Buku Elements ini bermula dengan

Geometri Euclid

Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang

disumbangkan oleh seorang ahli matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia sudah

menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. Kaedah cara yang mengandungi andaian satu set aksiom secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudiannya membuktikan banyak usul (teorem-teorem) daripada aksiom-aksiom berkenaan. Walaupun banyak daripada keputusan-keputusan oleh Euclid sudah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang yang pertama untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logikyang komprehensif.

Buku Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih lagi diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh pembuktian formal yang pertama.

Kemudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan daripada Elements menyatakan keputusan-keputusan dalam apa yang kini disebut sebagai teori nombor, yang boleh dibuktikan menerusi kaedah geometri.

Selama dua ribu tahun, kata adjektif “Euclid” tidak diperlukan kerana pada masa itu tiada geometri lain dapat dibayangkan. Aksiom-aksiom Euclid nampak seperti sangat jelas

sehinggakan apa-apa teorem lain yang dibuktikan daripadanya dianggap benar secara mutlak. Hari ini, bagaimanapun, banyak geometri bukan Euclid sudah diketahui, yang pertamanya telah dijumpai pada awal abad ke-19. Ia juga tidak boleh diambil mudah bahawa geometri Euclid hanya menggambarkan ruang fizikal. Satu implikasi daripada teori Einstein mengenai teori kerelatifan umum bahawa geometri Euclid merupakan satu anggaran yang baik kepada sifat-sifat ruang fizikal hanyak sekiranya medan graviti tidak terlalu kuat.

Geometri Euclid merupakan satu sistem aksioman, yang mana semua teorem (“penyataan benar”) adalah diambil daripada satu bilangan aksiom-aksiom yang terhingga. Pada permulaan buku Elements yang pertama, Euclid memberikan lima postulat (aksiom):

1. Apa-apa dua titik boleh dihubungkan dengan satu garis lurus.

2. Apa-apa tembereng garis lurus boleh dipanjangkan di dalam satu garis lurus.

3. Satu bulatan boleh dilukis dengan menggunakan satu garis lurus sebagai jejari dan satu lagi titik hujung sebagai pusat.

4. Semua sudut serenjang adalah kongruen.

5. Postulat selari. Jika dua garis bersilangan dengan yang ketiga dalam satu cara yang jumlah sudut dalaman adalah kurang daripada satu lagi, maka dua garis ini mesti bersilangan di atas satu sama lain sekiranya dipanjangkan secukupnya.

Aksiom-aksiom ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, tembereng garis lurus dan garis, sebahagian daripada satu garis, bularan dengan jejari dan pusat, sudut serenjang, kongruen, sudut-sudut dalaman dan serenjang, jumlah. Kata-kata kerja yang berikut muncul: sambung, dipanjangkan, lukis, silang. Bulatan ini digambarkan dengan menggunakan postulat 3 adalah sangat unik. Postulat-postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri satah; dalam tiga dimensi, postulat 3 mentakrifkan suatu bulatan.

Satu bukti daripada buku Euclid “Elements” bahawa apabila diberikan satu tembereng garis, satu segitiga sama wujud termasuklah tembereng sebagai salah satu daripada tiga sisi. Buktinya adalah dengan cara binaan: Satu segitiga sama ΑΒΓ dibuat dengan melukis bulatan Δ dan Ε berpusat pada titik-titik Α dan Β, dan dengan mengambil satu persilangan bulatan sebagai puncak sudut ketiga bagi segitiga tersebut.

Menerusi satu titik yang tidak terletak di atas satu garis lurus, hanya satu sahaja garis yang boleh dilukis tidak akan bertemu garis yang diberi.

Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahawa kewujudan dan keunikan rajah-rajah

geometri, dan peegasan ini adalah satu binaan semulajadi: iaitu, kita tidak diberitahu bahawa ada perkara tertentu wujud, tetapi kaedah-kaedah diberi untuk mencipta dengan tidak lebih daripada satu kompas dan satu pinggiran lurus yang tidak bertanda. Dalam kes ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem-sistem aksiom moden seperti teori set, yang mana kebiasaannya menegaskan kewujudan objek-objek tanpa mengatakan bagaimana untuk membina mereka, atau menegaskan kewujudan objek-objek yang tidak boleh dibina di dalam ruang teori berkenaan.

Sebenarnya, binaan-binaan garis di atas kertas dan sebagainya adalah model-model objek yang lebih baik ditakrifkan di dalam sistem formal, daripada hanya contoh-contoh objek berkenaan. Sebagai contoh, satu garis lurus Euclid tidak mempunyai lebar, tetapi apa-apa garis yang benar akan menjadi lebar.

