T. TUTUT WIDIASTUTI. A,

1

BAHAN AJAR

KALKULUS VEKTOR

Oleh:

T. TUTUT WIDIASTUTI. A, M.Pd

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG

DJATI BANDUNG

2018

2

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur, kami panjatkan kepada Alloh SWT yang tak hentinya memberikan nikmat keimanan, keislaman dan kesehatan pada kami sehingga kami dapat menyelesaikan modul ini. Tak lupa pula shalawat beserta salam tetap tercurah pada Nabi Muhammad SAW yang diutus oleh Alloh SWT ke muka bumi ini sebagai rahmatan lil-„alamin.

Kami menyadari dan meyakini sepenuhnya, bahwa penyelesaian modul ini selain berkat dan pertolongan Alloh, juga atas dukungan dari beberapa pihak, oleh karena itu, kami sebagai penyusun mengucapkan terimakasih yang sedalam- dalamnya kepada pihak-pihak baik secara langsung maupun tidak langsung mendukung kami.

Selain ucapan terimakasih penyusun pun sangat menyadari bahwa modul ini jauh dari kesempurnaan, maka dari itu penyusun sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun, agar modul selanjutnya menjadi lebih baik.

Bandung, Maret 2018

Penyusun

3

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

KATA PENGANTAR ... ii

DAFTAR ISI ... iii

BAB I VEKTOR DAN SKALAR ... 1

BAB II HASIL KALI TITIK DAN SILANG ... 27

BAB III DIFERENSIASI VEKTOR ... 53

BAB IV GRADIEN, DIVERGENSI, CURL ... 64

BAB V INTEGRASI VEKTOR ... 80

DAFTAR PUSTAKA ... 86

4 BAB I

VEKTOR DAN SKALAR

A. Sejarah Vektor dan Skalar

Dalam mempelajari sebuah ilmu sering kali kita melupakan siapa sebenarnya yang mencetuskan ilmu tersebut, bahkan kita sering mempertanyakan sebenarnya apa kegunaan dari ilmu tersebut bagi kehidupan kita. Begitu juga halnya dengan vektor kita sudah selayaknya mengetahui sosok pencetus sebenarnya agar kita memahami serta mengetahui kegunaan bagi kehidupan dari ilmu ini.

Kita sangat berhutang kepada pengembang metoda ini, seseorang yang jarang kita dengar, walaupun Albert Einstein sendiri mengakuinya sebagai salah satu pemikir terhebat. Nama ilmuwan ini adalah Josiah Willard Gibbs. Konsep mengenai vektor di dalam Fisika memiliki peranan yang sangat penting guna memberikan kejelasan atas fenomena yang sedang dibahas. Dalam mempelajari dasar-dasar fisika, terdapat beberapa macam kuantitas kelompok besaran yaitu besaran vektor dan besaran skalar. Besaran vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai dan arah. Contoh: berat, gaya, kecepatan, medan listrik dsb.

Sedangkan besaran skalar adalah suatu besaran yang mempunyai nilai tetapi tidak mempunyai arah. Contoh: masssa, panjang, waktu, suhu dsb. Menurut matematika dan fisika vektor adalah istilah penting yang berhubungan dengan sifat yang dimiliki oleh suatu objek. Apabila kita memindahkan dan menggeser sebuah benda yang berbentuk apa saja maka perpindahan benda itu akan memenuhi dua unsur yaitu seberapa jauh kepindahannya dan ke arah mana benda itu berpindah.

Kedua unsur yang mempengaruhi perpindahan benda itu disebut sebagai besaran

5

vektor. Vektor atau besaran vektor didefinisikan sebagai besaran yang mempunyai nilai dan arah, sedangkan definisi dari besaran adalah sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dalam satuan. Jadi, vektor adalah besaran yang selain mempunyai nilai kuantitatif (besar) juga mempunyai arah, misalnya kecepatan, percepatan, medan listrik dan medan magnet serta masih banyak lagi contoh lainnya besaran kecepatan, gaya dan momen. Sedangkan kalkulus vektor atau sering disebut analisis vektor dalam matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua atau lebih dimensi. Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar, dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang.

Disamping kita memahami vektor itu sendiri tidak ada salahnya kita mengetahui siapa sebenarnya yang pertama kali memberikan gagasan mengenai vektor. Ilmuwan itu bernama Josiah Willard Gibbs. Pada abad 18 Josiah Willard Gibbs dilahirkan di New Haven, Connecticut, USA pada 11 Februari 1839. Gibbs merupakan anak keempat dari lima bersaudara dan satu-satunya anak laki-laki dari pasangan Josiah Willard Gibbs dan Mary Anna. Dari sisi ayahnya, ia adalah keturunan dari Samuel Willard, yang dulu pernah menjabat sebagai Presiden College of Harvard pada 1701-1707. Sedangkan dari sisi ibunya, diketahui bahwa salah satu dari nenek moyangnya adalah Rev Jonathan Dickinson, presiden pertama dari College of New Jersey (sekarang Princeton University). Nama Gibbs diturunkan kepada ayahnya dan beberapa anggota lain dari keluarga besarnya yakni yang berasal dari nenek moyangnya Josiah Willard, seorang mantan Sekretaris Provinsi Massachusetts Bay pada abad ke 18. Ayah Josiah Willard Gibbs adalah seorang ahli bahasa dan teologi yang menjabat sebagai profesor sastra suci di Yale Divinity School dari 1824 sampai akhir hidupnya, dia meninggal pada tahun 1861.

Josiah Willard Gibbs merupakan ilmuwan Amerika Serikat yang sangat kasual dalam keilmuannya, sederhana dalam cara, ramah dan baik hati dalam pergaulan dengan sesama anak buahnya, tidak pernah menunjukkan ketidaksabaran, tanpa ambisi pribadi atau keinginan sedikit pun untuk meninggikan diri. Dalam benak orang-orang yang mengenalnya, kebesaran

6

prestasi intelektualnya tidak akan menaungi keindahan dan martabat hidupnya.

Josiah Willard Gibbs bersekolah di Hopkins School hingga sebuah pencapaian yang luar biasa terjadi. Pada 1854 dimana ia baru menginjak usia 15 tahun telah berhasil masuk ke University Of Yale. Prestasi mengagumkan kembali terulang, ia lulus lebih cepat dari kakak kelasnya pada 1858 dan ia dianugerahi penghargaan untuk keunggulannya dalam Matematika dan bahasa Latin. Pada usia 19 tahun ia tetap tinggal di Yale sebagai mahasiswa pascasarjana di Sheffield Scientific School. Bersamaan dengan hal itu juga ia diangkat menjadi salah satu tenaga ahli dari Connecticut Academy of Arts and Sciences, sebuah lembaga ilmiah ternama yang didirikan oleh kampusnya terdahulu yakni University Of Yale. Pada tahun 1863, Gibbs menyandang gelar Ph.D dimana gelar ini untuk pertama kalinya di bidang teknik yang diberikan di Amerika Serikat, untuk tesis berjudul “On The Form Of The Teeth Of Wheels In Spur Gearing”, di mana ia menggunakan teknik geometris untuk menyelidiki desain optimum untuk gigi.

