Transformasi Laplace
Sudaryatno SudirhamKebanyakan gejala alam adalah fungsi waktu, f(t). Perhitungan-perhitungan mengenai gejala ini akan sangat dipermudah jika gejala alam ini dinyatakan dalam peubah lain yang bukan waktu. Perubahan pernyataan suatu fungsi waktu, t, ke dalam peubah lain kita sebut transformasi. Berikut ini kita akan mempelajari salah satu cara transformasi yang disebut Transformasi Laplace, yang secara matematis didefinisikan sebagai suatu integral
∫
∞ − = 0 ( ) ) (s f t e stdt F (1)Dengan integrasi ini, suatu fungsi yang semula merupakan fungsi t akan berubah menjadi fungsi s. Kita mengolah fungsi s ini untuk mendapatkan suatu solusi, dan kita katakan bahwa kita bekerja di kawasan s. Jika kita menginginkan solusi dalam fungsi waktu maka kita melakukan transformasi balik dari fungsi s ke fungsi t.
Peubah s adalah peubah kompleks, s = σ + jω. Jadi hasil dari transformasi Laplace pada umumnya merupakan fungsi kompleks. Dalam definisi (1), batas bawah integrasi adalah nol. Hal ini berarti bahwa dalam memanfaatkan transformasi Laplace kita hanya meninjau fungsi-fungsi yang mulai muncul pada t = 0.
Transformasi Laplace Fungsi-Fungsi
Melalui transformasi Laplace kita menyatakan suatu fungsi yang semula dinyatakan sebagai fungsi waktu, t, menjadi suatu fungsi s di mana s adalah peubah baru yang berupa peubah kompleks. Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t) didefinisikan seperti dinyatakan oleh (1) yang dituliskan dengan notasi :
∫
∞ − = = 0 ( ) ) ( )] ( [f t F s f t e stdtL
(2)Dengan mengikuti langsung definisinya, kita dapat mencari transformasi Laplace dari suatu f(t) yaitu F(s), yang kita sebut pernyataan fungsi f(t) di kawasan s.
Pernyataan Fungsi Anak Tangga di Kawasan s. Fungsi anak tangga di kawasan t
adalah v(t)=Au(t). Fungsi ini bernilai nol untuk t < 0, dan bernilai A untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace dari fungsi ini adalah
∞ ω + σ − ∞ − ∞ − ω + σ − = = =
∫
∫
0 ) ( 0 0 ( ) ] [ j Ae dt Ae dt e t Au Au(t) t j st stL
Batas atas integrasi ini, dengan s > 0, memberikan nilai 0, sedangkan batas bawah memberikan nilai A/s. Jadi s A t Au()]= [
L
(3)Pernyataan Fungsi Eksponensial di Kawasan s . Fungsi eksponensial di kawasan waktu dengan nilai puncak Aadalah v(t) = Ae−atu(t). Transformasi Laplace fungsi eksponensial ini adalah ∞ + − ∞ − + ∞ − − + − = = =
∫
∫
0 ) ( 0 ) ( 0 () )] ( [ a s Ae Ae dt e t u e A t u Ae t a s t a s st -at atL
Dengan a > 0, batas atas memberikan nilai 0 sedangkan batas bawah memberikan A/(s+a).
Jadi a s A t u Ae at + = − ()] [
L
(4)Fungsi Trigonometri di Kawasan s. Di kawasan waktu, pernyataan fungsi cosinus dengan amplitudo A dan yang mulai muncul pada t = 0 adalah v(t)= (A cos ωt) u(t). Transformasi Laplace fungsi ini adalah
[
A ωt u t]
=∫
∞ A ωt u t e−stdt=∫
∞ A ωt e−stdt 0 0 ( cos ) ( ) ( cos ) ) ( ) cos (L
Dengan memanfaatkan hubungan Euler, yaitu cosω=(ejωt +e−jωt)/2 , ruas kanan persamaan di atas menjadi
2 2 ) ( 0 ) ( 0 0 2 2 2 ω + = + = + − ∞ ω− ∞ − ω− ∞ ω − ω
∫
∫
∫
s As dt e A dt e A dt e e e A st j st j st t j t j Jadi[
]
2 2 ) ( ) cos ( ω + = ω s s A t u t AL
(5)Dengan cara yang sama, diperoleh
[
( sin ) ( )]
2 2 ω + ω = ω s A t u t AL
(6)Tabel Transformasi Laplace
Transformasi Laplace dari fungsi anak tangga, eksponensial, dan trigonometri di atas merupakan contoh bagaimana suatu transformasi dilakukan. Kita lihat bahwa amplitudo sinyal, A, selalu muncul sebagai faktor pengali dalam pernyataan sinyal di kawasan s.
