Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:DM:

Homogeneizaci´

on Peri´

odica de una

Clase de Funcionales No-Coercivos

Periodic Homogenization of a Non-coercive Class of Functionals

Gaetano Tepedino Aranguren

(tepedino@ciens.ula.ve)

Departamento de Matem´aticas Facultad de Ciencias Universidad de Los Andes

M´erida, Venezuela

Resumen

En la pasada d´ecada varios autores demostraron resultados concer-nientes a la Γ-convergencia de familias de funcionales no coercivos de la formaJǫ=

R Ωf(x,

x

ǫ, u(x),∇u(x))dxparaǫ→0, bajo ciertas

condi-ciones enf (ver por ejemplo [4], [3], [1], [5], [6]). Este trabajo usa esos resultados existenciales del Γ-l´ımite para contruir una f´ormula que nos proporciona, mediante un esquema variacional, el c´omputo del mismo cuandof(x, ., u, z) esY-peri´odica. Se estudia primero el casof(x

ǫ,∇u)

para el cual la demostraci´on del caso no coercivo es esencialmente la misma que la del caso coercivo; este ´ultimo est´a presentado en [4]. Del estudio de ese caso se desprenden f´ormulas para el caso general aqu´ı considerado. El trabajo concluye probando que, bajo ciertas condicio-nes especiales parafse tiene que para todo Ω⊂R

N _{abierto y acotado}

y para todau∈W1,p(Ω) se tiene que

J(u) =

Z

Ω

ˆ

f(x, u(x),∇u(x))dx

= Γ(Lp(Ω)) lim

ǫ→0

Z

Ω f(x,x

ǫ, u(x),∇u(x))dx,

donde

ˆ

f(x, u, z) = inf

Z

Y

∼f(x, y, u,∇w(y) +z)dy:w∈Wper1,p(Y)

.

La interpretaci´on f´ısica consiste en que conocida la estructura micros-c´opica de un medio f´ısico descripta porJǫ(u), entoncesJ(u) describir´a las propiedades macrosc´opicas de dicho medio.

Palabras y frases clave: homogeneizaci´on, peri´odica, convexa, Γ-convergencia.

Abstract

During the last decade several authors proved results concerning the Γ-convergence of a class of non-coercive functionals of the form

Jǫ =

R Ωf(x,

x

ǫ, u(x),∇u(x))dxas ǫ→0, under certain conditions on f (see for example [4], [3], [1], [5], [6]). This work uses those Γ-limit existence results to construct a formula which gives that limit when

f(x, ., u, z) is Y-periodic. First the casef(x

ǫ,∇u) is studied, for which

the proof in the non-coercive case is essentially the same as for the coercive case; this last case is presented in [4]. From the study of this case there follow formulae for the general case here considered. The paper ends proving that, under certain special conditions forf, for all Ω⊂R

N _{open and bounded and for allu∈W}1,p_{(Ω), it holds that}

J(u) =

Z

Ω

ˆ

f(x, u(x),∇u(x))dx

= Γ(Lp_{(Ω)) lim} ǫ→0 Z

Ω f(x,x

ǫ, u(x),∇u(x))dx,

where

ˆ

f(x, u, z) = inf

Z

Y

∼f(x, y, u,∇w(y) +z)dy:w∈Wper1,p(Y)

.

The physical interpretation is that, known the microscopic structure of a physical medium described byJǫ(u), thenJ(u) describes the macro-scopic properties of such medium.

Key words and phrases: Homogenization, periodic, convex, Γ-con-vergence.

1

Definiciones y Notaciones

(1.1) (a) Dadox0∈RN,x0= (x01, . . . , x0N), conx0i>0,i∈ {1, . . . , N}, se

denotar´a porY =Y(x0) al rect´angulo abierto:

(b) El volumen o medida de Lebesgue de este paralelep´ıpedo se denotar´a por

|Y|=

N

Y

i=1

x0i=α (1.2)

Por lo tanto,∀δ∈N_{,δY es un paralelep´ıpedo abierto de volumen}

|δY|=δN_|Y|=δN_{α (1.3)}

(c) Una funci´onu:RN _→R_{se diceY-peri´odica si y s´olo si:} (∀x∈RN_{,∀(δ1, δ2, . . . , δN)∈}ZN_{) :}

u(x+ (δ1x01, δ2x02, . . . , δNx0N)) =u(x).

(d) La integral

Z

A

∼f(x)dxes el promedio 1

|A|

Z

A

f(x)dx, donde|A|es el

volumen deA.

