MODUL PERKULIAHAN
Pengambilan
Keputusan
Manajerial
Modul Mid Semester
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Ekonomi dan Bisnis Manajemen
Mid
Semester
MK Andre M. Lubis, ST, MBA
Abstract
Kompetensi
Mampu mengidentifikasi masalah dan memahami model-model pengambilan keputusan dalam berbagai situasi
Modul 1
Latar Belakang
Dalam rangka mengenali permasalahan yang dihadapi, penganmbil keputusan-siapun itu-membutuhkan pengetahuan (knowledge). Hal itu dibutuhkan agar mampu mengidentifikasi situasi keputusan yang dihadapinya secara benar.
Ketiadaan pengetahuan bisa membuat analisisi yang dilakukannya menjadi salah sehingga pengambil keputusan akan melakukan kesalahan dalam membentuk model mental keputusan.
Bagian Isi
1. Pendahuluan
2. Masalah dan Keputusan, Model Pengambilan Keputusan
3. Keputusan Dalam Situasi Pasti & Tidak Pasti – Pohon Keputusan (EMV/EVPI) 4. Keputusan Dalam Situasi Risiko (Nilai Harapan Informasi)
5. Pengambilan Keputusan Dengan Lawan Berhadapan. 6. Motode Grafik & Simpleks
7. Dualitas & Sensitivitas.
Pendahuluan
Pengambilan keputusan adalah serangkaian proses mental yang dilakukan seseorang dalam menentukan jalan keluar bagi permasalahan yang dihadapinya. Seseorang harus memutuskan langka-langkah mana yang pantas diambil dengan keterbatasan biaya yang ada dan secara relative langkah-langkah itu memeiliki hasil dibandingkan dengan langkah lain.
Semua pengambil keputusan memiliki keterbatasan. Pada saat yang sama, mereka harus kelaur dari persoalan yang dihadapi.
Pengetahuan dan kreativitas.
Dalam rangka mengenali permasalahan yang dihadapi, pengambil keputusan-siapapun itu-membutuhkan knowledge. Hal tersbut dibutuhkan agar mampu mengidentifikasi situasi keputusan yang dihadapinya secara benar. Kreativitas dibutuhkan untuk menentukan berbagai alternative yang mungkin dilakukan dalam memecahkan masalah yang dihadapi. Kreativitas dan pengetahuan merupakan sepasang mata gunting yang dibutuhkan dalam
berbeda. Pengetahuan diakuisisi sepanjang hidup sesorang, sedangkan kreativitas merupakan kemampuan sesorang dalam mengintegrasikan sejumlah pengetahuan.
Persoalan persepsional dan Persoalan Riil
Persepsi adalah cara pandang seseorang terhadap sesuatu yang muncul sebagai cara orang itu mengorganisasikan berbagai informasi yang dianggap relevan dan bagaimana orang itu mengambil kesimpulan atas organisasi informasi tersebut. Sering kali, persepsi menyesatkan karena ketidaklengkapan informasi dan cara pengorganisasian informasi.
Dalam berbagai persoalan, pengambil keputusan harus mampu, membedakan antara persoalan yang di persepsikan dan persoalan riil yang dihadapi. Kegagalan mengidentifikasi hal tersebut akan bermuara kepada kesalahan pengambilan keputusan.
Terkadang, persepsi pengambil keputusan terhadap masalah dipengaruhi oleh hokum keberhasilan masa lalu. Lantas secara heuristis memahami masalah yang dihadapi dengan pola yang dikira mirip dengan pola sebelumnya –hal ini biasa disebut “framming”.
Persoalan tersetruktur dan tidak tersetruktur.
Banyak persoalan manajer bersifat tersetruktur dengan model pengambilan keputusan yang telah dikenali, dengan variable keputusan yang lazim dan situasi yang pasti. Ketika hal ini menjadi sesuatu hal yang pasti, pengambil keptusan akan menjadikan pola pikirnya ke dalam pola heuristis.
Ketika menghadapi persoalan tidak tersetruktur, seperti meredam emosi sekelompok preman yang mendatangi kantornya, disinilah pengetahuan dan kreativitas berperan besar dalam mengenali persoalan/masalah preman bukanlah persoalan terstruktur.
Situasi keputusan
Situasi pengambilan keputusan terbagi menajdi 7, sbb: 1. Situasi yang pasti (certainty)
2. Situasi yang tidak pasti (uncertainty) 3. Situasi dibawah risiko
4. Situasi berhadapan lawan tunggal
5. Situasi pengambilan keputusan tujuan jamak 6. Situasi berhadapan lawan kelompok.
7. Situasi kompleks
Modul 2
Masalah dan keputusan
Bagian tersulit dari proses pengambilan keputusan adalah memisahkan gejala (symptom) dari masalah (problem). Dengan demikian, pengambilan keputusan secara jernih akan mampu mengidentifikasi langkah-langkah yang harus diambil.
