel tak bebas dan turunannya.

12 Contoh 2.3.3

𝑑³𝑦

𝑑𝑥³+ 6𝑑²𝑦

𝑑𝑥²+ 3𝑑𝑦

𝑑𝑥− 10𝑦 = 0 3𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 4𝑥 − 8 2. Persamaan Diferensial NonLinear.

Merupakan persamaan diferensial yang tak linear. Suatu persamaan diferensial dikatakan nonlinear jika minimal salah satu dari ke tiga ciri – ciri dari persamaan diferensial linear.

Contoh 2.3.4

𝑥²𝑑²𝑦

𝑑𝑥²+ 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥− 10𝑦 = sin 𝑦 𝑥𝑑²𝑦

𝑑𝑥² + 𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 10𝑦 = 0 2.4 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan diferensial [18]. Secara matematis dari sistem persamaan diferensial dapat ditulis dalam bentuk

𝑥̇(𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑡) (2.5)

dengan

𝑥̇(𝑡) =𝑑𝑥 𝑑𝑡 =

( 𝑑𝑥₁

𝑑𝑡 𝑑𝑥₂

𝑑𝑡⋮ 𝑑𝑥_𝑛

𝑑𝑡 )

, 𝑓(𝑡, 𝑥) = (

𝑓₁(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, ⋯ . 𝑥_𝑛) 𝑓₂(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, ⋯ . 𝑥_𝑛)

⋮

𝑓_𝑛(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, ⋯ . 𝑥_𝑛)

) (2.6)

dengan 𝑥_1,𝑥₂, ⋯ 𝑥_𝑛 adalah variabel tak bebas dan 𝑡 adalah variabel bebas. Jika pada 𝑓(𝑡, 𝑥) variabel 𝑡 tidak dinyatakan secara eksplisit, maka persamaan (2.5) disebut sistem otonomus dapat ditulis secara matematis

13

𝑥̇(𝑡) = 𝑓(𝑥) (2.7)

dengan

𝑥̇(𝑡) =𝑑𝑥 𝑑𝑡 =

( 𝑑𝑥₁

𝑑𝑡 𝑑𝑥₂

𝑑𝑡⋮ 𝑑𝑥_𝑛

𝑑𝑡 )

, 𝑓(𝑥) = (

𝑓₁(𝑥₁, 𝑥₂, ⋯ . 𝑥_𝑛) 𝑓₂(𝑥₁, 𝑥₂, ⋯ . 𝑥_𝑛)

⋮

𝑓_𝑛(𝑥₁, 𝑥₂, ⋯ . 𝑥_𝑛)

) (2.8)

Berdasarkan kelinearanya, sistem persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi dua yaitu sistem diferensial linear dan sistem diferensial nonlinear.

2.4.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear

Berdasarkan [18] menyatakan secara umum bentuk persamaan diferensial biasa sebagai berikut:

𝐹(𝑡, 𝑥, 𝑥^′, … 𝑥^𝑛) = 0 (2.9) Persamaan (2.9) dikatakan linear jika F adalah fungsi linear terhadap 𝑥, 𝑥^′, … 𝑥^𝑛 dengan bentuk umumnya yaitu:

𝑎₁₁𝑥 + 𝑎₁₂𝑥₂^′ + ⋯ + 𝑎_1(𝑛−1)𝑥^𝑛−1+ 𝑎_1𝑛𝑥^𝑛 = 𝑓₁(𝑡)

𝑎₂₁𝑥 + 𝑎₂₂𝑥₂^′ + ⋯ + 𝑎_2(𝑛−1)𝑥^𝑛−1+ 𝑎_2𝑛𝑥^𝑛 = 𝑓₂(𝑡) (2.10)

⋮

𝑎_𝑛1𝑥 + 𝑎_𝑛2𝑥₂^′ + ⋯ + 𝑎_{𝑛(𝑛−1)}𝑥^𝑛−1+ 𝑎_𝑛𝑛𝑥^𝑛 = 𝑓_𝑛(𝑡) Maka sistem persamaan diferensial linear dengan variabel tak bebas 𝑥(𝑡) dan variabel bebas 𝑡 dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:

𝑥̇₁(𝑡) = 𝑥₁^′(𝑡) = 𝑎₁₁(𝑡)𝑥₁(𝑡) + 𝑎₁₂(𝑡)𝑥₂(𝑡) + ⋯ + 𝑎_1𝑛(𝑡)𝑥_𝑛(𝑡)+ 𝑓₁(𝑡)

