INTERVAL KREDIBEL BAYESIAN OBYEKTIF
DARI PARAMETER POPULASI BERDISTRIBUSI POISSON
DAN EKSPONENSIAL
Adi Setiawan
Program Studi Matematika Industri dan Statistika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana JlDiponegoro 52-60 Salatiga 50711, Indonesia
Email korespondensi : adi_setia_03@yahoo.com
ABSTRAK
Metode statistik Bayesian obyektif mendasarkan pada pemilihan prior dan fungsi kerugian tertentu sehingga menghasilkan estimasi interval (kredibel) yang hanya tergantung pada data dan populasi anggapan. Dalam makalah ini akan dijelaskan penentuan interval kredibel bayesian obyektif dari parameter bila sampel dianggap berasal dari populasi yang berdistribusi Poisson atau yang berdistribusi eksponensial.
Keywords:priorJeffry,loss function,distribusiposterior, intrinsic discrepancy loss function, credible intervalBayesian obyektif.
PENDAHULUAN
Interval kredibel (credible interval) telah dijelaskan dalam makalah Setiawan (2009) pada kasus distribusi Bernoulli. Dalam makalah ini akan dijelaskan untuk kasus distribusi Poisson dan distribusi eksponensial.
DASAR TEORI
Dalam pandangan Bayesian, distribusi posterior merupakan gabungan dari informasi yang disediakan oleh data dan informasi prior relevan yang tersedia. Akan tetapi apabila tidak tersedia informasi prior maka dipilih fungsi uninformative prior artinya fungsi prior yang berpengaruh minimum pada fungsi posterior. Reference prior dapat digunakan sebagai prior
yang berpengaruh minimal pada distribusi posterior. Dalam kasus dimensi satu,reference prior
merupakan prior Jeffry. Dengan menggunakan prior ini maka penyelesaian masalah estimasi hanya tergantung pada model anggapan dan data pengamatan sehingga estimasi titik yang menggunakan metode ini dinamakan sebagai estimasi titik Bayesian obyektif.
Misalkan sampelx= (x1,x2, ...,xn) terdiri dari pengamatan dari
}
,
,
),
,
|
(
{
p
x
x
X
M
dan misalkan x{0,(,)} adalah fungsi kerugian diskrepansi intrinsik (intrinsic discrepancy
loss) yang diderita jika 0 digunakan sebagai proxy untuk . Dalam hal ini parameter
merupakan parameternuisance. Estimasi (titik) intrinsik untuk parameteradalah
) | ( min arg ) (
* x d i x
i
yaitu adalah nilai parameter yang meminimalkan harapan fungsi kerugian diskrepansi intrinsik darireference posterior yaitud(i|x) dengan
x
x
d
d
d
(
i|
)
x{
i,
(
,
)
}
(
,
|
)
, (1)),
(
)
|
(
)
,
|
(
)
|
,
(
x
p
x
Interval kredibel intrinsik (intrinsic credible region) didefinisikan sebagai interval kredibel yang mempunyailowest posterior lossyang berkaitan dengan penggunaan fungsi kerugianposterior
terkecil deskrepansi intrinsik danreference prioryang bersesuaian.
Interval kredibel intrinsik 100q% (q-credible region intrinsic) adalah himpunan bagian
R*q=R*q(x,) dari ruang parametersehingga memenuhi
(i)
q R
q
d
x
*)
|
(
,(ii) untuk setiap iR*qdan untuk setiap jR*q intrinsik statistiknya mempunyai sifat
d(i |x) d(j |x),
dengand(i |x) adalah harapan fungsi kerugianreference posteriorsebagai proxyuntuk nilai
dari parameter yang diberikan pada persamaan (1) (Bernardo, 2005). Persamaan (1) mempunyai bentuk yang perhitungannya secara analitik tidaklah mudah namun dengan menggunakan integrasi numerik, hal itu dengan mudah dapat dilakukan.
Populasi Poisson
Misalkan dimiliki sampel x1, x2, ...., xn dari populasi berdistribusi Poisson dengan fungsi
probabilitas (probability function)
!
)
|
(
x
e
x
f
x
untuk x= 0, 1, 2, ... dan > 0. Deskrepansi intrinsik dari distribusi eksponensial adalah
]
)
|
(
,
)
|
(
[
min
)
,
(
0
0
0
x
n
dengan
0 1 2 2 2 1)
|
(
)
|
(
ln
)
|
(
)
|
(
x
f
x
x
f
x
f
0 1 2 2!
!
ln
!
1 2 2 x x x x xx
e
x
e
x
e
0 ) ( 1 22 2 1
2 ln ! x x x e x
e
0 2 1 2 0 1 2 2!
