REDUKSI MODEL ALIRAN AIR SUNGAI SATU DIMENSI DENGAN METODE SINGULAR PERTURBATION APPROXIMATION

TUGAS AKHIR – SM141501

REDUKSI MODEL ALIRAN AIR SUNGAI SATU

DIMENSI DENGAN METODE SINGULAR

PERTURBATION APPROXIMATION

AIRIN NUR HIDAYATI NRP 1213 100 095

Dosen Pembimbing

Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si. Dr. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si. JURUSAN MATEMATIKA

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember

FINAL PROJECT – SM141501

REDUCTION OF ONE-DIMENSIONAL RIVER FLOW

MODEL USING SINGULAR PERTURBATION

APPROXIMATION METHOD

AIRIN NUR HIDAYATI NRP 1213 100 095

Supervisiors :

Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si. Dr. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si. DEPARTMENT OF MATHEMATICS

Faculty of Mathematics and Natural Sciences Sepuluh Nopember Institute of Technology Surabaya 2017

vi

vii

REDUKSI MODEL ALIRAN AIR SUNGAI SATU DIMENSI DENGAN METODE SINGULAR PERTURBATION

APPROXIMATION

Nama : Airin Nur Hidayati

NRP : 1213 100 095

Jurusan : Matematika FMIPA ITS

Dosen Pembimbing : 1. Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si 2. Dr. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si

Abstrak

Sistem yang terdapat di alam semesta seringkali memiliki orde yang besar, sehingga waktu komputasi yang dibutuhkan semakin lama pula. Oleh karena itu, dibutuhkan penyederhanaan sistem yang berorde besar agar sistem tersebut memiliki orde yang lebih kecil tanpa kesalahan yang signifikan. Penyederhanaan sistem inilah yang dimaksud reduksi model. Pada masalah aliran air sungai, model sistem yang digunakan merupakan sistem yang tak stabil. Dalam penyelesaian reduksi model pada sistem tak stabil berbeda dengan penyelesaian pada sistem yang stabil. Untuk sistem tak stabil dibutuhkan proses dekomposisi untuk mendapatkan subsistem stabil yang dapat direduksi. Metode Singular Perturbation Approximation (SPA) adalah salah satu metode reduksi model. Pada reduksi model meggunakan metode SPA, semua variabel keadaan dari sistem setimbang dipartisi menjadi mode cepat dan lambat. Selanjutnya, model tereduksi diperoleh dengan mengambil kecepatan dari mode cepat sama dengan nol. Hasil simulasi menunjukkan bahwa model aliran air sungai tidak dapat direduksi dengan metode SPA. Sebab, pada model aliran air sungai bersifat tak terkendali dan tak teramati. Sedangkan pada metode SPA, sistem yang direduksi harus bersifat stabil asimtotik, terkendali dan teramati.

Kata kunci: Reduksi model, Sistem tak stabil, Model aliran air sungai,

viii

ix

REDUCTION OF ONE-DIMENSIONAL RIVER FLOW MODEL USING SINGULAR PERTURBATION

APPROXIMATION METHOD

Name : Airin Nur Hidayati NRP : 1213 100 095

Department : Mathematics FMIPA-ITS

Supervisors : 1. Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si 2. Dr. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si

Abstract

The system in the universe often have large order, so that the computational time of analyze a higher-order system is longer than the computational time to analyze a smaller-order system. Therefore, we need to simplify the order of the system so that the system has a smaller-order without any significant errors. Simplification of this system can be done using the model reduction. The water flow model is known to be unstable. The algorithm to reduce an unstable model is different compared to the algorithm to reduce a stable model. The unstable system needs to be decomposed to obtain a stable subsystem that can be reduced. Singular Perturbation Approximation (SPA) method is one of the model reduction method. The reduction of the model using SPA, all variables balanced realization is partitioned into fast and slow mode. Furthermore, the reduced model is obtained by taking the speed of fast mode is equal to zero. The simulation results showed that the model of water flow cannot be reduced by the method of SPA. Because, on the model of water flow is uncontrollable and unobservable. While the method of SPA requires an asymptotically stable system, controllable and observable.

Keywords: Model reduction, Unstable system, The water flow model,

x

xi

KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Alhamdulillahhirobbil’aalamin, segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. atas segala rahmat, taufiq dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir yang berjudul

“REDUKSI MODEL ALIRAN AIR SUNGAI SATU DIMENSI DENGAN METODE SINGULAR PERTURBATION

APPROXIMATION “

yang merupakan salah satu persyaratan akademis dalam menyelesaikan Program Sarjana Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

Dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini, penulis telah banyak mendapat bantuan serta masukan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT, selaku ketua Jurusan

Matematika FMIPA ITS yang telah memberikan dukungan dan motivasi selama perkulihan hingga terselesainya Tugas Akhir ini. 2. Bapak Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si, selaku Dosen

Pembimbing dan selaku Kaprodi S1 Jurusan Matematika FMIPA ITS yang telah memberikan bimbingan dan motivasi kepada penulis dalam mengerjakan Tugas Akhir ini sehingga dapat terselesaikan dengan baik.

3. Bapak Dr. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si selaku Dosen Pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi kepada penulis dalam mengerjakan Tugas Akhir ini sehingga dapat terselesaikan dengan baik.

4. Bapak Drs. Iis Herisman, M.Si, selaku Sekretaris Kaprodi S1 Jurusan Matematika FMIPA ITS yang telah memberikan dukungan dan motivasi selama perkulihan hingga terselesainya Tugas Akhir ini.

xii

5. Ibu Soleha, S.Si, M.Si selaku Dosen Wali yang telah memberikan dukungan dan motivasi selama perkuliahan hingga terselesaikannya Tugas Akhir ini.

6. Bapak Dr. Choirul Imron, MI.Komp, Ibu Tahiyatul Asfihani, S.Si, M.Si dan Bapak Muhammad Syifa’ul Mufid, S.Si, M.Si selaku Dosen Penguji yang telah memberikan saran demi perbaikan Tugas Akhir.

7. Keluarga tercinta terutama Bapak Bibit dan Ibu Sulastri yang senantiasa dengan ikhlas memberikan kasih sayang, semangat, doa, dan nasihat-nasihat yang sungguh berarti, serta Moh. Bastomi, Muhammad Fuad Alwi dan Fatma Sofiani yang senatiasa memberikan semangat dan dukungan kepada penulis.

8. Seluruh jajaran dosen dan staf jurusan Matematika ITS yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu.

9. Seluruh teman-teman angkatan 2013 dan seluruh keluarga besar HIMATIKA ITS terima kasih atas dukungan dan semangat yang diberikan kepada penulis.

Apabila dalam Tugas Akhir ini ada kekurangan, penulis mohon kritik dan saran demi penyempurnaan Laporan Tugas Akhir di masa yang akan datang. Semoga Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Surabaya, Januari 2017

xiii Spesial Thank’s To

Keberhasilan penulisan Tugas Akhir ini tidak lepas dari orang-orang terdekat penulis. Oleh sebab itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Allah SWT yang

telah memberi rahmat, petunjuk,

kekuatan, dan kesabaran dalam setiap langkah

kehidupan penulis serta kepada Nabi Muhammad SAW yang senantiasa dinanti syafa'atnya di yaumil qiyamah nanti. 2. Ibu dan Bapak, kedua orang tua ku tercinta. Mas Bastomi,

Alwi, Ani, Mbah Putri dan Mbahkung, terima kasih atas doa, kasih sayang, dukungan, motivasi, dan segalanya yang selalu dicurahkan kepada penulis selama ini.

3. Zulfa Afiq Fikriya, Metta Andriani, Gina Faaizatud Dini, Melynda Sylvia Dewy, Azaria Elvinarosa, Retno Palupi, Putri Saraswati, dan Siti Nur Afifah. Terima kasih atas segala doa, dukungan, bantuan, keceriaan, waktu dan motivasi kalian. 4. Sahabat dan teman-teman Alumni SMA Negeri 1 Nganjuk

2013. Terima kasih atas segala doa, dukungan, waktu dan motivasi kalian.

5. Teman-teman seperjuangan Tugas Akhir yang saling mendukung dan memotivasi satu sama lain, dan terimakasih kepada Zulfa Afiq Fikriya, Ivan Octaviano, Hartanto Setiawan, Helisyah Nur Fadhilah dan teman-teman lain yang sudah banyak membantu penulis dalam pembuatan program. Terima kasih banyak semua.

6. Teman-teman angkatan 2013, terima kasih atas doa dan dukungannya selama ini. Kelian keluarga kedua dikampus perjuangan ini. Terima kasih atas semangat, kerja keras dan pengorbanan kalian.

7. Semua pihak yang tak bisa penulis sebutkan satu-persatu, terima kasih telah membantu sampai terselesaikannya Tugas Akhir ini.

xiv

xv DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ... i ABSTRAK ... vii ABSTRACT ... ix KATA PENGANTAR ... xi DAFTAR ISI ... xv

DAFTAR GAMBAR ... xix

DAFTAR TABEL ... xxi

DAFTAR SIMBOL ...xxiii

BAB I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Rumusan Masalah ... 2 1.3 Batasan Masalah ... 2 1.4 Tujuan ... 3 1.5 Manfaat ... 3