Dimana gelar ini hanya lima orang saja yang menerimanya di Amerika Serikat dalam berbagai subjek. Setelah lulus, Gibbs diangkat sebagai guru di College untuk jangka waktu tiga tahun. Selama dua tahun pertama ia mengajar bahasa Latin dan filsafat alam sedangkan untuk tahun ketiga ia mengajar fisika.

Pada 1871 ia diangkat sebagai Profesor Fisika Matematika di Yale, dimana sebagai guru pertama yang diangkat sebagai profesor di Amerika Serikat. Gibbs yang memiliki sarana independent dan belum mempublikasikan apapun lalu ia ditugaskan untuk mengajar mahasiswa pascasarjana eksklusif dan dipekerjakan tanpa gaji. Dimana sistem pengajaran ilmiah pascasarjana di Yale yang kemudian ia terapkan. Gibbs lebih banyak bekerja sendirian mengutak-atik dasar teoritis sambil mengajar, dan baru serius mempublikasikan karyanya pada usia 34 tahun.

Kemudian perhatian Gibbs mulai fokus di bidang termodinamika dan apa yang dia sebut statistical mechanics. Dari pekerjaannya inilah dia mempublikasikan apa yang sekarang kita pelajari sebagai kalkulus vektor modern. Selain itu Gibbs adalah fisikawan dan matematikawan yang banyak menyumbangkan gagasan teoretis termodinamika kimia sedangkan dalam matematika, ia menyumbangkan gagasan analisis vektor. Wisudawan University Of Yale ini juga pernah menuntut

7

ilmu di Paris, Berlin, dan Heidelberg hingga akhirnya ia ditawari jabatan sebagai guru besar di Universitas tempat dulu ia pernah menimba ilmu.

Sebenarnya Gibbs bukan satu-satunya ilmuwan yang berjasa dalam pengembangan ilmu ini. Vektor sendiri mengalami perjalanan panjang sebelum akhirnya kita mengenal konsep keilmuan ini. Perkembangan konsep mengenai vektor sendiri begitu tertutup bahkan asal-usulnya pun tidak banyak diketahui.

Vektor lahir dalam dua dasawarsa pada abad ke-19 dengan gambaran geometris dari bilangan kompleks. Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768- 1822), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), dan setidaknya satu atau dua orang lainnya menyatakan bahwa bilangan kompleks berfungsi sebagai titik dalam bidang dua dimensi yaitu sebagai vektor dua dimensi. Matematikawan dan ilmuwan bekerja sama lalu menerapkan bilangan-bilangan baru dalam berbagai cara. Misalnya, pada 1799 Carl Friedrich Gauss mengungkapkan pentingnya dari bilangan kompleks untuk membuktikan teorema dasar aljabar. Pada 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865) menunjukkan bahwa bilangan kompleks dapat dianggap abstrak sebagai pasangan terurut ( ) bilangan real. Ide ini merupakan bagian dari langkah matematikawan, termasuk Hamilton sendiri.

Mereka mencari cara untuk memperluas "bilangan" dua dimensi atau tiga dimensi, tetapi dengan tetap mempertahankan sifat-sifat aljabar dasar dan bilangan kompleks pada kenyataanya tidak ada yang mampu mencapai hal ini.

Pada 1827, August Ferdinand Möbius menerbitkan sebuah buku pendek dengan judul “The Barycentric Calculus”, dimana ia memperkenalkan segmen garis yang diarahkan dan dilambangkan dengan huruf abjad. Dalam studinya mengenai pusat gravitasi dan geometri proyektif, Möbius mengembangkan aritmatika segmen garis ini dengan mengarahkan, menambahkan dan menunjukkan bagaimana untuk melipatgandakan segmen garis aritmatika dengan bilangan real. Karena pada kenyataannya tidak ada orang lain yang peduli untuk memperhatikan betapa pentingnya perhitungan ini. Hingga akhirnya Hamilton menyerah untuk mencari sistem "bilangan" tiga dimensi tersebut dan sebagai gantinya ia menciptakan sebuah sistem empat dimensi yang ia sebut dengan quaternions. Dalam quaternions Hamilton menulis, , dimana , , , dan adalah

8

bilangan real. Hamilton menyadari bahwa quaternions miliknya terdiri dari dua bagian yang berbeda. Istilah pertama, ia disebut skalar dan x, y, z untuk tiga komponen persegi panjang, ia merasa dirinya telah terdorong untuk menyatakan lambang trinomial serta baris yang mewakili sebuah vektor. Untuk mengembangkan quaternions miliknya Hamilton menggunakan rumus dasarnya dimana , ia pun mengetahui bahwa produk miliknya, tidak komutatif.

Perkembangan aljabar vektor dan analisis vektor seperti yang kita kenal sekarang ini pertama kali terungkap pada sebuah catatan luar biasa yang ditulis oleh J. Willard Gibbs. Gibbs mendapatkan prestasi ilmiah utamanya berada dalam fisika, yaitu termodinamika. Maxwell sangat mendukung pekerjaan Gibbs dalam termodinamika, terutama presentasi geometris hasil Gibbs itu. Gibbs diperkenalkan pada quaternions ketika ia membaca risalah Maxwell tentang Listrik dan Magnet, dan Gibbs juga belajar Grassmann Ausdehnungslehre. Dia menyimpulkan bahwa vektor akan memberikan alat yang lebih efisien untuk karyanya dalam fisika. Jadi, mulai tahun 1881, Gibbs mencetak catatan pribadinya mengenai analisis vektor untuk murid-muridnya, yang didistribusikan secara luas bagi para sarjana di Amerika Serikat, Inggris, dan Eropa. Pada 1880, lalu ia mengembangkan perlambangan dan aljabar vektor-vektor. Hingga pada 1901, gagasannya ini disajikan oleh salah satu mahasiswanya yakni Edwin Bidwell Wilson, dalam sebuah buku yang berjudul Vector Analysis. Pada akhir tahun 1800-an Gibbs yang juga dimana secara terpisah Oliver Heaviside muncul sebagai ilmuwan terkemuka dalam analisis vektor. Lalu Gibbs mempublikasikan papernya yang menjadi kunci kalkulus vektor modern saat ini pada tahun 1881 yang berjudul “Element of Vector Analysis”. Konsep vektor Gibbs-Heaviside ini menyajikan secara lebih gamblang dalam operasi geometrinya.

Terlepas dari berbagai macam polemik yang terjadi dalam perkembangan metode vektor ini di masa lalu, kita tetap harus menghargai apa yang telah menjadi sebuah temuan atau karya yang luar biasa ini. Tidak ada hal yang lebih bijak rasanya untuk sebuah ilmu yakni dengan mempelajari serta memahaminya dengan baik karena pada dasarnya tidak ada satu pun orang yang berhak

9

mencegah untuk seseorang mempelajari sebuah displin ilmu begitu juga halnya dengan vektor ini.

B. Pengertian Vektor dan Skalar

Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunyai besar (magnitude) dan arah (direction), sebagai contoh lintasan dan kecepatan sebuah obyek yang bergerak, gaya yang bekerja pada suatu benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain sebagainya. Besaran yang mempunyai besar dan arah disebut dengan vector (vector). Sementara besaran yang hanya mempunyai besar (magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan scalar (scalar).