(1.2) Dados N ∈ N_{, 1 ≤ p ≤ ∞; a ∈ Lloc}1 ₍RN_{) Y-peri´odica; {gr}r>0 ⊂}

L1

loc(RN), diremos que f ∈ H(N, a, p) si y s´olo si f : RN ×RN → R

satisface las condiciones:

(a1) ∀z∈RN _{:f(·, z) es medible,Y-peri´odica.} (a2) ∀y∈RN _{:f(y,·) es convexa.}

(a3) (i) Si 1≤p <∞, entonces∀y, z∈RN_:

0≤f(y, z)≤a(y) +|z|p (1.4)

(ii) Sip=∞, entonces ∀x, z∈RN_{,∀r >0,|z| ≤r:}

0≤f(y, z)≤gr(y) (1.5)

(1.3) DadosN ∈N_{, 1 ≤p≤ ∞; a ∈ Lloc}1 ₍RN_{) Y-peri´odica; ω :} R+ _→ R+ continua, creciente yω(0) = 0;b:R_→R_{continua;{gr}r>0⊂L}1_loc(RN_), diremos que f ∈ He(N, a, p, ω, b) si y s´olo si f : RN _×RN _×RN _→ R satisface las condiciones:

(b1) ∀y, z∈RN _{:f(·, y, z) es medible.}

(b3) ∀x, y∈RN _{:f(x, y,·) es convexa.} (b4) ∀x1, x2, y, z∈RN:

|f(x1, y, z)−f(x2, y, z)| ≤ω(|x1−x2|) (a(y) +f(x1, y, z)) (1.6)

(b5) ∀x, y, z∈RN _{se tiene}

i) Si 1≤p <∞, entonces:

0≤f(x, y, z)≤b(x) (a(y) +|z|p) (1.7) ii) Sip=∞, entonces si |z| ≤r:

0≤f(x, y, z)≤gr(y)b(x) (1.8)

(1.4) DadosN ∈N_{, 1 ≤p≤ ∞; a ∈ Lloc}1 ₍RN_{) Y-peri´odica; ω :} R+ _→ R+ continua, creciente yω(0) = 0;b:R_→R_{continua;{gr}r>0⊂L}1_loc(RN_), diremos quef ∈ H(N, a, p, ω, b) si y s´olo sif :RN_×RN_×R_×RN _→R satisface las condiciones:

(c1) ∀y, z∈RN_{;∀u∈R:f(·, y, u, z) es medible.}

(c2) ∀x, z∈RN_;∀u∈R_{:f(x,·, u, z) esY-peri´odica, medible,} (c3) ∀y, z∈RN _{:f(·, y,·, z) es continua}

(c4) ∀x, y∈RN_{;∀u∈R:f(x, y, u,·) es convexa.}

(c5) ∀x1, x2, y, z∈RN;∀u1, u2∈R:

|f(x1, y, u1, z)−f(x2, y, u2, z)|

≤ω(|x1−x2| − |u1−u2|) (a(y) +f(x1, y, u1, z)) (1.9)

(c6) (i) Si 1≤p <∞, entonces∀x, y, z∈RN_;∀u∈R_:

0≤f(x, y, u, z)≤b(x) (a(y) +|u|p+|z|p) (1.10)

(ii) Sip=∞, entonces ∀x, y, z∈RN_{;∀u∈R, ∀r >0,|z| ≤r:}

0≤f(x, y, u, z)≤gr(y)b(x) (1.11)

Notar las inmersiones

(1.5) DadoN ∈N_{se denotar´a porA}N _{a la clase de todos los abiertos acotados} deRN_.

(1.6) Si Ω∈ AN _{se denotar´a porA(Ω) a la clase de todos los sub-conjuntos}

abiertosS⊂Ω para los cuales ¯S⊂Ω.

(1.7) Dado el paralelep´ıpedo Y definido en (1.1), C1

per( ¯Y) denotar´a el

con-junto de las funciones u ∈ C1( ¯Y;R_{) que se extienden a todo} RN _via

Y-periodicidad. Es importante observar que

∀u∈Cper1 ( ¯Y) : Z

Y

∇u(x)dx= (0,0, . . . ,0). (1.12)

Esto es una consecuencia del Teorema de la Divergencia de Gauss, del hecho obvio de que la frontera de Y es la uni´on de 2N hiperplanos de dimensi´onN−1 y de la periodicidad de u.

(1.8) Los espaciosW1,p_{(Ω), W}1,p

0 (Ω), Wper1,p(Y), son respectivamente la

com-pletacion de los espaciosC1_{(Ω), C}1

0(Ω), Cper1 (Y), bajo la norma usual:

kuk1,p,Ω=kukp,Ω+k∇ukp,Ω.

(1.9) Trabajaremos con las siguientes m´etricas enC1_(Ω):

dΩ(u, v) = ku−vk_p,Ω+k∇u− ∇vkp,Ω=ku−vk1,p,Ω

σΩ(u, v) = ku−vkp,Ω

τΩ(u, v) =

ku−vk_∞,Ω si sop (u−v)⊂Ω.

