PRESENTASI TUGAS AKHIR KI IMPLEMENTASI ALGORITMA PENCARIAN K JALUR SEDERHANA TERPENDEK DALAM GRAF

(1)

IMPLEMENTASI ALGORITMA PENCARIAN

K

JALUR SEDERHANA TERPENDEK

DALAM GRAF

(Kata kunci:

Algoritma deviasi, algoritma Dijkstra, jalur sederhana, jalur terpendek)

PRESENTASI TUGAS AKHIR – KI091391

Penyusun Tugas Akhir :

Anggakara Hendra Nandana

(NRP: 5108.100.075)

Dosen Pembimbing

:

Yudhi Purwananto, S.Kom., M.Kom.

Rully Soelaiman, S.Kom., M.Kom.

(2)

(3)

ILUSTRASI PERMASALAHAN

3 10 Juli 2013 Tugas Akhir - KI091391

Problem dari situs Sphere Online Judge (SPOJ) berjudul “

Kth Shortest Path

”

(4)

DESKRIPSI SOAL SPOJ “Kth Shortest Path”

1. Seseorang bernama Isaac merasa bosan karena setiap hari melalui jalur yang sama untuk melakukan perjalanan dari rumah menuju kantor.

2. Jalur yang diambil Isaac selalu merupakan jalur terpendek, yaitu jalur dengan biaya terkecil, dan selalu merupakan jalur sederhana.

3. Biaya pada sebuah jalur merupakan total waktu yang dibutuhkan untuk melewati jalan-jalan yang menghubungkan dua buah tempat yang menyusun jalur tersebut. 4. Waktu yang dibutuhkan untuk melewati sebuah jalan bisa bernilai sama atau berbeda

dengan jalan-jalan yang lain.

5. Pada hari-hari berikutnya, Isaac ingin melewati jalur terpendek yang belum pernah dilewatinya.

(5)

BATASAN SOAL SPOJ “Kth Shortest Path”

1. Jumlah verteks maksimum 50 buah, jumlah

edge

maksimum 2450 buah, dan banyak jalur yang dicari (

k

) maksimum 200 buah.

2. Jalur yang dicari harus merupakan jalur sederhana, yaitu jalur yang tidak memiliki pengulangan verteks penyusun.

(6)

FORMAT DATA MASUKAN

• Data masukan merupakan sebuah berkas teks yang hanya berisi bilangan bulat • Masing-masing bilangan bulat merepresentasikan detail graf dengan format seperti

pada Gambar 1

n m k a b

x

₁

y

₁

z

₁

x

₂

y

₂

z

₂

…

x

_m

y

_m

z

_m

jumlah verteks jumlah edge jumlah jalur

yang dicari verteks sumber _jalurverteks tujuan _jalur

(7)

FORMAT DATA MASUKAN

n m k a b

x

₁

y

₁

z

₁

x

₂

y

₂

z

₂

…

x

_m

y

_m

z

_m

verteks sumber

verteks tujuan

bobot

edge

• Data masukan merupakan sebuah berkas teks yang hanya berisi bilangan bulat • Masing-masing bilangan bulat merepresentasikan detail graf dengan format seperti

pada Gambar 1

(8)

CONTOH DATA MASUKAN

4 6 2 1 4

2 3 1

1 3 2

1 2 1

1 4 3

2 4 2

3 4 1

1

2

4

3

1

2

1

3

2

1

4

(9)

FORMAT DATA KELUARAN

• Data keluaran merupakan sebuah berkas teks yang hanya berisi bilangan bulat.

• Masing-masing bilangan bulat merepresentasikan verteks-verteks penyusun jalur yang ditemukan

• Urutan penulisan verteks-verteks penyusun jalur dimulai dari verteks sumber hingga verteks tujuan.

• Pada tiap dua buah verteks dipisahkan sebuah tanda hubung (-).

a-v

₂

-…-v

_l-1

-b

(10)

CONTOH DATA KELUARAN

1-2-4

4 6 2 1 4

2 3 1

1 3 2

1 2 1

1 4 3

2 4 2

3 4 1

Data Masukan

2 3 1 2 1 3 2 1 1 4

(11)

10 Juli 2013 Tugas Akhir - KI091391 11

ALGORITMA NAIF (1)

2 3 1 2 1 3 2 1 1 4

• Daftar kemungkinan jalur dari vertex 1 ke vertex 4: 1 : 1-2-3-4, bobot = 3

2 : 1-2-4, bobot = 3 3 : 1-3-4, bobot = 3 4 : 1-4, bobot = 3

• Pada

k

jalur terpendek pertama, masing-masing verteks dapat menjadi verteks penyusun jalur sebanyak

maksimal

k

kali.

• Vertex sumber dan verteks tujuan jalur selalu muncul pada setiap

k

jalur terpendek.