Besaran Vektor Besaran Skalar

Mobil bergerak /berpindah ke satu arah

Suhu memiliki besar tapi tidak memiliki arah

Pendakian memiliki besar dan arah

Jembatan hanya memiliki panjang, tidak berarah

10 Perahu yang melaju di sungai menempuh jarak dan arah tertentu

Massa benda tidak berarah

Kecepatan memiliki besar dan arah Waktu tidak memiliki arah

Ada 3 jenis vektor:

(a) Vektor bebas ialah vektor yang boleh digeser sejajar dirinya dengan panjang dan arah tetap

(b) Vektor meluncur ialah vektor yang boleh digeser sepanjang garis kerjanya, misalnya gaya yang bekerja sepanjang garis lurus

(c) Vektor terikat ialah vektor yang terikat pada sistem koordinat yang menunjukkan posisi tertentu

Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak/ posisi, pada umumnya orang bekerja dengan vektor bebas.

C. Penulisan dan Notasi Vektor

Untuk membedakan antara besaran vektor dan besaran skalar maka besaran vektor sering dituliskan memakai huruf tebal, anak panah tepat diatasnya ataupun garis bawah.

Sebagai contoh.







ABABAB v

A

 B v

11

A = titik pangkal B = titik ujung

Panjang vektor v^v^  AB^  menyatakan besarnya vektor atau panjang

vektor v dan tanda panah dalam



AB menyatakan arah vektor.

D. Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yang sama.

Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar, arahnya bisa sama atau berlawanan. Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel.

E. Operasi Jumlah dan Selisih Jumlah dua Vektor atau Lebih

 Penjumlahan Vektor Metode Grafik

Jumlah atau resultan dari vektor-vektor a dan b adalah sebuah vektor c yang di bentuk dengan menempatkan titik awal dari b pada titik terminal dari a dan kemudian menghubungkan titik awal dari a dengan titik terminal dari b. Jumlah ini di tulis a + b, yakni c = a + b.



a ^b



d



c

12

Definisi ini ekuivalen dengan hukum jajaran genjang untuk penjumlahan vektor, metode penjumlahan jajaran genjang adalah vektor baru c dapat di bentuk dengan membuat jajaran genjang dari vektor b dan vektor a, lalu tarik garis diagonal seperti pada gambar berikut ini:

Adapun sifat-sifat dari penjumlahan vektor adalah sebagai berikut:

1. Komunitatif: a + b = b + a

2. Asosiatif: d + (e + f) = (d + e) + f

Penjumlahan lebih dari dua vektor dilakukan dengan metode segi banyak atau poligon. Di sini ekor dan kepala vektor-vektor dihubungkan secara berurutan. Resultan diperoleh dengan menarik garis dari ekor vektor pertama ke kepala vektor terakhir.

 Penjumlahan Vektor Metode Analitis

Jumlah dari tiga vektor , dan dapat di tulis:

Komponen-komponen dari vektor di atas adalah:

Vektor Komponen Komponen

R

13

Dimana,

Besar dan arah vektor adalah

√

Khusus untuk penjumlahan dua vektor besar vektor R dapat di hitung dengan rumus :

√

Dengan adalah sudut apit terkecil antara dan , sedangkan dan adalah besar vektor dan vektor .

Beberapa rumus trigonometri penting dalam perhitungan vektor:

1. Dalil Cosinus





14

 2. Dalil Sinus:

Soal Latihan:

1. Seorang anak berjalan 3m ke Utara, 4m ke Utara dan 5m ke Selatan.

Perpindahan anak tersebut dari posisi awal adalah ….

2. Seorang anak berjalan 5m ke Timur, 10m ke Timur dan kembali 12 m ke Barat. Perpindahan anak tersebut dari posisi awal adalah ….

3. Seorang anak berjalan 4m ke Barat, kemudian membelok ke Selatan 12 m dan belok ke Timur 20m. Perpindahan anak tersebut dari posisi awal adalah

… m.

4. Dua vektor A dan B bertitik tangkap yang sama mengapit sudut  . Jika besar



a dua kali



bdan







b  ab

a 3 . Hitunglah berapa sudutnya?

5. Dua buah vektor saling membentuk sudut 83⁰. Jika resultan membentuk sudut 53⁰ terhadap vektor kedua yang besarnya 10N. Hitunglah besar vektor pertama?

6. Sebuah kapal berlayar ke arah Timur sejauh 30 mil kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan arah 030⁰ sejauh 60 mil. Gambarkan secara geometri dan hitung jarak kapal berangkat!

Dari gambar disamping, hitung







AE GH DH C

A   

….

7.

15

F. Operasi Perkalian Bilangan Real dengan Vektor

Jika a suatu vektor dan k adalah skalar ( bilangan nyata ) maka perkalian vektor a dengan skalar k ditulis ka atau ak merupakan vektor yang panjangnya k a dan mempunyai arah yang sama dengan a, sedangkan - ka adalah vektor yang panjangnya k a tetapi berlawanan arah dengan a.

Dengan kata lain didefinisikan :

Sebagai contoh dapat digambarkan :

Berdasarkan pengertian diatas, maka dapat disimpulkan bahwa:

a). Jika ada 2 vektor yang sejajar, maka yang satu dapat dinyatakan sebagai hasil perbanyakan vektor yang lain dengan skalar.

b). Untuk membuktikan dua vektor sejajar cukup membuktikan salah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain dalam bentuk komponen.

G. Hukum-Hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor

Bila A, B dan C adalah vektor-vektor, m dan n adalah skalar-skalar, maka berlaku :

1. A + B = B + A ⇨ hukum Komutatif penjumlahan 2. A + (B + C) = (A + B) + C ⇨ hukum Asosiatif penjumlahan

3. mA = Am ⇨ hukum Komutatif perkalian 4. m(nA) = (mn)A ⇨ hukum Asosiatif perkalian 5. (m + n)A = mA + nA ⇨ hukum Distributif 6. m(A + B) = mA + mB ⇨ hukum Distributif

a

k = a + a + a +….+ a

sebanyak k suku

a 3a -2a

16 H. Vektor Posisi

Vektor posisi suatu titik didefinisikan sebagai vektor posisi titik tersebut terhadap sebuah titik yang ditetapkan sebagai acuan. Anda bisa saja mengambil titik apa saja sebagai titik acuan, tetapi untuk mempermudah, biasanya titik asal koordinat (titik O) diambil sebagai titik acuan untuk menyatakan vektor posisi sebuah titik. Sebagai contoh, pada gambar dibawah ini ditunjukkan garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ̅ yang menyatakan vektor posisi A relatif terhadap titik acuan O, dan garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ = ̅ yang menyatakan vektor posisi B relatif terhadap titik acuan O.

y B ̅

̅ A

Untuk menyatakan vektor posisi, akan lebih mudah jika menetapkan titik asal O sebagai titik acuan. Sebagai contoh, untuk menyatakan ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dalam vektor-vektor posisi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ̅ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ = ̅. Dengan menggunakan aturan segitiga vektor diperoleh :

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

̅ ̅

Kemudian misal vektor posisi dari ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ .

Sehingga vektor dari segmen garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ dapat dinyatakan sebagai ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ dengan b dan a berturut-turut adalah vektor posisi dari titik B dan titik A relatif terhadap titik acuan O.

I. Vektor satuan

Dalam bentuk vektor kolom, vektor-vektor satuan di R2 dapat dinyatakan sebagai berikut.