1.6 Sistematika Penulisan Tugas Akhir ... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 5

2.1 Masalah Aliran Sungai ... 5

2.1.1 Model Satu Dimensi pada Aliran Sungai ... 5

2.1.2 Persamaan Saint Venant ... 6

2.1.3 Metode Numerik sebagai Penyelesaian Persamaan Saint Venant ... 7

xvi

2.2.1 Sifat-Sifat Sistem ... 9

2.3 Gramian Keterkendalian dan Gramian Keteramatan ... 10

2.4 Dekomposisi Sistem Tak Stabil ... 10

2.5 Reduksi Model dengan Metode SPA ... 11

2.5.1 Sistem Setimbang ... 11

2.5.2 Metode Reduksi Model dengan Singular Perturbation Approximation (SPA) ... 13

BAB III METODE PENELITIAN ... 17

3.1 Tahapan Penelitian ... 17

3.2 Skema Metode Penelitian ... 19

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ... 21

4.1 Pemodelan Aliran Air Sungai ... 21

4.1.1 Model Satu Dimensi pada Aliran Sungai ... 21

4.1.2 Persamaan Saint Venant ... 22

4.2 Penyelesaian Persamaan Saint Venant dengan Metode Implisit Skema Preissman ... 22

4.2.1 Diskritisasi Model Aliran Air Sungai dengan Metode Implisit Skema Preissman ... 23

4.2.2 Analisa Sifat Model Aliran Air Sungai ... 29

4.2.3 Reduksi Model Aliran Sungai dengan SPA ... 33

4.3 Penyelesaian Model Saint Venant dengan metode Staggered Grid ... 33

4.3.1 Diskritisasi Model Aliran Air Sungai dengan Metode Staggered Grid ... 33

xvii

4.3.2 Analisa Sifat Model Aliran Air Sungai ... 41

4.3.3 Reduksi Model Aliran Air Sungai dengan SPA ... 47

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 49

5.1 Kesimpulan ... 49

5.2 Saran ... 50

DAFTAR PUSTAKA ... 51

LAMPIRAN A ... 53

xviii

xix

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Masalah Aliran Sungai ... 7

Gambar 3.1 Skema Metode Penelitian ... 19

Gambar 4.1 Grafik Ketinggian pada saat 𝑘 = 750 ... 45

Gambar 4.2 Grafik Kecepatan pada saat 𝑘 = 750 ... 45

Gambar 4.3 Grafik Ketinggian Air Sungai pada posisi ke-90 dan pada waktu 𝑘 = 0,1, ⋯ ,1000 ... 46

Gambar 4.4 Grafik Keceparan Aliran Air Sungai pada posisi ke-90 dan pada waktu 𝑘=0,1,⋯,1000 ... 47

xx

xxi DAFTAR TABEL

Tabel 4. 1 Nilai eigen matriks A(Skema Preissman) ... 31 Tabel 4. 2 Nilai eigen matriks A(Staggered Grid) ... 43

xxii

xxiii DAFTAR SIMBOL

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 : Matriks-matriks konstan sistem diskrit dengan ukuran yang bersesuaian dan diasumsikan matriks 𝐴 non singular.

𝜆 : Nilai eigen.

𝑥𝑘 : Variabel keadaan pada sistem diskrit. 𝑢𝑘 : Vektor masukan pada sistem diskrit. 𝑢_𝑘 : Vektor keluaran pada sistem diskrit. 𝑀_𝑐 : Matriks Keterkendalian.

𝑀_𝑜 : Matriks Keteramatan. 𝑊 : Gramian Keterkendalian. 𝑀 : Gramian Keteramatan.

𝐴_𝑠, 𝐵_𝑠, 𝐶_𝑠, 𝐷_𝑠 : Sistem stabil asimtotik, terkendali, teramati. 𝑈_𝑑 : Transformasi matriks unitary dekomposisi. 𝑊𝑑 : Transformasi matriks tahap kedua dekomposisi. 𝐺_𝑑 : Hasil dekomposisi sistem tak stabil.

𝐺_𝑠 : Subsistem stabil. 𝐺𝑢 : Subsistem tak stabil.

𝑇 : Matriks transformasi non singular. 𝐴̃_𝑠, 𝐵̃_𝑠, 𝐶̃_𝑠, 𝐷̃_𝑠 : Sistem setimbang waktu diskrit.

𝑊̃ : Gramian Keterkendalian sistem 𝐴̃_𝑠, 𝐵̃_𝑠, 𝐶̃_𝑠, 𝐷̃_𝑠. 𝑀̃ : Gramian Keteramatan sistem 𝐴̃_𝑠, 𝐵̃_𝑠, 𝐶̃_𝑠, 𝐷̃_𝑠 ∑ : Gramian kesetimbangan.

𝜎_𝑖 : Nilai singular Hankel.

𝐴̃_𝑠𝑟, 𝐵̃_𝑠𝑟, 𝐶̃_𝑠𝑟, 𝐷̃_𝑠𝑟 : Sistem tereduksi dengan metode SPA. 𝐴̃_𝑟, 𝐵̃_𝑟, 𝐶̃_𝑟, 𝐷̃_𝑟 : Sistem tereduksi total dengan metode SPA.

xxiv

1 BAB I PENDAHULUAN

Bab ini membahas latar belakang yang mendasari penulisan Tugas Akhir. Didalamnya mencakup identifikasi permasahan pada topik Tugas Akhir. Kemudian dirumuskan menjadi permasalahan yang akan diberikan batasan-batasan untuk membatasi pembahasan pada Tugas Akhir ini.

1.1 Latar Belakang

Sungai merupakan salah satu sumber air yang menampung dan mengalirkan aliran air. Daerah dimana sungai memperoleh air merupakan daerah tangkapan hujan yang disebut dengan daerah tangkapan sungai atau Daerah Aliran Sungai (DAS). Masalah utama dalam pengelolaan DAS dibagi menjadi dua yaitu kuantitas air sungai dan kualitas air sungai. Untuk mengetahui kuantitas air sungai dan kualitas air sungai, maka perlu adanya perhitungan kecepatan aliran sungai dan tingginya sendimentasi di sungai (ketinggian air sungai)[1]. Sungai bisa dipandang sebagai suatu sistem. Dimana sistem merupakan suatu kombinasi dari beberapa komponen yang bekerja bersama-sama untuk mendapatkan tujuan tertentu, dalam hal ini adalah sistem dari kecepatan aliran air sungai dan ketinggian sungai digunakan agar tetap dapat memantau debit air sungai tetap dalam kondisi yang diharapkan. Sistem dari kecepatan aliran dan ketinggian sungai ini dapat direpresentasikan kedalam bentuk pemodelan matematika.

Sistem yang terdapat di alam semesta seringkali memiliki orde yanag besar. Sehingga dihasilkan model matematika yang memiliki banyak variabel keadaan. Hal ini mempengaruhi waktu komputasi karena semakin besar ukuran sistem, waktu komputasi yang dibutuhkan semakin lama pula. Oleh karena itu, dibutuhkan penyederhanaan sistem yang berorde besar agar sistem tersebut memiliki orde yang lebih kecil tanpa kesalahan yang signifikan. Penyederhanaan sistem inilah yang dimaksud reduksi model[2].

Metode reduksi model yang sering digunakan diantaranya metode pemotongan setimbang (Balanced Truncation/BT) dan

2

aproksimasi perturbasi singular (Singular Perturbation Approximation/SPA)[3]. Reduksi orde model dengan metode BT dilakukan dengan memotong vektor keadaan (state) dari sistem yang bersesuaian dengan nilai singular Hankel kecil setelah diurutkan. Nilai singular Hankel adalah representasi pengaruh state terhadap karakteristik output maupun input dalam sistem.

Sedangkan pada reduksi orde model dengan metode SPA, semua variabel keadaan dari sistem setimbang dipartisi menjadi mode cepat dan lambat, variabel keadaan yang bersesuaian dengan nilai singular Hankel kecil didefinisikan sebagai mode cepat, sedangkan variabel keadaan yang bersesuaian dengan nilai singular Hankel yang lebih besar didefinisikan sebagai mode lambat. Selanjutnya, model tereduksi diperoleh dengan mengambil kecepatan dari mode cepat sama dengan nol[3].

Pada masalah aliran air sungai, model sistem yang digunakan merupakan sistem yang tak stabil. Dalam penyelesaian reduksi model pada sistem tak stabil berbeda dengan penyelesaian sistem stabil. Oleh karena itu, pada Tugas Akhir ini akan dilakukan penelitian tentang reduksi model pada aliran air sungai dengan menggunakan metode SPA. Setelah didapatkan model hasil reduksi, kemudian akan dilakukan analisis terhadap sifat-sifat model hasil reduksi. Setelah itu akan dilakukan simulasi untuk model awal dan model hasil reduksi dengan menggunakan software MATLAB.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, permasalahan yang diselesaikan dalam Tugas Akhir ini adalah :

1. Bagaimana mereduksi model aliran air sungai menggunakan pendiskritan Implisit Skema Preissman dengan metode SPA ? 2. Bagaimana mereduksi model aliran air sungai menggunakan

pendiskritan Staggered Grid dengan metode SPA ? 1.3 Batasan Masalah

Berdasarkan rumusan masalah di atas, batasan masalah dari Tugas Akhir ini adalah :

3

1. Metode yang digunakan adalah metode aproksimasi perturbasi singular ( Singular Perturbation Approximation / SPA). 2. Sistem yang digunakan adalah sistem linier waktu invarian. 3. Model aliran air sungai yang digunakan adalah model yang

bersifat tak stabil.

4. Pemodelan aliran sungai didekati dengan model aliran dangkal berdimensi satu.

5. Diasumsikan bahwa panjang sungai (𝐿) jauh lebih besar jika dibandingkan dengan lebar sungai (𝐵).

6. Pendiskritan sistem dilakukan dengan pendiskritan Implisit Skema Preissman dan Staggared Grid.

1.4 Tujuan

Adapun tujuan Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut :

1. Mengetahui reduksi model aliran air sungai menggunakan pendiskritan Implisist Skema Preissman dengan metode SPA. 2. Mengetahui reduksi model aliran air sungai menggunakan

pendiskritan Staggered Grid dengan metode SPA. 1.5 Manfaat

Adapun manfaat Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut : 1. Sebagai referensi bagi pembaca dalam melakukan penelitian

selanjutnya.

2. Sebagai pemberi informasi bagi pembaca mengenai penerapan reduksi model pada model matematika yang memiliki orde besar sehingga dapat mempermudah penghitungan dan analisis.

1.6 Sistematika Penulisan Tugas Akhir

Sistematika penulisan dalam laporan Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

1. BAB I PENDAHULUAN

Bab ini menjelaskan latar belakang penyusunan Tugas Akhir, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaan dan sitematika penulisan laporan Tugas Akhir.

4

2. BAB II DASAR TEORI

Bab ini menjelaskan tentang landasan teori yang mendukung penelitian, antara lain tentang model satu dimensi pada aliran sungai, metode numerik sebagai penyelesaian model aliran sungai, sistem linier waktu diskrit, dekomposisi sistem tak linier dan reduksi model.

3. BAB III METODOLOGI

Bab ini menjelaskan tentang tahap-tahap yang dilakukan dalam penyusunan Tugas Akhir ini.