Adanya kesenjangan (Gap) antara situasi yang dikehendaki dan situasi yang tengah terjadi. Sebagai contoh, meningkatnya tingkat kerusakan barang yang di produksi dan meningkatnya putaran tagihan (receivable turnover) adalah gejala dari berbagai masalah manajerial yang masih harus diidentifikasi lebih lanjut.
Masalah adalah sumber dari terjadiny kesenjangan antara kondisi yang dikehendaki dan kondisi yang tengah terjadi. Masalah tidak langsung bisa dikenali. Untuk mengenalinya, kita membutuhkan data, informasi dan analisis lebih mendalam.
Gejala dapat langsung dapat dikenali secara langsung karena keberadaannya dapat dirasakan oleh pancaindera. Selain itu, seorang pengamat dapat juga ditugaskan untuk mencatat berbagai fenomena yang terjadi dengan statistic kejadiannya.
Setidaknya, ada 2 cara untuk memisahkan gejala dengan masalah. Pertama, menggunakan diagram ikan (fishbone diagram). Kedua, menggunakan why-why diagram (kedua cara tersebut terbukti efektif dalm dunia konsultasi (dikenal dengan istilah company trouble shooting).
Diagram Tulang Ikan.
Diagram tulang ikan (dalam situasi yang bersifat pasti/certainty- dimana hubungan antara gejala dan masalh bersifat determenistik) sering disebut juga disebut Ishikawa Diagram yang ditemukan oleh Kaoru Ishikawa (1990), teknik yang sering digunakan dalam identifikasi masalah manajemen mutu.
4 langkah yang dibutuhkan dalam membentuk diagram tulang ikan, sbb: 1. Melakukan brainstorming untuk mengenali gejala dan masalah. 2. Memetakan masalah dan gejala ke dalam diagram tulang ikan. 3. Tanyakan pada setiap gejala, mengapa hal ini terjadi.
4. Kumpulkan data atas gejala dan masalah untuk menentukan frekuensi kejadian paling tinggi.
Sementara itu, masalah dalam rantai pemasaran dikelompokkan ke dalam 8P, sbb: 1. Product/services
2. Price 3. Place 4. Promotions 5. People
6. Physical evidence 7. Productivity and quality
Gambar 2.1
Why-why Diagram
why diagram memetakan gejala dan masalah sebagai sebuah diagram interaktif. Why-why diagram selain lebih interaktif juga lebih intuitif jika dibandingkan dengan diagram tulang ikan, sehingga biasanya lebih mampu mengungkap persoalan riil yang terjadi.
Model-model Pengambilan Keputusan.
Ada 5 model pengambilan keputusan: (1) model rasional, (2) model rasional terbatas, (3) model kaleng sampah (garbage can model), (4) model transeden dan(5) model intuitif.
Model Rasional
Model rasional mengasumsikan 4 hal, yaitu pengambil keputusan bersikap rasional, memiliki pengetahuan yang tak terbatas dan informasi luas dalam konteks pemecahan masalah, mampu menghitung profitabilitas kesuksesan masing2x alternative serta memiliki preferensi yang konsisten dalam memilih alternative terbaik, antara lain sbb:
1. Mengenali masalah dan kebutuhan adanya keputusan. 2. Identifikasi tujuan pengambilan keputusan.
3. Mengidentifikasi data yang relevan dan menganalisis situasi keputusan. 4. Mengembangkan alternative
5. Memilih alternative terbaik.
6. Melakukan implementasi keputusan.
7. Mengumpulkan umpan balik atas hasil keputusan 8. Merevisi keputusan apabila perlu.
Menurut Herbert A. Simon, tidak ada manusia yang seperti itu. Manusia memiliki preferensi yang tidak konsisten. Pengetahuan dan informasi yang memreka miliki umumnya terbatas. Keterbatasan rasionalitas ini dinamakan bounded rationality.
Model Intuitif
Model intuitif merupakan kebalikan dari model rasional. Apabila dalam model rasional berlaku hukum “rasional terbatas” maka dalam model intuitif berlaku hokum
“ketidakterbatasan di luar rasionalitas”.
Taksonomi Pengambilan Keputusan.
Model rasional diterapkan karena memiliki validitas eksternal-internal paling tinggi jika dibandingkan dengan model pengambilan keputusan lainnya. Artinya, siapa pun dengan teknik yang sama akan memberikan keputusan yang nyaris sama dan model rasionl memiliki keputusan paling pasti, namun belum tentu paling baik.
Taksonomi pengambilan keputusan sbb:
1. Pengambilan keputusan tunggal atau berkelompok
a. Situasi keputusan berhadapan dengan alam, memiliki 3 pendekatan; Pasti, Tidak Pasti dan dibawah risiko
b. Situasi keputusan berhadapan dengan 3 pendekan: win-win, win – lose dan segregatif.