+∞ si sop (u−v)6⊂Ω.

Es decir, dΩ es la m´etrica inducida por la norma k · k1,p,Ω y σΩ es la

m´etrica inducida por la norma usual deLp_(Ω).

(1.10) Sea (E, τ) es un espacio topol´ogico el cual satisface el primer axioma de numerabilidad. El concepto de Γ-convergencia es usado en este trabajo en el sentido siguiente: seanA⊂E;S⊂R_{,a∈SyFs:A→}R_,∀s∈S, una familia de funciones. Dadox∈A¯se dice que

λ= Γ(τ) lim

s→aFs(x) (1.13)

(1) ∀{sn} ⊂S consn →ay∀{xn} ⊂A conxn →xse tiene:

λ≤lim inf

n→∞ Fsn(xn) (1.14)

(2) ∀{sn} ⊂S consn →a,∃{xn} ⊂Aconxn→xpara el cual:

λ≥lim sup

n→∞ Fsn(xn) (1.15)

DadosN ∈N_{y Ω∈ A}N_{, el espacio topol´ogico que escogeremos esE=L}p_{(Ω) y}

A=W1,p_{(Ω); donde, si 1≤p <∞entonces escogeremos paraEla topolog´ıa}

inducida por la m´etrica σΩ; y parap=∞, escojeremos paraE la topolog´ıa

inducida por la m´etrica τΩ(definidas en (1.9)).

2

Homogeneizaci´

on en el caso

Z

Ω

f

(

x

ǫ

,

∇

u)

dx

Queremos investigar la Γ-convergencia expl´ıcita de la familia de funcionales:

Jǫ(u) =

Z

Ω

fx ǫ,∇u(x)

dx ,

cuandoǫ→0, siendo f ∈ H(N, a, p).

Definici´on 2.1. Dados N ∈ N_{, 1 ≤ p ≤ ∞; a ∈ L}1

loc(RN) Y-peri´odica;

{gr}r>0 ⊂ L1loc(RN) y f ∈ H(N, a, p), definimos el funcional fe: RN → R

como

e

f(z) = inf

Z

Y

∼f(y,∇u(y) +z)dy : u∈W1,p

per(Y)

. (2.1)

Para cada ǫ > 0, se definen los funcionales Aǫ : RN → R y Bǫ :RN →R

como:

Aǫ(z) = inf

Z

Y

∼f y

ǫ,∇u(y) +z

dy : u∈W₀1,p(Y)

. (2.2)

Bǫ(z) = inf

Z

Y

∼f y

ǫ,∇u(y) +z

dy : u∈W1,p

per(Y)

Se observa que,∀z∈RN_:

e

f(z) =B1(z). (2.4)

Adem´as como toda funci´on de W₀1,p(Y) puede ser extendida a todo RN viaY-periodicidad, entonces

W01,p(Y)֒→Wper1,p(Y)

Demostraci´on: En [1] se demuestra la existencia de una funci´on

b

f :RN_×RN _→R

y de una sucesi´on {hn} ⊂ N mon´otona creciente, tales que ∀Ω ∈ A,∀u ∈

W1,p

per(Ω) se satisfacen los Γ-l´ımites:

Veamos que∀z∈RN _:fb_{(·, z) es constante en casi todas partes. SeaR >0 y}

B =B(θ, R). Usemos la Γ-convergencia mencionada escogiendo Ω =B. Sea

{ǫn} ⊂(0,+∞) conǫn→0 y sea{ǫnk}la subsucesi´on obtenida. Seay∈RN

fijo y escojamos{yk} ⊂RN yzk =

yk

ǫnk

de tal forma que

lim

k→∞yk=y , f(x+zk,·) =f(x,·). (2.8)

Seanrk=R(1−

1

k) yBk=B(θ;rk), entonces

∀k≥2 : Bk ⊂Bk+1 ⊂B. (2.9)

Paraξ∈Rn _sea

u(x) =hξ, xi. (2.10)

Claramente

u∈W1,p_{(B) y ∇u(x) =ξ. (2.11)}

Entonces por definici´on de Γ-convergencia existe{uk} ∈W1,p(B) tal que

limk→∞kuk−ukp,B= 0

y (2.12)

Z

B

˜

f(x,∇u)dx= lim

k→∞

Z

B

f

x ǫnk

,∇uk

dx.

Seaǫ >0, de (2.8) existe υ∈N_{tal que}

∀k≥υ: Bk+yk⊂B+y. (2.13)

De (2.10) y (2.12) obtenemos

Z

B

ˆ

f(x, ξ)dx =

Z

B

ˆ

f(x,∇u(x))dx

= lim

k→∞

Z

B

ˆ

f

_x

ǫnk

,∇uk

dx. (2.14)

Z

Debido a la Γ-convergencia se obtiene :

Z

Usando el teorema de la Convergencia Mon´otona al tomar k → ∞ en (2.18) se obtiene finalmente

Z

ComoB es sim´etrico, entonces de (2.19) se obtiene

En particular, se ha obtenido quefb(·, ξ) es constante en casi todas partes.