̂ ( ) dan ̂ ( ) O x

17

Untuk satuan vektor a yang bukan vektor nol, kita dapat menentukan vektor satuan dari vektor a. vektor satuan dari a (dilambangkan dengan ̂ , dibaca e topi ) searah dengan vektor a dan panjangnya sama dengan satu satuan. Jika vektor a = . /, maka vektor satuan dari a ditentukan dengan rumus :

̂ | |

√ ( )

Hal ini berlaku pada vektor satuan di R₃, sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut.

Misal vektor a = ( ) maka vektor satuan dari a ditentukan dengan rumus :

̂ | |

√ ( )

J. Vektor Basis dan Vektor pada Bidang dan Ruang Vektor satuan

Vektor – vektor di R2 (bidang) juga dapat dinyatakan dalam vektor- vektor basis, seperti dalam gambar J.1, kita tetapkan vektor basis dalam arah sumbu-x positif sebagai ̇̂ dan vektor basis dalam arah sumbu-y positif sebagai ̇̂. Vektor-vektor basis ̇̂ dan ̇̂ memiliki besar sama dengn satu sehingga jika dinyatakan dalam bentuk vecktor kolom maka : ̇̂ . / dan ̇̂ . / .

Misalkan titik P pada gambar J.1 memiliki koordinat P(x,y) maka vektor posisi ⃗⃗⃗⃗⃗ dapat dinyatakan dalam vektor-vektor basis ̇̂ dan ̇̂ sebagai : ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇̂ ̇̂

Misalkan koordinat titik P adalah (3,4) maka vektor posisi ⃗⃗⃗⃗⃗ dapat dinyatakan dalam :

1. Pasangan terurut sebagai ⃗⃗⃗⃗⃗ = (3,4) 2. Vektor kolom sebagai ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) 3. Vektor basis sebagai ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇̂ ̇̂

Gambar J. 1

18

Seperti telah didefinisikan bahwa suatu vektor memiliki besar atau panjang . Sehingga kita dapat menghitung besar atau panjang suatu vektor.

Pada gambar J.1 besar vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ , diberi notasi | ⃗⃗⃗⃗⃗ | , ditunjukkan oleh panjang garis OP, dan ini dapat dihitung dengan menggunakan Dalil Pythagoras dalam segitiga siku-siku OP1P yaitu :

| ⃗⃗⃗⃗⃗ | = x² + y² atau | ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √ .

Besar vektor pada bidang : jika suatu vektor pada bidang dapat dinyatakan sebagai r = . / atau r = ̇̂ ̇̂ maka besar atau panjang vektor tersebut adalah | | = √ .

Ruang Vektor Satuan

Gambar J.2

Untuk menentukan kedudukan atau letak titik di dalam ruang dapat digunakan sistem koordinat dengan sumbu X , Y dan Z dengan masing- masing sumbu saling tegak lurus dan berpotongan di sebuah titik O, Sebuah titik P dalam ruang disajikan dalam pasangan berurutan (x,y,z) dengan sumbu kartesius digunakan aturan tangan kanan seperti pada gambar J.3 berikut :

Jarak P sampai bidang YOZ adalah x atau PP1 = xp

Jarak P sampai bidang XOZ adalah y atau PP2 = yp

Jarak P sampai bidang XOY adalah z atau PP₃ = z_p

O zp

k

j i

P3

P2

Z

P1

Y xp

yp

P(x,y,z)

19

Dengan demikian vektor posisi P adalah ^OP dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut : OP = x i + y j + z k jika i, j dan k merupakan vektor satuan dalam koordinat ruang. ( i: vektor satuan pada sumbu X; j: vektor satuan pada

sumbu Y dan k; vektor satuan pada sumbu Z ) atau

















 z y x

OP . Besar ( panjang /

norm ) vektor OP tersebut adalah OP  x² y² z² . Sebagai contoh, misalkan sebuah titik A (3,2,4), maka vektor posisi titik A adalah OA atau a

dapat dinyatakan dengan : a = OA = 3 i + 2 j + 4 k atau a = OA =















 4 2 3

K. Tiga Titik Segaris

Syarat tiga titik A, B dan C segaris / koliner adalah apabila dari 3 titik tersebut dapat dibentuk dua vektor, dengan salah satu vektor merupakan kelipatan dari vektor lainnya. Sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ || ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ = k ⃗⃗⃗⃗⃗ . dengan k adalah bilangan real tidak nol. Dapat dituliskan: “ tiga buah titik A, B, dan C segaris (kolinear) jika dan hanya jika (⇔) ⃗⃗⃗⃗⃗ = k ⃗⃗⃗⃗⃗ atau ⃗⃗⃗⃗⃗ = k ⃗⃗⃗⃗⃗ atau ⃗⃗⃗⃗⃗ = k ⃗⃗⃗⃗⃗ , dengan k bilangan real tidak nol. “

Perhatikan contoh soal di bawah ini:

Titik A (2, - 1, 5) ; B (1, 2, 7) ; C (x, 8, y) terletak pada satu garis lurus, hitunglah y - x !

A B C

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

̅ ̅ = ̅ ̅

( ) ( ) *( ) ( )+

20 (

) (

)

Maka,

-

( ) ( ) ( )

( )

Sehingga, kita peroleh nilai dan . maka ( ) .

L. Pembagian Ruas Garis dalam Vektor

Pada gambar di bawah, titik Q membagi ruas garis PR dengan perbandingan PQ : QR = m : n, maka vektor posisi titik Q dapat dinyatakan :

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗

( )

( ) ( ) (p)

21

M. Persamaan garis melalui 2 titik dan 3 titik di R2 dan R3 Perhatikan gambar di bawah !

Diberikan titik P = ( ) dan vektor =

〈 〉. Akan ditentukan persamaan garis yang melalui titip P dan sejajar dengan vektor . Misalkan Q =( ) sebuah titik sembarang pada garis tersebut. Vektor sejajar dengan vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ , sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ dengan k .

〈 〉 〈 〉

Dengan demikian diperoleh persamaan parameter untuk garis, yaitu :

{

disebut sebagai Persamaan Parameter dari garis.

Bila parameter t dieliminasi diperoleh persamaan sebagai berikut.

disebut sebagai Persamaan Simetrik dari garis.

Contoh:

Carilah persamaan simetrik dari garis yang melalui titik ( ) dan sejajar vektor 〈 〉

Jawab:

Persamaan simetrik dari garis yang melalui titik ( ) dan sejajar vektor 〈 〉 yaitu:

22

atau

N. Vektor yang Bebas Linier dan Bergantung Linier

Jika S = * + adalah himpunan vektor-vektor, maka persamaan mempunyai paling sedikit satu penyelesaian yakni

Jika itu merupakan satu-satunya penyelesaian maka S dinamakan himpunan bebas linier. Jika ada penyelesaian lainnya maka himpunan S dinamakan himpunan bergantung linier/tak bebas linier. Secara alternatif, selain mencari nilai kita dapat memperlihatkan bahwa suatu system apakah memiki satu pemecahan atau banyak pemecahan dengan mencari nilai determinan dari matriks koefisiennya. Jika matriks koefisiennya memiliki determinan ≠ 0, maka matriks koefisien tersebut dapat dibalik atau memiliki invers, dan system tersebut mempunyai satu pemecahan, konsekuensinya himpunan vektor tersebut bebas linier.