𝑥̇₂(𝑡) = 𝑥₂^′(𝑡) = 𝑎₂₁(𝑡)𝑥₁(𝑡) + 𝑎₂₂(𝑡)𝑥₂(𝑡) + ⋯ + 𝑎_2𝑛(𝑡)𝑥_𝑛(𝑡)+ 𝑓₂(𝑡) (2.11)

14

⋮

𝑥̇_𝑛(𝑡) = 𝑥_𝑛^′(𝑡) = 𝑎_𝑛1(𝑡)𝑥₁(𝑡) + 𝑎_𝑛2(𝑡)𝑥₂(𝑡) + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑛(𝑡)𝑥_𝑛(𝑡)+ 𝑓_𝑛(𝑡) Sehingga dapat dituliskan dalam bentuk matriks seperti berikut:

𝑥̇(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝑓(𝑡) (2.12) Dengan

( 𝑥̇₁(𝑡) 𝑥̇₂(𝑡)

⋮ 𝑥̇_𝑛(𝑡)

) = (

𝑎₁₁(𝑡) 𝑎₁₂(𝑡) … 𝑎_1𝑛(𝑡) 𝑎₂₁(𝑡) 𝑎₂₂(𝑡) … 𝑎_2𝑛(𝑡)

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎_𝑛1(𝑡) 𝑎_𝑛2(𝑡) … 𝑎_𝑛𝑛(𝑡) ) (

𝑥₁(𝑡) 𝑥₂(𝑡)

⋮ 𝑥_𝑛(𝑡)

) + ( 𝑓₁(𝑡) 𝑓₂(𝑡)

⋮ 𝑓_𝑛(𝑡)

) (2.13)

Jika 𝑓_𝑘(𝑡) dengan 𝑘 = 1, 2, … 𝑛 sama dengan nol, maka sistem persamaan (2.12) merupakan sistem persamaan diferensial linear homogen yang dapat ditulis dalam bentuk matematis

𝑥̇(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) (2.14)

Maka dalam bentuk matriks

( 𝑥̇₁(𝑡) 𝑥̇₂(𝑡)

⋮ 𝑥̇_𝑛(𝑡)

) = (

𝑎₁₁(𝑡) 𝑎₁₂(𝑡) … 𝑎_1𝑛(𝑡) 𝑎₂₁(𝑡) 𝑎₂₂(𝑡) … 𝑎_2𝑛(𝑡)

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎_𝑛1(𝑡) 𝑎_𝑛2(𝑡) … 𝑎_𝑛𝑛(𝑡) ) (

𝑥₁(𝑡) 𝑥₂(𝑡)

⋮ 𝑥_𝑛(𝑡)

) (2.15)

Contoh 2.4.1 (Persamaan Diferensial Linear Homogen) 𝑑𝑥₁

𝑑𝑡 = 2𝑥₁+ 10𝑥₂ 𝑑𝑥₂

𝑑𝑡 = 𝑥₂− 3𝑥₂+ 9

Contoh 2.4.2 (Persamaan Diferensial Linear Non Homogen) 𝑑𝑥₁

𝑑𝑡 = 2𝑥₁+ 10𝑥₂− 3𝑡 + 7

15 𝑑𝑥₂

𝑑𝑡 = 𝑥₁ + 3𝑥₂ − 7𝑡 + 5

Pada contoh 2.4.2 dikatakan sistem persamaan diferensial non homogen karena ada nilai −3𝑡 dan −7𝑡 yang menyatakan bahwa fungsi 𝑓(𝑡) bernilai tak nol.

2.4.2 Sistem Persamaan Diferensial NonLinear

Pada persamaan (2.13) jika fungsi F terdapat 𝑥, 𝑥^′, … 𝑥^𝑛 yang bukan merupakan fungsi linear maka sistem persamaan diferensial tersebut menjadi non linear [17]. Maka Sistem otonomus yang berisikan persamaan differensial nonlinear orde satu dapat ditulis dalam bentuk

𝑑𝑥₁

𝑑𝑡 = 𝑓₁(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) 𝑑𝑥₂

𝑑𝑡 = 𝑓₂(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)

⋮ 𝑑𝑥_𝑛

𝑑𝑡 = 𝑓_𝑛(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)

(2.16)