)
(
ln
!
2 2 x x x xx
e
x
e
x
ln
(
)
1 2 1
2
2
= 1 2 2 2 1 ln .Karena fungsi kepadatan probabilitasxadalah
!
)
|
(
x
e
x
f
x
maka)
!
ln(
ln
)
|
(
ln
f
x
x
x
u
dan
2 2 2
x
u
.Akibatnya informasi Fisher yang diperoleh adalah
)
[
]
[
]
[
]
1
(
2 2 2 22
E
u
E
X
E
X
I
dan di samping itureference priordari parameteradalah() = -1/2. Fungsi likelihood dari sampelx1,x2, ....,xnadalah
n
i i i
n x i
x n
i
i
x e
x e x
f
L i i
i
1
1 !
1 !
) |
(
.Hal itu berarti bahwa
t nn L e
x
x1,...., ) ( ) (1/2)1
| (
sehinggareference posterioryang terkait adalah
)
),
2
/
1
(
|
(
)
....,
,
|
(
x
1x
n
Gamma
t
n
dengan
n ii
x
t
1
. Akibatnya diperoleh statistik intrinsik
0 0 01
0
|
,
....,
)
(
|
,
)
(
,
)
(
|
(
1
/
2
),
)
(
x
x
d
t
n
n
Gamma
t
n
d
d
n x .Populasi Eksponensial
Misalkan dimiliki sampel x1, x2, ...., xn dari populasi berdistribusi eksponensial dengan fungsi
kepadatan probabilitas (probability density function) x
e
x
f
(
|
)
untukx> 0 dan> 0. Dalam hal ini, deskrepansi intrinsik dari distribusi eksponensial adalah
]
)
|
(
,
)
|
(
[
min
)
,
(
0
0
0
x
n
dengan
dx
x
f
x
f
x
f
)
|
(
)
|
(
ln
)
|
(
)
|
(
1 2
0 2
2
1
=
2 1
2 1
ln 1
.
Dapat dibuktikan bahwa reference prior dari parameter yang menjadi perhatian adalah
() =-1 danreference posterioryang terkait adalah
nt n
n Gamma n t e
x
x1,...., ) ( | , ) 1
|
(
.Akibatnya, diperoleh statistik intrinsik
0 0 01
0
|
,
....,
)
(
|
,
)
(
,
)
(
|
,
)
(
x
x
d
t
n
n
Gamma
n
t
d
d
n xdengan
n ii
x
t
1
(Bernardo, 2009).
HASIL DAN DISKUSI
Kasus Distribusi Poisson
menghasilkan MLE yang sama untuk parameter yaitu 0,4 beserta dengan interval kredibel 95 % untuk parameter. Hal itu berarti lebar interval kredibel 95 % untuk masing-masing kasus berurut-turut adalah 0,749, 0,351, 0,249, dan 0,111. Demikian juga, pada Gambar 2 diberikan gambar yang merupakan hasil perhitungan intrinsik statistik yang menghasilkan MLE untuk parameter yaitu 5. Lebar interval kredibel 95 % untuk masing-masing kasus berurut-turut adalah 1,727, 0,782, 0,554 dan 0,248. Akibatnya seperti yang diharapkan, makin besar ukuran sampelnakan makin sempit interval kredibel yang diperoleh.
Gambar 1. Statistik intrinsik untuk tiap-tiap kemungkinan dan interval kredibel yang diperoleh jika diberikanndantuntuk masing-masing kemungkinan. Dalam hal ini semuanya mempunyai MLE = 0,4.