Teorema

a) Suatu himpunan dengan tepat dua vektor bebas linier jika dan hanya jika vektor yang satu bukan merupakan perkalian/penggandaan skalar dari vektor lainnya.

b) Jika sebuah himpunan vektor terhingga berisi vektor nol, maka himpunan tersebut tidak bebas linier.

O. Aplikasi Vektor pada Fisika

Adapun penerapan vektor dalam soal-soal fisika, yaitu:

1. Gaya tegang tali yang menopang benda tergentung pada tali tersebut, membentuk dua vektor gaya yang saling seimbang (diam),

23

T = W

2. Benda yang digantung dengan tiga tali berikut, mengakibatkan keseimbangan gaya;

3. Benda yang terletak di atas bidang miring, maka penyebab benda tersebut turun adalah komponen gaya berat searah bidang miring.

Sedangkan besarnya gaya normal sama dengan komponen gaya berat tegak lurus bidang miring. Penyelesaian masalah ini mengharuskan penguraian vektor gaya berat menjadi dua komponen gaya yang saling tegak lurus;

4. Arah gerak perahu merupakan resultan dari dua vektor kecepatan, yaitu kecepatan perahu dan kecepatan air;

24

5. Usaha oleh gaya sehingga sebuah benda berpindah. Dalam hal menghitung usaha, maka gaya yang membentuk sudut tertentu terhadap bidang datar harus disearahkan dulu (diuraikan ke sumbu mendatar) sebelum dikalikan dengan vektor perpindahan;

6. Memprediksi arah gerak suatu benda yang dipengaruhi dua gaya tidak segaris.

P. Latihan Soal PG dan Essay dengan Pembahasan

1. Hasil penjumlahan vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

A. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. ⃗⃗⃗⃗⃗

B. ⃗⃗⃗⃗⃗ E. ⃗⃗⃗⃗⃗

C. ⃗⃗⃗⃗⃗

Jawab : D. ⃗⃗⃗⃗⃗

karena ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

2. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =…

A. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ D. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

B. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ E. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

C. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Jawab :

25

D. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , karena ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (vektor berlawan arah) dan ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ maka ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗

3. Bila Diketahui D adalah titik berat segitiga ABC dimana A(2,3,-2), B(- 4,1,2) dan C(8,5,-3). Maka panjang vektor posisi d sama dengan:

A. 1 B. 2 C. √5 D. √10 E. √14

Jawab : E. √14

D titik berat segitiga sehingga D = 1/3 (A + B + C) D = 1/3 (2,3,-2) + (-4,1,2) + (8,5,-3)

D = 1/3 (6,9,-3) = (2,3,-1) Panjang proyeksi D adalah

4. Jika titik-titik P, Q, R segaris dan P(-1,1) dan R (3,5) dan PQ = QR maka titik Q adalah...

A. (1,3) D. (4,1) B. (8,0) E. (1,2) C. (6,6)

Jawab : A. (1,3)

PQ = QR maka Q - R = R - Q 2Q = R + P

Q = 1/2 (R + P)

Q = 1/2 (3,5) + (-1,1) = 1/2 (2,6) = (1,3)

5. Diketahui titik-titik A (1, 4, 2), B (3, 1, -1), C (4, 2, 2). Jika a = AB dan b

= CA dan c = b - a maka vektor c adalah...

A. (5,5,3) B. (-5,5,3)

26 C. (-5,-5,3)

D. (-3,3,5) E. (-3,-3,5)

Jawab : B . (-5,5,3)

a = ⃗⃗⃗⃗⃗ = B - A = (3,1,-1) - (1,4,2) = (2,-3,-3) b = ⃗⃗⃗⃗⃗ = A - C = (1,4,2) - (4,2,2) = (-3,2,0) maka, c = b - a = (-3,2,0) - (2,-3,-3) = (-5,5,3)

6. Dua buah vektor saling membentuk sudut . Jika resultan membentuk sudut terhadap vektor kedua yang besarnya 15N, maka besar vektor pertama adalah. . .

a. 18N d. 24N

b. 20N e. 30N

c. 22N Jawab: C

Berdasarkan aturan sinus:

⁄

F1 = 20N (C)

7. Dua buah vektor gaya masing-masing 8N dan 4N saling mengapit sudut . Berapakah besar resultan kedua vektor tersebut?

a. 2N b. 3N c. 3√

d. 4√ N e. 6N

27 Jawab : D

√ √ ( )

√ √ √

8. Diberikan dua buah vektor gaya yang sama besar masing-masing 10N.

Jika sudut yang terbentuk antara kedua vektor adalah . Berapakah nilai resultan kedua vektor?

a. 2√

b. 5√

c. √ d. √ e. √

Jawab : D. √

√ √ ( ) √

√

9. vektor perpindahan dari 4 km utara dan 3 km timur, hitunglah resultannya!

28 a. 4 km d. 9 km b. 5 km e. 11 km c. 7 km

Jawab : B . 5 km

R √( ) ( )

√ √ km (B)

10. Dua vektor yang besarnya masing-masing 5 dan 3 satuan

membentuk sudut satu sama lain. Hitung besar resultan vektor-vektor tersebut!

a. 4 d. 9

b. 6 e. 17

c. 7

Penyelesaian:

√

√ √ ( )

29 √ = 7 (C)

Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal nomor 11-

13, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujungQ

SOAL ESSAY

1) Sebutkan beberapa besaran vektor dan besaran skalar, masing-masing delapan macam ?

2) Hitunglah besar (panjang) vektor dan vektor satuan dari vektor A = 〔

〕 ?

3) Diketahui vektor² : K = 〔 〕, L = 〔 〕 dan M = 〔

〕 bila 3K

– 2L = - M maka hitung nilai x ? 4) Diketahui vektor² berikut, r = 〔 〕, s = 〔 〕, t = 〔

〕 jika diketahui 3r - 2s = -t, hitunglah nilai x dan y ?

5) Diberikan beberapa vektor, P = 〔

〕, Q = 〔

〕, R = 〔 〕 dan S = 〔 〕.Tentukan nilai x dan y,bila diketahui PQ = RS dan PQ = SR

30

b

a

c

BAB II

HASIL KALI TITIK DAN SILANG A. Perkalian Skalar Dua Vektor

Perkalian skalar antara dua vektor dan didefinisikan sebagai suatu skalar yang sama dengan | || | , dengan adalah sudut antara vektor dan .

Jika ( ) dan ( ) adalah sebarang vector di , maka hasil kali dalam Euclidis didefinisikan sebagai :

‖ ‖‖ ‖

dengan adalah sudut yang dibentuk antara kedua buah vector. Tapi, kita bisa menurunkan rumus tersebut dengan cara sebagai berikut,

ingat aturan cosinus yang menyatakan bahwa . Lalu kita lihat jumlah atau selisih dari dua buah vektor. Pandang segitiga dengan masing-masing sisinya adalah ‖ ̅ ̅‖, ‖ ̅‖, dan ‖ ̅‖.