Dengan mengambil amplitudo bernilai satu satuan (A = 1) transformasi dari beberapa bentuk gelombang yang lain termuat dalam Tabel-1.
Untuk selanjutnya kita tidak selalu menggunakan notasi
L
[f(t)] sebagai pernyataan dari “transformasi Laplace dari f(t)”, tetapi kita langsung memahami bahwa pasangan fungsi t dan transformasi Laplace-nya adalah seperti : f(t) ↔F(s) , f1(t) ↔ F1(s), dan seterusnya.Tabel-1. Pasangan Transformasi Laplace Pernyataan Fungsi di Kawasan t : f(t) Pernyataan Fungsi di kawasan s :
L
[f(t)]=F(s) impuls : δ(t) 1 anak tangga : u(t) s 1 eksponensial : [e−at]u(t) a s+ 1 cosinus : [cos ωt] u(t) 2 2 ω + s s sinus : [sin ωt] u(t) 2 2 ω + ω scosinus teredam : [e−atcos ωt] u(t)
(
+)
2+ω2 + a s a ssinus teredam : [e−atsin ωt] u(t)
(
+)
2+ω2ω a s
cosinus tergeser : [cos (ωt + θ)] u(t) cos2 2sin
ω + θ ω − θ s s
sinus tergeser : [sin (ωt + θ)] u(t) sin2 2cos
ω + θ ω + θ s s ramp : [ t ] u(t) 2 1 s ramp teredam : [ t e−at ] u(t)
(
)
2 1 a s+CONTOH-1: Carilah transformasi Laplace dari fungsi berikut:
) ( 3 ) ( c). ; ) ( ) 10 sin( 5 ) ( b). ; ) ( ) 10 cos( 5 ) ( a). 2 3 2 1 t u e t f t u t t f t u t t f t − = = =
Penyelesaian : Dengan mnggunakan Tabel-1 kita peroleh :
2 3 ) ( ) ( 3 ) ( c). 100 s 50 ) 10 ( 10 5 ) ( ) ( ) 10 sin( 5 ) ( b). 100 5 ) 10 ( 5 ) ( ) ( ) 10 cos( 5 ) ( a). 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 + = → = + = + × = → = + = + = → = − s s t u e t f s s F t u t t f s s s s s t u t t f t F F
Sifat-Sifat Transformasi Laplace
Sifat Unik. Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi balik dari F(s) adalah f(t). Dengan kata lain
Jika pernyataan di kawasan s suatu fungsi f(t) adalah F(s), maka pernyataan di kawasan t dari F(s) adalah f(t).
Sifat ini memudahkan kita untuk mencari F(s) dari suatu fungsi f(t) dan sebaliknya mencari fungsi f(t) dari dari suatu fungsi F(s) dengan menggunakan tabel transformasi Lapalace. Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) disebut mencari transformasi balik dari
F(s), dengan notasi
L
−1[F(s)] = f(t) . Hal terakhir ini akan kita bahas lebih lanjut setelah membahas sifat-sifat transformasi Laplace.Sifat Linier. Karena transformasi Laplace adalah sebuah integral, maka ia bersifat linier.
Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika f(t)=A1f1(t)+A2f2(t)maka transformasi Laplace-nya adalah
[
]
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 0 2 2 0 1 1 0 1 1 2 2 s A s A dt t f A dt t f A dt e t f A t f A s st F F F + = + = + =∫
∞ −∫
∞∫
∞ (7)dengan F1(s) dan F2(s) adalah transformasi Laplace dari f1(t) dan f2(t).
CONTOH-2: a). Carilah transformasi Laplace dari :
) ( ) 3 1 ( ) ( 2 1 t e u t f = + − t
b). Jika transformasi Laplace fungsi eksponensial Ae−atu(t) adalah 1/(s+a), carilah transformasi dari f2(t)=Acosωt u(t).