Elements juga memasukkan lima “notasi biasa”:

1. Perkara yang sama dengan benda yang sama tetapi juga setara antara satu sama lain.

2. Jika setara ditambahkan kepada persamaan, maka jumlah keseluruhan juga adalah setara.

3. Jika setara ditolak daripada persamaan, maka bakinya juga adalah setara.

4. Perkara yang bertembung di antara satu sama lain juga setara antara satu sama lain that coincide with one another equal one another.

5. Jumlah keseluruhan juga lebih besar daripada bahagian berkenaan.

Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang berkaitan dengan magnitud. 1 adalah satu-satunya bahagian daripada dasar logik yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 2 dan 3 adalah prinsip-prinsip “aritmetik”; perhatikan bahawa makna-makna “tambah” dan “tolak” di dalam konteks geometri asli ini telah diberi sama seperti diambil. 1 hingga 4 secara takrifan mempunyai persamaan, yang mana boleh juga diambil sebagai bahagian pendasaran logik atau sebagai satu keperluan hubungan kesetaraan , seperti “pertembungan,” definisi yang sangat teliti. 5 adalah satu prinsip mereologi. “Keseluruhan”, “sebahagian”, dan “baki” memerlukan takrifan yang tepat.

Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.

Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang Playfair postulat yang menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan A

titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap baris melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbolik , geometri berbentuk bulat panjang , dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).

Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang dalam bidang dua dimensi yang baik tegak lurus ke saluran ketiga:

 Dalam geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.

 Dalam geometri hiperbolik mereka “kurva pergi” satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak lurus umum, garis-garis ini sering disebut ultraparallels.

 Dalam geometri berbentuk bulat panjang garis “kurva ke arah” satu sama lain dan akhirnya berpotongan.

Sejarah

Sejarah awal

Sementara geometri Euclidean , dinamai matematikawan Yunani Euclid , termasuk beberapa dari matematika tertua, non-Euclidean geometri tidak secara luas diterima sebagai sah sampai abad ke-19.

“Kelima Postulat Euclid,” atau cukup dengan ” paralel mendalilkan “, yang dalam formulasi asli Euclid adalah:

Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut yang tepat, maka garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua kanan sudut.

Lain yang hebat matematika telah menemukan bentuk-bentuk sederhana dari properti ini (lihat postulat paralel untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara

konsisten tampaknya lebih rumit dari yang lain Euclid postulat (termasuk, misalnya, “Antara dua titik garis lurus bisa diambil”).

Setidaknya seribu tahun, geometers merasa kesulitan akibat kompleksitas yang berbeda dari kelima postulat, dan percaya itu bisa dibuktikan sebagai teorema dari keempat lainnya. Banyak berusaha untuk menemukan bukti oleh kontradiksi , termasuk matematikawan Arab Ibn al-Haytham (Alhazen, abad ke-11), dengan Persia matematikawan Umar Khayyām (abad 12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan dengan Italia matematika Giovanni Girolamo Saccheri (abad 18).

Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat , termasuk segiempat Lambert dan Saccheri segiempat , adalah “teorema pertama dari hiperbolik dan geometri berbentuk bulat panjang . ” Teorema-teorema bersama dengan alternatif mereka mendalilkan, seperti aksioma Playfair ‘s , memainkan peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari non-Euclidean geometri. Upaya-upaya awal pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh yang besar terhadap pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk Witelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallis dan Saccheri. Semua upaya awal dibuat di mencoba untuk merumuskan non-Euclidean Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel mendalilkan, mengandung asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Upaya-upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal dari geometri hiperbolik dan eliptik.

Giordano Vitale , dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri

segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin adalah jarak yang sama di pangkalan AB dan CD KTT, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.

Dalam sebuah karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua Cacat), yang diterbitkan tahun 1733, Saccheri geometri eliptik cepat dibuang sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri berbentuk bulat panjang untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasil menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. Klaimnya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk membuktikan geometri Euclidean ia malah tidak sengaja menemukan sebuah geometri baru yang layak, tapi tidak menyadarinya.

Pada 1766 Johann Lambert menulis, tetapi tidak mempublikasikan, Theorie der Parallellinien di mana ia mencoba, sebagai Saccheri lakukan, untuk membuktikan postulat kelima. Dia bekerja dengan angka yang hari ini kita sebut segiempat Lambert, suatu segiempat dengan tiga sudut kanan (dapat dianggap setengah dari segiempat Saccheri). Dia segera menghilangkan

kemungkinan bahwa sudut keempat adalah tumpul, karena memiliki Saccheri dan Khayyam, dan kemudian melanjutkan untuk membuktikan teorema banyak berdasarkan asumsi sudut akut. Tidak seperti Saccheri, ia tidak pernah merasa bahwa ia telah mencapai kontradiksi dengan asumsi ini. Dia telah membuktikan hasil non-Euclidean bahwa jumlah sudut dalam segitiga meningkat sebagai luas segitiga berkurang, dan ini menyebabkan dia untuk berspekulasi

mengenai kemungkinan model kasus akut pada bola berjari-jari imajiner. Dia tidak membawa ide ini lebih jauh.