4. BAB IV ANALISISDAN PEMBAHASAN

Bab ini menjelaskan secara detail mengenai sistem awal, pendiskritan pada sistem awal, dekomposisi sistem tak stabil, reduksi model pada subsistem stabil dan simulasi.

5. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

Bab ini menjelaskan tentang penarikan kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan masalah pada bab sebelumnya serta saran yang diberikan untuk pengembangan penelitian selanjutnya.

5 BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Bab ini membahas dasar teori yang digunakan dalam penyusunan Tugas Akhir ini. Dasar teori yang dijelaskan dibagi menjadi beberapa subbab yaitu model satu dimensi pada aliran sungai, peramaan Saint Venant, sistem linier waktu diskrit, dekomposisi sistem tak stabil, dan reduksi model dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA).

2.1 Masalah Aliran Sungai

Masalah aliran sungai meliputi tiga hal, diantaranya adalah model aliran satu dimensi pada aliran sungai, persamaan Saint Venant dan metode numerik sebagai penyelesaian persamaan Saint Venant. 2.1.1 Model Satu Dimensi pada Aliran Sungai

Ada tiga konservasi, yaitu massa, momentum dan energi yang digunakan untuk menggambarkan aliran sungai. Dua variabel aliran yaitu kedalaman dan kecepatan atau kedalaman dan nilai debit, cukup untuk mendefinisikan kondisi aliran pada sebuah penampang melintang. Karena itu dua persamaan pengatur digunakan untuk menganalisa keadaan jenis aliran yaitu persamaan kontinuitas dan persamaan momentum atau persamaan energi. Untuk aliran yang kontinu digunakan persamaan energi, sedangkan untuk aliran yang tidak kontinu (diskrit), misalnya jika melalui terjunan atau lubang digunakan persamaan momentum, karena perlu diketahui berapa jumlah kehilangan (losses) yang terjadi.

a. Persamaan Kontinu

Hukum kekekalan massa disebut juga sebagai prinsip kontinuitas (Principle of Continuity). prinsip tersebut menyatakan bahwa laju perubahan massa fluida yang terdapat dalam ruang yang ditinjau pada selang waktu 𝑑𝑡 harus sama dengan perbedaan antara laju massa yang masuk dan laju massa yang keluar ke dan dari elemen fluida yang ditinjau. Prinsip kontinuitas menyatakan kekekalan massa dalam ruang

6

berisi fluida yang ditinjau. Persamaan kontinuitas dalam aliran sungai dapat dimodelkan sebagai berikut[4]:

𝜕ℎ 𝜕𝑡+ 𝐷

𝜕𝑢

𝜕𝑥= 0 (2.1)

b.

Persamaan Momentum

Persamaan momentum dalam aliran sungai dapat dimodelkan sebagai berikut[4]:

𝜕𝑢 𝜕𝑡+ 𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑥+ 𝐶𝑓𝑢 = 0 (2.2) 2.1.2 Persamaan Saint Venant

Masalah aliran sungai yang diambil dalam penelitian ini merupakan masalah aliran sungai dangkal (shallow water problem) dan aliran satu dimensi. Ada dua persamaan dalam hidrodinamik aliran satu dimensi, yaitu Persamaan kontinuitas (2.1) dan Persamaan momentum (2.2). Kedua persamaan tersebut digunakan untuk menyelesaikan penelusuran aliran air di sungai yang selanjutnya dikenal dengan Persamaan Saint Venant sebagai berikut[4]:

𝜕ℎ 𝜕𝑡

+ 𝐷

𝜕𝑢 𝜕𝑥

= 0

𝜕𝑢 𝜕𝑡

+ 𝑔

𝜕ℎ 𝜕𝑥

+ 𝐶

𝑓

𝑢 = 0

}

(2.3)

dengan syarat awal dan syarat batas:

ℎ(𝑥, 0) = 1, 𝑢(𝑥, 0) = 0, ℎ(0, 𝑡) = 𝜓

_𝑏

(𝑡), 𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑢

𝑁

(𝑡)

dimana

ℎ(𝑥, 𝑡) : ketinggian air terhadap titik acuan, 𝐷 : kedalaman sungai terhadap titik acuan, 𝑡 : waktu,

𝑥 : posisi sepanjang sungai, 𝑔 : gaya grafitasi,

𝐶_𝑓 : koefisien gesekan,

𝜓_𝑏 : ketinggian air pada posisi 𝑥₀, 𝑢(𝐿, 𝑡) : kecepatan aliran pada batas 𝑥𝑁.

7

Masalah aliran sungai dapat ditunjukkan oleh Gambar 2.1 berikut ini:

Gambar 2. 1 Masalah Aliran Sungai

2.1.3 Metode Numerik sebagai Penyelesaian Persamaan Saint Venant

Persamaan Saint Venant merupakan persamaan yang tidak dapat diselesaikan secara biasa, maka digunakan metode numerik untuk menyelesaikannya.

Metode numerik terdiri dari metode eksplisit dan metode implisit. Metode Eksplisit digunakan untuk menyelesaikan perhitungan kecepatan dan kedalaman aliran pada sistem grid berdasarkan data yang sudah diketahui sebelumnya. Sedangkan metode Implisit digunakan untuk menyelesaikan persamaan pada setiap tahapan waktu. Karena akan dibentuk sistem linear waktu diskrit pada pemodelan di atas, maka perlu adanya penyelesaian dari sistem persamaan Saint Venant terhadap ruang 𝑥 dan waktu 𝑡.

Dalam masalah aliran air sungai ini digunakan pendiskritan Implisit Skema Preissman dan pendiskritan Staggered Grid.

a. Pendiskritan Implisit Skema Preissman

Menurut pendiskritan Implisit Skema Preissman didefinisikan untuk sebarang fungsi 𝑓 sebagai berikut[2]:

𝜕𝑓 𝜕𝑥= 𝜃 ( 𝑓_𝑖+1𝑘+1−𝑓_𝑖𝑘+1 ∆𝑥 ) + (1 − 𝜃) ( 𝑓_𝑖+1𝑘 −𝑓_𝑖𝑘 ∆𝑥 ) (2.4) Rembesan 𝐿 𝐷 ℎ ℎ(0, 𝑡) = 𝜑_𝑏(𝑡) 𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑢𝑁(𝑡)

8 𝜕𝑓 𝜕𝑡= ( 𝑓𝑖+1𝑘+1−𝑓𝑖+1𝑘 2∆𝑡 ) + ( 𝑓𝑖𝑘+1−𝑓𝑖𝑘 2∆𝑡 ) (2.5) 𝑓 =𝜃₂(𝑓_𝑖+1𝑘+1+ 𝑓_𝑖𝑘+1) +(1−𝜃)₂ (𝑓_𝑖+1𝑘 + 𝑓_𝑖𝑘) (2.6) untuk 0 < 𝜃 < 1.

Pendiskritan Implisit Skema Preissman tersebut dapat juga dituliskan sebagai berikut:

𝜕ℎ 𝜕𝑡= ( ℎ_𝑖+1𝑘+1−ℎ_𝑖+1𝑘 2∆𝑡 ) + ( ℎ_𝑖𝑘+1−ℎ_𝑖𝑘 2∆𝑡 ) (2.7) 𝜕𝑢 𝜕𝑥= 𝜃 ( 𝑢_𝑖+1𝑘+1−𝑢_𝑖𝑘+1 ∆𝑥 ) + (1 − 𝜃) ( 𝑢_𝑖+1𝑘 −𝑢_𝑖𝑘 ∆𝑥 ) (2.8) 𝑢 =𝜃 2(𝑢𝑖+1 𝑘+1_{+ 𝑢} 𝑖𝑘+1) +(1−𝜃)₂ (𝑢𝑖+1𝑘 + 𝑢𝑖𝑘) (2.9) b. Pendiskritan Staggered Grid

Pendiskritan Staggered Grid didefinisikan sebagai berikut[4]: 𝜕ℎ 𝜕𝑥= ( ℎ_𝑖+1𝑘 −ℎ_𝑖𝑘 2∆𝑥 ) + ( ℎ_𝑖+1𝑘+1−ℎ_𝑖𝑘+1 2∆𝑥 ) 𝜕ℎ 𝜕𝑡= ( ℎ_𝑖𝑘+1−ℎ_𝑖𝑘 ∆𝑡 ) 𝜕𝑢 𝜕𝑥= ( 𝑢 𝑖+1₂ 𝑘 _−𝑢 𝑖−1₂ 𝑘 2∆𝑥 ) + ( 𝑢 𝑖+1₂ 𝑘+1_−𝑢 𝑖−1₂ 𝑘+1 2∆𝑥 ) 𝜕𝑢 𝜕𝑡= ( 𝑢 𝑖+1₂ 𝑘+1_−𝑢 𝑖+1₂ 𝑘 ∆𝑡 ) 𝑢 =1₂(𝑢_𝑖+1 2 𝑘 _{+ 𝑢} 𝑖+1₂ 𝑘+1₎

2.2 Sistem Linier Waktu Diskrit

Diberikan suatu sistem linear waktu diskrit sebagai berikut[3]: 𝑥_𝑘+1= 𝐴𝑥_𝑘+ 𝐵𝑢_𝑘

𝑦_𝑘 = 𝐶𝑥_𝑘+ 𝐷𝑢_𝑘 } (2.10) dengan

9

𝑢_𝑘 adalah vektor masukan deterministic pada waktu 𝑘, 𝑦_𝑘 adalah vektor keluaran pada waktu 𝑘,

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 masing-masing adalah matriks-matriks konstan dengan ukuran yang bersesuaian. Persamaan (2.10) dapat dinyatakan sebagai sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷).

2.2.1 Sifat-Sifat Sistem

Sifat-sifat dari suatu sistem meliputi tiga hal, diantaranya kestabilan, keterkendalian dan keteramatan.