Penyelesaian : 2 3 1 ) ( ) ( ) 3 1 ( ) ( a). 1 2 1 + + = → + = − s s s t u e t f t F
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) cos( b). ω + = ω + = ω + + ω − = + = + = ω = ω − ω ω − ω s As s s A j s j s A s t u e t u e A t u e e A t u t A (t) f t j t j t j t j FIntegrasi. Transformasi Laplace dari integrasi suatu fungsi dapat kita lihat sebagai berikut. Misalkan ( ) ( ) 0f1 x dx t f =
∫
t . Maka dt t f s e dx x f s e dt e dx x f s st t st st t∫
∫
∫ ∫
∞ − ∞ − ∞ − − − − = = 0 1 0 0 1 0 0 1( ) ( ) ( ) ) ( FSuku pertama ruas kanan persamaan di atas akan bernilai nol untuk t = ∞ karena e−st = 0 pada t→∞, dan juga akan bernilai nol untuk t = 0 karena integral yang di dalam tanda kurung akan bernilai nol (intervalnya nol). Tinggallah suku kedua ruas kanan; jadi
s s dt e t f s dt t f s e s st st ( ) ) ( 1 ) ( ) ( 1 0 1 0 1 F F = = − − = ∞ −
∫
∞∫
− (8)Secara singkat dapat kita katakan bahwa :
transformasi dari suatu integrasi fungsi f(t) di kawasan t dapat diperoleh dengan cara membagi F(s) dengan s.
CONTOH-3: Carilah transformasi Laplace dari fungsi ramp
r(t) = tu(t).
Penyelesaian :
Fungsi ramp adalah integral dari fungsi anak tangga.
2 0 0 0 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s dt e dx x u s dx x u t tu t r t t st = = → = =
∫
R∫ ∫
∞ −Hasil ini sudah tercantum dalam Tabel.1.
Diferensiasi. Transformasi Laplace dari suatu diferensiasi dapat kita lihat sebagai berikut. Misalkan dt t df t f( )= 1( )maka
[
]
∫
∫
∞ − = − ∞ − ∞ − − = 0 1 0 1 0 1( ) ( ) ( )( ) ) ( e dt f t e f t s e dt dt t df s st st st FSuku pertama ruas kanan bernilai nol untuk t = ∞ karena e−st= 0 untuk t→∞ , dan bernilai
−f(0) untuk t = 0. Dengan demikian dapat kita tuliskan
) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( 1 1 0 1 s f t e dt f s s f dt t df = st − = −
∫
∞ − F L (9)Transformasi dari suatu fungsi t yang diperoleh melalui diferensiasi fungsi f(t) merupakan perkalian dari F(s) dengan s, dikurangi dengan nilai f(t) pada t = 0.
CONTOH-4: Carilah transformasi Laplace dari fungsi cos(ωt) dengan memandang fungsi ini sebagai turunan dari sin(ωt).
Penyelesaian : 2 2 2 2 sin(0) 1 ) ( ) sin( 1 ) cos( ) ( ω + = − ω + ω ω = → ω ω = ω = s s s s s dt t d t t f F
Penurunan di atas dapat kita kembangkan lebih lanjut sehingga kita mendapatkan transformasi dari fungsi-fungsi yang merupakan fungsi turunan yang lebih tinggi.
) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( jika ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( jika 1 1 1 2 1 3 3 1 3 1 1 1 2 2 1 2 f f s f s s s s dt t f d t f f sf s s s dt t f d t f ′′ − ′ − − = → = ′ − − = → = F F F F (10)
Translasi di Kawasan t. Dalam pembahasan mengenai fungsi-fungsi, kita lihat bahwa apabila suatu fungsi f(t)u(t) mengalami translasi (pergeseran) sebesar a kearah sumbu-t
positif, maka persamaan fungsi berubah menjadi f(t-a)u(t-a). Transformasi Laplace dari fungsi yang tergeser ini adalah
∫
∞ − − −0 f(t a)u(t a)e dt
st
Karena u(t
−
a) bernilai nol untuk t < a dan bernilai satu untuk t > a , bentuk integral ini dapat kita ubah batas bawahnya serta tidak lagi menuliskan faktor u(t−a), menjadi∫
∫
∞ − − − = ∞ − − a st stdt f t a e dt e a t u a t f( ) ( ) ( ) 0Kita ganti peubah integrasinya dari t menjadi τ dengan suatu hubungan τ = (t−a). Dengan penggantian ini maka dt menjadi dτ dan τ = 0 ketika t = a dan τ = ∞ ketika t = ∞. Persamaan di atas menjadi
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( 0 s e d e f e d e f dt e a t u a t f as s as a s st F − ∞ −τ − ∞ − τ+ ∞ − = τ τ = τ τ = − −
∫
∫
∫
(11)Jadi sifat transformasi Laplace berkenaan dengan translasi di kawasan t ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s), maka transformasi Laplace dari
CONTOH-5: Carilah transformasi Laplace dari bentuk gelombang seperti yang tergambar di samping ini.