Teorema 2.2. ∀z∈RN _{existe el l´ımite}

A(z) = lim

ǫ→0Aǫ(z) (2.22)

Demostraci´on: Parat >0 definamos

b

t=

t, sit∈N [t+ 1], sit6∈N

donde [x] denota la parte entera de x. Sean 0 < t < t+ 1 ≤ s, entonces 0< t≤bt < t+ 1≤s, por lo tanto

0< t≤bt < v≤t+ 1≤s , (2.23)

dondev=

s

bt

b

t. ClaramentetY ⊂btY ⊂vY ⊂(t+ 1)Y ⊂sY, por lo tanto

W01,p(Y)⊂W 1,p

0 (btY)⊂W 1,p

0 (vY), W 1,p

0 (Y)⊂Wper1,p(btY) =Wper1,p(vY),

puesto quebt yvson enteros positivos y toda funci´on deC1

0(Y) se extiende a

todo Rn _{viaY-periodicidad.}

Fijemosz∈RN_{. De (2.2) se obtiene despu´es de un cambio de variable}

A1

t(z) = inf

Z

tY

∼f(x,∇u(x) +z)dx : u∈W01,p(tY)

. (2.24)

Luego, dadoǫ >0 existeuǫ∈W01,p(tY) para el cual Z

tY

∼f (x,∇uǫ(x) +z)dx <

ǫ

3+A1t(z). (2.25)

Sea

e

uǫ(x) =

uǫ(x), x∈tY

0, x∈btY \tY (2.26)

Observamos que_euǫ∈W01,p(tYb ). Comobt∈N, se puede extendereuǫa todo

ee

uǫ(x) =

e

uǫ(x), x∈vY

0, x∈sY \vY (2.27)

Claramente ueeǫ(x) ∈ W01,p(sY) es Y-peri´odica; en consecuencia de (2.2)

inferimos

A1

s(z)≤

Z

sY

∼f x,∇eeuǫ(x) +z

dx. (2.28)

Seaα=|Y |, entonces∀β >0: |βY |=βN_{α. De (2.27) y (2.28) notamos}

que:

A1

s(z) ≤

1

sN_α

Z

vY

f (x,∇ueǫ(x) +z)dx+

Z

sY\vY

f (x, z)dx

= 1

sN_α(I1+I2). (2.29)

ParaI1 hacemos el cambio de variabley=btx:

I1=

v

bt

NZ

b

tY

f

v

b

t,∇euǫ

v

b

ty

+z

dy.

Usando laY-periodicidad def(·, z) y deueǫ:

I1=

v

b

t

NZ

b

tY

f (x,∇ueǫ(x) +z)dx. (2.30)

Donde usando (2.26) obtenemos

Z

b

tY

f (x,∇euǫ(x) +z)dx=

Z

tY

f (x,∇uǫ(x) +z)dx+

Z

tY\btY

f (x, z)dx.

Sustituyendo (2.31) en (2.30) y ´esto a su vez en (2.29) obtenemos:

Usando (2.4) y (2.10) en (2.32) obtenemos

A1

escojamost >0 tal que

A1

finalmente con la desigualdad

Demostraci´on: Fijemosz∈RN_,n∈N_{ygn(z) =B}1

n(z). De (2.3) se tiene

gn(z) =B1

n(z) = inf

Z

Y

∼f (ny,∇u(y) +z)dy : u∈W1,p

per(Y)

.

Luego, dadoǫ >0 existe uǫ∈Wper1,p(Y) para el cual Z

Y

∼f (ny,∇uǫ(y) +z)dy ≤gn(z) +ǫ. (2.36)

Sea β∈Z+N_{, tal que 0≤βi≤n−1,∀i∈ {1, . . . , N}. Definamoseuǫ como}

e

uǫ(x) =

1

nN

X

α∈Z+N

|α|≤|β|

uǫ

x1+

α1

nx0,1, . . . , xN + αN

n x0,n

.