2.2.1.1 Kestabilan dari Segi Nilai Karakteristik

Definisi 2.1[5]

Diberikan sistem linear diskrit

𝑥_𝑘+1 = 𝐴𝑥_𝑘, (2.11)

dengan 𝑥𝑘 ∈ ℝ𝑛adalah variabel keadaan pada waktu 𝑘 dan 𝐴 adalah matriks konstan dengan ukuran yang bersesuaian. Misalkan 𝑥_𝑒 disebut titik setimbang.

i. Titik setimbang 𝑥𝑒 dikatakan stabil bila untuk setiap ℰ > 0, terdapat 𝛿 > 0 sedemikian hingga untuk setiap solusi 𝑥_𝑘 yang memenuhi ‖𝑥_𝑘− 𝑥_𝑒‖ < 𝛿 maka berlaku ‖𝑥_𝑘− 𝑥_𝑒‖ < ℰ untuk setiap 𝑘 ≥ 0. ii. Titik setimbang 𝑥_𝑒 dikatakan stabil asimtotik jika 𝑥_𝑒 stabil dan bila

terdapat 𝛿1> 0 sedemikian rupa sehingga untuk setiap solusi 𝑥𝑘 yang memenuhi ‖𝑥₀− 𝑥_𝑒‖ < 𝛿1 maka berlaku _𝑘→∞lim‖𝑥𝑘− 𝑥𝑒‖ = 0.

Berdasarkan Definisi 2.1 untuk menyelidiki kestabilan sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) ,maka syarat kestabilan sistem dapat ditentukan seperti pada teorema berikut.

Teorema 2.1[6]. Sistem linear diskrit, seperti yang dinyatakan pada

Persamaan (2.11), adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika real|𝜆_𝑖(𝐴)| < 1 untuk 𝑖 = 1, … , 𝑛 dengan 𝜆_𝑖(𝐴) adalah nilai eigen matriks 𝐴. Sedangkan jika real|𝜆𝑖(𝐴)| = 1, maka sistem diskrit adalah stabil untuk 𝑖 = 1, … , 𝑛.

2.2.1.2 Keterkendalian

Teorema 2.2[6]. Sistem diskrit yang diberikan pada Persamaan (2.10)

10

dengan [𝐵 𝐴𝐵 ⋯ 𝐴𝑛−1𝐵] disebut sebagai matriks keterkendalian.

2.2.1.3 Keteramatan

Teorema 2.3[6]. Sistem diskrit yang diberikan pada Persamaan (2.10)

teramati jika dan hanya jika rank[𝐶 𝐶𝐴 ⋯ 𝐶(𝐴)𝑛−1_{] = 𝑛,} dengan [𝐶 𝐶𝐴 ⋯ 𝐶(𝐴)𝑛−1_{] disebut sebagai matriks keteramatan.} 2.3 Gramian Keterkendalian dan Gramian Keteramatan

Diberikan sistem linier diskrit sebagai sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷). Pada sistem (𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) juga didefinisikan Gramian keterkendalian 𝑊, dan Gramian keteramatan 𝑀, yaitu[7]:

𝑊 = ∑∞ 𝐴𝑘𝐵𝐵𝑇(𝐴𝑇)𝑘

𝑘=0 (2.12) 𝑀 = ∑∞ (𝐴𝑇)𝑘𝐶𝑇𝐶𝐴𝑘

𝑘=0 (2.13) Hubungan antara sifat kestabilan, keterkendalian dan keteramatan sistem dengan Gramian keterkendalian 𝑊, dan Gramian ketermatan 𝑀, dapat dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 2.4[7]. Diberikan sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) yang stabil, terkendali

dan teramati. Gramian keterkendalian 𝑊, dan Gramian ketereamatan 𝑀, masing-masing merupakan penyelesaian tunggal dan definit positif dari persamaan Lyapunov

𝐴𝑊𝐴𝑇+ 𝐵𝐵𝑇− 𝑊 = 0 (2.14) 𝐴𝑇𝑀𝐴 + 𝐶𝑇𝐶 − 𝑀 = 0 (2.15) Pada Teorema 2.4 sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) yang stabil dimaksud adalah sistem stabil asimtotik. Sehingga, sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) adalah sistem yang stabil asimtotik, terkendali, dan teramati.

2.4 Dekomposisi Sistem Tak Stabil

Dekomposisi sistem tak stabil merupakan metode pemisahan antara subsistem stabil dan tak stabil. Algoritma dekomposisi dapat dilakukan dengan dua tahap transformasi. Pada tahap pertama, transformasi real Schur bentuk blok. Menggunakan unitary matriks 𝑈_𝑑 dalam bentuk blok diagonal atas Schur, sehingga nilai-nilai eigen dari transformasi sistem diatur berdasarkan urutan nilai absolut dari nilai

11

eigennya. Jika 𝑥 sistem awal dan 𝑈_𝑑 transformasi matriks unitary, maka 𝑥_𝑡 hasil dari transformasi sistem dengan 𝑥 = 𝑈_𝑑𝑥_𝑡.

Pada transformasi tahap kedua, dilakukan dengan menyelesaikan persamaan umum Lyapunov dan melanjutkan untuk transformasi tahap kedua menggunakan transformasi 𝑥𝑡 = 𝑊𝑑𝑥𝑑, dimana 𝑥𝑑 adalah tahap akhir dari transformasi state dan 𝑊_𝑑 adalah tahap akhir dari transformasi matriks. Sehingga akan diperoleh pemisahan antara subsistem stabil dan tak stabil[7].

Model hasil dari dekomposisi : 𝐺_𝑑= [𝐴_𝐶𝑠 𝑠| 𝐵_𝑠 𝐷_𝑠] + [ 𝐴_𝑢 𝐶_𝑢| 𝐵_𝑢 0] = 𝐺_𝑠(𝑠𝑢𝑏𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙) + 𝐺𝑢(𝑠𝑢𝑏𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑡𝑎𝑘 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙) (2.16) 2.5 Reduksi Model dengan Metode SPA

Reduksi model merupakan upaya untuk mengganti model atau sistem yang berukuran besar dengan model yang lebih sederhana tanpa kesalahan yang signifikan. Reduksi model dapat dilakukan dengan beberapa metode salah satunya SPA. Reduksi model dilakukan dengan cara membentuk system setimbang.

2.5.1 Sistem Setimbang

Sistem setimbang (𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) adalah sistem baru yang diperoleh dari sistem awal (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) dengan Gramian keterkendalian 𝑊̃ dan Gramian keteramatan 𝑀̃ yang sama dan merupakan matriks diagonal ∑. System setimbang diperoleh dengan mentransformasikan system awal terhadap matriks transformasi 𝑇[3]:

𝑥𝑘 = 𝑇𝑥̃𝑘 (2.17) Dengan,

𝑥_𝑘 : variabel keadaan dari sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷)

𝑥̃_𝑘 : variabel keadaan dari sistem setimbang (𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) 𝑇 : matriks transformasi yang non singular dan berukuran 𝑛𝑥𝑛 Selanjutnya, Persamaan (2.17) dapat dituliskan sebagai berikut.

𝑥̃_𝑘 = 𝑇−1_𝑥

𝑘 (2.18) Untuk 𝑘 = 𝑘 + 1, maka Persamaan (2.18) menjadi.

12

𝑥̃_𝑘+1= 𝑇−1_𝑥

𝑘+1 (2.19) Jika sistem awal pada Persamaan (2.17) dan (2.18) disubstitusikan pada Persamaan (2.19) maka diperoleh hasil sebagai berikut.

𝑥̃_𝑘+1= 𝑇−1 _(𝐴𝑥

𝑘+ 𝐵𝑢𝑘) (2.20) Selanjutnya, mensubstitusi Persamaan (2.17) ke dalam Persamaan (2.20), maka diperoleh hasil sebagai berikut.

𝑥̃_𝑘+1 = 𝑇−1_{(𝐴𝑇𝑥}

𝑘+ 𝐵𝑢𝑘) = 𝑇−1_{𝐴𝑇𝑥̃}

𝑘+ 𝑇−1𝐵𝑢̃𝑘

= 𝐴̃𝑥̃𝑘+ 𝐵̃𝑢̃𝑘 (2.21) Sedangkan untuk mendapatkan matriks 𝐶̃ dan 𝐷̃, dilakukan dengan mensubstitusikan Persamaan (2.17) ke dalam Persamaan (2.18), maka diperoleh hasil sebagai berikut.

𝑦̃_𝑘 = 𝐶𝑇𝑥_𝑘+ 𝐷𝑢_𝑘 = 𝐶(𝑇𝑥̃𝑘) + 𝐷̃𝑢̃𝑘

= 𝐶𝑇𝑥̃𝑘+ 𝐷̃𝑢̃𝑘 (2.22) Sehingga didapat.

𝐴̃ = 𝑇−1_{𝐴𝑇, 𝐵̃ = 𝑇}−1_{𝐵, 𝐶̃ = 𝐶𝑇, dan 𝐷̃ = 𝐷 (2.23)} Sistem setimbang dapat dituliskan dalam bentuk:

𝑥̃_𝑘+1 = 𝐴𝑥̃_𝑘+ 𝐵𝑢̃_𝑘

𝑦̃_𝑘 = 𝐶𝑥̃_𝑘+ 𝐷𝑢̃_𝑘 } (2.24) Hubungan antara sistem setimbang dengan Gramian keterkendalian dan Gramian keteramatan sistem, dapat dilihat pada definisi berikut.

Definisi 2.2[7]. Sistem (𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) disebut sistem setimbang dari

sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) jika sistem (𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) mempunyai Gramian keterkendalian 𝑊̃ , dan Gramian keteramatan 𝑀̃, yang merupakan solusi tunggal dari persamaan Lyapunov

𝐴̃𝑊̃ 𝐴̃𝑇 + 𝐵̃𝐵̃𝑇− 𝑊̃ = 0 (2.25) 𝐴̃𝑇𝑀̃𝐴̃ + 𝐶̃𝑇𝐶̃ − 𝑀̃ = 0 (2.26) Sedemikian sehingga memenuhi

𝑊̃ = 𝑀̃ = ∑ = diag(𝜎1, 𝜎2, … , 𝜎𝑛), 𝜎1≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑟≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑛> 0. dengan 𝜎𝑖 merupakan nilai singular Hankel dari sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) yang dapat didefinisikan sebagai

13

𝜎𝑖 = |√𝜆𝑖(𝑊𝑀)| , 𝑖 = 1, … , 𝑛, (2.27) dengan 𝜆_𝑖 adalah nilai-nilai eigen dari 𝑊𝑀.