Kita bisa mengambil aturan cosinus pada segitiga tersebut,

‖ ̅ ̅‖ ‖ ̅‖ ‖ ̅‖ ‖ ̅‖‖ ̅‖

⇔ ‖ ̅‖‖ ̅‖ {‖ ̅‖ ‖ ̅‖ ‖ ̅ ̅‖ } Ingat bahwa :

 ‖ ̅‖‖ ̅‖ ‖ ̅‖ ‖ ̅‖

 ‖ ̅‖

 ‖ ̅‖

 ‖ ̅ ̅‖ ( ) ( ) ( ) ( )

31

( ) ( ) ( )

⇔ ‖ ̅‖ ‖ ̅‖ * ( )+

⇔ ‖ ̅‖ ‖ ̅‖

Sehingga :

Contoh : , ( ) dan ( ), maka hasil kali dalam Euclidisnya adalah :

( ) ( )

Definisi:

i (1,0,0) j (0,1,0) k (0,0,1)

̅ ( )

̅ ( )

̅ ̅ ( ) ( )

̅ ̅ ( ).( ) ̅ ̅ ̅ ̅

. i j k I 1 0 0 J 0 1 0 K 0 0 1

k

j

i

32

| ̅| √

| ̅| √ ̅ ̅ | || | _{| || |} ^{̅ ̅}

1. Sifat sifat perkalian skalar :

Jika a,b,c vector dan k skalar a. ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ | || | ̅ ̅ | || | | || | Maka ̅ ̅ ̅ ̅

b. ̅ ( ̅ ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ Akan dibuktikan ruas kiri

( ) ( ) ( ) ( ) (diketahui)

( ) ( )(definisi) ) (distributif) ( )( ) (asosiatif) ( )*( ) ( )+

(asosiatif)

( ) ruas kiri (terbukti) c. ( ̅ ̅) ̅ ̅

Akan dibuktikan ruas kiri

* ( )+( ) (diketahui) ( )( ) (definisi)

̅

̅

33

( ) (distributif) ( ) (asosiatif)

( ) ruas kiri (terbukti) d. ̅ ̅

e. ̅ ̅ | |

Akan dibuktikan ruas kiri

| | (diketahui) (definisi)

( )( ) (distributif) ruas kiri (terbukti)

f. ̅ ̅ | |

g. ( )( ) | |

h. ( )( ) | | ^{| |}

| | | | | | 2. Tanda Perkalian Skalar

Perkalian skalar | || | adalah skalar atau bilangaan Real, kemungkinan dapat bertanda positif, nol, atau negatif.

a. Sudut antara kedua vektor adalah lancip ( ).

Untuk lancip maka sehingga | || | (positif)

b. Sudut antara kedua vektor adalah .

Untuk maka sehingga | || | c. Sudut antara kedua vektor adalah tumpul.

Untuk tumpul maka sehingga | || | (negatif)

d. Sudut antara kedua vektor

Untuk maka sehingga | || |

| || |

34 3. Sudut Antara Dua Vektor

Berdasarkan aturan kosinus, bahwa:

‖ ̅ ̅‖ ‖ ‖ ‖ ⃗ ‖ ‖ ‖‖ ⃗ ‖ ‖ ‖‖ ⃗ ‖ ‖ ‖ ‖ ⃗ ‖ ‖ ̅ ̅‖

‖ ‖‖ ⃗ ‖ {‖ ‖ ‖ ⃗ ‖ ‖ ̅ ̅‖ }

{‖ ‖ ‖ ⃗ ‖ ‖ ̅ ̅‖ }

‖ ‖‖ ⃗ ‖

* (( ) ( ) )+

√ √

* +

√ √

* +

√ √

* +

√ √

⃗

‖ ‖‖ ⃗ ‖ Jadi, ^{⃗ ⃗}

‖ ⃗ ‖‖ ⃗ ‖ sehingga

Jika menyatakan besar sudut antara vektor dan vektor ⃗ , maka kosinus sudut ditentukan dengan rumus:

⃗

‖ ‖‖ ⃗ ‖

 Sudut antara dua vektor di ruang R³

35

Misalnya vektor ( )dan vektor ⃗ ( ) adalah vektor- vektor di ruang yang dinyatakan dalam bentuk vektor kolom. Sudut antara dua vektor di ruang adalah

Misalnya diketahui vektor ( ) dan vektor ⃗ ( ) .

Jika menyatakan besar sudut antara vektor dan vektor ⃗ , maka kosinus sudut ditentukan dengan rumus:

√ √

(Penurunan rumus sudut antara dua vektor di R³ analog dengan penurunan rumus sudut antara dua vektor di R²).

4. Vektor yang Saling Tegak Lurus

Misalnya diketahui vektor dan vektor ⃗ . Vektor dan vektor ⃗ yang saling tegak lurus berarti sudut diantara keduanya adalah sehingga jika disubstitusikan pada rumus sudut antara dua vektor menjadi

⃗

‖ ‖‖ ⃗ ‖

⃗

‖ ‖‖ ⃗ ‖

_{‖ ⃗ ‖‖ ⃗ ‖} ^{⃗ ⃗} ⃗ ⃗

Sehingga dua vektor dikatakan tegak lurus jika ⃗

̅

̅

36 B. Aplikasi Perkalian Skalar Pada Fisika

Aplikasi perkalian skalar pada fisika dapat anda jumpai ketika mempelajari materi tentang besaran usaha. Usaha, „W‟, didefinisikan sebagai hasil kali antara besar gaya F dan besar perpindahan searah gaya Sf.

Seperti pengertian perkalian skalar dalam geometri, definisi usaha dapat dinyatakan sebagai berikut.

Ruas kanan menyatakan perkalian skalar antara vektor gaya dan vektor perpindahan . Dengan demikian diperoleh

Contoh soal.

Suatu gaya ̂ ̂ ̂ bekerja pada partikel di titik ( ) dan memindahkannya ke titi ( )k, tentukan usaha yang dilakukan.

Jawab:

Partikel berpindah dari titik ( ) ke titik ( ) dengan demikian vektor perpindahan adalah

̅̅̅̅

(

) ( ) (

) (

) Diberikan vektor gaya

̅

̅ ̅

37 ̂ ̂ ̂ (

)

Usaha, W, yang dilakukan gaya adalah

(

) (

)

( ) ( ) ( )

C. Proyeksi Vektor

1. Proyeksi Skalar Orthogonal

Misal vektor ̅ dan ̅ adalah vektor yang tidak nol dan titik awal kedua vektor berimpit (atau dibuat berimpit). Vektor ̅ dapat

diproyeksikan secar tegak lurus pada vektor ̅ dan sebaliknya vektor ̅ dapat juga diproyeksikan secara tegak lurus pada vektor ̅ .

Jika vektor ̅ diproyeksikan secara tegak lurus (proyeksi

orthogonal) pada vektor ̅ , maka akan diperoleh sebuah vektor baru yang segaris dengan vektor ̅ dan titik awalnya berimpit dengan titik awal vektor ̅ dan ̅ . Vektor baru tersebut disebut proyeksi vektor orthogonal dari vektor ̅ pada ̅ . Sedangkan panjangnya disebut proyeksi skalar orthogonal dari vektor ̅ pada ̅.

