penggunaan metode Eliminasi Gauss dan LU

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika. Begitu pula dalam ilmu fisika semua permasalahannya

digambarkan dengan persamaan matematika Untuk menyelesaikan berbagai permasalahan fisika tersebut dapat menggunakan beberapa metode

diantaranya adalah metode analitik dan metode numerik.

Metode analitik sangat berguna namun terbatas pada masalah

sederhana. Sedangkan masalah real yang komplek dan non linier tidak dapat diselesaikan. Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberikan solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol. Metode analitik hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana serta rendah. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.

Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk

memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. (Purwanto, 2011)

Pada umumnya permasalahan fisika dengan persamaan matematika sulit diselesaikan dengan menggunakan persamaan analitik sehingga

Diharapkan dengan metode numerik, manusia terbebas dari hitung menghitung manual yang membosankan dan tidak terjebak dalam rutinitas hitung menghitung. Sehingga untuk menghitung dari suatu permasalahan fisika hanya membutuhkan waktu yang singkat. Karena metode numerik dapat mempermudah suatu perhitungan permasalahan fisika, maka pada laporan ini akan dibahas mengenai suatu permasalahan fisika yang berjudul “ Peningkatan Suhu terhadap Kedalaman Tanah Dalam Ilmu Geofisika”. Permasalahan fisika ini akan diselesaikan dengan metode numerik pada progran Matlab.

1.2 Rumusan Masalah

1.2.1 Bagaimana menyelesaikan permasalahan peningkatan suhu untuk mengukur suatu kedalaman tanah dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss dan LU Decomposition?

1.2.2 Bagaimana perbandingan hasil perhitungan metode numerik Eliminasi Gauss dan LU Decomposition dengan hasil perhitungan analitik?

1.3 Tujuan

1.3.1 Untuk mengetahui cara menyelesaikan permasalahan peningkatan suhu untuk mengukur suatu kedalaman tanah dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss dan LU Decomposition

BAB 2. KAJIAN PUSTAKA

Suhu adalah besaran fisika yang menyatakan derajat panas suatu zat. Alat untuk mengukur suhu disebut termometer. Pada termometer, zat yang paling banyak digunakan adalah alkohol dan raksa. Yang menjadi pelopor pembuatan termometer adalah Galileo Galilei (1564-1642).

Ada tiga istilah yang penggunaannya sering kacau jika sudah membahas mengenai suhu, yaitu panas, kalor, dan suhu. Panas adalah salah satu bentuk energi. Energi panas yang berpindah disebut kalor,sementara suhu adalah derajat panas suatu benda.( Muntahar, 2014)

Suatu benda yang memiliki suhu yang berbeda akan mengalami

perpindahan kalor. Kalor didefinisikan sebagai energi dalam yang dipindahkan dari suatu benda yang bersuhu tinggi ke suatu benda yang bersuhu rendah.

Sehingga perpindahan kalor didefinisikan sebagai perpindahan energi yang terjadi pada benda atau material yang bersuhu tinggi ke benda atau material yang bersuhu rendah, sehingga tercapainya kesetimbangan panas ketika dua benda tersebut bersentuhan (dicampur).

Akibat dari perpindahan kalor tersebut maka suatu benda memiliki suhu yang berbeda. Proses perpindahan panas ini berlangsung dalam 3 mekanisme, yaitu:

1. Konduksi 2. Konveksi 3. Radiasi

Berikut ini adalah penjelasan dari 3 mekanisme perpindahan kalor. 1. Konduksi

Konduksi adalah proses perpindahan kalor dari suatu bagian benda padat atau material ke bagian lainnya. Perpindahan panas secara konduksi dapat berlangsung pada benda padat, umumnya logam.

Pada perpindahan panas secara konduksi tidak ada bahan dari logam yang berpindah. Yang terjadi adalah molekul-molekul logam yang diletakkan di atas nyala api membentur molekul-molekul yang berada di dekatnya dan memberikan sebagian panasnya. Molekul-molekul terdekat kembali membentur moleku-lmolekul terdekat lainnya dan memberikan sebagian panasnya, dan begitu seterusnya di sepanjang bahan sehingga suhu logam naik. Jika pada suatu logam terdapat perbedaan suhu, maka pada pada logam tersebut akan terjadi perpindahan panas dari bagian bersuhu tinggi ke bagian bersuhu rendah.

