Mengenal Trigonometri Lebih Dalam tentang

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan pertolonganNya kami dapat menyelesaiakan makalah yang berjudul ‘Rumus-rumus segitiga’. Meskipun banyak rintangan dan hambatan yang kami alami dalam proses pengerjaannya, tapi kami berhasil menyelesaikannya dengan baik.

Tak lupa kami mengucapkan terimakasih kepada guru pembimbing yang telah membantu kami dalam mengerjakan proyek ilmiah ini. Kami juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman kelompok yang juga sudah memberi kontribusi baik langsung maupun tidak langsung dalam pembuatan makalah ini.

Tentunya ada hal-hal yang ingin kami berikan kepada para siswa lain dari hasil makalah ini. Karena itu kami berharap semoga makalah ini dapat menjadi sesuatu yang berguna bagi kita bersama.

Pada bagian akhir, kami akan mengulas tentang berbagai masukan dan pendapat dari orang-orang yang ahli di bidangnya, karena itu kami harapkan hal ini juga dapat berguna bagi kita bersama.

Semoga makalah yang kami buat ini dapat membuat kita mencapai kehidupan yang lebih baik lagi.

Makassar, 24 Oktober 2014

35

80 40

6

A A

130 ₂₀

1.

Penentuan unsur segitiga sembarang

I. Aturan Sinus (Rumus Sinus)

A. Contoh-contoh untuk pengantar.

Jawaban:

1. Pada gambar (i):

∠

A

=

35

° ,

∠

C

=

90

°

dan sisi c =15

a) Apakah data itu cukup untuk dapat melukis segitiga tersebut?

Cukup, karena besar salah satu sudut Segitiga ABC tersebut 90 (yaitu

∠

C

) dan sudut lainnya diketahui.

b) Jika a, b,dan c masing-masing adalah rusuk-rusuk didepan sudut A, B,dan C, hitunglah a dan b a) Apakah data itu cukup untuk dapat melukis segitiga tersebut?

Jawab:

Cukup, karena satu rusuk dan dua sudutnya diketahui

80 40

b) Bagaimana cara menghitung panjang BQ, BC, AQ, QC, dan AC?

Jawab:

Perhatikan gambar di atas:

i. Pandang segitiga APB; ∠P=90° dan ∠A=180°−130°=50° , maka : C

Q

B

M B

A

a

BP =AB sin

50

°

= 8 sin

50

°

= 6,13

ii. Pandang segitiga BPC: ;

∠

P

=

90

°

dan

∠

c

=

20

°

, maka :

BQ

BC

= sin C BC =

BQ

sin20

=

6,13

sin20

°

= 17,92

Jadi, a = BC= 17,92.

PC =

_√

(

BC

)

2

−(

BP

)

2 =

_√

(

17,92

)

2

−(

6,13

)

2 = 16, 84 Jadi, b = PC- PA= 16,84 – 5,14 = 11,7.

II. Aturan Sinus dan pembuktiannya

Pada segitiga di atas berlaku

Pembuktian

i.

b c

a c

b

Sudut lancip C ; perhatikan gambar di atas

Pada segitiga ACM; AM = AC sin C = b sin C

Dengan cara yang sama, yaitu menggambar garis dari titik C tegak lurus AB, didapatkan:

Sudut tumpul C; perhatikan gambar diatas

Pada segitiga ACM; AC sin

∠

ACM

= b sin (180

°

−

C

¿

=

b

sin

C

Dengan cara yang sama, yaitu menggambar garis dari titik C tegak lurus AB, didapatkan: Maka:

a

sin

A

=

A

a

sin

A

=

b

sin

B

Contoh soal:

1) Carilah panjang x pada gambar disamping.

jawab :

Dengan menemukan x, kita pergunakan aturan, diperoleh:

sin30

°

2) Tentukan besar sudut C pada segitiga berikut!

Pembahasan

Data

AC = 5_{/3 √6 cm} BC = 5 cm

Jumlah sudut segitiga adalah 180°sehingga besar sudut C adalah

∠C = 180 − (60 + 45) = 75°

3) Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!

Tentukan perbandingan panjang sisi AB dan BC!

Pembahasan

Sehingga perbandingan AB : BC = √2 : √3

4) Segitiga PQR dengan sisi-sisinya adalah p, q dan r. Jika p = 16 cm, r = 8√2 cm dan ∠ R = 30° tentukan besar ∠ P !

Pembahasan

Segitiga PQR

Berlaku aturan sinus

III. Aturan Kosinus dan Pembuktiannya.

Untuk segitiga sembarang ABC berlaku:

c2=a2+b2−2abcosC

a

2

=

b

2

+

c

2

−

2

bc

cos

C

Bukti :

Sudut lancip C, pada gambar diatas

AM dilukis tegak lurus BC.

MIsalkan AM = p dan MC = x.