Misal sudut yang dibentuk oleh vektor ̅ dan ̅ adalah sudut lancip, dan proyeksi vektor orthogonal dari vektor ̅ dan ̅ adalah ̅, sementara proyeksi orthogonalnya adalah | ̅| (lihat gambar (i) di atas), maka:

̅

̅

| ̅|

̅

| ̅| ̅

38

^{| ̅|}_{| ̅|} atau | ̅| | ̅|

Jika sudut yang dibentuk oleh vektor ̅ dan ̅ adalah sudut tumpul dan proyeksi skalar orthogonalnya adalah | ̅| (lihat gambar (ii) diatas), maka:

^{| ̅|}_{| ̅|} atau

| ̅| | ̅| ( ) | ̅| ( ) | ̅|

Perhatikan bahwa jika sudut lancip, maka dan jika tumpul maka . Ini berarti bahwa | ̅| akan selalu . Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa proyeksi orthigonal dari vektor ̅ pada ̅ adalah: | ̅| | ̅| ...(*)

Pada pembahasan terdahlu telah dirumuskan bahwa ^{̅ ̅}

| ̅|| ̅|

Dengan menggunakan perumusan ini, maka persamaan (*) dapat ditulis menjadi:

| ̅| | ̅|_{| ̅|| ̅|} ^{̅ ̅ ̅ ̅}_{| ̅|}. Jadi proyeksi skalar orthogonal dari vektor ̅ pada ̅ adalah sama juga dengan | ̅| ^{̅ ̅}

| ̅|.

Jika vektor ̅ diproyeksikan secara orthogonal pada ̅, maka:

Proyeksi skalar orthogonalnya (panjang vektor proyeksinya) adalah:

| ̅| | ̅| atau | ̅| ^{̅ ̅}_{| ̅|}. 2. Proyeksi Vektor Orthogonal

Perhatikan kembali proyeksi vektor ̅ pada ̅ seperti yang digambarkan dibawah ini.dengan proyeksi tersebt akan diperoleh sebuah vektor baru misalnya vektor ̅. Vektor ̅ ini disebut proyeksi vektor orthogonal vektor ̅ pada ̅. perhatikan bahwa jika sudut antara ̅ dan ̅ lancip, maka ̅ searah dengan ̅, sedangkan jika tumpul, maka ̅ berlawanan arah dengan ̅.

̅

̅

| ̅|

̅ ̅

̅

| ̅| ̅

39

Ini berarti bahwa vektor ̅ dapat dinyatakan sebagai ̅, dengan adalah suatu bilangan yang sama dengan ^{| ̅|}

| ̅|. Karena | ̅| ^{̅ ̅}_{| ̅|} maka:

̅ | ̅|

| ̅| ̅ ̅ ̅

| ̅|

| ̅| ( ̅ ̅

| ̅| ) ̅ ( ̅ ̅ ̅ ̅) ̅

Proyeksi vektor orthogonal vektor ̅ pada ̅ adalah: ̅ ._{| ̅|} ^{̅ ̅}/ ̅ atau ̅ . ^{̅ ̅} _{̅ ̅}/ ̅

Dalam buku Matematika SMA IPA karangan Wilson

Simangunsong juga disebutkan, jika vektor ̅ di proyeksikan pada vektor ̅ maka:

1. Vektor Proyeksinya adalah : ̅ . ^{̅ ̅}

| ̅| / ̅

2. Panjang vektor proyeksinya sama dengan : | ̅| ^{̅ ̅}_{| ̅|}

Contoh:

Diketahui vektor ̅ ̅ . Proyeksi vektor orthogonal ̅ terhadap ̅ adalah……

Jawab:

̅ (

| | ) (

√ ) ( ) . / ( )

( )

40

D. Persamaan Bidang yang Tegak Lurus Terhadap Vektor dan Melalui Titik Terminal

Vektor normal dari suatu garis ialah vektor yang tegak lurus pada garis itu. Karena syaratnya asal tegak lurus, maka vektor normal itu dapat panjang, dapat pendek, asal bukan vektor nol. Biasanya vektor normal yang dipilih adalah vektor normal yang paling sederhana.

Dalil

Bukti:

Ambillah 2 titik berlainan A( ) dan B( ) pada garis .

Karena B( ) pada garis, A( ) pada garis,

( ) ( ) ...(1) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . / . / .

/ ⃗⃗⃗⃗⃗ . / .

/ ( ) ( ) ... berdasarkan (1)

Karena ⃗⃗⃗⃗⃗ maka terbukti n garis ( )

( )

. /

Selanjutnya vektor . / disebut vektor normal garis

41

Sejalan dengan itu ( ) bidang dalam ruang dimensi tiga ( )

E. Jarak Titik ke garis dan jarak titik ke Bidang 1. Jarak titik ke garis dalam

Dalil:

Bukti:

Ambil titik A( ) sembarang titik pada garis Selanjutnya vektor normal . / dibuat melalui A.

A( ) pada garis, sehingga ...(1)

| | adalah panjang proyeksi vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ ke vektor normal n.

Maka | ⃗⃗⃗⃗⃗ | | ^{⃗⃗⃗⃗⃗}

| | | |^.

/ . /

√ | | ^{( ) ( )}

√ |

|

√ |

Substitusi dari (1) di dapat : |

√ |

Sejalan dengan itu dapat dibuktikan bahwa pada jarak titik P( ) ke bidang adalah | _√ |

|

√ |

Jarak titik P( ) ke garis adalah

. /

P( ) A

y

x d

garis

42 2. Jarak titik ke bidang

Rumus jarak titik ke bidang tidak jauh berbeda dengan rumus titik ke garis. Diberikan sebuah bidang dan sebuah titik ( ) di luar bidang sehingga dapat di cari beberapa jarak titik P dengan bidang .

Vektor normal dari bidang adalah :

Jika , maka titik . / terletak pada bidang . Selanjutnya diperoleh

( ) Dari gambar terlihat bahwa

| | Atau

| | ( ) Sehingga

| || | Atau

| || | ( ) Didapat

( ) | | | |

43 Jadi

|

√ | 3. Jarak titik ke garis di R³

Luas segitiga ABC = | | = | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | Jarak dari C ke AB = t = ^{⃗⃗⃗⃗⃗} _{| |}^{⃗⃗⃗⃗⃗}

Jarak dari A ke BC = t = ^{⃗⃗⃗⃗⃗} _{| |}^{⃗⃗⃗⃗⃗}

Jarak dari B ke AC = t = ^{⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗}

| |

F. Perkalian Silang Dua Vektor

Hasil kali titik dua buah vektor menghasilkan skalar, sedangkan hasil kali silang atau cross product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.

Untuk mempermudah menjelaskan pengertian hasilkali silang diberikan pengertian vektor satuan terlebih dahulu.

d x

garis

̅ tegak lurus ̅ ̅ tegak lurus ̅

44

Definisi: ̅ ̅ ̅ kros ̅ adalah ̅ sedemikian sehingga dari ujung ̅ vektor ̅ terlihat berputar berlawanan arah jarum jam ke vektor ̅.

⃗ | | | ⃗ | ⃗

Dimana ⃗ adalah vektor satuan yang menunjukan arah dari ⃗ Dengan menggunakan definisi maka diperoleh:

| || | | || | | || |

| || | | || | | || | | || | | || | | || |

Hasil perkalian silang dari vektor-vektor satuan pada bidang dengan menggunakan definisi dapat disimpulkan dalam bentuk tabel di bawah ini.