ComouǫesY-peri´odica, entonceseuǫes _n1Y-peri´odica. A su vezfn(x, z) =

f(nx, z) es 1

nY-peri´odica, por lo tanto de (2.36) se concluye :

Z

Y

∼f (nx,∇euǫ(x) +z)dx ≤gn(z) +ǫ. (2.37)

Sea eeuǫ(x) =nu˜ǫ(x/n), entonces eeuǫ ∈ Wper1,p(Y). Por lo tanto un cambi´o

de variable en (2.37) nos proporciona:

Z

Y

f x,∇eeuǫ(x) +z

dx ≤gn(z) +ǫ. (2.38)

Por otro lado de (2.3) tenemos que

B1(z)≤ Z

Y

∼f x,∇eeuǫ(x) +z

dx. (2.39)

De (2.38) y (2.39) obtenemosB1(z)≤B1

n(z) +ǫ. Comoǫes arbitrario, se

concluye entonces:

∀z∈RN _{: B1(z)≤B}1

Por otro lado, dadoǫ >0 usando (2.3) existeuǫ∈Wper1,p(Y) para el cual

Z

Y

∼f (x,∇uǫ(x) +z)dx ≤B1(z) +ǫ. (2.41)

Seaueǫ(x) = _n1uǫ(nx),∀x∈ _n1Y. Entonceseuǫ∈Wper1,p n1Y

, por lo tanto

B1

n(z)≤

Z

Y

∼f (nx,∇ueǫ(x) +z)dx=

Z

Y

∼f (x,∇uǫ(x) +z)dx. (2.42)

De (2.41) y (2.42) se infiereB1

n(z)≤B1(z) +ǫ. Peroǫ >0 es arbitrario,

entonces:

∀z∈RN _{: B}1

n(z)≤B1(z). (2.43)

De (2.40) y (2.42) se infiere finalmente (2.35).

Teorema 2.4.

∀z∈RN _:fb_(z)≤fe_{(z) =B1(z) (2.44)}

Demostraci´on: De (2.1) y (2.3) se tiene quefe(z) =B1(z). Por lo tanto s´olo

debemos demostrarfb(z)≤B1(z). De (2.3), dado ǫ >0 existeuǫ∈W1,p(Y),

Y-peri´odica, para la cual

Z

Y

∼f (x,∇uǫ(x) +z)dx ≤B1(x) +ǫ. (2.45)

Claramente podemos extender uǫ a todoRN viaY-periodicidad. Dado z ∈

RN_{, definimoszb:}RN _→R_{comozb(x) =hz, xi. Seabuǫ(x) =zb(x) +ǫuǫ(x/ǫ),} entonces claramente

b

uǫ∈W1,p(Y) y lim

ǫ→0kbuǫ−zbkp,Y = 0. (2.46)

De (2.3), (2.4) y 2.1 se tiene que, al ser∇zb=z:

|Y|fb(z) = Γ(σΩ) lim

n→∞

Z

Y

f

x ǫhn

, z

Luego por definici´on de Γ-convergencia se tiene

Al cambiar variables y usar la Y-periodicidad def obtenemos:

b

Reemplazando (2.45) en (2.49) resulta

b

f(z)≤B1(z) +ǫ.

Comoǫ >0 es arbitrario, se infiere finalmente (2.44).

Teorema 2.5. ∀z∈RN_:

e

f(z) =B1(z) =A(z) = lim

ǫ→0Bǫ(z) (2.50)

Demostraci´on: Fijemos z ∈ RN_{. De (2.1) y la definici´on de}

Γ-conver-gencia, dado que la funci´on nula pertenece a W1,p_{(Y), resulta que existe}

Sea En={x∈Y :un(x)6=vn(x)}. Comokun−vnkp,Y →0, entonces

lim

n→∞|En|= 0. (2.53)

Por otro lado

Z

Y

f(y,∇vn(y) +z)dy=

Z

Y\En

f(y,∇vn(y) +z)dy+

Z

En

f(y,∇vn(y) +z)dy

=

Z

Y\En

f(y,∇un(y) +z)dy+

Z

{x:vn(x)=v(x)}

f(y,∇v(y) +z)dy

+

Z

{x:vn(x)=−v(x)}

f(y,−∇v(y) +z)dy.

Usando (2.4) y la desigualdad cl´asica (|a|+|b|)p≤2p−1 _(|a|p₊

|b|p) para

p≥1, se obtiene

Z

Y

f (y,∇vn(y) +z)dy≤

Z

Y

f (y,∇un(y) +z)dy

+

Z

En

(a(y) + 2p_(|∇v|p

+|z|p))dy.

(2.54)

De (2.51), (2.53) y (2.54) obtenemos

lim sup

n→∞

Z

Y

∼f (y,∇vn(y) +z)dy≤fb(z). (2.55)

Usando (2.5) se obtiene

lim sup

n→∞ Bǫhn((z)≤lim supn→∞ Aǫhn(z). (2.56)

De (2.51, (2.53) y (2.54) inferimos:

lim sup

n→∞ Aǫhn(z)≤

b

Juntando (2.51), (2.44) del 2.4 y (2.57) se deduce finalmente:

lim sup

n→∞

Bǫhn(z)≤lim sup

n→∞

Aǫhn(z)≤fb(z)≤B1(z). (2.58)

Por otro lado usando (2.35) del Teorema 2.3 se obtienen:

b

f(z) =B1(z)≤ lim

n→∞B1n(z)≤lim sup_n

→∞ B

1

n(z)≤ǫlim→∞Bǫ(z). (2.59)

De (2.58) y (2.59) se concluye (2.50).