2.5.2 Metode Reduksi Model dengan Singular Perturbation Approximation (SPA)

Pada reduksi model dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA), semua variabel keadaan pada sistem setimbang (𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) dapat dipartisi menjadi mode cepat dan lambat. Variabel keadaan yang bersesuaian dengan nilai singular Hankel kecil didefinisikan sebagai mode cepat, sedangkan variabel keadaan yang bersesuaian dengan nilai singular Hankel yang lebih besar didefinisikan sebagai mode lambat. Selanjutnya, model tereduksi diperoleh dengan mengambil kecepatan dari mode cepat sama dengan nol. Selanjutnya, pada sistem yang telah direduksi dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA), sifat kestabilan yang berlaku pada sistem semula juga berlaku pada sistem yang telah direduksi. Adapun teorema kestabilan sistem tereduksi dengan metode SPA diberikan sebagai berikut.

Teorema 2.5[3]. Jika sistem (𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) merupakan sistem yang stabil

asimtotis, maka sistem tereduksi dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA)(𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) juga merupakan sistem yang stabil asimtotis.

Setelah diperoleh sistem setimbang (𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) dengan Gramian keterkendalian 𝑊̃ dan Gramian keteramatan 𝑀̃ yang sama, dan merupakan matriks diagonal ∑. Selanjutnya sistem (𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) dipartisi sesuai dengan ∑ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(∑ , ∑ )1 2 , dengan ∑ =1 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎1, 𝜎2, ⋯ . 𝜎𝑛) dan ∑ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎2 𝑟+1, , 𝜎𝑟+2,⋯ . 𝜎𝑛) dengan demikian, realisasi sistem (𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) dapat ditulis sebagai

[𝑥̃_𝑥̃1(𝑘 + 1) 2(𝑘 + 1)] = [ 𝐴̃₁₁ 𝐴̃₁₂ 𝐴̃₂₁ 𝐴̃₂₂ ] [ 𝑥̃1(𝑘) 𝑥̃₂(𝑘)] + [ 𝐵̃₁ 𝐵̃₂ ] 𝑢(𝑘) 𝑦̃(𝑘) = [𝐶̃₁ 𝐶̃₂ ] + 𝐷̃𝑢(𝑘) } (2.28)

14

Dengan 𝑥̃₁(𝑘) ∈ ℝ𝑟 dan 𝐴̃₁₁∈ ℝ𝑟𝑥𝑟 bersesuaian dengan gramian ∑₁, dan 𝑥̃₂(𝑘) ∈ ℝ𝑛−𝑟 _{bersesuaian dengan ∑ .}

2

Langkah selanjutnya, mengambil 𝑥̃2(𝑘 + 1) = 0 sehingga dari Persamaan (2.28) diperoleh

𝑥̃₁(𝑘 + 1) = 𝐴̃11𝑥1(𝑘) + 𝐴̃12𝑥2(𝑘) + 𝐵̃1𝑢(𝑘) (2.29) 0 = 𝐴̃₂₁𝑥̃₁(𝑘) + 𝐴̃22𝑥̃2(𝑘) + 𝐵̃2𝑢(𝑘) (2.30) 𝑦̃(𝑘) = 𝐶̃1𝑥̃1(𝑘) + 𝐶̃₂ 𝑥̃2(𝑘) + 𝐷̃𝑢(𝑘) (2.31) Kemudian, dengan mengansumsikan 𝐴̃22 adalah matriks nonsingular, dari Persamaan (2.30) didapatkan

𝑥̃₂(𝑘) = −𝐴̃₂₂ −1𝐴̃₂₁𝑥̃₁(𝑘) − 𝐴̃₂₂ −1𝐵̃₂𝑢(𝑘) (2.32) Selanjutnya, mensubsitusikan Persamaan (2.32) ke dalam Persamaan (2.29) dan Persamaan (2.31). Dengan demikian, diperoleh sistem tereduksi berorde 𝑟 yang bersesuaian dengan gramian ∑ 𝑠1 ebagai berikut.

𝑥̃₁(𝑘 + 1) = 𝐴̃11𝑥̃1(𝑘) + 𝐵̃₁ 𝑢(𝑘)

𝑦̃(𝑘) = 𝐶̃₁ 𝑥̃1(𝑘) + 𝐷̃𝑢(𝑘) } (2.33) Untuk 𝑘 = 0,1,2, ⋯, dengan 𝑥̃₁(𝑘) ∈ ℝ𝑟 , 𝑢(𝑘) ∈ ℝ𝑠, dan 𝑦̃(𝑘) ∈ ℝ𝑡 _dengan

𝐴̃𝑟 = 𝐴̃11− 𝐴̃12𝐴̃₂₂ −1𝐴̃₂₁ (2.34) 𝐵̃_𝑟 = 𝐵̃₁− 𝐴̃₁₂𝐴̃₂₂ −1𝐵̃₂ (2.35) 𝐶̃_𝑟 = 𝐶̃₁− 𝐶̃₂𝐴̃₂₂ −1𝐴̃₂₁ (2.36) 𝐷̃_𝑟 = 𝐷̃ − 𝐶̃2𝐴̃₂₂ −1𝐵̃2 (2.37) Dengan demikian diperoleh sistem tereduksi yang berukuran 𝑟 yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

𝑥̃_𝑟𝑘+1= 𝐴̃𝑟𝑥̃_𝑟𝑘+ 𝐵̃𝑟𝑢̃𝑘

𝑦̃_𝑟𝑘 = 𝐶̃_𝑟𝑥̃_𝑟𝑘+ 𝐷̃_𝑟𝑢̃_𝑘} (2.38) Untuk selanjutnya sistem tereduksi ini disebut sebagai sistem (𝐴̃𝑟, 𝐵̃𝑟, 𝐶̃𝑟, 𝐷̃𝑟).

Dari reduksi orde model dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA) pada sistem (𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) yang stabil asimtotis,

15

terkendali dan teramati berorde 𝑛 dihasilkan sistem tereduksi (𝐴̃_𝑟, 𝐵̃_𝑟, 𝐶̃_𝑟, 𝐷̃_𝑟) berorde 𝑟 < 𝑛 yang stabil asimtotis.

Teorema 2.6[3]. Diberikan suatu sistem (𝐴̃, 𝐵,̃ 𝐶,̃ 𝐷̃) yang bersifat

stabil, terkendali, teramati dan setimbang dengan Gramian 𝑊̃ = 𝑀̃ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎₁, 𝜎₂, … , 𝜎_𝑛), 𝜎1≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑟 ≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑛> 0, dengan 𝜎_𝑟 ≥ 𝜎_𝑟+1 maka sistem tereduksi dengan order r juga akan stabil, terkendali dan teramati, serta memenuhi ‖𝐺𝑠− 𝐺𝑠𝑟‖∞≤ 2(𝜎𝑟+1 + ⋯ + 𝜎𝑛), dengan 𝐺𝑠 dan 𝐺𝑠𝑟 masing-masing adalah fungsi transfer sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) dan sistem tereduksinya.

Setelah didapatkan sistem tereduksi seperti pada Persamaan (2.38) yang memenuhi Teorema 2.6 maka reduksi model pada sistem tak stabil dapat diperoleh sebagai berikut.

𝐺_𝑟 = 𝐺_𝑠𝑟+ 𝐺_𝑢 dengan

𝐺_𝑟 : sistem tereduksi total dengan SPA 𝐺_𝑠𝑟 : sistem tereduksi dengan SPA

16

17 BAB III

METODE PENELITIAN

Bab ini menjelaskan langkah-langkah yang digunakan dalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir. Disamping itu, dijelaskan pula prosedur dan proses pelaksanaan tiap-tiap langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan Tugas Akhir.

3.1 Tahapan Penelitian

Untuk mencapai tujuan dari penulisan ini, akan dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Studi Literatur

Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan dan studi literatur dari beberapa buku, jurnal, penelitian, paper, maupun atrikel dari internet mengenai referensi tentang sistem yang tak stabil, model aliran air sungai dan metode reduksi sistem. b. Pendiskritan Pada Sistem Awal

Pada tahap ini dilakukan pendiskritan pada model aliran air sungai dengan menggunakan metode Implisit Skema Preissman dan metode Staggered Grid.

c. Analisis Sifat Sistem Awal

Pada tahap ini dilakukan analisis model awal sistem pada model aliran air sungai. Analisis yang dilakukan meliputi analisis sifat dan perilaku sistem. Analisis sifat terdiri dari analisis kestabilan, keterkendalian dan keteramatan pada sistem tersebut. Sedangkan analisa perilaku sistem meliputi sistem pada aliran air sungai tersebut apakah stabil atau tak stabil. d. Dekomposisi sistem Tak Stabil

Pada tahap ini dilakukan pemisahan dari sistem awal yang tak stabil sehingga diperoleh subsistem stabil dan subsistem tak stabil.

18

e. Reduksi Model pada Subsistem Stabil

Pada tahap ini dilakukan reduksi model pada subsistem stabil dengan menggunakan metode Singular Perturbation Approximation / SPA untuk menghasilkan model dengan steady-state yang jumlahnya lebih sedikit dan sifat kestabilan yang berlaku pada sistem semula juga berlaku pada sistem yang telah direduksi.

f. Analisis Sifat Sistem Tereduksi

Pada tahap ini dilakukan analisis sifat model yang telah direduksi. Analisis yang dilakukan berupa analisis kestabilan, keterkendalian dan keteramatan. Analisis model tereduksi dilakukan untuk melihat apakah sifatsifat model tereduksi sama dengan sifat-sifat model awal atau tidak.

g. Simulasi menggunakan Matlab

Pada tahap ini dilakukan simulasi pada model aliran air sungai yang telah dilakukan reduksi. Sehingga diperoleh model aliran air sungai yang tereduksi. Selanjutnya dilakukan simulasi dengan Matlab untuk mendapatkan hasil yang optimal.

h. Analisis Hasil dan Kesimpulan

Pada tahap ini dilakukan analisis dari hasil simulasi pada mpdel aliran air sungai yang tereduksi. Selanjutkan akan ditarik kesimpulan apakah reduksi model pada aliran air sungai menggunakan metode Singular Perturbation Approximation / SPA optimal.