2. Pengambilan keputusan berkelompok. a. Metode delphy.
Modul 3
Pengambilan keputusan Lawan Alam
Keputusan dalam situasi pasti
Pengambilan keputusan dalm situasi pasti dapat kita temukan dalm keputusan investasi. Dalam situasi kepastian, kondisi ekonomi mendatang dapat diprediksi pertumbuhannya dengan tepat, seperti menghitung internal rate of return (IRR) atau net present value (NPV) dalam situasi pertumbuhan ekonomi mendatang yang dapat diduga/diramalkan (predictable).
Keputusan dalam situasi tidak pasti
Situasi in terjadi ketika pengambil keputusan memahami bahwa situasi masa depan adalah divergen dengan banyak kemungkinan dan setiap kemungkinan tidak bisa diperkirakan kans terjadinya.
situasi resesi, nilai NPV akan mencapai titik nadir dibanding apabila kondisi ekonomi dalam situasi bertumbuh atau prosper.
Uncertainty memiliki sifat-sifat sbb:
1. Presensi kondisi alam adalah jamak dengan probabilitas tidak diketahui 2. Tidak ada data yang cukup tersedia untuk membuat keputusan.
Terlepas dari kerumitan sebuah keputusan pengambil keputusan dihadapkan dengan berbagai alternative dan “kondisi alami”.
1. Istilah
a. Alternatif, sebuah tindakan atau strategi yang dapat dipilih
b. Kondisi alami, dimana pengambil keputusan tidak punya kendali atau sedikit kendali 2. Alternative
a. , sebuah titk keputusan dimana terdapat alternative b. , sebuah titik kondisi alami yang mungkin terjadi
Gambar 3.1 Contoh Diagram Pohon Keputusan
Gambar 3.2 Contoh Tabel Keputusan
Model simulasi dalam situasi tidak pasti.
Jika terdapat ketidakpastian, yang sangat besar di mana kondisi alamiah dalam sebuah table keputusan dapat terjadi, pengambilan keputusan dilakukan dengan 3 metode sbb:
1. Maximax, sebuah criteria yang menemukan sebuah alternative yang memaksimalkan hasil maksimal.
3. Sama rata (equally likely), sebuah criteria yang memberikan kemungkinan setiap kondisi alamiah secara merata.
4. Minimax regret, pengambil keputusan bermaksud menghindari penyesalan yang timbul setelah memilith alternatif lain; membuat opportunity lost table.
5. Kriteria Hurwicz, mencari kompromi anatar metode maximax dan maximin; kondisi tidak sepenuhnya optimis/pesimis; terdapat koefisien optimisme α (0 ≤ α ≤1); α merupakan subjektivitas.
Dengan diberikannya tabel keputusan di contoh Gambar 3.2, tentukan kriteria keputusan maximax, maximin dan sama rata.
Penjelasan:
1. Berdasarkan kriteria maximax, alternatif yang dipilih adalah membangun pabrik besar. Ini merupakan nilai yang paling tinggi dari nilai tertinggi di setiap baris/alternatif. Maximax adalah$200,000.
2. Berdasarkan kriteria maximin, alternatif yang dipilih adalah do nothing. Ini merupakan
nilai yang paling tinggi dari nilai terendah (≥ 0) di setiap baris/alternatif. Maximin adalah $0.
3. Berdasarkan kriteria rata-rata, alternatif yang dipilih adalah membangun pabrik kecil . Ini merupakan nilai yang tertinggi dari hasil rata-rata dari setiap alternatif. Pendekatan ini menggunakan asumsi bahwa semua hasil untuk setiap alternatif adalah sama. Equally likely adalah $40,000.
Penjelasan:
4. Berdasarkan kriteria minimax regret, pilih hasil maksimum dari setiap kondisi pasar, dalam hal ini adalah $200,000 dan $0, masing-masing dikurangkan dengan alternatif yang ada. Berikut adalah opportunity loss table nya;
Gambar 3.3 opportunity loss table Kondisi alamiah
Alternatif Kondisi pasar baik Kondisi pasar buruk
Bangun pabrik besar $0 $180,000
Bangun pabrik kecil $100,000 $20,000 Tidak melakukan sesuatu $200,000 $0
Berdasarkan kriteria minimax regret, yang dipilih dari loss yang ada ($180,000, $100,000 dan $0) adalah membangun pabrik kecil.
5. Berdasarkan hurwicz kriteria α =0.4, maka; a. $200,000 (.4) + (- $180,000) (.6) = $72,000 b. $100,000 (.4) + ( - $20,000) (.6) = $28,000 c. $ 0
Keputusan yang dipilih adalah, bangun pabrik besar.
Model skenario dalam menghadapi situasi tidak pasti
Situasi ekonomi dengan pertumbuhan low-medium-high adalah scenario situasi masa depan. 1. Smith & Hawken (1991) mengatakan bahwa skenario adalah 3 kategori situasi : situasi
yang sama namun lebih baik dari yang sekarang, situasi yang sama namun lebih buruk dari sekarang, dan situasi yang sama sekali berbeda namun lebih baik.