2. Konveksi

Konveksi merupakan perpindahan kalor yang di ikuti zat perantara. Contoh konveksi dalam kehidupan sehari-hari dapat anda lihat pada proses pemasakan air. Saat air dimasak maka air bagian bawah akan lebih dulu panas, saat air bawah panas maka akan bergerak ke atas (dikarenakan

terjadinya perubahan masa jenis air) sedangkan air yang diatas akan bergerak kebawah begitu seterusnya sehingga keseluruhan air memiliki suhu yang sama. Selain itu contoh konveksi yang lain juga dapat anda temui pada ventilasi ruangan dan cerobong asap. (Aprihandana, 2014)

3. Radiasi

Bentuk perpindahan kalor yang terakhir adalah secara radiasi. Perpindahan panas radiasi adalah perpindahan panas dengan bentuk gelombang elektromagnetik yang terjadi tanpa adanya media perantara (vakum). Radiasi panas merupakan hasil dari atom dan molekul suatu benda yang bergerak acak. Dikarenakan atom dan molekul tersebut berisi

diterapkan dalam rangka mengetahui segala sesuatu yang terdapat di bawah permukaan bumi baik yang bersifat padat maupun cair. ( Geofisika, 2014)

Energi geothermal adalah energi panas yang dihasilkan dan disimpan dalam Bumi. Energi panas adalah energi yang menentukan suhu dari materi. Energi geothermal bumi berasal dari formasi asli planet ini (20%) dan dari peluruhan radioaktif mineral (80%). Gradien panas bumi yang merupakan perbedaan suhu antara inti planet dan permukaannya menyebabkan konduksi berkelanjutan energi termal dalam bentuk panas dari inti ke permukaan bumi. Gradien panas ini sering disebut dengan gradien geothermal. (Indo Energi, 2013)

Gradient geothermal adalah naiknya temprature bumi setiap 1 km naik 300_C.

Semakin ke bawah, temperatur bawah permukaan bumi semakin meningkat atau semakin panas.

Seperti diketahui bahwa thermal gradien (landaian suhu) pada kondisi normal adalah sekitar 300_{C/km, tetapi pada lapangan panas bumi kenaikan}

suhunya dapat melebihi landaian suhu pada kondisi normal. Aliran panas di dalam bumi pada lapangan panas bumi rata-rata mencapai 1,5 x 10-6 cal/cm2/detik dan menghasilkan gradien geotermal sekitar 10C/50 m, sehingga pada kedalaman 1000 – 2000 m suhunya dapat mencapai 1500 – 3000C atau lima hingga sepuluh kali dari kondisi normal.

Untuk memperkirakan sumberdaya panas bumi dapat dilakukan dengan didasarkan pada data-data geologi dan geofisika, seperti :

1. Kedalaman, ketebalan dan penyebaran reservoar 2. Properti dari formasi batuan

3. Salinitas dan geokimia fluida reservoar

4. Temperatur, porositas dan permeabilitas formasi batuan

( Rahayudin, 2013) Sistem panas bumi di Indonesia umumnya merupakan sistim hidrothermal yang mempunyai temperatur tinggi (>225o_{C), hanya beberapa diantaranya}

yang mempunyai temperatur sedang (150‐225o_{C). Pada dasarnya sistem}

suatu sumber panas ke sekelilingnya yang terjadi secara konduksi dan secara konveksi.

Perpindahan panas secara konduksi terjadi melalui batuan, sedangkan perpindahan panas secara konveksi terjadi karena adanya kontak antara air dengan suatu sumber panas. Perpindahan panas secara konveksi pada

dasarnya terjadi karena gaya apung (bouyancy). Air karena gaya gravitasi selalu mempunyai kecenderungan untuk bergerak kebawah, akan tetapi apabila air tersebut kontak dengan suatu sumber panas maka akan terjadi perpindahan panas sehingga temperatur air menjadi lebih tinggi dan air menjadi lebih ringan. Keadaan ini menyebabkan air yang lebih panas bergerak ke atas dan air yang lebih dingin bergerak turun ke bawah, sehingga terjadi sirkulasi air atau arus konveksi.