19

3.2 Skema Metode Penelitian

Gambar 3. 1 Skema Metode Penelitian

Sistem Awal (Aliran Air Sungai)

Pendiskritan pada Model Aliran Air Sungai

Analisis Sistem pada Model Aliran Air Sungai

Sistem Tak Stabil

Dekomposisi Sistem Tak Stabil

Subsistem Stabil Subsistem Tak Stabil

Sistem Setimbang

Subsistem Stabil Tereduksi

Sistem Tereduksi

Simulasi

20

21 BAB IV

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dijelaskan secara detail mengenai pemodelan aliran air sungai, persamaan Saint Venant, metode Implisit Skema Preissman, metode Staggered Grid, sifat-sifat sistem dan reduksi model dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA).

4.1 Pemodelan Aliran Air Sungai

Pemodelan aliran air sungai meliputi dua hal, yaitu model satu dimensi pada aliran sungai dan persamaan Saint Venant.

4.1.1 Model Satu Dimensi pada Aliran Sungai

Ada tiga konservasi, yaitu massa, momentum dan energi yang digunakan untuk menggambarkan aliran sungai. Dua variabel aliran yaitu kedalaman dan kecepatan atau kedalaman dan nilai debit, cukup untuk mendefinisikan kondisi aliran pada sebuah penampang melintang. Karena itu dua persamaan pengatur digunakan untuk menganalisa keadaan jenis aliran yaitu persamaan kontinuitas dan persamaan momentum atau persamaan energi. Untuk aliran yang kontinu digunakan persamaan energi, sedangkan untuk aliran yang tidak kontinu (diskrit), misalnya jika melalui terjunan atau lubang digunakan persamaan momentum, karena perlu diketahui berapa jumlah kehilangan (losses) yang terjadi.

a. Persamaan Kontinu

Hukum kekekalan massa disebut juga sebagai prinsip kontinuitas (Principle of Continuity). prinsip tersebut menyatakan bahwa laju perubahan massa fluida yang terdapat dalam ruang yang ditinjau pada selang waktu 𝑑𝑡 harus sama dengan perbedaan antara laju massa yang masuk dan laju massa yang keluar ke dan dari elemen fluida yang ditinjau. Prinsip kontinuitas menyatakan kekekalan massa dalam ruang berisi fluida yang ditinjau. Persamaan kontinuitas dalam aliran sungai dapat dimodelkan sebagai berikut[4]:

𝜕ℎ 𝜕𝑡

+ 𝐷

𝜕𝑢

22

b.

Persamaan Momentum

Persamaan momentum dalam aliran sungai dapat dimodelkan sebagai berikut[4]:

𝜕𝑢 𝜕𝑡+ 𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑥+ 𝐶𝑓𝑢 = 0 (4.2)

4.1.2 Persamaan Saint Venant

Masalah aliran sungai yang diambil dalam penelitian ini merupakan masalah aliran sungai dangkal (shallow water problem) dan aliran satu dimensi. Ada dua persamaan dalam hidrodinamik aliran satu dimensi, yaitu Persamaan kontinuitas (4.8) dan Persamaan momentum (4.9). Kedua persamaan tersebut digunakan untuk menyelesaikan penelusuran aliran air di sungai yang selanjutnya dikenal dengan Persamaan Saint Venant sebagai berikut[4]:

𝜕ℎ 𝜕𝑡

+ 𝐷

𝜕𝑢 𝜕𝑥

= 0

𝜕𝑢 𝜕𝑡

+ 𝑔

𝜕ℎ 𝜕𝑥

+ 𝐶

𝑓

𝑢 = 0

}

(4.3)

dengan syarat awal dan syarat batas:

ℎ(𝑥, 0) = 1, 𝑢(𝑥, 0) = 0, ℎ(0, 𝑡) = 𝜓

_𝑏

(𝑡),𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑢

_𝑁

(𝑡)

dimana

ℎ(𝑥, 𝑡) : ketinggian air terhadap titik acuan, 𝐷 : kedalaman sungai terhadap titik acuan, 𝑡 : waktu,

𝑥 : posisi sepanjang sungai, 𝑔 : gaya grafitasi,

𝐶_𝑓 : koefisien gesekan,

𝜓_𝑏 : ketinggian air pada posisi 𝑥₀, 𝑢(𝐿, 𝑡) : kecepatan aliran pada batas 𝑥𝑁.

4.2 Penyelesaian Persamaan Saint Venant dengan Metode Implisit Skema Preissman

Pada subbab ini akan dijelaskan tentang tiga hal, yaitu diskritisasi model aliran air sungai dengan metode Implisit Skema Preissman,

23

analisa sifat model dan reduksi model dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA).

4.2.1 Diskritisasi Model Aliran Air Sungai dengan Metode Implisit Skema Preissman

Menurut pendiskritan implisit skema Preissman, maka Persamaan (4.3) menjadi :  (ℎ𝑖+1𝑘+1−ℎ𝑖+1𝑘 2∆𝑡 + ℎ_𝑖𝑘+1−ℎ_𝑖𝑘 2∆𝑡 ) + 𝐷 (𝜃 ( 𝑢_𝑖+1𝑘+1−𝑢_𝑖𝑘+1 ∆𝑥 ) + (1 − 𝜃) ( 𝑢_𝑖+1𝑘 −𝑢_𝑖𝑘 ∆𝑥 )) = 0 ℎ_𝑖+1𝑘+1 2∆𝑡

−

ℎ_𝑖+1𝑘 2∆𝑡

+

ℎ_𝑖𝑘+1 2∆𝑡

−

ℎ_𝑖𝑘 2∆𝑡

+

𝐷𝜃 ∆𝑥

𝑢

𝑖+1 𝑘+1

₋

𝐷𝜃 ∆𝑥

𝑢

𝑖 𝑘+1

₊

𝐷(1−𝜃) ∆𝑥

𝑢

𝑖+1 𝑘

−

𝐷(1−𝜃)_∆𝑥

𝑢

_𝑖𝑘

_{= 0}

ℎ_𝑖𝑘+1 2∆𝑡

−

𝐷𝜃 ∆𝑥

𝑢

𝑖 𝑘+1

₊

ℎ𝑖+1𝑘+1 2∆𝑡

+

𝐷𝜃 ∆𝑥

𝑢

𝑖+1 𝑘+1

₌

ℎ𝑖𝑘 2∆𝑡

+

𝐷(1−𝜃) ∆𝑥

𝑢

𝑖 𝑘

₊

ℎ𝑖+1𝑘 2∆𝑡

−

𝐷(1−𝜃) ∆𝑥

𝑢

𝑖+1 𝑘

 (𝑢𝑖+1𝑘+1−𝑢𝑖+1𝑘 2∆𝑡 + 𝑢_𝑖𝑘+1−𝑢_𝑖𝑘 2∆𝑡 ) + 𝑔 (𝜃 ( ℎ_𝑖+1𝑘+1−ℎ_𝑖𝑘+1 ∆𝑥 ) + (1 − 𝜃) ( ℎ_𝑖+1𝑘 −ℎ_𝑖𝑘 ∆𝑥 )) + 𝐶𝑓( 𝜃 2(𝑢𝑖+1 𝑘+1_{+ 𝑢} 𝑖𝑘+1) +(1−𝜃)₂ (𝑢𝑖+1𝑘 + 𝑢𝑖𝑘)) = 0 𝑢_𝑖+1𝑘+1 2∆𝑡 − 𝑢_𝑖+1𝑘 2∆𝑡 + 𝑢_𝑖𝑘+1 2∆𝑡 − 𝑢_𝑖𝑘 2∆𝑡+ 𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ𝑖+1 𝑘+1₋𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ𝑖 𝑘+1₊𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ𝑖+1 𝑘 ₋ 𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ𝑖 𝑘₊𝐶𝑓𝜃 2 𝑢𝑖+1 𝑘+1₊𝐶𝑓𝜃 2 𝑢𝑖 𝑘+1₊𝐶𝑓(1−𝜃) 2 𝑢𝑖+1 𝑘 ₊𝐶𝑓(1−𝜃) 2 𝑢𝑖 𝑘 _{= 0} −𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ𝑖 𝑘+1₊𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ𝑖+1 𝑘+1₋𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ𝑖 𝑘₊𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ𝑖+1 𝑘 ₊ 1 2∆𝑡𝑢𝑖 𝑘+1₊ 𝐶𝑓𝜃 2 𝑢𝑖 𝑘+1₋ 1 2∆𝑡𝑢𝑖 𝑘₊𝐶𝑓(1−𝜃) 2 𝑢𝑖 𝑘₊ 1 2∆𝑡𝑢𝑖+1 𝑘+1₊𝐶𝑓𝜃 2 𝑢𝑖+1 𝑘+1₋ 1 2∆𝑡𝑢𝑖+1 𝑘 ₊𝐶𝑓(1−𝜃) 2 𝑢𝑖+1 𝑘 _{= 0} −𝑔𝜃_∆𝑥ℎ_𝑖𝑘+1+ (_2∆𝑡1 +𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢𝑖 𝑘+1₊𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ𝑖+1 𝑘+1_{+ (} 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢𝑖+1 𝑘+1

24 =𝑔(1−𝜃)_∆𝑥 ℎ_𝑖𝑘+ (_2∆𝑡1 −𝐶𝑓(1−𝜃)₂ ) 𝑢_𝑖𝑘−𝑔(1−𝜃)_∆𝑥 ℎ_𝑖+1𝑘 + ( 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢𝑖+1 𝑘

Sehingga Persamaan (4.3) dapat ditulis sebagai berikut :

 _2∆𝑡1 ℎ_𝑖𝑘+1−𝐷𝜃_∆𝑥𝑢_𝑖𝑘+1+_2∆𝑡1 ℎ_𝑖+1𝑘+1+𝐷𝜃_∆𝑥𝑢_𝑖+1𝑘+1 =_2∆𝑡1 ℎ_𝑖𝑘+𝐷(1−𝜃)_∆𝑥 𝑢_𝑖𝑘+ 1 2∆𝑡ℎ𝑖+1 𝑘 ₋𝐷(1−𝜃) ∆𝑥 𝑢𝑖+1 𝑘 _(4.4)  −𝑔𝜃_∆𝑥ℎ_𝑖𝑘+1+ (_2∆𝑡1 +𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢𝑖 𝑘+1₊𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ𝑖+1 𝑘+1_{+ (} 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢𝑖+1 𝑘+1 =𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ𝑖 𝑘_{+ (} 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢𝑖 𝑘₋𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ𝑖+1 𝑘 + ( 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢𝑖+1 𝑘