Penyelesaian :
Model bentuk gelombang ini dapat kita tuliskan sebagai gabungan dua fungsi anak tangga
) ( ) ( ) (t Au t Au t a f = − − .
Transformasi Laplace-nya adalah :
s e A s A e s A s as as (1 ) ) ( − − = − − = F
Translasi di Kawasan s. Translsi di kawasan s terjadi apabila fungsi t yang kita cari tranformasi Laplace-nya adalah fungsi teredam, yang dapat kita nyatakan sebagai
) (t
f e
y= −αt . Transformasi Laplace fungsi ini adalah
) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 =
∫
= +α∫
∞e−αtf t e−stdt ∞ f t e−s+αtdt F s (19)Sifat mengenai translasi di kawasan s dapat dinyatakan sebagai berikut. Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka transformasi Laplace
dari e−αtf(t) adalah F(s + α).
Sifat ini dapat digunakan untuk menentukan transformasi fungsi teredam jika diketahui bentuk transformasi fungsi tak teredamnya.
CONTOH-6: Carilah transformasi Laplace dari fungsi-fungsi ramp teredam dan sinus teredam berikut ini :
) ( cos b). ; ) ( a).f1 =tu t e−αt f2 =e−αt ωtu t Penyelesaian : 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ) ( ) ( ) ( cos ) ( jika maka , ) ( ) ( cos ) untuk Karena b). ) ( 1 ) ( ) ( ) ( jika maka , 1 ) ( ) ( ) ( untuk Karena a). ω + α + α + = ⇒ ω = ω + = → ω = α + = ⇒ = = → = α − α − s s s t u t e t f s s s t u t t f s s e t tu t f s s t tu t f t t F F F F ( f(t) A 0 a → t
Pen-skalaan (scaling). Dalam skala yang a kali lebih besar, suatu fungsi f(t) akan berbentuk f(at). Mencari transformasi Laplace fungsi yang berubah skala ini dilakukan dengan mengganti peubah t menjadi τ = at; dengan penggantian ini maka
τ = τ = → τ = → τ = a s st f at f a d dt at ( ) ( ) dan sehingga
∫
∫
∞ − ∞ − τ = τ τ = 0 0 1 ) ( 1 ) ( a s a d e f a dt e at f a s st F (12)Jadi, jika skala waktu diperbesar (a > 1) maka skala frekuensi s mengecil dan sebaliknya apabila skala waktu diperkecil (a < 1) maka skala frekuensi menjadi besar.
Sifat ini dapat dinyatakan sebagai :
Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka untuk a > 0 transformasi Laplace dari f(at) adalah
a s F a 1 .
Nilai Awal dan Nilai Akhir. Nilai awal dari suatu f(t) adalah nilai f(t) pada waktu t
mendekati nol, dan nilai akhir adalah nilai f(t) pada waktu t menuju tak hingga. Sifat transformasi Laplace berkenaan dengan nilai awal dan nilai akhir dapat dinyatakan sebagai berikut: 0 0 ) ( lim ) ( lim : akhir Nilai ) ( lim ) ( lim : awal Nilai → ∞ → ∞ → + → = = s t s t s s t f s s t f F F
Jadi nilai f(t) pada t = 0+ di kawasan waktu (nilai awal) sama dengan nilai sF(s) pada s tak hingga di kawasan s. Sedangkan nilai f(t) pada t = ∞ (nilai akhir) sama dengan nilai sF(s) pada titik asal di kawasan s. Sifat ini dapat diturunkan dari sifat diferensiasi.