Berikut ini adalah contoh gambar dari geothermal energi didalam bumi

BAB 3. METODE 3.1 Metode Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan

menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah

1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)

2. Baris nol terletak paling bawah

3. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya 4. Dibawah 1 utama harus nol

Jika diketahui suatu persamaan linier sebagai berikut a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃=b₂ a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃=b₃

Eliminasi Gauss dapat dinyatakan dalam bentuk matriks A.X=b, yaitu

A=

[

Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A berbentuk segitiga atas dan diagonal A bernilai 1. Matriks dibawah ini dikatakan matriks eselon baris

A=

[

1 a12 a13

0 1 a₂₃

Selanjutnya untuk mendapatkan nilai x1, x2 dan x3 dapat dihitung degan

Sehingga dari persamaan perhitungan diatas kita mendapatkan nilai x1, x2

dan x3.

Berikut ini adalah MATLAB fungsi untuk Metode Eliminasi Gauss

function x=gauss (A,b)

[n,n]=size(A);

x(i,:)=(b(i,:)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,:))./A(i,i);

end

(Tim Komputasi,2014:33)

3.2 Metode LU Decomposition

Jika matrik A non singular maka A dapat difaktorkan (diuraikan atau didekomposisi menjadi matriks segitiga bawah (lower) dan matriks segitiga atas U (upper) :

A=LU

Dalam bentuk matriks, pemfaktoran ini ditulis sebagai berikut, matriks yang dicontohkan adalah 3 x 3

A=

[

L=

[

Pada matriks segitiga bawah L, semua elemen diagonal adalah 1,

sedangkan pada matriks U tidak ada aturan khusus pada elemen diagonalnya. Metode ini dinamakan juga metode-metode pemfaktoran segitiga (triangular factorization). Metode eliminasi Gauss merupakan suatu dekomposisi LU dari matriks A.

Penyelesaian Ax = b dengan metode dekomposisi LU adalah sebagai berikut:

Ax = b

Faktorkan A menjadi L dan U sedememikian rupa, sehingga A= LU

Jadi, langkah-langkah menghitung solusi sistem persamaan linier dengan metode dekomposisi LU dapat diringkas sebagai berikut :

1. Bentuklah matriks Ldan U dari A

2. Pecahkan Ly = b , lalu hitung y dengan menggunakan Lower 3. Pecahkan Ux = y , lalu hitung x dengan menggunakan Upper

Berikut ini adalah MATLAB fungsi untuk metode LU Dekomposition

function x=ludec(A,b)

n=size(A,1);

for k=1:n-1; for i=k+1:n

if A(i,k)~=0.0

A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-lambda*A(k,k+1:n); A(i,k)=lambda;

end

end end

if size(b,2)>1;b=b';end for k=2:n

b(k)=b(k)-A(k,1:k-1)*b(1:k-1);

end

for k=n:-1:1

b(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*b(k+1:n))/A(k,k);

end

x=b;

(Tim Komputasi,2014:33-34)

3.3 Flowchart Metode Eliminasi Gauss

START

Ti(i)=m(1)+m(2)*zi(i)+m(3)*zi(i)^2; N=8;

z=[5;8;14;21;30;36;45;60] T=[21.75;22.68;25.62;30.87; 40.5;48.72;63.75;96]

for i=1:N G= Ti G(i,1)=1 G(i,2)=z(i,1) G(i,3)=z(i,1)^2

A=G'*G; b=G'*d;

m=gauss(A,b)

OUTPUT

3.4 Flowchart Metode LU Decomposition

START

Ti(i)=m(1)+m(2)*zi(i)+m(3)*zi(i)^2;

for i=1:N G= Ti G(i,1)=1 G(i,2)=z(i,1) G(i,3)=z(i,1)^2

A=G'*G; b=G'*d; N=8;

z=[5;8;14;21;30;36;45;60] T=[21.75;22.68;25.62;30.87; 40.5;48.72;63.75;96]

Ludec (A,b)

OUTPUT

BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada laporan ini dibahas suatu permasalahan fisika yang berkaitan tentang peningkatan suhu untuk mengukur suatu kedalaman tanah. Permasalahan suhu untuk mengukur suatu kedalaman tanah khususnya berkaitan dengan ilmu Geofisika. Berikut ini adalah soal mengenai suatu permasalahan tersebut.