Observaci´on: En los teoremas anteriores no s´olo se evidencia quefb=fe, si no a su vez que la Γ-convergencia es independiente de la sucesi´on {ǫn}

escogida, por lo tanto se concluye con el siguiente resultado.

Teorema 2.6. . Dados N ∈ N_{, 1 ≤ p ≤ ∞; a ∈ L}1

loc(RN) Y-peri´odica;

{gr}r>0 ⊂ L1loc(RN) ; f : RN ×RN → R la cual satisface las condiciones

(a1)-(a3).

Entonces∀Ω∈ AN_,∀u∈W1,p_(Ω):

Z

Y

˜

f (∇u)dx = Γ (σΩ) lim

ǫ→0 Z

Y

˜

f x

ǫ,∇u(x)

dx

= Γ (τΩ) lim

ǫ→0 Z

Y

f x

ǫ,∇u(x)

dx, (2.60)

donde fe:RN _→R_{es la funci´on convexa definida por (2.1).}

Demostraci´on: Consecuencia del Teorema 2.1, junto con los Teoremas 2.2 a 2.5, los cuales manifiestan la independencia del Γ-l´ımite de la sucesi´onǫn.

3

Homogeneizaci´

on en el caso

Z

Ω

f

(x,

x

ǫ

,

∇

u)

dx

En esta secci´on se dar´a una f´ormula expl´ıcita para la Γ-convergencia de la familia de funcionales:

Jǫ(u) =

Z

Y

f x,x

ǫ,∇u(x)

cuandoǫ→0, dondef ∈He(N, a, p, b, ω).

Dados N ∈ N_{, 1 ≤ p ≤ ∞; a ∈ Lloc}1 ₍RN_{) Y-peri´odica; ω :} R+ _→ R+ continua, creciente, con ω(0) = 0;b:R_→R_{continua;{gr}r>0⊂L}1_loc(RN_). Sea f ∈He(N, a, p, b, ω).

Bajo tales condiciones definimos fe:RN _×RN _→R_como:

e

f(x, z) = inf

Z

Y

∼f(x, y,∇u(y) +z)dy : u∈W1,p

per(Y)

. (3.1)

Sean N ∈ N _{y Ω ∈ A}N_{. Para cada k ∈} N_{, consideramos las siguientes} coberturas abiertas de Ω, definidas como

Lk=

Ω∩

N

Y

j=1

αj2−k,(αj+ 1) 2−k : (α1, . . . , αN)∈Z+ N

. (3.2)

Como ¯Ω es compacto, para cadak∈N_existeb_k∈N_{tal que}

Ω⊂Ω¯ ⊂ b

k

[

i=1

Ak,i, ∀k∈N. (3.3)

Escojemos puntos

xk,i ∈Ak,i, ∀k∈N, ∀i∈ {1, . . . ,bk}. (3.4)

Definimos las funci´onesSk :RN ×RN ×RN →Rcomo:

Sk(x, y, z) =

b

k

X

i=1

χ(Ak,i) (x)f(xk,i, y, z), (3.5)

dondeχ(Ak,i) (x) =

1, si x∈Ak,i

0, si x /∈Ak,i. .

Teorema 3.1. Sif ∈ H(N, a, p, b, ω)y {ǫn} ⊂(0,∞)con ǫn→ 0, entonces

existen{hn} ⊂Nmon´otona creciente yfb:RN×RN →Rtales que∀Ω∈ AN,

∀u∈W1,p_(Ω):

Z

Y

b

f (x,∇u(x))dx= Γ (σΩ) lim

n→∞

Z

Y

f

x, x ǫhn

,∇u(x)

dx

= Γ (τΩ) lim

n→∞

Z

Ω

f

x, x ǫhn

,∇u(x)

Demostraci´on: Est´a demostrado en el art´ıculo [1] sobre la Γ-convergencia, al tomarfǫ(x, z) =f x,x_ǫ, z

.

Teorema 3.2.

∀y, z∈RN _{:Sk(·, y, z)converge uniformemente sobreΩaf(·, y, z) (3.7)}

Demostraci´on: S´olo se mostrara el caso 1≤p <∞, pues el casop=∞es similar.

De (3.3), (3.4) y (3.5) tenemos que:

sup

x∈Ω|

Sk(x, y, z)−f(x, y, z)|= sup

1≤i≤bk

sup

x∈Ak,i

|Sk(xk,i, y, z)−f(x, y, z)|.