Gambar 2. Statistik intrinsik untuk tiap-tiap kemungkinan dan interval kredibel yang diperoleh jika diberikanndantuntuk masing-masing kemungkinan. Dalam hal ini semuanya mempunyai MLE = 2.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
5
1
5
2
5
3
5
(a) n=10, t=4, interval kredibel : ( 0,091 , 0,840)
theta
in
tr
in
s
ic
s
ta
ti
s
ti
c
s
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
5
0
1
0
0
1
5
0
(b) n=50, t=20, interval kredibel : ( 0,246, 0,597)
theta
in
tr
in
s
ic
s
ta
ti
s
ti
c
s
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
1
0
0
2
0
0
3
0
0
(c) n=100, t=40, interval kredibel : ( 0,286 , 0,535 )
theta
in
tr
in
s
ic
s
ta
ti
s
ti
c
s
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
5
0
0
1
0
0
0
1
5
0
0
(d) n=500, t=200, interval kredibel : ( 0,346 , 0,457)
theta
in
tr
in
s
ic
s
ta
ti
s
ti
c
s
0 1 2 3 4
0
5
1
0
1
5
2
0
(a) n=10, t=20, interval kredibel : (1,172 , 2,899)
theta
in
tr
in
s
ic
s
ta
ti
s
ti
c
s
0 1 2 3 4
0
2
0
4
0
6
0
8
0
(b) n=50, t=100, interval kredibel : (1,621 , 2,403)
theta
in
tr
in
s
ic
s
ta
ti
s
ti
c
s
0 1 2 3 4
0
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
(c) n=100, t=200, interval kredibel : (1,728 , 2,282)
theta
in
tr
in
s
ic
s
ta
ti
s
ti
c
s
0 1 2 3 4
0
2
0
0
6
0
0
1
0
0
0
(d) n=500, t=1000, interval kredibel : (1,876 , 2,124)
theta
in
tr
in
s
ic
s
ta
ti
s
ti
c
[image:4.595.86.495.493.739.2]Kasus Distribusi Eksponensial
[image:5.595.89.499.246.459.2]Untuk ukuran sampel n dan statistik cukup tyang diberikan, dengan sampel dianggap berasal dari populasi eksponensial maka dapat ditentukan interval kredibel untuk parameter . Pada Gambar 3 menyatakan hasil perhitungan intrinsik statistik jika diberikan beberapa nilai ndant
[image:5.595.86.503.492.757.2]yang menghasilkan MLE yang sama untuk parameter yaitu 2. Hal itu berarti lebar interval kredibel 95 % untuk masing-masing kasus berurut-turut adalah 2,57, 1,25, 0,88, dan 0,62 Demikian juga, pada Gambar 4 diberikan gambar yang merupakan hasil perhitungan intrinsik statistik yang menghasilkan MLE untuk parameter yaitu 5. Lebar interval kredibel 95 % untuk masing-masing kasus berurut-turut adalah 6,41, 3,12, 2,2 dan 1,55. Dalam kasus ini juga berlaku sifat bahwa makin besar ukuran sampelnakan makin sempit interval kredibel yang diperoleh.
Gambar 3. Statistik intrinsik untuk tiap-tiap kemungkinan dan interval kredibel yang diperoleh jika diberikanndantuntuk masing-masing kemungkinan. Dalam hal ini semuanya mempunyai MLE = 2.
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
(a) n=10, t=5 sehingga interval kredibel : (1,01, 3.58)
Theta
In
tr
in
s
ik
S
ta
ti
s
ti
k
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
(b) n=40, t=20 sehingga interval kredibel : (1,44, 2.69)
Theta
In
tr
in
s
ik
S
ta
ti
s
ti
k
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
(c) n=80, t=40 sehingga interval kredibel : (1,59, 2.47)
Theta
In
tr
in
s
ik
S
ta
ti
s
ti
k
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
(d) n=160, t=80 sehingga interval kredibel : (1,70, 2.32)
Theta
In
tr
in
s
ik
S
ta
ti
s
ti
k
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
(a) n=10, t=2 sehingga interval kredibel : (2,51 , 8,92)
Theta
In
tr
in
s
ik
S
ta
ti
s
ti
k
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
(b) n=40, t=8 sehingga interval kredibel : (3,61 , 6,73)
Theta
In
tr
in
s
ik
S
ta
ti
s
ti
k
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
(c) n=80, t=16 sehingga interval kredibel : (3,98 , 6,18)
Theta
In
tr
in
s
ik
S
ta
ti
s
ti
k
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
(d) n=160, t=32 sehingga interval kredibel : (4,26 , 5,81)
Theta
In
tr
in
s
ik
S
ta
ti
s
ti
Gambar 4. Statistik intrinsik untuk tiap-tiap kemungkinan dan interval kredibel yang diperoleh jika diberikanndantuntuk masing-masing kemungkinan. Dalam hal ini semuanya mempunyai MLE = 5.
KESIMPULAN
Interval kredibel dengan metode Bayesian obyektif dapat ditentukan untuk parameter populasi bila sampel dianggap berasal dari populasu yang berdistribusi Poisson atau yang berdistribusi eksponensial. Penelitian ini dapat juga dikembangkan untuk kasus distribusi-distribusi populasi yang lain maupun sifat asimptotiknya.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bernardo, J. M. (2005) Intrinsic Credible Regions : An objective Bayesian Approach to Interval Estimation,Test14 , 2:317-384.
[2] Bernardo, J. M. dan M. A. Juarez ( 2003 ) Intrinsic Estimation, Bayesian Statistics 7, Oxford : University Press.