Contoh 2.4.3 (Sistem Persamaan Diferensian NonLinear) 𝑥̇₁ = 𝑥₁²− 𝑥₁𝑥₂− 3𝑥₁

𝑥̇₂ = −5𝑥₂+ 𝑥₂𝑥₁ Contoh 2.4.3 merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear karena:

1. Terdapat variabel tak bebas 𝑥₁ berderajat dua.

2. Terdapat perkalian variabel tak bebas 𝑥₁ dengan 𝑥₂. 2.5 Titik Ekuilibrium

Titik ekuilibrium merupakan titik yang pada saat 𝑡 = 1,2, … 𝑛 stabil atau tetap disebut juga dengan titik kesetimbangan. Artinya titik ekuilibrium tidak berpengaruh terhadap waktu.

16 Definisi 2.5.1

Diberikan suatu sistem persamaan diferensial orde satu 𝑥̇ = 𝑓(𝑥), yang mempunyai solusi, dengan kondisi awal x(0) = 𝑥₀. Suatu vektor 𝑥̄ yang memenuhi 𝑓(x̄) = 0 disebut titik ekuilibrium [19].

Yang berarti nilai titik ekuilibrium dapat diperoleh dengan melakukan subtitusi ke titik – titik lainnya.

Contoh 2.5.2

Tentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial nonlinear berikut 𝑥̇ = −𝑥

𝑦̇ = 1 − (𝑥² + 𝑦²) (2.17)

Berdasarkan Definisi 2.5.1 maka 𝑥̇ = 𝑦̇ = 0

−𝑥 = 0 1 − (𝑥²+ 𝑦²) = 0 Sehingga diperoleh

−𝑥 = 0 𝑥 = 0 Subtitusi 𝑥 = 0 ke persamaan 𝑦̇ = 0, maka

1 − (𝑥²+ 𝑦²) = 0 1 − (0 + 𝑦²) = 0

𝑦 = ± 1

Maka diperoleh titik ekuilibrium (0,1)dan (0, −1).

17 2.6 Kestabilan Titik Ekuilibrium

Penyelesaian sistem persamaan diferensial dapat diketahui dengan cara menganalisis kestabilan titik ekuilibrium. Kestabilan pada suatu sistem berarti perubahan kecil pada sistem hanya sedikit mengubah penyelesaian untuk waktu yang akan datang. Akan tetapi, apabila perubahan kecil pada sistem mengakibatkan perubahan besar pada perilaku penyelesaian untuk waktu yang akan datang, maka sistem dikatakan tidak stabil. Penyelesaian kestabilan titik ekuilibrium dapat diselesaikan secara analitik maupun numerik.

Definisi 2.6.1 [19]

Diberikan suatu persamaan diferensial order satu ẋ = 𝑓(x) yang memiliki solusi x(𝑡, x₀) dengan kondisi awal x(0) = x₀. Titik ekuilibrium 𝑥̄ dikatakan

1. Stabil, jika ∀∈> 0, ∃𝛿 > 0 sedemikian sehingga, jika ‖x₀− x̄‖ < 𝛿, maka

‖x(𝑡, 𝑥₀) − x̄‖ <∈ ∀𝑡 ≥ 0.

2. Stabil asimtotik, jika stabil dan terdapat 𝛿₁ > 0 sedemikian sehingga jika

‖x₀− x̄‖ < 𝛿₁, maka 𝑙𝑖𝑚_𝑡→∞‖x(𝑡, 𝑥₀) − x̄‖ = 0 3. Tidak stabil jika definisi 1 tidak terpenuhi

2.6.1 Kestabilan Sistem Persamaan Diferensial Linear Definisi 2.6.2 [19]

Misalkan A adalah matriks berukuran n x n, nilai eigen dari matriks A adalah akar- akar karkteristik dari polinomial 𝑑𝑒𝑡( 𝐴 − 𝜆𝐼) = 0, maka dapat ditulis dalam bentuk

𝑎_𝑛𝜆^𝑛+ 𝑎_𝑛−1𝜆^𝑛−1+ ⋯ + 𝑎₁𝜆 + 𝑎₀ = 0 (2.18) dengan 𝑎₀ = 1

Selanjutnya akan ditunjukkan teorema yang menyatakan hubungan nilai eigen dengan kestabilan titik ekuilibrium dari definisi 2.6.2 seperti berikut:

Teorema 2.6.3 [19]