(3.8)

Usando (1.7) y (3.5) en (3.8) se obtiene

(3.8)≤ sup

1≤i≤bk

sup

x∈Ak,i

ω(|x−xk,i|) (a|y|+|z|p)

kbk_∞,Ω¯+ 1

. (3.9)

Pero de (3.2) y de los hechos; ω : R+ _→ R+ _{continua, creciente, con}

ω(0) = 0 se concluye finalmente:

(3.9)≤ sup

1≤i≤b

k

sup

x∈Ak,i

sup

t∈[0,√n2−k_]

ω(t) (a|y|+|z|p)kbk_∞,Ω¯+ 1

. (3.10)

En conclusi´on se infiere

sup

x∈Ω|

Sk(x, y, z)−f(x, y, z)| ≤0,

lo cual implica (3.7).

Teorema 3.3. ∀k∈N_,∀u∈W1.p_(Ω):

Z

Y

b

k

X

i=1

χ(Ak,i) (x)fe(xk,i,∇u(x))dx

= Γ (σΩ) limǫ→0R

Y

Sk x,x_ǫ,∇u(x)

dx

= Γ (τΩ) limǫ→0R Ω

Sk x,x_ǫ,∇u(x)

dx (3.11)

Demostraci´on: Para cada k ∈ N_{, la funci´on Sk satisface las hip´otesis del} Usando (3.12) podemos escribir:

Z

Reemplazando (3.5) en (3.14) obtenemos:

Z

Ak,i

ˆ

f (x,∇u(x))dx = Γ σAk,i

lim

ǫ→0 Z

Ak,i

fk,i

_y

ǫ,∇u(y)

dy

= Γ (τAk,i) lim ǫ→0

Z

Ak,i

fk,i

_y

ǫ,∇u(y)

dy

=

Z

Ak,i

˜

fk,i(∇u(y))dy. (3.16)

De donde, seg´un (2.1),∀z∈RN_:

˜

fk,i(z) = inf

Z

Y

∼fk,i(y,∇u(y) +z)dy : u∈Wper1,p(Y)

= inf

Z

Y

∼f(xk,i, y,∇u(y) +z)dy : u∈Wper1,p(Y)

. (3.17)

Comparando (3.17) con (3.1) resulta que:

˜

fk,i(z) = ˜f(xk,i, z). (3.18)

De (3.16) y (3.13) se concluye que

Z

Ak,i

ˆ

f (x,∇u(x))dx=

Z

Ak,i

˜

f (xk,i,∇u(x))dx. (3.19)

As´ı (3.19) demuestra (3.13), ∀k ∈ N_{, ∀i ∈ {1, . . . ,}ˆ_{k} y ∀ ∈ W}1,p_(Ak,i); en consecuencia esto hace que los l´ımites (3.12) sean independientes de la suceci´on{ǫn}, lo cual demuestra finalmente (3.11).

Teorema 3.4. Dadas las funcionesf ∈H˜(N, a, p, b, ω)yf˜:RN_×RN _→RN

definida por (3.1), entonces f˜satisface:

(1) ∀x1, x2, z∈RN:

f˜(x1, z)−f˜(x2, z)

≤ω(|x1−x2)|) Z

Y

∼a(y)dy+ ˆf(x1, z)

(2) (i) Si1≤p <∞, entonces ∀x, z∈RN_:

0≤f˜(x, z)≤b(x) Z

Y

∼a(y)dy+|z|p (3.21)

(ii) Sip=∞, entonces ∀r >0,∃γr∈Rtal que:

∀x, z∈RN _{, |z| ≤r: 0≤f}˜_{(x, z)≤b(x)γr (3.22)}

Demostraci´on: Como la funci´on nula pertenece aW1,p

per(Y), entonces de (3.1)

se obtiene

0≤f˜(x, z)≤

Z

Y

∼f(x, y, z)dy. (3.23)

Si 1≤p <∞, usamos (1.7) en (3.23) para obtener:

0≤f˜(x, z)≤b(x) Z

Y

∼a(y)dy+|z|p.

Esto demuestra (3.21) para el caso 1≤ ∞.

Sip=∞, usamos (1.8) en (3.23) para obtener:

0≤f˜(x, z)≤

Z

Y

∼gr(y)b(x)dy=b(x)γr.

Esto demuestra (3.22) para el casop=∞.