2. Peter Schwartz (1991) berpendapat bahwa skenario adalah kekuatan narasi (the power of narrative), yaitu mempersepsikan dalam sebuah kalimat mengenai kondisi mendatang pada saat sekarang. Paradigma Schwartz ini mendasari paradigma cognitive mapping dalam penggambaran masa depan.
3. Rachmadi (2012) mengartikan Cognitive Mapping sebagai upaya untuk menggambarkan hubungan Driving Forces pada sejumlah Key Factors dan interelasinya dengan berbagai kondisi alam (state of nature) di masa depan.
Menggunakan scenario
Buku ini mengartikan cognitive mapping sebagai upaya untuk menggambarkan hubungan
Gambar 3.4 Perkiraan persaingan di industri pakaian
Merumuskan scenario
Tidak ada aturan baku mengenai menysusun sebuah scenario masa depan. Namun, penulis menyukai untum memulainya dengan dengan menentukan key factor dan dan driving factors – Porter five forces (Faktor Eksternal).
Gambar 3.5 skenario dalam bisnis telekomunikasi
Modul 4
Keputusan dibawah Situasi Risiko
1. Presensi kondisi alam adalah jamak namun probabilita tiap kondisi alam dapat diperkirakan.
2. Pengambil Keputusan memiliki sedikit informasi sehingga mampu menentukan probabilita masing-masing kondisi alam.
3. Informasi pihak ke-3.
Penentuan menggunakan EMV (expected monetary value)/ nilai harapan moneter situasi dibawah risiko, sbb:
b. Kejadian alami bersifat mutually exclusive
c. Probabilitas x, 0≤ x ≤1.
EMV sebuah alternatif merupakan jumlah semua keuntungan alternatif, yang masing-masing diberikan bobot kemungkinan terjadinya.
EMV (Alternatif i) = (hasil kondisi alamiah 1) x (kemungkinan terjadi kondisi alamiah1) + (hasil kondisi alamiah 2) x (kemungkinan terjadi kondisi alamiah 2) + ... + (hasil kondisi alamiah i) x (kemungkinan terjadi kondisi alamiah i)
Contoh pada Gambar 3.6 adalah Perhitungan EMV Maksimal;
Gambar 3.6.a Perhitungan EMV
Pengambilan keputusan dalam keadaan pasti, dapat terjadi untuk kondisi diatas (pemilihan kapasitas pabrik), jika pihak user ternyata mendapat bantuan atau menggunakan pihak ke-3, contohnya seperti konsultan atau informasi dari pihak ke-3 lainnya yang dapat di pertimbangkan validitasnya tentunya dengan kompensasi biaya. Dengan kata lain, hal ini akan mengubah kondisi dari sebuah pengambilan keputusan yang mengandung risiko menjadi pengambilan keputusan dalam kepastian. Ini merupakan konsep nilai yang diharapkan dari informasi yang tepat (expected value of perfect information – EVPI).
EVPI = Nilai harapan pada keadaan pasti – EMV maksimal
Untuk mendapatkan EVPI, pertama harus dihitung nilai harapan pada keadaan past (expected value under certainty), yang merupakan tingkat pengembalian (rat-rata), jika informasi sempurna didapatkan sebelum keputusan harus diambil.
Nilai harapan pada keadaan pasti = (hasil terbaik atau konsekuensi kondisi alamiah 1) x (kemungkinan terjadi konsisi alamiah 1) + .... + = (hasil terbaik atau konsekuensi kondisi alamiah n) x (kemungkinan terjadi konsisi alamiah n).
Dengan mengacu ke tabel 3.5.a. pengambil keputusan dapat menghitung biaya maksimal yang pastas dibayarkan bagi informasi pihak ke-3 adalah, yaitu – EVPI. Proses dua langkah sbb,:
a. Hasil kondisi alamiah “pasar sesuai harapan/baik” “bangun pabrik besar “ =
$200,000. Hasil kondisi alamiah “pasar tidak sesuai harapan” adalah “do nothing” =
$0. Jadi, nilai harapan pada keadaan pasti = $200,000 (0.5) + $0 (0.5) = $100,000. b. Nilai EMV maksimal adalah $40,000 (best option diatas), jadi:
EVPI = Nilai harapan pada keadaan pasti – EMV maksimal
= $100,000 -$40,000 = $60,000, jadi informasi dari pihak ke-3 tidak boleh melebihi angka diatas.
Pohon Keputusan
Pohon keputusan, adalah sebuah cara yang menggunakan gambar untuk menganalisis alternatif keputusan dan kondisi alamiah yang ada. Menganalisis masalah dengan menggunakan pohon keputusan mencakup lima langkah:
1. Mendefinisikan masalah.
2. Menggambar pohon keputusan.
3. Menentukan peluang bagi kondisi alamiah.
4. Memperkirakan imbalan bagi setiap kombinasi alternatif keputusan dan kondisi alamiah yang mungkin.
5. Menyelesaikan masalah dengan menghitung EMV bagi setiap titik kombinasi alamiah.
Modul 5
Pengambilan keputusan dengan Lawan Berhadapan
Dalam melakukan pekerjaan sehari hari, manajer sering kali berhadapan dengan lawan sehingga apapun keputusannya yang diambil harus mempertimbangkan strategi dan respon mereka. Dalam konteks tersebut paling tidak ada 3 prinsip keputusan (1) win-win solution (2) win-lose solution (3) lose-lose solution.