Pada saat ini itu sangat percaya bahwa alam semesta bekerja menurut prinsip-prinsip geometri Euclidean.

Penciptaan non-Euclidean geometri

Awal abad ke-19 akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam

penciptaan non-Euclidean geometri. Sekitar 1830, Hungaria matematika János Bolyai dan Rusia matematika Nikolai Lobachevsky secara terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai

matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar non-Euclidean geometri. Gauss disebutkan kepada ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah

dikembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak

mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k parameter. Bolyai berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri alam semesta fisik Euclid atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.

kelengkungan . Ia dibangun sebuah keluarga tak terbatas geometri yang tidak Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam ruang Euclidean . Yang paling sederhana ini disebut geometri berbentuk bulat panjang dan dianggap menjadi geometri non-Euclidean karena kurangnya garis paralel.

Terminologi

Itu Gauss yang menciptakan istilah “non-euclidean geometri”. Dia merujuk pada karyanya sendiri yang hari ini kita sebut geometri hiperbolik. Beberapa penulis modern yang masih menganggap “non-euclidean geometri” dan “geometri hiperbolik” menjadi sinonim. Pada tahun 1871, Felix Klein , dengan mengadaptasi metrik dibahas oleh Arthur Cayley pada tahun 1852, mampu membawa sifat metrik menjadi sebuah lokasi yang proyektif dan karena itu mampu menyatukan perawatan geometri hiperbolik, euclidean dan berbentuk bulat panjang di bawah payung projective geometri . Klein bertanggung jawab untuk istilah “hiperbolik” dan “eliptik” (dalam sistem, ia disebut geometri Euclidean “parabola”, sebuah istilah yang belum selamat dari ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan penggunaan saat ini dari “geometri

non-euclidean” untuk berarti baik geometri “hiperbolik” atau “berbentuk bulat panjang”.

Ada beberapa hebat matematika yang akan memperpanjang daftar geometri yang harus disebut “non-euclidean” dengan berbagai cara. Dalam disiplin ilmu lainnya, terutama yang paling matematika fisika , istilah “non-euclidean” sering diartikan tidak Euclidean .

aksioma dasar non-Euclidean geometri

Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem yang asli Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya mengandalkan asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai aksioma. sistem Hilbert yang terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti pendekatan Euclid dan memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set yang berbeda dari istilah terdefinisi mendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang berbeda. Dalam semua pendekatan,

bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara dengan kelima Euclid postulat, paralel dalil. Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair, sementara Birkhoff , misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bahwa “tidak ada sepasang yang sama tetapi tidak kongruen segitiga. ” Dalam salah satu sistem, penghapusan satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang diperlukan, dan meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri absolut . Sebagai pertama 28 proposisi Euclid (dalam The Elements) tidak memerlukan penggunaan postulat paralel atau apa setara dengan itu, mereka semua pernyataan benar dalam geometri mutlak.

hiperbolik . Kasus kedua tidak ditangani dengan mudah. Cukup mengganti paralel mendalilkan dengan pernyataan, “Dalam pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, semua garis melalui P memenuhi l”, tidak memberikan satu set konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis paralel ada di geometri mutlak , tetapi pernyataan ini mengatakan bahwa tidak ada garis paralel. Masalah ini dikenal (dalam kedok yang berbeda) untuk Khayyam, Saccheri dan Lambert dan merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal sebagai “kasus sudut tumpul”. Untuk mendapatkan satu set konsisten aksioma yang meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis paralel, beberapa aksioma lain harus tweak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem aksioma yang digunakan. Beberapa diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua postulat Euclid dari pernyataan bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas waktu untuk pernyataan bahwa garis tak terbatas. Riemann ‘s geometri eliptik muncul sebagai geometri paling alami memuaskan aksioma ini.

Model non-Euclidean geometri

Untuk rincian lebih lanjut tentang topik ini, lihat Model non-Euclidean geometri .

Pada bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan sebuah bola bukan ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik. Dalam sebuah segitiga kecil di muka bumi, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °.