• Pencarian jalur dapat dilakukan dengan mencari seluruh kemungkinan jalur yang menuju verteks tujuan, hingga ditemukan jalur yang berasal dari verteks sumber

(12)

ALGORITMA NAIF (2)

2 3 1 2 1 3 2 1 1 4

(13)

HASIL ALGORITMA NAIF

Kesimpulan:

Algoritma naif kurang efisien untuk menyelesaikan permasalahan pencarian

k

jalur sederhana terpendek.

(14)

LATAR BELAKANG

1. Problem berjudul “

Kth Shortest Path

” pada situs SPOJ merupakan contoh

permasalahan yang dapat ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, sehingga

dibutuhkan sebuah algoritma untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.

2. Algoritma naif kurang efisien dalam hal kecepatan dan memori yang

(15)

BATASAN MASALAH

1. Pustaka yang digunakan untuk membantu pengimplementasian algoritma

merupakan C++ Standard Template Library (STL). Pustaka-pustaka tersebut

antara lain: cstdio, iostream, algorithm, cstring, vector, queue, dan ctime.

2. Kebutuhan memori hasil implementasi mengacu pada hasil keluaran dari

(16)

TUJUAN MASALAH

1. Untuk melakukan studi dan mengimplementasi algoritma pencarian

k

jalur

sederhana terpendek dalam graf yang lebih optimal dibandingkan dengan

algoritma naif dengan bantuan pustaka dari C++ Standard Template Library

.

2. Untuk menguji kebenaran hasil implementasi algoritma pencarian

k

jalur

sederhana terpendek dalam graf.

(17)

KERANGKA PRESENTASI

Pendahuluan

Rangkaian Proses

Uji Coba

Kesimpulan

Pencarian kandidat jalur terpendek pertama

Pengambilan jalur terpendek dari himpunan kandidat

jalur X

Penghapusan subjalur dan edge-edge dari graf

Pembentukan pohon jalur terpendek Tt

Pencarian kandidat-kandidat jalur terpendek berikutnya

Pengecekan jumlah jalur dan isi himpunan kandidat

(18)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 1

jalur X

1 • Jalur terpendek pertama digunakan sebagai acuan _{untuk menentukan kandidat-kandidat jalur terpendek}

berikutnya.

(19)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 1

jalur X

jalur

1 • Jalur terpendek dari verteks 1 menuju verteks 4 pada _{Gambar 2 adalah jalur 1-2-3-4}

• Jalur terpendek yang didapat kemudian ditambahkan ke himpunan kandidat jalur

_X

(20)

ALGORITMA DEVIASI

• Jalur-jalur terpendek yang didapat dari sebuah graf dapat membentuk pohon jalur terpendek seperti pada Gambar 3

• Sebuah jalur

p

_k selalu memiliki rangkaian vertex yang sama dengan jalur

p

₁, …,

p

_k-1 dari verteks sumber sampai verteks tertentu.

• Verteks tersebut merupakan letak jalur

p

_k menyimpang dari himpunan jalur {

p

₁, …,

p

_k-1} dan disebut verteks deviasi. Verteks deviasi pada jalur

_p

dinotasikan sebagai

_d

₍

_p

₎

(21)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 2

jalur X

jalur

2

• Himpunan kandidat jalur

X

berisi kandidat-kandidat jalur terpendek

• Jalur yang diambil adalah jalur dengan bobot minimum dari semua anggota

_X

, dan dinotasikan sebagai jalur

_p.

• Panjang jalur

p

dinotasikan sebagai

l

, dan urutan verteks penyusunnya dinotasikan sebagai

v

₁,

v

₂, …,

v

_l.

• Banyaknya jalur yang telah diambil dari

X

menunjukkan banyaknya jalur yang telah ditemukan

2

1

1 1

4

Contoh jalur terpendek dari

X

(bobot = 3)

v

1

v

2

v

_l/

v

4

3 v

3

(22)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 2

jalur X

2

• Agar proses pemilihan jalur terpendek dapat lebih efisien, maka diperlukan struktur data yang tepat. • Pada program, implementasi himpunan kandidat jalur

menggunakan struktur data priority_queue yang

mengaplikasikan struktur heap biner.

1 1

v

1

v

2

v

3

v

_l/

v

4

(23)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 3

jalur X

jalur

3

• Bertujuan agar jalur yang sudah ditemukan tidak dapat menjadi kandidat jalur terpendek berikutnya. • Subjalur yang dihapus dimulai dari verteks sumber

hingga verteks ke-(

_l

_{-1) pada jalur}

_p

dan dinotasikan dengan

_sub

_p₍

_s

_,

_v

_{l -1}₎

• Hapus semua edge yang berasal dari verteks deviasi jalur-jalur yang ditemukan sebelum jalur

p

.

(24)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 4

jalur X

4

• Pohon jalur terpendek

T

_t adalah struktur pohon dari graf yang berakar pada verteks

_t

, yaitu verteks tujuan jalur.