Game theory
Zero sum game, Dalam teori permainan dan teori ekonomi, permainan zero-sum adalah representasi matematis dari situasi di mana keuntungan peserta (atau rugi) adalah persis sama/seimbang dengan kerugian (atau keuntungan) dari peserta lain. Jika total keuntungan dari peserta yang ditambahkan, dan total kerugian dikurangi, mereka akan berjumlah nol.
Seperti memotong kue, di mana jika mengambil bagian yang lebih besar maka akan mengurangi jumlah kue yang tersedia untuk orang lain, adalah permainan zero-sum jika semua peserta menghargai setiap unit kue sama (lihat utilitas marjinal).
Gambar 4.1 Battle of Bismarck Sea
Bismarck atau ke arah Selatan dan mencegatnya di Laut Solomon. Jika beruntung, J. Immamura leat jalur utara maka armada AS dapat mengebom selama 2 hari, namun karena badai pasti tidak maksimal.
Gambar 4.2 Matriks Battle of Bismarck Sea
Atau dalam kasus, permainan adu strategi, misalnya dalam memperebutkan pangsa pasar (market share) seperti yang terjadi antara indomie dengan mie sedap. Indomie yang semula raja mie instan 90% market, digempur mie sedap sehingga kehilangan 15% marketnya, bagi indomie hal tersebut masih tergolong kecil, pertanyaanya apakah akan terus didiamkan.
Gambar 4.2 Matriks Indomie VS Mie Sedap
Sebaliknya, non-zero sum menggambarkan situasi di mana keuntungan dan kerugian agregat pihak berinteraksi 'yang baik kurang dari atau lebih dari nol. Sebuah zero-sum game juga disebut permainan ketat kompetitif sementara non-zero-sum game dapat berupa kompetitif atau non-kompetitif. Zero-sum game yang paling sering diselesaikan dengan teorema minimax yang berkaitan erat dengan linear.
a. Chicken run, adu strategi antara Serikat pekerja dan HRD terkait kenaikan gaji dalam hal ini serikat meminta kenaikan dan HRD menolak dengan alasan efisiensi, dalam hal ini
yang “kalah gertak akan kalah”, sifatnya win-lose atau lose-lose. Gambar 4.3
b. Game of the sexes, proses tawar menawar antara vendor dengan manajer pengadaan, vendor meminta kenaikan untuk kontrak baru dan manajer pengadaan meminta tidak ada perubahan, dalam hal ini keduanya sudah bekerjasama sejak lama dan terdapat toleransi atau give and take.
Gambar 4.4
Gambar 4.5
Modul 6
Pemrograman Linear
Secara Umum :
Program linier merupakan salah satu teknik penyelesaian riset operasi dalam hal ini adalah khusus menyelesaikan masalah-masalah optimasi (memaksimalkan atau meminimumkan) tetapi hanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat diubah menjadi fungsi linier. Demikian pula kendala-kendala yang ada juga berbentuk linier.
Secara khusus :
Persoalan program linier adalah suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau objektif (objective function) yang linier menjadi optimum (max atau min) dengan memperhatikan kendala yang ada. Kendala ini harus dinyatakan dengan ketidaksamaan yang linier (linear inequalities).
Program linier (Linier Programming)
• Merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya.
• Banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, industri, militer, sosial, dll.
Dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas sebuah fungsi tujuan linier & sistem kendala linier.
Syarat persoalan disebut program linier: 1. Tujuan (objective)
Adalah permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas. Fungsi tujuan tersebut dapat berupa dampak positif (manfaat-manfaat), dampak negatif (kerugian-kerugian, resiko-resiko), biaya-biaya, jarak, ataupun waktu yang ingin diminimumkan.
2. Alternatif perbandingan.
terendah, atau alternatif padat modal dengan padat karya, proyeksi permintaan tinggi dengan rendah, dan seterusnya.
3. Sumber Daya.
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan terbatas. Misalnya keterbatasan tenaga, bahan mentah terbatas, modal terbatas, ruangan untuk menyimpan barang terbatas, dan lain-lain. Pembatasan harus dalam ketidaksamaan linier (linier inequality). Keterbatasan dalam sumber daya tersebut dinamakan sebagai
fungsi kendala atau syarat ikatan
4. Perumusan kuantitatif
Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam model matematika
5. Keterikatan Peubah
Perubah-perubah yang membentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala tersebut harus memiliki hubungan keterikatan hubungan keterikatan atau hubungan fungsional.
Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut : Fungsi tujuan : keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.
Contoh Kasus yang diselesaikan
Pada sub bab ini terdapat 10 kasus dengan karakteristik berbeda yang sudah diselesaikan untuk memperkaya pembaca dalam ilmu dan seni permodelan. Pahami dan perhatikan teknik permodelannya dengan hati-hati.