18 Diberikan sistem persamaan differensial ẋ = Ax, dengan A suatu matriks n x n dengan nilai eigen 𝜆₁, 𝜆₂, … , 𝜆_𝑗 dimana 𝑗 ≤ 𝑛

1. Titik ekuilibrium 𝑥^∗ dikatakan stabil asimtotik jika 𝜆_𝑖 < 0 ∀𝑖 = 1,2, … 𝑛.

2. Titik ekuilibrium 𝑥^∗ dikatakan stabil jika 𝜆_𝑖 < 0 dan terdapat 𝜆_𝑖=0 dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, dan

3. Titik ekuilibrium 𝑥^∗ dikatakan tidak stabil jika ∃ 𝜆_𝑖 > 0 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Contoh 2.6.1. Diberikan sistem persamaan diferensial linear otonomus 𝑥̇ = 4𝑥 + 2𝑦

𝑦̇ = −3𝑥 − 𝑦 (2.19)

Untuk mencari kestabilan titik ekuilibrium dari sistem persamaan differensial linear sistem (2.19) dapat dibentuk menjadi matriks

( 4 2

−3 −1) (𝑥 𝑦) = (

𝑥̇

𝑦̇)

Berdasarkan Definisi 2.6.2 maka diperoleh nilai eigen dari sistem (2.19) 𝑑𝑒𝑡 |4 − 𝜆 2

−3 −1 − 𝜆| = 0 𝜆²− 3𝜆 + 2 = 0

(𝜆 − 2)(𝜆 − 1) (2.20)

Maka diperoleh nilai 𝜆₁ = 2 dan 𝜆₂ = 1. berdasarkan Teorema 2.6.3 maka titik ekuilibrium dari sistem (2.19) dikatakan tidak stabil karena nilai 𝜆_1,2 > 0.

2.6.2 Kestabilan Sistem Persamaan Differensial NonLinear

Pada persamaan (2.16). Jika 𝑥^∗ = (𝑥₁^∗, 𝑥₂^∗, … , 𝑥_𝑛^∗) adalah titik ekuilibrium dari persamaan tersebut, maka

19 𝑓₁(𝑥^∗) = 𝑓₂(𝑥^∗) = ⋯ = 𝑓_𝑛(𝑥^∗) = 0

Merupakan penyelesaian persamaan nonlinear pada (2.16) kestabilan persamaan nonlinear dapat dibentuk melalui linearisasi untuk mengetahui perilaku sistem disekitar titik ekuilibrium. Linearisasi pada sistem nonlinear dimaksud untuk memperoleh aproksimasi yang baik. Pada proses linearisasi dapat dilakukan dengan menggunakan ekspansi Deret Taylor disekitar titik ekuilibrium 𝑥^∗ = (𝑥₁^∗, 𝑥₂^∗, … , 𝑥_𝑛^∗), yaitu

𝑑𝑥1

𝑑𝑡 = 𝑓₁(𝑥^∗) +^{𝜕𝑓1(𝑥∗)}

𝜕𝑥₁ (𝑥₁− 𝑥₁^∗) + ⋯ +^{𝜕𝑓1(𝑥∗)}

𝜕𝑥_𝑛 (𝑥_𝑛− 𝑥_𝑛^∗) +¹

2![^{𝜕2𝑓1(𝑥∗)}

𝜕𝑥₁² (𝑥₁− 𝑥₁^∗)²+

⋯ +^{𝜕2𝑓1(𝑥∗)}

𝜕𝑥_𝑛² (𝑥_𝑛− 𝑥_𝑛^∗)²] + ⋯ + ¹

𝑘![^{𝜕𝑘𝑓1(𝑥∗)}

𝜕𝑥₁^𝑘 (𝑥₁− 𝑥₁^∗)^k+ ⋯ +^{𝜕𝑘𝑓1(𝑥∗)}

𝜕𝑥_𝑛^𝑘 (𝑥_𝑛− 𝑥_𝑛^∗)^𝑘] + ⋯

𝑑𝑥2

𝑑𝑡 = 𝑓₂(𝑥^∗) +^𝜕𝑓_𝜕𝑥^2(𝑥∗)

1 (𝑥₁− 𝑥₁^∗) + ⋯ +^𝜕𝑓_𝜕𝑥^2(𝑥∗)