Tabel. Hasil perkalian silang vektor-vektor satuan

 Perkalian ⃗⃗ ⃗⃗ Jika Diketahui

dan ⃗

Secara analisis Misalkan dan ⃗ , maka perkalian silang dari dua vektor dan ⃗ didefinisikan dengan

45 ⃗ | |

| | | | | |

( ) ( ) ( )

 Perkalian Silang . ⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗ )/

( ⃗ ) ⃗ ( ) ( ⃗ )

Misalkan

, ⃗ , Maka ( ⃗ ) ( ) | |

( )

(, - , - , - ) |

|

( )

( )

( )

Juga, ⃗ ( ) ( ⃗ )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

Contoh:

46 Misalkan: ̅

̅ ̅ a. Tentukan ⃗

b. Tentukan ⃗

c. Buktikan ( ⃗ ) ( ) ⃗ ( ⃗ ) Jawab:

a. ⃗ |

|

( ) ( ) ( )

b. ⃗ |

|

( ) ( ) ( )

c. ( ⃗ ) |

|

( ) ( ) ( )

( ) ⃗ [( ) ( )] (

)

(

)

(

)

47 ( ⃗ ) [(

) ( )] ( )

( )

( )

( ) ⃗ ( ⃗ ) (

) ( )

(

)

Jadi, terbukti ( ⃗ ) ( ) ⃗ ( ⃗ )

 Penerapan A x B di bidang 1. Luas Segitiga

sin α =

| | t = | | sin α

Luas segitiga ̅

̅

48

| |

| || | sin α

Luas | |

̅ = i + j ̅ = i + j

2. Luas Jajaran Genjang

Luas jajaran genjang OAPB = 2 x luas segitiga OAB = 2 x | ̅ x ̅|

= | ̅ ̅|

̅ ̅ ( ̅ ̅) ( ̅ ̅)

̅ ( ̅ ̅) ̅ ( ̅ ̅)

( )

| ̅ ̅| | |

Luas segitiga OAB = | |

̅ ̅ ̅ ̅

49 Luas = | || |sin α

| | | |

| | | | ( )

| | | | | | | |

*| | | | | | | | +

√| | | | | | | |

( ̅ ̅) | | | |

√(| || |) ( ̅ ̅)

| | √(| || |) ( ) | | √(| || |) ( )

Jadi

Luas Segitiga ABC = | ⃗⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗⃗ | ̅ x ̅ = | | | | sin α . μ

50

= ( ) i + ( ) j

⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ̅ – ̅ ) = . / ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ̅ - ̅ ) = . / ( ) ( )

⃗⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) ( ) k - ( ) ( ) k

= k [( ) ( ) - ( ) ( )]

| ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | | | Contoh Soal :

1) Hitunglah luasnya !

Luas segitiga | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |

| | ( )

2) Hitunglah luas yang dibentuk oleh : ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅

Jawaban : ̅ ̅ |

|

51

= ( 1 ) – (-1) i + ( 1 ) - ( 1 ) j + (-1) - ( 1 ) k = 2i– 2k

Atau | | √ ( )

√ √

Luas yang dibentuk | | ( √ ) √

 Pembuktian | ⃗⃗ ⃗⃗ | | ⃗⃗ ⃗⃗ | | ⃗⃗ | | ⃗⃗ |

| | | | | | | |

| | | | | | | |

| | | |

| | | | ( )

| | | | ( )

| | | | | | | |

G. Hasil Kali Triple . ⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗ )/

Untuk setiap ⃗ vektor-vektor di maka tripel product (hasil kali tripel) adalah :

⃗ , , ⃗ , , maka

( ⃗

( ) *( ) ( )+

( ) ( ) ( )

52

( ) ( )

( ) *( ) ( ) ( ) +

( ) ( ) ( )

| |

Dengan cara yang sama didapatkan :

⃗ ( ) | |

( ⃗ ) | | Kita akan membuktikan bahwa

( ⃗ ) ⃗ ( ) ( ⃗ )

( ⃗ ) | | | | | |

( ⃗ )

( ⃗ ) | | | | | |

⃗ ( ) H. Aplikasi Hasil Kali Tripel

Tapsiran geometri dari perkalian tripel salah satunya yaitu Volume Paralel Epipedum.

Perhatikan gambar berikut!

⃗

⃗⃗

53

Volume Paralel Epipedum = Luas alas x tinggi

= Luas jajar genjang x tinggi ( ⃗ ) ⃗⃗

| ⃗ | ⃗⃗

⃗⃗ | ⃗ | | ⃗ |

Soal:

1. Hitunglah volume paralel opipedum

⃗ Jawab:

V | ⃗ |

⃗ |

|

( ) ( )( ) ( )

= - 17

54 V | ⃗ | | | 2. Tentukan!

a. Persamaan bidang melalui titik A (2, -1, 1), B (3, 2, -1), dan C (- 1, 3, 2)

b. Hitunglah jarak dari (1, 5, 2) ke bidang Jawab:

a.

⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) |

|

( )( ) ( )( ) ( )( )

b. J = | ( ) ( ) ( ) ( )

√ |

=|

√ |

D (x, y, z)

B (3, 2, -1)) A (2, -1, 1)

C (-1, 3, 2))

55

=|

√ |

=|

√ |

= ^√

56 BAB III

DIFERENSIASI VEKTOR A. Pengertian Turunan

Laju perubahan nilai fungsi f : x => f(x) pada x = a dapat di tulis :

Limit ini disebut turunan atau diferensial dari fungsi f(x) pada x = a. Turunan fungsi f(x) untuk setiap nilai x ditentukan dengan rumus :

dengan f'(x) dibaca ( f aksen x ) disebut turunan dari f(x) terhadap x.

Notasi turunan dari f(x) dapat dinyatakan dengan :

atau bisa juga dinotasikan dalam bentuk lain, yaitu dengan salah satu lambang berikut ini :

Lambang df(x)/dx atau dy/dx untuk turunan diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 -1716 ).

B. Turunan fungsi aljabar

Rumus-rumus turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut :

57 C. Turunan fungsi trigonometri

D. Diferensiasi Vektor

1. Turunan Biasa Fungsi Vektor

Fungsi vektor: jika sembarang nilai scalar t terkaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai scalar t.

Dalam R², fungsi vektor A(t) biasa ditulis dengan, ( ) ( ) ( )

58 Dalam R³, fungsi vektor A(t) ditulis dengan, ( ) ( ) ( ) ( )

Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R³ dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( )

Setelah kita mengetahui fungsi vektor , maka selanjutnya kita pelajari turunan biasa dari fungsi vektor.

Turunan Biasa Vektor : A(t) adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variable t, didefinisikan turunan dari A(t) sebagai berikut:

( ) ( )

jika limitnya ada.

Jika fungsi vektor ( ) ( ) ( ) ( ) dengan fungsi scalar fungsi ( ), ( ), dan ( ) dapat dideferensialkan terhadap variable t, maka A(t) mempunyai turunan variable terhadap t yang dirumuskan sebagai berikut:

Selanjutnya, pelajari sifat-sifatnya, berikut sifat-sifat turunan fungsi vektor:

a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( )

e. ( )

f. ( ( )) . / . / ( )

59 Contoh soal:

1. Jika f(t) = ^{( )} ( ) , tentukan Penyelesaian :

( ^{( )})

( ( ))

( )

( ) ( ) ^{( )}

2. Buktikan sifat ( ) Penyelesaian

( )

( ) ( )

3. Jika A = (t² + 2t)i + t³k dan B = 2ti + sin t²j + 4tk, tentukan ( ) di t = 0 Penyelesaian

( )

,( ) - ( )

,( ) - ( ( ) ( )