CONTOH-7: Transformasi Laplace dari suatu sinyal adalah
) 20 )( 5 ( 3 100 ) ( + + + = s s s s s V
Carilah nilai awal dan nilai akhir dari v(t).
Penyelesaian :
Nilai awal adalah :
0 ) 20 )( 5 ( 3 100 lim ) ( lim ) ( lim 0 = + + + × = = ∞ → ∞ → + → s s s s s s s t v s s t V
Nilai akhir adalah :
3 ) 20 )( 5 ( 3 100 lim ) ( lim ) ( lim 0 0 = + + + × = = → → ∞ → s s s s s s s t v s s t V
Tabel-2 berikut ini memuat sifat-sifat transformasi Laplace yang dibahas di atas kecuali sifat yang terakhir yaitu konvolusi. Konvolusi akan dibahas di bagian akhir dari pembahasan mengenai transformasi balik.
Tabel-2. Sifat-sifat Transformasi Laplace Pernyataan f(t) Pernyataan F(s) =
L
[f(t)] linier : A1f1(t) + A2f2(t) A1F1(s) + A2F2(s) integrasi :∫
t f x dx 0 ) ( s s) ( F diferensiasi : dt t df() ) 0 ( ) (s −f − sF 2 2 () dt t f d ) 0 ( ) 0 ( ) ( 2 s −sf − − f′ − s F 3 3 () dt t f d ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( 2 3 − − − ′′ − − − f sf f s s s F translasi di t:[
f(t−a)]
u(t−a) e−asF(s) translasi di s : e−atf(t) F(s+a) penskalaan : f(at) a s a F 1 nilai awal : 0 ) ( lim + → t t f ) ( lim ∞ → s s sF nilai akhir : ) ( lim ∞ → t t f 0 ) ( lim → s s sF konvolusi : t f (x)f (t x)dx 0 1 2 −∫
F1(s F) 2(s)Transformasi Balik
Berikut ini kita akan membahas mengenai transformasi balik, yaitu mencari f(t) dari suatu F(s) yang diketahui. Jika F(s) yang ingin dicari transformasi baliknya ada dalam tabel transformasi Laplace yang kita punyai (Tabel-1), pekerjaan kita cukup mudah. Akan tetapi pada umumnya F(s) berupa rasio polinomial yang bentuknya tidak sesederhana dan tidak selalu ada pasangannya seperti dalam tabel. Untuk mengatasi hal itu, F(s) kita uraikan menjadi suatu penjumlahan dari bentuk-bentuk yang ada dalam tabel, sehingga kita akan memperoleh f(t) sebagai jumlah dari transformasi balik uraiannya. Dengan perkataan lain kita membuat F(s) menjadi transformasi dari suatu fungsi gabungan dan kelinieran dari transformasi Laplace akan memberikan transformasi balik dari F(s). Sebelum membahas mengenai transformasi balik kita akan mengulag lebih dulu pengertian tentang pole dan
zero yang sudah dibahas dalam bahasan tentang peubah dan fungsi kompleks.
Pole dan Zero. Pada umumnya, transformasi Laplace berbentuk rasio polinom
0 1 1 1 0 1 1 1 ) ( a s a s a s a b s b s b s b s n n n n m m m m + + + + + + + + = − − − − L L F (13)
) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( 2 1 2 1 n m p s p s p s z s z s z s K s − − − − − − = L L F (14)
dengan K = bm/an dan disebut faktor skala.
Akar-akar dari pembilang dari pernyataan F(s) di atas disebut zero karena F(s) bernilai nol untuk s = zk (k = 1, 2, …m). Akar-akar dari penyebut disebut pole karena pada nilai s = pk
(k = 1, 2, …n) nilai penyebut menjadi nol dan nilai F(s) menjadi tak-tentu. Pole dan zero
adalah nilai kritis dari s karena pada nilai-nilai itu F(s) menjadi nol atau tak-tentu.