Pada segitiga ACM,

_AC

2

=

AM

2

+

MC

2 (Teorema Pythagoras)

_b

2

=

p

2

+

x

2 (1) Pada segitiga ABM,

_AB

2

=

AM

2

+

BM

2 (Teorema Pythagoras) Subsitusikan Persamaan (1) ke persamaan (2), dan

Sudut lancip C, pada gambar diatas

AM dilukis tegak lurus dengan perpanjangan BC.

MIsalkan AM = p dan CM = x.

Pada segitiga ACM,

_AC

2

=

AM

2

+

MC

2 (Teorema Pythagoras)

_b

2

=

p

2

+

x

2 (1)

x = CM = AC cos

∠

ACM

= b cos (180

°

−

C

¿

(2)

Pada segitiga ABM,

AB

2

=

AM

2

+

BM

2 _{(Teorema Pythagoras)}

c

2

Subsitusikan Persamaan (1) dan persamaan (2) ke persamaan (3), maka diperoleh,

_c

2

=

a

2

+

b

2

−

2

ab

cos

C

Dengan cara yang sama untuk dua keadaan itu dapat dibuktikan bahwa:

Untuk menghitung besar sudut suatu segitiga jika diketahui panjang ketiga rusuknya, digunakan aturan kosinus dalam bentuk berikut.

cos

A

=

b

2

+

c

2

−

a

2

2

bc

cos

B

=

a

2

+

c

2

−

b

2

2

ac

cos

C

=

a

2

+

b

2

−

c

2

2

ab

Contoh soal:

1.

Penyelesaian:

Jawab:

3.

2. Luas segitiga dan segin-

n

beraturan

Untuk menghitung luas segitiga, secara umum kita menggunakan formula berikut :

2.1 Menentukan Luas segitiga jika Diketahui Ketiga

titik sudutnya

Luas segitiga ABC dengan titik sudutnya, A(X1,Y1), B(X2,Y2) dan C(X3,Y3) dapat dijabarkan sebagai berikut.

Luas ∆ ABC=Luas DACE+Luas ECBF−Luas DABF

¿

1

2

[

(

Y

1

+

Y

3

) (

X

3

−

X

1

)

+

(

Y

2

+

Y

3

) (

X

2

−

X

3

)

−

(

Y

1

+

Y

2

)

(

X

2

−

X

1

)

]

Luas segitiga =

1

₂

×alas ×tinggi

D

E

F

C

A

B

X

Y

Jadi luas ∆ ABC

¿

1

2

|

(

X

1

Y

2

+

X

2

Y

3

+

X

3

Y

1

)

−(

X

2

Y

1

+

X

3

Y

2

+

X

1

Y

3

)

|

Bentuk di atas sangat sulit untuk mengingatnnya, untuk mengatasi hal tersebut kita ubah ke bentuk baris berikut ini.

Luas

∆ ABC

₌

1

₂

|

X

1

X

2

X

3

Y

₁

Y

₂

Y

₃

X

4

Y

₄

|

2.2 Menentukan luas segi empat jika diketahui

keempat titik sudutnya

Analog dengan penentuan luas segitiga, maka luas segi empat dengan titik-titik sudut (X1,Y1), (X2,Y2) dan (X3,Y3) , dan (X4,Y4) ditentukan oleh :

Luas segi empat=

1

₂

|

X

1

X

2

X

3

Jadi luas segi empat

Contoh :

∆ ABC

dengan A(1,2) , B(6,12) dan C(x,y) mempunyai luas 15 satuan luas. Carilah hubungan x dan y.

Jawab:

2.3

Menentukan luas segitiga jika diketahui dua rusuk

dan satu sudut (RRS)

Perhatikan gambar berikut :

(b)

Pada gambar (a) AM=ACsinC=bsinC , atau

Pada gambar (b) AM=ACsin

(

180°−C

)

=bsinC .

Luas segitiga ABC =

1

2

×alas ×tinggi

=

1

2

× BC × AM

=

1

2

ab

sin

C

Dengan cara yang saa diperoleh:

Luas

∆ ABC

=

1

2

ac

sin

B

dan luas

∆ ABC

=

1

2

bc

sin

A

Contoh :

Tentukan luas ∆ ABC apabila diketahui ∠A=30° , b=4cm , dan c=15cm .

Jawab :

Luas ∆ ABC

=

1

2

bc

sin

A

¿

1

2

.4

cm

.15

cm .

sin30

¿15cm2

2.4

Menentukan Luas segitiga jika diketahui dua

Dengan aturan sinus diperoleh :

Dengan cara yang sama diperoleh :

C

B

A

b

a

Luas ∆ ABC

=

b

2.5

Menentukan Luas segitiga jika diketahui dua sudut

dan satu rusuk (RRR)

b

Perhatikan ∆ ABC

d

=

1

Hitunglah luas ∆ ABC apabila a=6cm, b=5 cm, c=9cm.

Jawab :

=

_√

10.4 .5 .1

¿

√

200

¿

10

√

2