𝑛 (𝑥_𝑛− 𝑥_𝑛^∗) +_2!¹[^{𝜕2𝑓2(𝑥∗)}

𝜕𝑥₁² (𝑥₁− 𝑥₁^∗)²+

⋯ +^{𝜕2𝑓2(𝑥∗)}

𝜕𝑥_𝑛² (𝑥_𝑛− 𝑥_𝑛^∗)²] + ⋯ + ¹

𝑘![^{𝜕𝑘𝑓2(𝑥∗)}

𝜕𝑥₁^𝑘 (𝑥₁− 𝑥₁^∗)^k+ ⋯ +^{𝜕𝑘𝑓2(𝑥∗)}

𝜕𝑥_𝑛^𝑘 (𝑥_𝑛− 𝑥_𝑛^∗)^𝑘] + ⋯

⋮

𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡 = 𝑓_𝑛(𝑥^∗) +^{𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)}

𝜕𝑥1 (𝑥₁− 𝑥₁^∗) + ⋯ +^{𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)}

𝜕𝑥𝑛 (𝑥_𝑛− 𝑥_𝑛^∗) + ¹

2![^{𝜕2𝑓𝑛(𝑥∗)}

𝜕𝑥₁² (𝑥₁− 𝑥₁^∗)²+

⋯ +^{𝜕2𝑓𝑛(𝑥∗)}

𝜕𝑥_𝑛² (𝑥_𝑛 − 𝑥_𝑛^∗)²] + ⋯ + ¹

𝑘![^{𝜕𝑘𝑓𝑛(𝑥∗)}

𝜕𝑥₁^𝑘 (𝑥₁− 𝑥₁^∗)^k+ ⋯ +^{𝜕𝑘𝑓𝑛(𝑥∗)}

𝜕𝑥_𝑛^𝑘 (𝑥_𝑛− 𝑥_𝑛^∗)^𝑘] + ⋯

Linearisasi sistem (2.16) di sekitar titik ekuilibrium 𝑥^∗ = (𝑥₁^∗, 𝑥₂^∗, … , 𝑥_𝑛^∗), dilakukan dengan cara mengabaikan suku-suku yang pangkatnya lebih dari satu pada hasil ekspansi dari Deret Taylor di sekitar suku tersebut. Suku-suku yang mempunyai pangkat lebih dari satu pada sistem diabaikan, maka diperoleh

20 𝑑𝑥₁

𝑑𝑡 = 𝑓₁(𝑥^∗) +𝜕𝑓₁(𝑥^∗)

𝜕𝑥₁ (𝑥₁ − 𝑥₁^∗) + ⋯ +𝜕𝑓₁(𝑥^∗)

𝜕𝑥_𝑛 (𝑥_𝑛− 𝑥_𝑛^∗) 𝑑𝑥₂

𝑑𝑡 = 𝑓₂(𝑥^∗) +𝜕𝑓_𝑛(𝑥^∗)

𝜕𝑥₁ (𝑥₁− 𝑥₁^∗) + ⋯ +𝜕𝑓₂(𝑥^∗)

𝜕𝑥_𝑛 (𝑥_𝑛− 𝑥_𝑛^∗)

⋮ 𝑑𝑥_𝑛

𝑑𝑡 = 𝑓_𝑛(𝑥^∗) +𝜕𝑓₁(𝑥^∗)

𝜕𝑥₁ (𝑥₁− 𝑥₁^∗) + ⋯ +𝜕𝑓_𝑛(𝑥^∗)

𝜕𝑥_𝑛 (𝑥_𝑛− 𝑥_𝑛^∗)

(2.21)

Persamaan (2.21) dapat ditulis dalam bentuk

( 𝑑𝑥₁

𝑑𝑡 𝑑𝑥₂

𝑑𝑡⋮ 𝑑𝑥_𝑛

𝑑𝑡 )

=

(

𝜕𝑓₁(𝑥^∗) 𝑑𝑥₁

𝜕𝑓₁(𝑥^∗)

𝑑𝑥₂ ⋯ 𝜕𝑓₁(𝑥^∗) 𝑑𝑥_𝑛

𝜕𝑓₂(𝑥^∗) 𝑑𝑥₁

𝜕𝑓₂(𝑥^∗)

𝑑𝑥₂ ⋯ 𝜕𝑓_𝑛(𝑥^∗) 𝑑𝑥_𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝜕𝑓_𝑛(𝑥^∗) 𝑑𝑥₁

𝜕𝑓_𝑛(𝑥^∗)

𝑑𝑥₂ ⋯ 𝜕𝑓_𝑛(𝑥^∗) 𝑑𝑥_𝑛 )