_(4.5)

Persamaan (4.4) dan (4.5) dapat ditulis pada saat 𝑖 = 0,1,2, ⋯ , 𝑁 − 1, 𝑁 sebagai berikut : Untuk 𝑖 = 0, diperoleh :  _2∆𝑡1 ℎ₀𝑘+1₋𝐷𝜃 ∆𝑥𝑢0𝑘+1+ 1 2∆𝑡ℎ1𝑘+1+ 𝐷𝜃 ∆𝑥𝑢1𝑘+1 = 1 2∆𝑡ℎ0𝑘+ 𝐷(1−𝜃) ∆𝑥 𝑢0𝑘+ 1 2∆𝑡ℎ1 𝑘₋𝐷(1−𝜃) ∆𝑥 𝑢1 𝑘  −𝑔𝜃_∆𝑥ℎ₀𝑘+1_{+ (} 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢0𝑘+1+ 𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ1𝑘+1+ ( 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢1𝑘+1 =𝑔(1−𝜃)_∆𝑥 ℎ₀𝑘 _{+ (} 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢0𝑘− 𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ1𝑘 + (_2∆𝑡1 −𝐶𝑓(1−𝜃)₂ ) 𝑢₁𝑘 Untuk 𝑖 = 1, diperoleh :  _2∆𝑡1 ℎ₁𝑘+1₋𝐷𝜃 ∆𝑥𝑢1𝑘+1+ 1 2∆𝑡ℎ2𝑘+1+ 𝐷𝜃 ∆𝑥𝑢2𝑘+1 = 1 2∆𝑡ℎ1𝑘+ 𝐷(1−𝜃) ∆𝑥 𝑢1𝑘+ 1 2∆𝑡ℎ2 𝑘₋𝐷(1−𝜃) ∆𝑥 𝑢2 𝑘

25  −𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ1 𝑘+1_{+ (} 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢1 𝑘+1₊𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ2 𝑘+1_{+ (} 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢2 𝑘+1 =𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ1 𝑘 _{+ (} 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢1 𝑘₋𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ2 𝑘 + ( 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢2 𝑘 Untuk 𝑖 = 2, diperoleh :  _2∆𝑡1 ℎ₂𝑘+1₋𝐷𝜃 ∆𝑥𝑢2𝑘+1+ 1 2∆𝑡ℎ3𝑘+1+ 𝐷𝜃 ∆𝑥𝑢3𝑘+1 = 1 2∆𝑡ℎ2𝑘+ 𝐷(1−𝜃) ∆𝑥 𝑢2𝑘+ 1 2∆𝑡ℎ3 𝑘₋𝐷(1−𝜃) ∆𝑥 𝑢3 𝑘  −𝑔𝜃_∆𝑥ℎ₂𝑘+1+ (_2∆𝑡1 +𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢2 𝑘+1₊𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ3 𝑘+1_{+ (} 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢3 𝑘+1 =𝑔(1−𝜃)_∆𝑥 ℎ₂𝑘 _{+ (} 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢2𝑘− 𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ3𝑘 + (_2∆𝑡1 −𝐶𝑓(1−𝜃)₂ ) 𝑢₃𝑘 ⋮ Untuk 𝑖 = 𝑁 − 1, diperoleh :  1 2∆𝑡ℎ𝑁−1 𝑘+1 ₋𝐷𝜃 ∆𝑥𝑢𝑁−1 𝑘+1 ₊ 1 2∆𝑡ℎ𝑁 𝑘+1₊𝐷𝜃 ∆𝑥𝑢𝑁 𝑘+1₌ 1 2∆𝑡ℎ𝑁−1 𝑘 ₊ 𝐷(1−𝜃) ∆𝑥 𝑢𝑁−1 𝑘 ₊ 1 2∆𝑡ℎ𝑁 𝑘 ₋𝐷(1−𝜃) ∆𝑥 𝑢𝑁 𝑘  −𝑔𝜃_∆𝑥ℎ_𝑁−1𝑘+1 _{+ (} 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢𝑁−1𝑘+1 + 𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ𝑁𝑘+1+ ( 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢𝑁𝑘+1 =𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ𝑁−1 𝑘 _{+ (} 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢𝑁−1 𝑘 ₋𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ𝑁 𝑘 + ( 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢𝑁 𝑘 Untuk 𝑖 = 𝑁, diperoleh :  1 2∆𝑡ℎ𝑁 𝑘+1₋𝐷𝜃 ∆𝑥𝑢𝑁 𝑘+1₊ 1 2∆𝑡ℎ𝑁+1 𝑘+1 ₊𝐷𝜃 ∆𝑥𝑢𝑁+1 𝑘+1 ₌ 1 2∆𝑡ℎ𝑁 𝑘 ₊𝐷(1−𝜃) ∆𝑥 𝑢𝑁 𝑘 ₊ 1 2∆𝑡ℎ𝑁+1𝑘 − 𝐷(1−𝜃) ∆𝑥 𝑢𝑁+1𝑘  −𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ𝑁 𝑘+1_{+ (} 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢𝑁 𝑘+1₊𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ𝑁+1 𝑘+1 _{+ (} 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢𝑁+1 𝑘+1

26 =𝑔(1−𝜃)_∆𝑥 ℎ_𝑁𝑘 _{+ (} 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢𝑁𝑘 − 𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ𝑁+1𝑘 + (_2∆𝑡1 −𝐶𝑓(1−𝜃)₂ ) 𝑢_𝑁+1𝑘

Dengan demikian, untuk 𝑖 = 0,1,2, ⋯ , 𝑁 − 1, 𝑁 dapat dibentuk matriks sebagai berikut :

[ 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 0 ⋯ 0 0 0 0 −𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 ⋯ 0 0 0 0 0 −𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 ⋯ 0 0 0 0 0 −𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝑎 −𝑏 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 −𝑐 𝑑 ] [ ℎ0𝑘+1 𝑢₀𝑘+1 ℎ₁𝑘+1 𝑢₁𝑘+1 ⋯ ⋯ ℎ_𝑁−1𝑘+1 𝑢_𝑁−1𝑘+1 ℎ_𝑁𝑘+1 𝑢_𝑁𝑘+1_] = [ 𝑎 𝑝 𝑎 −𝑝 0 ⋯ 0 0 0 0 𝑞 𝑟 −𝑞 𝑟 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 𝑎 𝑝 𝑎 −𝑝 ⋯ 0 0 0 0 0 𝑞 𝑟 −𝑞 𝑟 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 𝑎 𝑝 𝑎 −𝑝 ⋯ 0 0 0 0 0 𝑞 𝑟 −𝑞 𝑟 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝑎 𝑝 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝑞 𝑟 ]_[ ℎ0𝑘 𝑢₀𝑘 ℎ₁𝑘 𝑢₁𝑘 ⋯ ⋯ ℎ_𝑁−1𝑘 𝑢_𝑁−1𝑘 ℎ_𝑁𝑘 𝑢_𝑁𝑘 _] dengan : 𝑎 = 1 2∆𝑡 , 𝑏 = 𝐷𝜃 ∆𝑥 , 𝑐 = 𝑔𝜃 ∆𝑥 , 𝑑 = ( 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑝 =𝐷(1−𝜃)_∆𝑥 , 𝑞 =𝑔(1−𝜃)_∆𝑥 , 𝑟 = (_2∆𝑡1 −𝐶𝑓(1−𝜃) 2 )

27

Selanjutnya diberikan syarat awal dan syarat batas adalah sebagai berikut :

Syarat awal :

ℎ

_𝑖0

_{= 1; 𝑢}

𝑖0

= 0,

(4.6)

dan syarat batas :

ℎ

₀𝑘

_{= 𝜓}

𝑏

(𝑘∆𝑡); 𝑢

𝑁+1𝑘+1

= 𝑢

𝑁+1𝑘

= ℎ

𝑁+1𝑘+1

= ℎ

𝑁+1𝑘

= 0 (4.7)

dimana 𝑖 menunjukkan posisi, sedangkan 𝑘 menyatakan langkah

waktu.

Dengan demikian, untuk 𝑖 = 0 dan 𝑖 = 𝑁, menjadi : Untuk 𝑖 = 0, diperoleh :  ℎ₀𝑘 _{= 𝜓} 𝑏(𝑘∆𝑡), ℎ₀𝑘+1_{= 𝜓} 𝑏((𝑘 + 1)∆𝑡) = 𝑎0𝜓𝑏(𝑘∆𝑡) = 𝑎0ℎ0𝑘 dengan 𝜓_𝑏(0) = 1, 𝑎0= 𝑒−1 6⁄ ,  −𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ0 𝑘+1_{+ (} 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢0 𝑘+1₊𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ1 𝑘+1_{+ (} 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢1 𝑘+1 =𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ0 𝑘 _{+ (} 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢0 𝑘₋𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ1 𝑘 + ( 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢1 𝑘

Untuk 𝑖 = 𝑁, digunakan syarat batas 𝑢_𝑁+1𝑘+1

_{= 𝑢}

𝑁+1 𝑘

₌

ℎ

_𝑁+1𝑘+1

_{= ℎ}

𝑁+1𝑘

= 0, sehingga diperoleh :

 _2∆𝑡1 ℎ_𝑁𝑘+1₋𝐷𝜃 ∆𝑥𝑢𝑁 𝑘+1 ₌ 1 2∆𝑡ℎ𝑁 𝑘 ₊𝐷(1−𝜃) ∆𝑥 𝑢𝑁 𝑘  −𝑔𝜃 ∆𝑥ℎ𝑁 𝑘+1_{+ (} 1 2∆𝑡+ 𝐶𝑓𝜃 2 ) 𝑢𝑁 𝑘+1 ₌𝑔(1−𝜃) ∆𝑥 ℎ𝑁 𝑘 _{+ (} 1 2∆𝑡− 𝐶𝑓(1−𝜃) 2 ) 𝑢𝑁 𝑘 Dengan demikian, untuk 𝑖 = 0,1,2, ⋯ , 𝑁 − 1, 𝑁 dapat dibentuk matriks sebagai berikut :