1. Seorang pengrajin menghasilkan satu tipe meja dan satu tipe kursi. Proses yang dikerjakan hanya merakit meja dan kursi. Dibutuhkan waktu 2 jam untuk merakit 1 unit meja dan 30 menit untuk merakit 1 unit kursi. Perakitan dilakukan oleh 4 orang karyawan dengan waktu kerja 8 jam perhari. Pelanggan pada umumnya membeli paling banyak 4 kursi untuk 1 meja. Oleh karena itu pengrajin harus memproduksi kursi paling banyak empat kali jumlah meja. Harga jual per unit meja adalah Rp 1,2 juta dan per unit kursi adalah Rp 500 ribu.
Formulasikan kasus tersebut ke dalam model matematiknya !
Solusi :
Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan. Alternatif keputusan adalah jumlah meja dan kursi yang akan diproduksi. Sumber daya yang membatasi adalah waktu kerja karyawandan perbandingan jumlah kursi dan meja yang harus diproduksi (pangsa pasar ).
Langkah berikutnya adalah memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian diskon, sehingga harga jual per meja maupun kursi akan sama meskipun jumlah yang dibeli semakin banyak. Hal ini mengisyaratkan bahwa total pendapatan yang diperoleh pengrajin proposional terhadap jumlah produk yang terjual. Penggunaan sumber daya yang membatasi , dalam hal ini waktu kerja karyawan dan pangsa pasar juga proporsional terhadap jumlah meja dan kursi yang diproduksi. Dengan demikian dapat dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total pendapatan pengrajin merupakan jumlah pendapatan dari keseluruhan meja dan kursi yang terjual. Penggunaan sumber daya (waktu kerja karyawan dan pangsa pasar) merupakan penjumlahan waktu yang digunakan untuk memproduksi meja dan kursi. Maka dapat dinyatakan juga sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi.
melebihi waktu yang ada. Fungsi kendala yang kedua bisa menggunakan ≤ atau ≥
tergantung dari pendefinisianvariabelnya. Kita definisikan :
x1 = jumlah meja yang akan diproduksi x2 = jumlah kursi yang akan diproduksi
Model umum Pemrograman Linier kasus di atas adalah : Fungsi tujuan : setiap harinya. Pakan tersebut disiapkan menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai dengan komposisi sebagai berikut :
Bahan Kg per kg bahan
Kalsium Protein Serat Biaya (Rp/kg)
Jagung 0.001 0.09 0.02 2000
Bungkil kedelai 0.002 0.60 0.06 5500
Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah paling banyak 1% kalsium, paling sedikit 30% protein dan paling banyak 5% serat.
Formulasikan permasalahan di atas kedalam model matematiknya !
Solusi :
Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan , alternative keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah meminimumkan biaya pembelian bahan pakan. Alternative keputusan adalah jumlah jagung dan bungkil kedelai
yang akan digunakan. Sumber daya yang membatasi adalah kandungan kalsium, protein dan serat pada jagung dan bungkil kedelai, serta kebutuhan jumlah pakan per hari.
kedelai yang dibeli. Penggunaan sumber daya yang membatasi, dalam hal ini komposisi jagung dan bungkil kedelai akan serat, protein dan kalsium proporsional terhadap jumlah jagung dan bungkil. Dengan demikian dapat dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total pengeluaran pembelian bahan pakan merupakan penjumlahan pengeluaran untuk jagung dan bungkil kedelai. Jumlah masing-masing serat, protein dan kalsium yang ada di pakan khusus merupakan penjumlah serat, protein dan kalsium yang ada pada jagung dan bungkil kedelai. Jumlah pakan khusus yang dihasilkan merupakan penjumlahan jagung dan bungkil kedelai yang digunakan. Dengan demikian sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi.
Ada dua variabel keputusan dan empat sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan minimisasi, karena semakin kecil biaya akan semakin disukai oleh peternak. Fungsi kendala pertama (batasan jumlah pakan yang dibutuhkan per hari) menggunakan persamaan (=), fungsi kendala kedua (kebutuhan kalsium) dan
kendala keempat (kebutuhan serat) menggunakan pertidaksamaan ≤, dan fungsi
kendala ketiga (kebutuhan akan protein) menggunakan pertidaksamaan ≥. Kita definisikan :
x1 = jumlah jagung yang akan digunakan
x2 = jumlah bungkil kedelai yang akan digunakan
Model umum Pemrograman linier kasus di atas oleh karenanya adalah :
Fungsi tujuan : minimumkan z = 2000 x1 + 5500 x2 mobil. Kedua tipe pinjaman itu dikembalikan bersama dengan bunganya satu tahun kemudian. Jumlah pinjaman pembelian mobil paling tidak dua kali lipat dibandingkan pinjaman pribadi. Pengalaman sebelumnya menunjukkan bahwa 1% pinjaman pribadi merupakan kredit macet.