Sean x1,x2, z ∈ RN. Dado ǫ > 0, por la definici´on (3.1) existir´a u ∈

W1,p

per(Y) tal que Z

Y

∼f(x1, y,∇u(y) +z)dy≤f˜(x1, z) +ǫ. (3.24)

Del mismo (3.1), dado esteu: ˜

f(x2, z) ≤ Z

Y

∼f(x2, y,∇u(y) +z)dy

=

Z

Y

∼[f(x2, y,∇u(y) +z)−f(x1, y,∇u(y) +z)]dy+

+

Z

Y

Usando (2.6) del teorema 2.1 y (3.24) en (3.25) se observa:

˜

f(x2, z) ≤ ω(|x2−x1|) Z

Y

∼[a(y) +f(x1, y,∇u(y) +z)]dy+ ˆf(x1, z) +ǫ

≤ fˆ(x1, z) +ω(|x2−x1|) ˆf(x1, z) +ω(|x2−x1|)ǫ

+ω(|x2−x1|) Z

Y

∼a(y)dy+ǫ.

Comoǫes arbitrario, se intercambian los roles dex1,x2 y queda demostrado

(3.20).

Teorema 3.5. Dados N ∈ N_{; 1 ≤ p ≤ ∞; a ∈ L}1

loc RN

es Y-peri´odica;

{gr}_r>0⊂L1loc RN

y f ∈H˜(N, a, p, b, ω).

Si f˜:RN _×RN _{→Rse define como en (3.1), entonces}

∀Ω∈ AN_,∀u∈W1,p_(Ω):

Z

Ω

˜

f (x,∇u(x))dx = Γ (σΩ) lim

ǫ→0 Z

Ω

f x,x

ǫ,∇u(x)

dx

= Γ (τΩ) lim

ǫ→0 Z

Ω

f x,x

ǫ,∇u(x)

dx (3.26)

Demostraci´on: Consideremos la familia de funcionales definidos para cada

ǫ >0 como:

Fǫ(Ω, u) =

Z

Ω

f (x,∇u(x))dx ,

donde fǫ(x, z) = f x,xǫ, z

. El teorema 3.1 y (3.6) nos proporcionan la existencia de una sucesi´on estrictamente creciente{hn} ⊂Ny de un funcional

F∞(Ω, u) tales que∀Ω∈ AN,∀u∈W1,p(Ω):

F_∞(Ω, u) = Γ (σΩ) lim

n→∞

Z

Ω

fǫhn (x,∇u(x))dx

= Γ (τΩ) lim

n→∞

Z

Ω

Fijemos Ω∈ AN _{y definamos paraǫ >0,k∈N:}

De (3.11), (3.30) y (3.31) finalmente se obtiene:

F∞(Ω, u) =

Z

Ω

˜

4

Homogeneizaci´

on en el caso

Z

Ω

f

(x,

x

ǫ

, u,

∇

u)dx

Ahora deseamos dar una f´ormula expl´ıcita para el operador de Γ-convergencia para la familia de funcionales:

Jǫ(u) =

Demostraci´on: Ver [1].

donde fˆ:RN _×R_×RN _→R_{est´a dada por (4.1).}

Demostraci´on: Consideremos el funcional:

F(Ω, u) =

donde, seg´un (3.1):

˜ Luego haciendo los reemplazos

˜

Agradecimientos

Con verdadero agradecimiento: (a) al Prof. Robert Kohn del Courant Institu-te of Mathematical Sciences, por haberme motivado al estudio de la Homoge-neizaci´on Matem´atica iniciado con las aplicaciones de esta teor´ıa a la Ciencia de los Materiales; (b) al colega Prof. Diomedes B´arcenas por sus valiosos comentarios al revisar una versi´on preliminar de este trabajo; (c) al Comit´e Organizador de las XI-Jornadas de Matem´aticas realizadas en la Universidad de Oriente y en especial a los profesores Ra´ul Naulin y Jackes Laforgue, por haberme brindado la oportunidad de participar y exponer este trabajo en Cuman´a; (d) a la Biblioteca de la Universidad de los Andes, por haberme facilitado la bibliograf´ıa necesaria para el estudio de los casos coercivos y de la teor´ıa de Γ-convergencia.

Referencias

[1] Buttazzo, G., Dal Maso, G., Γ-limits of integral functionals, Ann. di Mat. Pura e Applicata, (4),122(1979), 1–60.

[2] Giaquinta, M., Modica, G.,Remarks on the regularity of the minimizers of certain degenerate functionals, Manuscripta Math.,57(1986), 55–99.

[3] De Giorgi, E., Dal Maso, G., Γ-convergence and calculus of variations, Proc. Meeting on Mathematical Theory of Optimization, Santa Marghe-rita, Ligure, 1981.

[4] Marcellini, P.,Periodic Solutions and Homogenization of Nonlinear Va-riational Problems, Ann. di Mat. Pura e Applicata, (4), CXVII (1978), 139–152.

[5] Marcellini, P., Sbordone, C.Sur quelques questions de G-convergence et d’homog´eneisation non lin´eaire, C. R. Acad. Sc. Paris,284(1977), 535– 537.

[6] Dal Maso, G., An Introduction to Γ-convergence, Birkh¨auser, Boston, 1993.