Model Takagi-sugeno Dengan Prototype Algoritma Population Diameter Independent (Pdi) Untuk Pencocokan Kurva Dalam.

(1)

MODEL TAKAGI-SUGENO DENGAN PROTOTYPE ALGORITMA

POPULATION DIAMETER INDEPENDENT (PDI)

UNTUK PENCOCOKAN KURVA DALAM PERAMALAN

Sri Mulyani Sanro’I, Anindya Apriliyanti P Universitas Padjadjaran Bandung

dejafu_2008@yahoo.com

Abstrak

Peramalan atau time series adalah salah satu metode ststistika yang banyak digunakan berbagai kalangan untuk memprediksi data yang akan datang. Berbagai metode berlomba-lomba untuk menghasilkan ketepatan dalam peramalan. Takagi Sugeno (TS) merupakan salah satu metode yang cocok digunakan untuk data musiman. Dalam metode TS, digunakan prototype dari fuzzy clustering. Penelitian kali ini akan mencobakan prototype dari Population Diameter Independent (PDI) pada model TS dan membandingkannya dengan prototype dari Fuzzy C-means (FCM) dan Gustafson-Kessel (GK).

Kata Kunci : Peramalan, Takagi, Sugeno, Population Diameter Independent

PENDAHULUAN

Perkembangan himpunan fuzzy yang sangat pesat membuat berbagai penelitian yang menghasilkan metode berbasis himpunan fuzzy. Perkembangan tersebut juga meliputi pemodelan sistem yang disebut dengan fuzzy modeling atau fuzzy control. Banyak metode sebelumnya yang menggunakan prinsip himpunan tegas kemudian diteliti ulang dan dibuat versinya dalam himpunan fuzzy. Metode ststistik seperti regresi dan time series juga tidak lepas dari pandangan peneliti. Fuzzy regression dan

fuzzy time series pada prinsipnya hampir sama dengan regresi dan time series pada himpunan tegas. Tujuannya adalah mencari model matematis yang dapat mewakili data aktual, ketepatan pemodelan secara visual ditunjukkan oleh pencocokan kurva (curve fitting).

Salah satu model dalam fuzzy control yang sering digunakan dalam penelitian adalah Model Takagi-Sugeno ((Takagi dan Takagi-Sugeno, 1985);(Takagi-Sugeno dan Tanaka, 1991)). Model ini cocok digunakan dalam diagnostik model-model non linear. Kehalusan kurva dalam regresi dan time series, biasanya dicapai dalam kondisi non parametrik, namun dapat pula didekati dengan pemodelan fuzzy. Penelitian ini akan membahas mengenai model Takagi-Sugeno (TS) untuk forecasting (peramalan). Dalam formula untuk peramalan, terdapat prototype yang diperoleh dari algoritma pengelompokkan fuzzy. Penelitian sebelumnya oleh Wolkenhauer (Wolkenhauer, 1999) menggunakan algoritma Fuzzy C-means (FCM) dan Gustafson-Kessel (GK). Penelitian ini akan mencoba untuk mengganti prototype FCM dan GK dengan prototype dari algoritma Population

Diameter Independent (PDI). Algoritma ini merupakan pengembangan lebih lanjut dari FCM dan GK yang dibahas pertama kali oleh Shihab (Shihab, 2000). Pembandingan dilakukan secara visual yaitu terhadap hasil pencocokan kurva secara

probabilistic dan possibilistic untuk masing-masing algoritma.

BAHAN DAN METODE

1. Model Takagi-Sugeno (TS)

Model TS pertama kali dikemukakan oleh Takagi dan Sugeno tahun 1985. model ini termasuk kategori model linguistik karena menggunakan logika matematika dengan premis dan consequent

yang diberikan oleh persamaan (1) dan bentuk

conjunctive-nya diberikan pada persamaan (2).

 

i i

i

A

y

f

x

R

:

IF

x

is

,

THEN



,

i=1, 2, ..., nR (1)

, is AND is

AND is

IF

: ₁ _i₁ ₂ _i₂ _r _ir

i x A x A x A

R 

 

i

f

x

y



THEN

(2)

Keterangan:

 x adalah variabel antecedent atau dalam beberapa jurnal sering disebut sebagai variabel input. Himpunan fuzzy variabel antecendent

diberikan dalam bentuk vektor

(2)

 y adalah variabel consequent atau variabel output. Model linear dari y diberikan pada persamaan :

i T i

i b

y a x (3)

 Batasan fuzzy

 

: 1 2... r 

 

0,1

Ai x X X X



merupakan derajat keanggotaan x dalam A.

2. Identifikasi Parameter Consequent pada Model Takagi Sogeno

Diberikan sebuah persamaan untuk variabel consequent seperti pada persamaan (4). Dengan derajat normalisasi dalam fuzzy yang diberikan persamaan (5).