Formulasikan masalah di atas kedalam bentuk model matematiknya !
Solusi :
adalah jumlah alokasi anggaran untuk kredit bulan depan dan perbandingan antara jumlah kredit pribadi dan pembelian mobil.
Sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian dipenuhi.
Ada dua variabel keputusan yaitu jumlah anggaran untuk pinjaman pribadi dan pinjaman pembelian mobil, dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan maksimisasi , karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh manajemen bank.
Kita definisikan :
x1 = jumlah anggaran untuk pinjaman pribadi
x2 = jumlah anggaran untuk pinjaman pembelian mobil.
Model umum Pemrograman Linier kasus diatas adalah :
Fungsi tujuan : Maksimumkan z = (0.14 – 0.01) x1 + 0.12 x2 pada fasilitas perakitan yang sama. Lini perakitan terdiri dari 3 stasiun kerja. Waktu perakitan masing-masing tipe pada masing-masing stasiun kerja adalah sebagai berikut :
Stasiun kerja Waktu perakitan per unit (menit)
HiFi-1 HiFi-2
1 6 4
2 5 5
3 4 6
Waktu kerja masing-masing stasiun kerja adalah 8 jam per hari. Masing-masing stasiun kerja membutuhkan perawatan harian selama 10%, 14% dan 12% dari total waktu kerja (8 jam) secara berturut-turut untuk stasiun kerja 1,2 dan 3.
Formulasikan permasalahan ini kedalam model matematiknya !
Solusi :
Alternatif keputusan adalah : radio tipe HiFi-1 (x1) dan radio tipe HiFi-2 (x2).
Tujuannya adalah memaksimumkan jumlah radio HiFi-1 dan HiFi-2 yang diproduksi. Sumber daya pembatas adalah : jam kerja masing-masing stasiun kerja dikurangi
dengan waktu yang dibutuhkan untuk perawatan.
Stasiun 2 : 480 menit – 67.2 menit = 412.8 menit
5. Dua produk dihasilkan menggunakan tiga mesin. Waktu masing-masing mesin yang digunakan untuk menghasilkan kedua produk dibatasi hanya 10 jam per hari. Waktu produksi dan keuntungan per unit masing-masing produk ditunjukkan table di
Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !
Solusi :
Alternatif keputusan adalah : produk 1 (x1) dan produk 2 (x2).
Tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan
Sumber daya pembatas adalah : jam kerja masing-masing mesin.
Model umum pemrograman linier : jam per unit produk pada kedua mesin ditunjukkan table di bawah ini :
Mesin Waktu per unit (jam)
Produk 1 Produk 2 Produk 3 Produk 4
1 2 3 4 2
2 3 2 1 2
adalah $10 dan $5. Waktu yang disediakan untuk memproduksi keempat produk pada mesin 1 adalah 500 jam dan mesin 2 adalah 380 jam. Harga jual per unit keempat produk secara berturut-turut adalah $65, $70, $55 dan $45. Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !
Solusi :
Alternatif keputusan adalah : jumlah produk 1,2,3 dan 4 yang dihasilkan.
Tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan. Perhatikan, keuntungan diperoleh dengan mengurangkan biaya dari pendapatan.
Keuntungan per unit dari produk 1 = 65 – (10x2 + 3x5) = 20 Keuntungan per unit dari produk 2 = 70 – (10x3 + 2x5) = 30 Keuntungan per unit dari produk 3 = 55 – (10x4 + 1x5) = 10 Keuntungan per unit dari produk 4 = 45 – (10x2 + 2x5) = 15
Sumber daya pembatas adalah waktu kerja yang disediakan kedua mesin.
Definisikan :
x1 : jumlah produk 1 yang dihasilkan x2 : jumlah produk 2 yang dihasilkan x3 : jumlah produk 3 yang dihasilkan x4 : jumlah produk 4 yang dihasilkan
Model umum pemrograman linier :
7. Suatu perusahaan manufaktur menghentikan produksi salah satu produk yang tidak menguntungkan. Penghentian ini menghasilkan kapasitas produksi yang menganggur (berlebih). Kelebihan kapasitas produksi ini oleh manajemen sedang dipertimbangkan untuk dialokasikan ke salah satu atau ke semua produk yang dihasilkan (produk 1,2 dan 3). Kapasitas yang tersedia pada mesin yang mungkin akan membatasi output diringkaskan pada table berikut :
Tipe mesin Waktu yang dibutuhkan produk pada masing-masing mesin (jam)
adalah 20 unit per minggu. Keuntungan per unit masing-masing produk secara berturut-turut adalah $50, $20 dan $25.
Formulasikan permasalahan diatas kedalam model matematik !
Solusi :
Alternatif keputusan :
Jumlah produk 1 yang dihasilkan = x1 Jumlah produk 2 yang dihasilkan = x2 Jumlah produk 3 yang dihasilkan = x3
Tujuannya adalah : memaksimumkan keuntungan Sumber daya pembatas adalah :
Jam kerja mesin milling per minggu : 500 jam Jam kerja mesin llathe per minggu : 350 jam Jam kerja mesin grinder per minggu : 150 jam.
