resumeBarskyBenzaghou. 71KB Jun 04 2011 12:07:06 AM

Journal de Th´

eorie des Nombres

de Bordeaux

16

_{(2004), 1–17}

Nombres de Bell et somme de factorielles

par

Daniel BARSKY

_et

B´

enali BENZAGHOU

R´esum´e. _{Dj. Kurepa a conjectur´e que pour tout nombre} pre-mier impair,p, la sommePp−

1

n=0n! n’est pas divisible parp. Cette

somme est reli´ee aux nombres de Bell qui apparaissent en com-binatoire ´enum´erative. Nous donnons une expression du n-i`eme nombre de Bell modulopcomme la trace de la puissancen-i`eme d’un ´el´ement fixe dans l’extension d’Artin-Schreier de degr´epdu corps premier `ap´el´ements. Cette expression permet de d´emontrer la conjecture de Kurepa en la ramenant `a un probl`eme d’alg`ebre lin´eaire.

Abstract. _{Dj. Kurepa has conjectured that for any odd prime} numberp, the sumPp−

1

n=0n! is not divisible byp. This sum is

rela-ted to the Bell numbers that occur in enumerative combinatorics. We give a formula for then-th Bell number modulopas the trace of then-th power of a fixed element in the Artin-Schreier exten-sion of degreepof the field withpelements. This formula allows us to prove the Kurepa’s conjecture by reducing it to a linear algebra problem.

DanielBarsky

Universit´e Paris 13 Institut Galil´ee

LAGA, URA CNRS n◦₇₄₂ Av J.-B. Cl´ement

F-93430 VILLETANEUSE, France

E-mail:barsky@math.univ-paris13.fr

B´enaliBenzaghou

USTHB

Facult´e de Math´ematiques El Alia BP 32

Bab Ezzouar

1611 ALGER, Alg´erie

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