 





 



 





R R n i i n i i T i

i

x

b

y

1 1

.

x

a

x



(4)

 





R n i i i i 1

x





(5)

Substitusi persamaan (5) ke persamaan (4) diperoleh penyederhanaan untuk y sebagai berikut:

 



 



 







c

i i i

c i T i i

b

y

1 1

.

a

x



 

x

 

x

a b

y T



 (6)

Persamaan (6) dikenal dengan model quasilinear, dengan a dan b adalah parameter consequent.

3. Fuzzy forecasting dengan Model TS

Dalam forecasting atau peramalan nilai

 

x _i

 

x

Ai





 _{dihitug secara langsung. Nilai}

 

x

i



diberikan oleh dua metode, yaitu metode

probabilistic dan metode possibilistic. Persamaan (7) dan (8) berturut-turut memberikan nilai



_i

 

x

untuk metode probabilistic dan metode possibilistic.

 



 



 



 







 



 



_c k w i i i i i

d

1 1 / 1 2

2

,

p

,

p

1

x A

x

A

x

x x



(7)

 



 i



i

d

_A

x

_x

x

,

p

1

2







₍₈₎ Dengan

 i



 i



d

_A

x

_x

x

,

p

2

=



 



T  i



 i _j



j

i _m _A _m

x x

x  p 

p

(9)

Dimana  i x

p adalah prototype dari algoritma pengelompokkan yang akan diberikan pada bab selanjutnya.

4. Prototype dan Algoritma Pengelompokkan Prototype dalam pengelompokkan fuzzy merupakan pusat pengelompokkan yang mewakili titik-titik pengamatan. Pengelompokkan fuzzy atau

fuzzy clustering memberikan beberapa jenis algoritma pengelompokkan. Diantaranya yang pernah dipakai dalam menentukan prototype untuk peramalan adalah Fuzzy C-Means (FCM) dan Gustafson Kessel (GK). Kedua algoritma tersebut memiliki fungsi objektif yang sama, yang membedakan adalah nilai  i

x

A pada matriks jarak serta fungsi keanggotaan. Fungsi objektif FCM dan GK diberikan oleh persamaan (10)





 





 



c

i N

k ik k i

m ik

FCM

c

m

u

d

J

1 1 2

,

)

(

,

x

p

X

U,

P,

(10)

dengan constraint subjek

1





 c i ik

u

untuk



N



k 1,,

 . Algoritma FCM diberikan pada Tabel 1.

Tabel 1. Algoritma FCM

1 Menentukan c banyak cluster atau kelompok yang ingin dibuat.

2 Menentukan tingkat ke-fuzzy-an hasil pengelompokan (m), diambil m=2.

(3)



k i



ik m ik d

u ) x ,p

( 2

4 Update anggota matriks U dengan persamaan

 



           c j m jk ik ik d d u 1 1 / 1 2 2 * 1 (12) 5 Bandingkan nilai keanggotaan dalam matriks

U, jika || U(k+1)_-_U(k)_||_<



_{maka sudah}

konvergen dan iterasi dihentikan. Jika ||U(k+1)

- U(k)_||_≥



_,_{maka kembali ke langkah 3.}

Jarak yang dipakai dalam FCM adalah jarak Eulidean, sehingga

A

 _xi adalah berupa matrik identitas. Sedangkan untuk algoritma GK, pada mulanya memakai jarak euclid, namun sejalan iterasi, matriks

A

 _xi akan berubah dengan memasukkan matriks covarian sebagai atributnya. Algoritma GK diberikan pada Tabel 2

Tabel 2. Algoritma Gustafson Kessel

3 Menentukan  i x

A awal dimana det  i x

A =

i



4 Menghitung matriks U dengan persamaan

 



           c j m jk ik ik d d u 1 1 / 2 2 2 * 1 (13) 5 Menghitung fuzzy cluster center (P) dengan

persamaan



 



_N k m ik N k k m ik i

u

1 1

x

P

(14) 6 Update  i

x

A dengan

i p i i i A C C

1 1/

1          

 (15)

Dimana C adalah matrik covarians fuzzyi

i C =









 



N k m ik N k T i k i k m ik

u

1 1

p

x

p

x

(16)

7 Bandingkan nilai keanggotaan dalam matriks

U, jika || U(k+1)_-_U(k)_||_<



_{maka sudah}

konvergen dan iterasi dihentikan. Jika ||U(k+1)