Pengukuran suhu terhadap kedalaman di bawah permukaan bumi yang telah dilakukan sebanyak delapan kali (N = 8) pengukuran suhu (Ti) pada kedalaman yang berbeda beda (zi). Tabel berikut menyajikan data observasi

Pengukuran ke - i Kedalaman (m) Suhu (0_C)

1 z 1 = 5 T1 = 21,75

2 z 2 = 8 T2 = 22,68

3 z 3 = 14 T3 = 25,62

4 z 4 = 21 T4 = 30,87

5 z 5 = 30 T5 = 40,5

6 z 6 = 36 T6 = 48,72

7 z 7 = 45 T7 = 63,75

8 z 8 = 60 T8 = 96

pada kasus ini diasumsikan bahwa variasi suhu terhadap kedalaman ditentukan oleh rumus berikut

m1+m2zi+m3zi2= Ti

tentukanlah nilai m1, m2,dan m3 yang dijadikan sebagai parameter suhu.

(Supriyanto, 2007:194) Untuk menyelesaikan permasalahan fisika diatas, digunakan tiga bentuk perhitungan yaitu perhitungan analitik, perhitungan manual, dan perhitungan dengan Matlab. Tujuan dilakukannya tiga bentuk perhitungan yaitu untuk

membandingkan hasil dari masing-masing perhitungan. Terdapat dua metode yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan fisika di atas yaitu metode

Eliminasi Gauss dan LU Decomposition. Berikut ini adalah hasil dari ketiga bentuk perhitungan

Kita bisa mengambil 4 buah persamaan dari kedelapan persamaan diatas. Pada perhitungan ini kita ambil persamaan 1, 2, 3 dan 4

m1+m25+m325 = 21,75

(1) m1+m28+m364 = 22,68

(2) m1+m214+m3196 = 25,62

(3) m1+m221+m3441 = 30,87

(4) 1. Langkah pertama

Eliminasi persamaan (1) dan (2), (3) dan (4)

m1+m28+m364 = 22,68

(2) m1+m25+m325 = 21,75

(1)

3m2 + 39 m3 = 0,93 (5)

m1+m221+m3441 = 30,87

(4) m1+m214+m3196 = 25,62

(3)

7 m2 + 245 m3 = 5,25 (6)

2. Langkah Kedua

Eliminasi persamaan (5) dan (6)

7 m2 + 245 m3 = 5,25 (6) x 3

3m2 + 39 m3 = 0,93 (5) x 7

21m2 + 735 m3= 15,75 (5)

21m2 + 273 m3= 6,51 (6)

462 m3 = 9,24 m3 = 0,02

3. Langkah ketiga

21m2 + 735 (0,02) = 15,75 (5)

m2 = 15,75 – 14,7

m2 = 1,05 m2 = 0,05

4. Langkah keempat

Subsitusi m3 = 0,02 dan m2= 0,05 pada persamaan (1)

Jadi, didapat nilai

[

m₁

b. Perhitungan dengan menggunakan MATLAB 1.Editor

disp('--- Proyek Tugas Akhir Komputasi Fisika---');

disp('--- Iswatul

Hasanah_120210102111---');

disp('---Hasil perhitungan dengan metode Eliminasi Gauss---');

xlabel('kedalaman(meter)');ylabel('suhu(derajat celcius)'); title('data variasi suhu terhadap kedalaman');

hold on;

for i=1:max(z) zi(i)=i;