28 [ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 ⋯ 0 0 0 0 0 −𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 ⋯ 0 0 0 0 0 −𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝑎 −𝑏 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 −𝑐 𝑑 ]_[ ℎ0𝑘+1 𝑢₀𝑘+1 ℎ₁𝑘+1 𝑢₁𝑘+1 ⋯ ⋯ ℎ_𝑁−1𝑘+1 𝑢_𝑁−1𝑘+1 ℎ_𝑁𝑘+1 𝑢_𝑁𝑘+1] = [ 𝑎₀ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 𝑞 𝑟 −𝑞 𝑟 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 𝑎 𝑝 𝑎 −𝑝 ⋯ 0 0 0 0 0 𝑞 𝑟 −𝑞 𝑟 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 𝑎 𝑝 𝑎 −𝑝 ⋯ 0 0 0 0 0 𝑞 𝑟 −𝑞 𝑟 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝑎 𝑝 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝑞 𝑟 ]_[ ℎ0𝑘 𝑢₀𝑘 ℎ₁𝑘 𝑢₁𝑘 ⋯ ⋯ ℎ_𝑁−1𝑘 𝑢_𝑁−1𝑘 ℎ_𝑁𝑘 𝑢_𝑁𝑘 _] Berdasarkan hasil pendiskritan diatas, dapat dibentuk sistem ruang keadaan yang invarian terhadap waktu :

𝐶1𝑥𝑘+1= 𝐶2𝑥𝑘 𝑥_𝑘+1 = 𝐶₁−1_𝐶 2𝑥𝑘 (4.8) dengan 𝐴 = 𝐶₁−1_𝐶 2 dimana :

29 𝐶₁= [ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 ⋯ 0 0 0 0 0 −𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 ⋯ 0 0 0 0 0 −𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝑎 −𝑏 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 −𝑐 𝑑 ] 𝐶₂= [ 𝑎0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 𝑞 𝑟 −𝑞 𝑟 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 𝑎 𝑝 𝑎 −𝑝 ⋯ 0 0 0 0 0 𝑞 𝑟 −𝑞 𝑟 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 𝑎 𝑝 𝑎 −𝑝 ⋯ 0 0 0 0 0 𝑞 𝑟 −𝑞 𝑟 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝑎 𝑝 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝑞 𝑟 ]

4.2.2 Analisa Sifat Model Aliran Air Sungai

Pada Model Aliran Air Sungai dengan Metode Skema Preissman pada Persamaan (4.8) akan dilakukan analisa sifat model. Analisis sifat model meliputi sifat kestabilan, sifat keterkendalian, dan sifat keteramatan.

4.2.2.1 Sifat Kestabilan

Pada Teorema 2.1 disebutkan bahwa sistem diskrit dikatakan stabil simtotik jika dan hanya jika nilai eigennya kurang dari satu. Sedangkan jika nilai eigen sama dengan satu, maka sistem diskrit dikatakan stabil.

Jika diberikan sistem awal (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) yang tak stabil, dengan 𝑁 = 4 kedalaman sungai 𝐷 = 10 𝑚, percepatan gravitasi 𝑔 =

30

9.8 𝑚 𝑑𝑒𝑡_⁄ 2_{, koefisien gesekan 𝐶}

𝑓 = 0.0002, 𝑎0= 𝑒−1 6⁄ , ∆𝑥 = 60000/𝑁, ∆𝑡 = 1 dan 𝜃 = 0.6 , maka diperoleh :

𝐶1= [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.0004 0.5001 0.0004 0.5001 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5000 −0.0004 0.5000 0.0004 0 0 0 0 0 0 −0.0004 0.5001 0.0004 0.5001 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5000 −0.0004 0.5000 0.0004 0 0 0 0 0 0 −0.0004 0.5001 0.0004 0.5001 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5000 −0.0004 0.5000 0.0004 0 0 0 0 0 0 −0.0004 0.5001 0.0004 0.5001 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5000 −0.0004 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.0004 0.5001 ] 𝐶2= [ 0.8465 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0003 0.5000 −0.0003 0.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5000 0.0003 0.5000 −0.0003 0 0 0 0 0 0 0.0003 0.5000 −0.0003 0.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5000 0.0003 0.5000 −0.0003 0 0 0 0 0 0 0.0003 0.5000 −0.0003 0.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5000 0.0003 0.5000 −0.0003 0 0 0 0 0 0 0.0003 0.5000 −0.0003 0.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5000 0.0003 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0003 0.5000 ] 𝐴 = [ 0.8465 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0012 0.9997 −0.0026 −0.0000 0.0026 0.0000 −0.0026 −0.0000 0.0026 0.0000 0 0 1.0000 0.0013 −0.0000 −0.0027 0.0000 0.0027 −0.0000 −0.0027 0 0 0.0013 0.9997 −0.0026 −0.0000 0.0026 0.0000 −0.0026 −0.0000 0 0 0 0 1.0000 0.0013 −0.0000 −0.0027 0.0000 0.0027 0 0 0 0 0.0013 0.9997 −0.0026 −0.0000 0.0026 0.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0.0013 −0.0000 −0.0027 0 0 0 0 0 0 0.0013 0.9997 −0.0026 −0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0.0013 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0013 0.9997 ] (4.9) 𝐵 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] (4.10) 𝐶 = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0_{0 1 0 0 0 0 0 0 0 0}] (4.11) 𝐷 = [0₂] (4.12) dengan 𝐴 ∈ ℝ10×10_{, 𝐵 ∈ ℝ}10×1_{, 𝐶 ∈ ℝ}2×10_{, 𝐷 ∈ ℝ}2×1_.

31

Pada sistem awal (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷), akan dilakukan analisa kestabilan, keterkendalian dan keteramatan dari sistem awal tersebut. Stabilitas sistem awal (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) dapat ditentukan berdasarkan nilai absolut dari eigen matriks 𝐴 seperti pada Tabel 4.1 berikut

Tabel 4. 1 Nilai eigen matriks A(Skema Preissman)

𝑡 |𝜆𝑡| 1 0.9997 2 0.9985 3 0.9985 4 0.9985 5 0.9985 6 1.0012 7 1.0012 8 1.0012 9 1.0012 10 0.8465

Berdasarkan Tabel 4.1, terlihat bahwa nilai absolut dari eigen matriks 𝐴 yang bernilai lebih dari 1 ada sebanyak 4, maka berdasarkan Teorema 2.1 sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) tidak stabil.

4.2.2.2 Sifat Keterkendalian

Pada Teorema 2.2 disebutkan bahwa suatu sistem diskrit dikatakan terkendali jika dan hanya jika rank dari matriks keterkendaliannya sama dengan 𝑛, atau dengan kata lain rank[𝐵 𝐴𝐵 ⋯ 𝐴𝑛−1𝐵] = 𝑛.

Jika diberikan matriks 𝐴 dan matriks 𝐵 seperti pada Persamaan (2.15) dan (2.16), dan misalkan 𝑊𝑐 adalah matriks keterkendalian, maka diperoleh :

32 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0006 0.0008 0.0010 0 −0.0027 −0.0053 −0.0080 −0.0107 −0.0133 −0.0160 −0.0187 −0.0213 −0.0240 0 −0.0000 −0.0000 −0.0001 −0.0002 −0.0003 −0.0004 −0.0005 −0.0007 −0.0009 0 0.0027 0.0053 0.0080 0.0107 0.0133 0.0160 0.0187 0.0213 0.0240 0 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0 −0.0027 −0.0053 −0.0080 −0.0107 −0.0133 −0.0160 −0.0186 −0.0213 −0.0240 0 −0.0000 −0.0000 −0.0000 −0.0001 −0.0001 −0.0001 −0.0002 −0.0002 −0.0003 0 0.0013 0.0027 0.0040 0.0053 0.0067 0.0080 0.0093 0.0107 0.0120 1 0.9997 0.9994 0.9992 0.9989 0.9986 0.9984 0.9981 0.9978 0.9976 ]

Berdasarkan hasil simulasi, didapatkan bahwa rank dari matriks keterkendalian sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) sama dengan 6, sehingga sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) bersifat tak terkendali.

4.2.2.3 Sifat Keteramatan

Pada Teorema 2.3 disebutkan bahwa suatu sistem diskrit dikatakan teramati jika dan hanya jika rank dari matriks keteramatannya sama dengan 𝑛, atau dengan kata lain rank[𝐶 𝐶𝐴 ⋯ 𝐶𝐴𝑛−1] = 𝑛. Jika diberikan matriks 𝐴 dan matriks 𝐶 seperti pada Persamaan (2.15) dan (2.17), dan misalkan 𝑀𝑐 adalah matriks keterkendalian, maka diperoleh : 𝑀𝑐= [𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴2 𝐶𝐴3 𝐶𝐴4 𝐶𝐴5 𝐶𝐴6 𝐶𝐴7 𝐶𝐴8 𝐶𝐴9] = [ 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8465 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0012 0.9997 −0.0026 −0.0000 0.0026 0.0000 −0.0026 −0.0000 0.0026 0.0000 0.7165 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0022 0.9994 −0.0052 −0.0000 0.0052 0.0000 −0.0052 −0.0000 0.0052 0.0001 0.6065 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0030 0.9992 −0.0078 −0.0000 0.0078 0.0001 −0.0078 −0.0001 0.0078 0.0001 0.5134 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0038 0.9989 −0.0104 −0.0000 0.0104 0.0001 −0.0104 −0.0001 0.0104 0.0002 0.4346 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0044 0.9986 −0.0131 −0.0000 0.0131 0.0001 −0.0131 −0.0002 0.0131 0.0003 0.3679 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0049 0.9983 −0.0157 −0.0001 0.0157 0.0002 −0.0157 −0.0003 0.0157 0.0005 0.3114 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0053 0.9980 −0.0183 −0.0001 0.0183 0.0003 −0.0183 −0.0004 0.0183 0.0006 0.2636 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0057 0.9978 −0.0209 −0.0001 0.0209 0.0003 −0.0209 −0.0006 0.0209 0.0008 0.2231 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0060 0.9975 −0.0235 −0.0001 0.0235 0.0004 −0.0235 −0.0007 0.0235 0.0010]