-U(k)_||_≥



Perbaikan dari kedua metode tersebut dikemukakan oleh Shihab (2000). Algoritmanya diberi nama Population Diameter Independent (PDI). Prinsip metode ini adalah membentuk sebuah batasan pengelompokkan pada diameter tertentu. Setiap pengelompokkan pada satu diameter berkontribusi secara optimum. Jika kontribusi dalam FCM dan GK dibuat sama per kelompok, maka dalam PDI dapat berbeda tergantung dari kontribusi optimum yang diberikan oleh setiap kelompok. Dalam ruang 2 dimensi bentuk batasan tersebut akan menyerupai lingkaran, dalam ruang tiga dimensi bentuknya akn menyerupai bola dan seterusnya. Fungsi objektif dari PDI diberikan pada persamaan (17)





 





 



c

i N

k ik k i

m ik k

i

FCM

c

m

u

d

J

1 1 2

,

)

(

1

,

x

p

X

U,

P,



dengan constraint subjek

1





 c i ik

u

dan

1





 c i i



. Algoritma PDI diberikan oleh Tabel 3.

Jarak yang digunakan adalah jarak euclidean.

Tabel 3. Algoritma PDI

3 Menentukan i= det A xi , diambil

 i x

A

matriks identitas

4 Menghitung matriks U dengan persamaan

   



  





c j m ik r i m ik r i ik

d

u

1 1 / 1 2 1 / 1 2 *



(18)

(4)

(19) 6 Update i

 

 































c

i

r N

k ik

m ik

r N

k ik

m ik

i

d

u

d

u

1

1 / 1

1

2 1 / 1

1

2



(20)

7 Bandingkan nilai keanggotaan dalam matriks

U, jika || U(k+1)_-_U(k)_||<



_{maka sudah}

konvergen dan iterasi dihentikan. Jika || U(k+1)

- U(k)_{|| ≥}



HASIL DAN DISKUSI

Data simulasi yang digunakan adalah model time series Chaotic Mackey-Glass dengan persamaan:



 









  

 

t x

t x t

t x

10

1 2 . 0 d

) ( d

(21)

Gambar fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 1. Hasil pencocokan kurva dengan prototype

algoritma FCM, GK dan PDI secara berturut-turut diberikan oleh Gambar 2, 3 dan 4. Garis lurus menggambarkan model Mackey Glass, sedangkan garis putus-putus merupakan pencocokan kurva peramalan.

Dari gambar 2, 3 dan 4 dengan bantuan Matlab, dapat dilihat bahwa secara possibilistic algoritma GK lebih baik daripada FCM, namun pendekatan dengan PDI memberikan hasil yang paling baik. Dilihat dari plot probabilistik dan possibilistic PDI memberikan hasil yang paling mendekati model aktual (dalam hal ini adalah model Chaotic Mackey-Glass). Jadi dapat disimpulkan bahwa prototype

prototype dengan algoritma PDI memberikan hasil

forecast yang paling baik dibandingkan dengan

prototype algoritma FCM dan GK. Mean Square Error untuk masing-masing prototype diberikan pada Tabel 4.

Gambar 1. Model Chaotic Mackey-Glass

Dari gambar 2, 3 dan 4 dengan bantuan Matlab, dapat dilihat bahwa secara possibilistic algoritma GK lebih baik daripada FCM, namun pendekatan dengan PDI memberikan hasil yang paling baik. Dilihat dari plot probabilistik dan possibilistic PDI memberikan hasil yang paling mendekati model aktual (dalam hal ini adalah model Chaotic Mackey-Glass). Jadi dapat disimpulkan bahwa

prototype dengan algoritma PDI memberikan hasil

forecast yang paling baik dibandingkan dengan

prototype algoritma FCM dan GK. Mean Square Error untuk masing-masing prototype diberikan pada Tabel 4.

Tabel 4. Mean Square Error Probabilistic dan

Possibilistic FCM, GK dan PDI Prototype MSE

Probabilistic PossibilisticMSE

FCM 2.16 1.55

GK 1.78 1.12

PDI 1.09 0.84

KESIMPULAN

Fuzzy control dengan model Takagi Sugeno sangat baik digunakan untuk pencocokan kurva time series. Dengan mengganti prototype

menggunakan algoritma Population Diameter Independent (PDI) dihasilkan pencocokan kurva yang lebih baik dari pada FCM dan GK, baik secara

probabilistic maupun possibilistic.

(5)

Gambar 3. GK: metode probabilstic (a) dan metode possibilistic (b)

Gambar 4. PDI: metode probabilstic (a) dan metode possibilistic (b)

DAFTAR PUSTAKA

[1] Mastorakis, N., (1998), General Fuzzy System as Extensions of the Takagi Sugeno methodology, WSEAS Theologou, 17-23 [2] Shihab, A. I., (2000), Fuzzy Clustering

Algorithm and Their Application to Medical Image Analysis. Dissertation, University of London, London.

[3] Sugeno, M dan Tanaka, K., (1991). Successsive identification of a fuzzy model and its application to prediction a complex system. Fuzzy sets ad System, vol 42, 315-334