Ti(i)=m(1)+m(2)*zi(i)+m(3)*zi(i)^2;

end

grid on

2.Hasil perhitungannya dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss dan LU decomposition pada Commond window

Soal

--- Proyek Tugas Akhir Komputasi Fisika--- Iswatul Hasanah_120210102111---Hasil perhitungan dengan metode Eliminasi Gauss----m =

21.0000 0.0500 0.0200

% Perhitungan dengan metode LU Dekomposition ludec(A,b)

ans =

21.0000 0.0500 0.0200

diary off

c. Perhitungan secara manual dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss dan LU Decomposition

1. Perhitungan Eliminasi Gauss

Dari semua data diperoleh persamaan linier berikut ini: m1+m2z1+m3z12= T1

m1+m2z2+m3z22= T2

m1+m2z3+m3z32= T3

m1+m2z4+m3z42= T4

m1+m2z5+m3z52= T5

m1+m2z6+m3z62= T6

m1+m2z7+m3z72= T7

mengubah persamaan ke dalam persamaan matriks sebagai berikut:

Agar dapat diselesaikan maka matriks tersebut kita ubah dulu bentuk matriksnya.

a) Menentukan G tranpose

=

[

Dimana N=8 dan i=1,2,3….8 c) Kemudian tentukan Gt_d

Gt_d=

[

d) Sehingga menjadi persamaan

[

N

_∑

zi

∑

zi2

e) Kemudian subsitusi angka dari data untuk membentuk matriks yang akan dihitung menggunakan Eliminasi Gaus

[

N

_∑

z_i

_∑

z_i2

219 8547 393423 8547 393423 19787859

|

349,89 12894,81 594915,33

]

f) Melakukan proses eliminasi untuk membentuk matriks eselon baris

(P2 − (219/8)P1) → P2

[

8 219 8547| 349,89 0 2551,88 159448,88| 3316,57 8547 393423 19787859| 594915,33

]

g) (P3 − (8547/8)P1) → P3 hasilnya adalah

[

8 219 8547| 349,89 0 2551,88 159448,88| 3316,57 0 0 693609,48| 13872,19

]

1) 693609,48 m3 = 13872,19 m3 = 13872,19

693609,48=0,02 2) 2551,88 m2 + 159448,88 (0,02) =3316,57

2551.88 m2 = 3316,57 – 3188,977692 m2 = 127,592.308

2. Perhitungan LU Decomposition

Ux = y

219 8547 393423 8547 393423 19787859

]

M21 ¿

Kemudian Subsitusi kembali M1dan M2 ke dalam matriks A dengan

tanda berbeda sebagai berikut

M1=

[

8 219 8547

−219

8 8547 393423

−8547

8 393423 19787859

]

A1= M1 . A

A1=

[

8 219 8547

−219

8 8547 393423

−8547

8 393423 19787859

]

[

8 219 8547

219 8547 393423 8547 393423 19787859

]

A1=

[

64 1752 68376

0 2551,875 159448,875 0 159448,875 10656457,88

]

Mencari nilai M32 dari matriks A1

M32=

64 1752 68376

0 2551,875 159448,875 0 159448,875 10656457,88

]

=

[

64 1752 68736 0 2551,875 159448,875 0 0 693609,4886

]

A2=

[

64 1752 68736 0 2551,875 159448,875 0 0 693609,4886

]

U =

[

64 1752 68736 0 2551,875 159448,875 0 0 693609,4886

]

Sebagai Upper

L=

[

1068,375 62,48302719 1

]

Sebagai Lower

Ly = b L=

[

1068,375 62,48302719 1

]

y=

[

1068,375 62,48302719 1

]

[

x₁

2) x₂=12894,81−27,375(349,89) x₂=12894,81−9578,23875 x₂=3316,57125

3) 1068,375x1+62,48302719x2+x3=594915,33

3316,57125+x₃=594915,33 1068,375(349,89)+62,48302719¿

Jadi,

[

Selanjutnya melakukan perhitungan menggunakan Upper

Ux = y U=

[

64 1752 68736 0 2551,875 159448,875 0 0 693609,4886

]

y=

[

0 2551,875 159448,875 0 0 693609,4886

]