Bentuk UmumF(s). Bentuk umum F(s) adalah seperti (14) yaitu
) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( 2 1 2 1 n m p s p s p s z s z s z s K s − − − − − − = L L F
Jika jumlah pole lebih besar dari jumlah zero, jadi n > m, kita katakan bahwa fungsi ini merupakan fungsi rasional yang proper. Jika fungsi ini memiliki pole yang semuanya berbeda, jadi pi≠pj untuk i≠j , maka dikatakan bahwa F(s) mempunyai pole sederhana. Jika
ada pole yang berupa bilangan kompleks kita katakan bahwa fungsi ini mempunyai pole kompleks. Jika ada pole-pole yang bernilai sama kita katakan bahwa fungsi ini mempunyai
pole ganda.
Fungsi Dengan Pole Sederhana. Apabila fungsi rasional F(s) hanya mempunyai pole sederhana, maka ia dapat diuraikan menjadi berbentuk
) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 n n p s k p s k p s k s − + + − + − = L F (15)
Jadi F(s) merupakan kombinasi linier dari beberapa fungsi sederhana; konstanta k yang berkaitan dengan setiap fungsi pembangun F(s) itu kita sebut residu. Kita ingat bahwa transformasi balik dari masing-masing fungsi sederhana itu berbentuk ke−αt. Dengan demikian maka transformasi balik dari F(s) menjadi
t p n t p t p k e k e n e k t f = 1 + 2 +L+ 2 1 ) ( (16)
Persoalan kita sekarang adalah bagaimana menentukan residu. Untuk mencari k1, kita
kalikan kedua ruas (15) dengan (s −p1) sehingga faktor (s
−
p1) hilang dari ruas kiri sedangkanruas kanan menjadi k1 ditambah suku-suku lain yang semuanya mengandung faktor (s
−
p1).Kemudian kita substitusikan s = p1 sehingga semua suku di ruas kanan bernilai nol kecuali k1
dan dengan demikian diperoleh nilai k1. Untuk mencari k2, kita kalikan kedua ruas (15)
dengan (s −p2) kemudian kita substitusikan s = p2; demikian seterusnya sampai semua nilai
k diperoleh, dan transformasi balik dapat dicari.
CONTOH-8: Carilah f(t) dari fungsi s berikut.
) 4 )( 1 ( ) 2 ( 6 ) ( c). ; ) 3 )( 1 ( ) 2 ( 4 ) ( b). ; ) 3 )( 1 ( 4 ) ( a). + + + = + + + = + + = s s s s s s s s s s s s F F F Penyelesaian : a). ( ) 4 1 2 + + + = + + = k k s F
2 3 1 4 1 substitusi ) 1 ( 3 ) 3 ( 4 ) 1 ( ) ( 1 1 2 1 = → = + − → − = → + + + = + → + × → k k s s s k k s s s F t t e e t f s s s k k s s s 3 2 2 2 2 ) ( 3 2 1 2 ) ( 2 1 3 4 3 substitusi dan ) 3 ( ) ( − − − = ⇒ + − + + = ⇒ − = → = + − → − = + × → F F b). 3 1 ) 3 )( 1 ( ) 2 ( 4 ) ( 1 2 + + + = + + + = s k s k s s s s F t t e e t f s s s k k s s s k k s s s 3 2 2 1 1 2 2 ) ( 3 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 2 3 ( 4 3 substitusi dan ) 3 ( ) ( 2 3 1 ) 2 1 ( 4 1 substitusi dan ) 1 ( ) ( − − + = ⇒ + + + = ⇒ = → = + − + − → − = + × → = → = + − + − → − = + × → F F F c). 4 1 ) 4 )( 1 ( ) 2 ( 6 ) ( 1 2 3 + + + + = + + + = s k s k s k s s s s s F
Dengan cara seperti di a) dan b) kita peroleh
t t s s s e e t f s s s s s s s k s s s k s s s k 4 4 3 1 2 0 1 2 3 ) ( 4 1 1 2 3 ) ( 1 ) 1 ( ) 2 ( 6 ; 2 ) 4 ( ) 2 ( 6 ; 3 ) 4 )( 1 ( ) 2 ( 6 − − − = − = = − − = → + − + + − + = ⇒ − = + + = − = + + = = + + + = → F
Fungsi Dengan Pole Ganda. Pada kondisi tertentu, fungsi F(s) dapat mempunyai pole ganda (dua pole sama besar). Penguraian F(s) yang demikian ini dilakukan dengan “memecah” faktor yang mengandung pole ganda dengan tujuan untuk mendapatkan bentuk fungsi dengan pole sederhana yang dapat diuraikan seperti biasa. Untuk jelasnya kita ambil suatu fungsi yang mengandung pole ganda seperti pada (17) berikut ini.