Dua geometri Euclidean dimensi dimodelkan dengan gagasan kita tentang “datar pesawat . “

geometri Elliptic

Model sederhana untuk geometri eliptik adalah bola, di mana garis ” lingkaran besar “(seperti ekuator atau meridian di dunia ), dan poin yang berlawanan satu sama lain (disebut poin antipodal ) diidentifikasi (dianggap sama). Ini juga salah satu model standar dari pesawat proyektif nyata . Perbedaannya adalah bahwa sebagai model geometri eliptik metrik

Dalam model berbentuk bulat panjang, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, semua baris melalui A akan berpotongan ℓ.

geometri hiperbolik

Bahkan setelah pekerjaan Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, pertanyaannya tetap: apakah model seperti itu ada untuk geometri hiperbolik ? Model untuk geometri hiperbolik dijawab oleh Eugenio Beltrami , pada 1868, yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut pseudosphere memiliki sesuai kelengkungan untuk model sebagian dari ruang hiperbolik , dan dalam makalah kedua di tahun yang sama, mendefinisikan Model Klein yang model keseluruhan dari ruang hiperbolik, dan digunakan ini untuk menunjukkan bahwa geometri Euclidean dan geometri hiperbolik adalah equiconsistent , sehingga geometri hiperbolik adalah logis konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah. (Implikasi terbalik berikut dari horosphere model geometri Euclidean.)

Dalam model hiperbolik, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan

Titik, yang tidak pada ℓ, ada tak terhingga banyak baris melalui A yang tidak berpotongan ℓ.

Dalam model ini konsep-konsep non-Euclidean geometri sedang diwakili oleh objek Euclidean dalam pengaturan Euclidean. Ini memperkenalkan sebuah distorsi perseptual dimana garis-garis lurus dari geometri non-Euclidean yang diwakili oleh kurva Euclidean yang secara visual membungkuk. Ini “lentur” bukan milik non-Euclidean baris, hanya kecerdasan dari cara mereka diwakili.

sifat Jarang

Euclid dan geometri non-Euclidean secara alami memiliki sifat serupa, yaitu mereka yang tidak tergantung pada sifat paralelisme. Kesamaan ini adalah subjek dari geometri netral (juga disebut

geometri absolut). Namun, sifat yang membedakan satu geometri dari yang lain adalah orang-orang yang secara historis menerima perhatian yang besar.

Selain perilaku baris sehubungan dengan tegak lurus umum, disebutkan dalam pendahuluan, kami juga memiliki berikut ini:

 Sebuah segiempat Lambert adalah segiempat yang memiliki tiga sudut kanan. Sudut keempat dari segiempat Lambert adalah akut jika geometri hiperbolik, sebuah sudut yang tepat jika geometri Euclidean adalah atau tumpul jika geometri adalah berbentuk bulat panjang. Akibatnya, empat persegi panjang hanya ada dalam geometri Euclidean.

 Jumlah dari ukuran sudut segitiga apapun adalah kurang dari 180 ° jika geometri hiperbolik, sama dengan 180 ° jika geometri Euclidean, dan lebih besar dari 180 ° jika geometri adalah berbentuk bulat panjang. Cacat segitiga adalah nilai numerik (180 ° – jumlah dari ukuran sudut segitiga). Hasil ini juga dapat dinyatakan sebagai: cacat segitiga dalam geometri hiperbolik adalah positif, cacat segitiga dalam geometri Euclidean adalah nol, dan cacat segitiga dalam geometri eliptik adalah negatif.

Pentingnya

Non-Euclidean geometri adalah contoh dari sebuah pergeseran paradigma dalam sejarah ilmu pengetahuan . Sebelum model pesawat non-Euclidean yang disajikan oleh Beltrami, Klein, dan Poincaré, geometri Euclidean berdiri tertandingi sebagai model matematika dari ruang . Selain itu, karena substansi subjek dalam geometri sintetis adalah pameran kepala rasionalitas, titik Euclidean pandang diwakili otoritas mutlak. Non-Euclidean geometri, meskipun diasimilasi oleh peneliti dipelajari, terus menjadi tersangka bagi mereka yang tidak memiliki paparan konsep hiperbolis dan elips.

Penemuan non-Euclidean geometri memiliki efek riak yang jauh melampaui batas-batas

matematika dan ilmu pengetahuan. Filsuf Immanuel Kant pengobatan itu pengetahuan manusia memiliki peran khusus untuk geometri. Itu adalah contoh utama tentang sintetis pengetahuan apriori, tidak berasal dari indera atau disimpulkan melalui logika – pengetahuan kita tentang ruang merupakan kebenaran bahwa kita dilahirkan dengan. Sayangnya bagi Kant, konsepnya ini geometri unalterably benar adalah Euclidean. Teologi juga dipengaruhi oleh perubahan dari kebenaran absolut untuk kebenaran relatif dalam matematika yang adalah hasil dari pergeseran paradigma.