[

1) 693609,4886m₃=13872,1896

m3=

13872,1896 693609,4886 m₃=0,02

2) 2551,875m2+¿ 159448,875 m3=3316,57125

2551,875m₂+¿ 159448,875 (0,02)=3316,57125 m₂=3316,57125−3188,9775

2551,875

64m₁+87,6+1367,52=349,89

64m₁=349,89−87,6−1367,52

64m₁=−1105,23 m1=

m₁=−17,26

Jadi,nilai

[

m₁ m₂ m3

]

=

[

−17,26 0,05 0,02

]

Hasil perhitungan yang dilakukan dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss dan LU decomposition pada program MATLAB adalah sama. Jadi, kedua metode tersebut memiliki tingkat akurasi yang sama.

Sedangkan untuk hasil dari tiga bentuk perhitungan yang dilakukan pada metode Eliminasi Gauss didapatkan nilai yang sama yaitu

[

m₁ m₂ m3

]

=

[

21,00

0,05 0,02

]

Hal ini berarti semua perhitungan yang dikerjakan baik secara analitik, manual dan matlab adalah benar.

Sedangkan dalam perhitungan metode LU Dekomposition mempunyai hasil yang sama dari ketiga bentuk perhitungannya, namun terdapat satu hasil

perhitungan manual pada nilai m1 yang tidak sama.Hal ini dikarenakan kurangnya

tingkat ketelitian dalam menghitung secara manual. Oleh karena itu untuk menyelesaikan suatu permasalahan yang sudah sedikit rumit, sebaiknya

menggunakan perhitungan numerik dibandingkan dengan perhitungan manual.

BAB 5. PENUTUP 3.1 Kesimpulan

1. Hasil perhitungan dari permasalahan fisika yang dibahas memiliki hasil yang sama baik dengan metode Eliminasi Gauss dan LU Dekomposition. Jadi, kedua metode tersebut memiliki tingkat akurasi yang sama.

3.5 Saran

Untuk menyelesaikan berbagai permasalahan fisika yang menggunakan persamaan matematika yang sangat rumit diperlukan pemahaman yang sangat luas tentang penggunaan program MATLAB agar lebih mudah untuk

2. Command Window

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. 2013. Pengertian perpindahan panas konveksi, radiasi dan konduksi lengkap. http://www.miung.com/2013/05/pengertian-perpindahan-panas-konveksi.html. (24 November 2014)

Apriyahanda, Onny. 2014. Perpindahan Panas.

http://artikel-teknologi.com/perpindahan-panas/. (diakses 22 November 2014)

Geofisika. 2014. Sejarah Geofisika. http://geofisika.ub.ac.id/profil/sejarah. Sejarah. (diakses 22 November 2014)

Indoenergi. .2012. Energi Geothermal (Energi Panas Bumi)

http://www.indoenergi.com/2012/03/energi-geothermal-energi-panas-bumi.html. (diakses 23 November 2014)

Muntahar, Rahadian. 2014 Energi dan Penerapannya.

http://www.slideshare.net/rahadianmuntahar/energi-dan-penerapannya.

(diakses 22 November 2014)

Purwanto, Slamet. 2011. Metode Numerik: Pengertian dan Kegunaan Metode

Numerik.

http://slametpurwanto.com/metode-numerik-pengertian-dan-kegunaan-metode-numerik/#ixzz3JlVfwD1I ( diakses 22 November

2014)

Rahayudin, Yudi. 2013. Sistem Panas Bumi. http://www.pusdiklat-

Saptadji, Nenny. Tanpa Tahun. Panas Bumi.

http://geothermal.itb.ac.id/sites/default/files/public/Sekilas_tentang_Pana

s_Bumi.pdf. /ITB) (diakses tanggal 23 November 2014)

STMIK AUB. 2013. Pengertian metode numerik.www.bibliopedant.com.. Surakarta: STMIK (diakses 22 November 2014)

Supriyanto, Suparno. 2007. Komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan Matlab. Jakarta: Departemen Fisika-FMIPA.