(

(𝑥₁− 𝑥₁^∗) (𝑥₂ − 𝑥₂^∗)

⋮ (𝑥_𝑛 − 𝑥_𝑛^∗)

) (2.22)

Misalkan

𝑤₁ = 𝑥₁− 𝑥₁^∗, 𝑤₂ = 𝑥₂− 𝑥₂^∗, … 𝑤_𝑛 = 𝑥_𝑛 − 𝑥_𝑛^∗ (2.23) Sehingga diperoleh

𝑑𝑤₁

𝑑𝑡 =𝑑𝑥₁ 𝑑𝑡 ,𝑑𝑤₂

𝑑𝑡 =𝑑𝑥₂

𝑑𝑡 , … ,𝑑𝑤_𝑛

𝑑𝑡 =𝑑𝑥_𝑛

𝑑𝑡 (2.24)

Substitusi persamaan (2.23) dan (2.24) ke persamaan (2.21), sehingga persamaan (2.21) dapat ditulis

𝑑𝑤₁

𝑑𝑡 = 𝑓₁(𝑥^∗) +𝜕𝑓₁(𝑥^∗)

𝜕𝑥₁ 𝑤₁+ ⋯ +𝜕𝑓₁(𝑥^∗)

𝜕𝑥_𝑛 𝑤_𝑛 𝑑𝑤₂

𝑑𝑡 = 𝑓₂(𝑥^∗) +𝜕𝑓_𝑛(𝑥^∗)

𝜕𝑥₁ 𝑤₁+ ⋯ +𝜕𝑓₂(𝑥^∗)

𝜕𝑥_𝑛 𝑤_𝑛

⋮

(2.25)

21 𝑑𝑤_𝑛

𝑑𝑡 = 𝑓_𝑛(𝑥^∗) +𝜕𝑓₁(𝑥^∗)

𝜕𝑥₁ 𝑤₁+ ⋯ +𝜕𝑓_𝑛(𝑥^∗)

𝜕𝑥_𝑛 𝑤_𝑛 atau

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 𝐽_(𝑥1^∗_,𝑥2^∗_{,… 𝑥𝑛}^∗₎𝑤 (2.26) Dengan 𝐽_(𝑥1^∗_{, 𝑥2}^∗_{,… 𝑥𝑛}^∗₎ merupakan matriks Jacobian di sekitar titik ekuilibrium 𝑥^∗ = (𝑥₁^∗, 𝑥₂^∗, … , 𝑥_𝑛^∗). Sehingga persamaan (2.25) merupakan hasil linearisasi dari persamaan diferensial nonlinear. Selanjutnya akan dibahas teorema kriteria kestabilan titik ekuilibrium pada persamaan diferensial nonlinear.

Teorema 2.6.4 [20]

Diberikan matriks Jacobian 𝐽_(𝑥1^∗_{, 𝑥2}^∗_{,… 𝑥𝑛}^∗₎ dari persamaan (2.25)

1. Jika semua bagian real nilai eigen dari matriks 𝐽_(𝑥1^∗_{, 𝑥2}^∗_{,… 𝑥𝑛}^∗₎ bernilai negatif, maka titik ekuilibrium dari 𝑥^∗= (𝑥₁^∗, 𝑥₂^∗, … 𝑥_𝑛^∗) dari sistem nonlinear (2.16) stabil asimtotik lokal.

2. Jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen dari matriks 𝐽_(𝑥1^∗_{, 𝑥2}^∗_{,… 𝑥𝑛}^∗₎ bernilai positif maka titik ekuilibrium 𝑥^∗ = (𝑥₁^∗, 𝑥₂^∗, … 𝑥_𝑛^∗) dari sistem nonlinear (2.16) tidak stabil.

Contoh 2.6.2

Berikut akan dicari kestabilan titik ekuilibrium persamaan (2.17) , berdasarkan Contoh 2.5.2 diperoleh titik ekuilibrium yaitu (0,1) dan (0, −1). Selanjutkan akan dilakukan linearisasi di sekitar titik ekuilibrium untuk melihat kelinearannya dengan Matriks Jacobian.

𝐽_(𝑥^∗_,𝑦^∗₎ = (

𝜕

𝜕𝑥 𝑑𝑥̇

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝑦 𝑑𝑥̇

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝑥 𝑑𝑦̇

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝑦 𝑑𝑦̇

𝑑𝑡

)