2 2 1 1 ) )( ( ) ( ) ( p s p s z s K s − − − = F (17)
Dengan mengeluarkan salah satu faktor yang mengandung pole ganda kita dapatkan
− − − − = ) )( ( ) ( 1 ) ( 2 1 1 2 s p s p z s K p s s F (18)
Bagian yang di dalam tanda kurung dari (18) mengandung pole sederhana sehingga kita dapat menguraikannya seperti yang telah kita pelajari.
)
(s z k k
K
Residu pada (19) dapat ditentukan, misalnya k1 = A dan k2 = B , dan faktor yang kita
keluarkan kita masukkan kembali sehingga menjadi
2 2 1 2 2 1 2 ( )( ) ( ) 1 ) ( p s B p s p s A p s B p s A p s s − + − − = − + − − = F
dan suku pertama ruas kanan diuraikan lebih lanjut menjadi
2 2 2 12 1 11 ) ( ) ( p s B p s k p s k s − + − + − = F (20)
Transformasi balik dari (20) adalah
t p t p t p k e Bte e k t f 1 2 2 12 11 ) ( = + + (21)
CONTOH-9: Tentukan transformasi balik dari fungsi:
2 ) 2 )( 1 ( ) ( + + = s s s s F Penyelesaian : 2 ) 1 ( 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 1 ) 2 )( 1 ( ) 2 ( 1 ) 2 )( 1 ( ) ( 2 2 1 1 2 1 2 = + = → − = + = → + + + + = + + + = + + = − = − = s s s s k s s k s k s k s s s s s s s s s F 2 12 11 2 ) 2 ( 2 2 1 ) 2 ( 2 ) 2 )( 1 ( 1 2 2 1 1 ) 2 ( 1 ) ( + + + + + = + + + + − = + + + − + = ⇒ s s k s k s s s s s s s F t t t s s te e e t f s s s s s k s k 2 2 2 2 12 1 11 2 ) ( ) 2 ( 2 2 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 2 1 − − − − = − = + + − = ⇒ + + + + + − = ⇒ = + − = → − = + − = → F
Konvolusi. Transformasi Laplace menyatakan secara timbal balik bahwa
) ( ) ( (s) maka ) ( ) ( ) ( jika f t = f1 t + f2 t F =F1 s +F2 s ) ( ) ( (t) maka ) ( ) ( ) ( jika F s =F1 s +F2 s f = f1 t + f2 t
Kelinieran dari transformasi Laplace ini tidak mencakup perkalian. Jadi
) ( ) ( ) ( maka ) ( ) ( ) ( jika F s =F1 s F2 s f t ≠ f1 t f2 t
Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) yang merupakan hasil kali dua fungsi s yang berlainan, melibatkan sifat transformasi Laplace yang kita sebut konvolusi. Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut.
[
]
∫
∫
τ τ − τ = τ τ − τ = = = − t t d t f f d t f f t f s s s s 0 2 1 0 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( maka ) ( ) ( ) ( jika F F F F L (22)Kita katakan bahwa transformasi balik dari perkalian dua F(s) diperoleh dengan melakukan konvolusi dari kedua fungsi yang bersangkutan. Kedua bentuk integral pada (22) disebut
integral konvolusi.