Model matematikanya adalah :
Pada umumnya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :
• Merumuskan masalah asli menjadi model matematika yang sesuai dengan syarat-syarat yang diperlukan dalam model Program Linier, yaitu mempunyai fungsi tujuan, fungsi kendala, syarat ikatan non-negatif.
• Kendala-kendala yang ada digambar hingga dapat diperoleh daerah penyelesaian / Daerah Fisibel yang titik-titik sudutnya diketahui dengan jelas.
• Nilai fungsi sasaran (fungsi tujuan) dihitung di setiap titik sudut daerah penyelasaian.
Contoh soal:
Waktu yang dibutuhkan memproduksi 1 Unit
Department X-Pods (X1) BlueBerrys (X2) Waktu tersedia
(minggu ini)
Electronic 4 3 240
Assembling 2 1 100
Profit per unit $7 $5
Fungsi Z = $7X1 + $5X2 Batasan (constrain):
(1)4X1 + 3X2 ≤ 240, (2)2X1 + X2 ≤ 100 Langkah ke-2:
Dapatkan koordinat (X1, X2), dengan memasukkan angka 0 ke dalam persamaan (X1 dan X2), sebagai berikut:
(1)4 (0) + 3X2 ≤ 240, Maka koordinatnya (0,80) dan sebaliknya dapat (60,0). (2)2 (0) + X2 ≤ 100, maka didapat koordinat (0,100) dan sebaliknya (50,0). Gambar grafik.
2X1 + X2 ≤ 100
Setelah proses iterasi 4 kali, maka untuk titik paling optimal adalah (30,40) pada garis ke-4 dengan profit $410.
Metode Grafik- Corner Point Method.
Corner point method adalah dengan menguji setiap sudut/corner dari grafik, sampai ditemukan yang paling optimal, sbb:
Dengan menggunakan metode eliminasi, sudut No.3 dapat diperoleh sbb.:
4X1 + 3X2 = 240 x1 4X1 + 3X2 = 240 2X1 + X2 = 100 x2 4X1 + 2X2 = 200 X2 = 40
Jika kita dapatkan X2 = 40, Maka X1 diperoleh dari, 2X1 + 40 = 100, X1 = 30. Titik Optimal
Metode Simpleks
Langkah – langkah metode simpleks: Langkah 1:
1. Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan; Fungsi tujuan:
Z = 3X1 + 5X2 diubah menjadi Z - 3X1 - 5X2 = 0
2. Fungsi batasan (diubah menjadi kesamaan & di + slack variable (S)) (1) 2X1 8 menjadi 2X1 + S1 = 8
(2) 3X2 15 menjadi 3X2 + S2 = 15
(3) 6X1 + 5X2 30 menjadi 6X1 + 5X2 + S3 = 30
Slack variabel adalah variabel tambahan yang mewakili tingkat pengangguran atau kapasitas yang merupakan batasan
Langkah 2: menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel.
Beberapa Istilah dlm Metode Simplek
NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda sama dengan ( = ). Untuk batasan 1 sebesar 8, batasan 2 sebesar 15, dan batasan 3 sebesar 30.
S1 = 8. Pada tabel tersebut nilai variabel dasar (S1, S2, S3) pada fungsi tujuan pada tabel permulaan ini harus 0, dan nilainya pada batasan-batasan bertanda positif.
Langkah 3: memilih kolom kunci
Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simplek. Pilihlah kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar. Dalam hal ini kolom X2 dengan nilai pada baris persamaan tujuan –5. Berilah tanda segi empat pada kolom X2, seperti tabel berikut;
Tabel Simpleks, pemilihan kolom kunci pada tabel pertama.
Variabel
Jika suatu tabel sudah tidak memiliki nilai negatif pada baris fungsi tujuan, berarti tabel itu tidak bisa dioptimalkan lagi (sudah optimal).
Langkah 4: memilih baris kunci
Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simplek, dengan cara mencari indeks tiap-tiap baris dengan membagi nilai-nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci.
Indeks = (Nilai Kolom NK) / (Nilai kolom kunci)
Untuk baris batasan 1 besarnya indeks = 8/0 = , baris batasan 2 = 15/3 = 5, dan baris batasan 3 = 30/5 = 6. Pilih baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil. Dalam hal ini batasan ke-2 yang terpilih sebagai baris kunci. Beri tanda segi empat pada baris kunci. Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan juga masuk dalam baris kunci disebut angka kunci.
Langkah 5: mengubah nilai-nilai baris kunci.
Langkah 7: melanjutkan perbaikan
Baris pertama (Z) tidak ada lagi yang bernilai negatif. Sehingga tabel tidak dapat dioptimalkan lagi dan tabel tersebut merupakan hasil optimal.
Dari tabel final didapat X1 = 5/6
X2 = 5
Zmaksimum = 271/2