(25)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 4

jalur X

jalur

4

• Pada proses algoritma, pohon jalur terpendek dibentuk dari graf setelah dilakukan penghapusan verteks dan edge pada graf

(26)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 5

jalur X

5

Pengembalian verteks _v_i ke dalam graf

Penghitungan jarak antara

vi dengan t

Penambahan kandidat jalur ke dalam _X Pengembalian edge (vi, vi+1) pada graf 5.1 5.2 5.3 5.4

(27)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 5.1

5

vi dengan t

Penambahan kandidat jalur ke dalam _X

Pengembalian edge (vi, vi+1)

pada graf 5.1

Perbaikan struktur pohon _T_t

(28)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 5.2

5

vi dengan t

pada graf 5.2

Dilakukan penghitungan kembali jarak antara

v

_i

(29)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 5.3

5

vi dengan t

pada graf 5.3

Perbaikan struktur pohon _T_t

• Jika jalur dari verteks

v

_i ke verteks

t

dapat

ditetapkan, maka dilakukan penambahan kandidat jalur baru.

• Kandidat jalur merupakan gabungan dari

sub

_p(

s

,

v

_i) dengan jalur dari

_v

_i menuju

_t

pada struktur pohon

T

_t

.

(30)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 5.4

5

vi dengan t

(31)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 5.5

5

vi dengan t

pada graf

5.5 Perbaikan struktur pohon T_t

3 1 4 2 2 ₁ 1 2 ₃ ₄

v

_i 3 1 4 2 2

T

_t

sebelum

(32)

RANGKAIAN PROSES: LANGKAH 6

jalur X

• Rangkaian proses algoritma berhenti jika salah satu dari dua kondisi berikut tercapai:

1. jumlah jalur yang diambil dari

_X

sudah sama dengan

_k

(33)

KERANGKA PRESENTASI

Uji Kebenaran

Uji Kecepatan

Uji Perbandingan Algoritma

Pendahuluan

Rangkaian Proses

Uji Coba

(34)

UJI KEBENARAN

5 8 4 1 5 1 2 1 1 4 3 1 3 1 2 4 2 3 4 2 2 5 3 4 5 1 3 5 2 1-3-4-5

Data Masukan _{Data Keluaran Program}

(35)

UJI KECEPATAN (1)

• Waktu minimal = 2,73 detik • Waktu maksimal = 2,83 detik

(36)

UJI KECEPATAN (2)

k Judul Graf Waktu (detik) 100 A 0.024 B 0.035 C 0.588 D 94.856 500 A 0.115 B 0.161 C 3.030 D 448.342 1000 A 0.227 B 0.328 C 6.165 D 888.671 5000 A 1.114 B 1.562 C 32.113 D 4486.230

Judul Graf Jumlah Verteks Jumlah Edge

(37)

UJI PERBANDINGAN ALGORITMA

k Judul Graf Algoritma TA Algoritma Naif 100 A 0.016 0.296 B 0.035 0.561 500 A 0.093 1.294 B 0.161 3.104 1000 A 0.187 2.62 B 0.328 6.24 5000 A 0.974 14.461 B 1.562 30.576

Judul Graf Jumlah Verteks Jumlah Edge

(38)

KERANGKA PRESENTASI

Kesimpulan

Pendahuluan

Rangkaian Proses

(39)

Kesimpulan

1. Hasil implementasi algoritma pencarian jalur sederhana terpendek yang

dijelaskan pada tugas akhir ini dapat menghasilkan keluaran yang benar.

2. Kompleksitas waktu eksekusi program adalah

_Ο

₍

_kn

₍

_m

₊

_n

_log

₍

_n

_{)) pada}

_n

buah

edge

,

_m

buah verteks, dan

_k

jalur yang dicari pada graf.

(40)

Saran

(41)

(42)

KERANGKA PRESENTASI

Struktur Pohon Jalur Terpendek

Struktur Percabangan Jalur

Struktur Pohon

T

_t

Pendahuluan

Metode

Uji Coba

(43)

POHON JALUR TERPENDEK

Struktur Pohon

T

_t Rangkaian Proses

2

1

3

4

0 2 0 2 0 0 3 1

5 Daftar tiga jalur terpendek dari

verteks 1 ke verteks 5:

P

₁

: 1-2-5

P

₂

: 1-4-3-5

(44)

POHON JALUR TERPENDEK

(45)

PERCABANGAN JALUR

Struktur Pohon

T

_t

Rangkaian Proses

s

a

t

Jalur ke-

p

:

Kandidat jalur-jalur ke-

q

(

q

>

p

):

s

…

a

t

(46)

STRUKTUR POHON T

_t

Struktur Pohon

T

_t

Rangkaian Proses

(47)

STRUKTUR POHON T

_t

Struktur Pohon

T

_t

Rangkaian Proses

2

3

4

2 0 2 0

5 Struktur Pohon T

_t

setelah dilakukan

penghapusan edge-edge pada jalur 1-2-5

1

3

(48)

(49)

(50)

(51)