Pandanglah dua fungsi waktu f1(τ) dan f2(t). Transformasi Laplace masing-masing
adalah
∫
∞ τ −τ τ = 0 1 1(s) f ( )e s d F dan =∫
∞ − 0 2 2(s) f (t)e stdt F .Jika kedua ruas dari persamaan pertama kita kalikan dengan F2(s) akan kita peroleh
∫
∞ τ −τ τ = 0 1 2 2 1(s)F (s) f ( )e sF (s)d F .Sifat translasi di kawasan waktu menyatakan bahwa e−sτ F2(s) adalah transformasi Laplace
dari [ f2(t
−
τ) ] u(t−τ) sehingga persamaan tersebut dapat ditulis∫
∞∫
∞ − τ τ − τ − τ = 0 1 0 2 2 1(s)F (s) f ( ) f (t )u(t )e stdt d FKarena untuk τ > t nilai u(t−τ) = 0, maka integrasi yang berada di dalam kurung pada persamaan di atas cukup dilakukan dari 0 sampai t saja, sehingga
∫ ∫
∫
∫
∞ − ∞ − τ τ − τ = τ −τ τ = 0 0 1 2 0 1 0 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d dt e t f f d dt e t f f s s t st t st F FDengan mempertukarkan urutan integrasi, kita peroleh
τ −τ τ = τ −τ τ =
∫ ∫
∞ t −st∫
t d t f f dt e d t f f s s 0 1 2 0 0 1 2 2 1( )F ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) FCONTOH-10: Carilah f(t) dari F(s) berikut.
) ( 1 ) ( c). ) )( ( 1 ) ( b). ) ( 1 ) ( a). 2 2 a s s s b s a s s a s s + = + + = + = F F F Penyelesaian :
a). Fungsi ini kita pandang sebagai perkalian dari dua fungsi.
at e t f t f a s s s s s s − = = → + = = = ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( dengan ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 F F F F F
at t at t ax at ax t ax at x t te dx e dx e dx e e dx x t f x f t f − − + − − − − − = = = = − = ⇒
∫
∫
∫
∫
0 0 0 ) ( 0 1 2 ) ( ) ( ) (b). Fungsi kedua ini juga kita pandang sebagai perkalian dari dua fungsi.
bt at f t e e t f b s s a s s s s s − − = = → + = + = = ) ( dan ) ( ) ( 1 ) ( dan ) ( 1 ) ( dengan ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 F F F F F
(
)
b a e e b a e e b a e e dx e e dx e e dx x t f x f t f bt at t b a bt t x b a bt t a b x bt t ax bt x t + − − = + − − = + − = = = − = ⇒ − − + − − + − − + − − − − −∫
∫
∫
1 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 1 2c). Fungsi ketiga ini juga dapat dipandang sebagai perkalian dua fungsi.
2 2 0 2 0 0 0 0 ) ( 0 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( dan ) ( 1 ) ( dan 1 ) ( dengan ) ( ) ( ) ( a e at a e a te e a e a te e dx a e a xe e dx xe e dx xe dx x t f x f t f e t f t t f a s s s s s s s at at at at t ax at at t ax t ax at t ax at t at x t at − − − − − − − − + − = − − − = − − = − = = = − = ⇒ = = → + = = =
∫
∫
∫
∫
F F F F FMencari Solusi Persamaan dengan Transformasi Laplace
Dengan menggunakan transformasi Laplace kita dapat mencari solusi suatu persamaan diferensial dengan lebih mudah. Transformasi akan mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar biasa di kawasan s yang dengan mudah dicari solusinya. Dengan mentransformasi balik solusi di kawasan s tersebut, kita akan memperoleh solusi dari persamaan diferensialnya.
CONTOH-11: Gunakan transformasi Laplace untuk mencari solusi persamaan berikut.
5 ) 0 ( , 0 10 = = + v v + dt dv Penyelesaian :
10 5 ) ( 0 ) ( 10 5 ) ( atau 0 ) ( 10 ) 0 ( ) ( + = ⇒ = + − = + − + s s s s s s v s s V V V V V
Transformasi balik memberikan v(t)=5e−10t
CONTOH-12: Carilah solusi persamaan diferensial berikut.
0 6 2 C +vC − = dt dv Penyelesaian :
Transformasi persamaan ini ke kawasan s, menjadi
0 ) ( 2 ) ( 2 6 atau 0 ) ( ) 0 ( ) ( 2 6 = + − + − = + − + − s s s s s v s s s C C C C C V V V V
Pemecahan persamaan ini dapat diperoleh dengan mudah.
5 , 0 5 6 ) ( 5 3 dan 6 ) 5 , 0 ( 3 5 , 0 ) 5 , 0 ( 3 ) ( 5 , 0 2 0 1 2 1 + − = ⇒ − = + = = + + = → + + = + + = − = = s s s s s k s s k s k s k s s s s C s s C V V
Transformasi balik dari VC (s) memberikan V 5 6 ) ( 0 t,5 C t e v = − −
