b = (X T X) 1 X T Y.

Teks penuh

(1)

1.1. Latar Belakang

Invers Moore Penrose pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi in-volusi disampaikan oleh Koliha dan Patricio (2002). Dijelaskan bahwa jika elemen suatu ring yang dilengkapi involusi mempunyai invers Moore Penrose, maka elemen tersebut adalah elemen reguler yang mempunyai invers dalam yang ternormalisasi.

Diketahui bahwa invers dalam elemen reguler pada suatu ring tidak selalu ter-normalisasi. Harte dan Mbektha (1992) menjelaskan bahwa setiap invers dalam dapat dinormalisasi. Artinya invers dalam yang ternormalisasi dari suatu elemen reguler da-pat diperoleh melalui invers dalam sebarang dari elemen reguler tersebut.

Berdasarkan fenomena yang dimiliki oleh elemen reguler dan elemen yang mempunyai invers Moore Penrose menunjukkan adanya hubungan pada pengertian reguleritas dan ternormalisasi invers dalamnya. Berdasarkan hal tersebut muncul ide untuk mengaplikasikan fenomena yang dimiliki oleh elemen reguler pada vers Moore Penrose yaitu dengan menyelidiki kemungkinan untuk memperoleh in-vers Moore Penrose dari elemen reguler suatu ring dengan mengabaikan syarat ter-normalisasi invers dalamnya. Dugaan sementara penulis adalah bahwa invers Moore Penrose suatu elemen reguler masih dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang dari elemen tersebut. Hal ini karena jika R adalah ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi,a∈R danb∈R adalah invers dalam sebarang daria, maka dapat dibangun c= bab. Dapat ditunjukkan bahwa cadalah invers dalam yang ternorma-lisasi daria, yaituaca=ababa=adancac=bababab=bab=c. Selanjutnya diperoleh bahwaab=abab=acdanba=baba=ca.

Apabila invers Moore Penrose dari elemen suatu ring masih dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang dari elemen tersebut, maka akan diperoleh terminologi baru mengenai pengertian invers Moore Penrose yang tidak mensyaratkan ternorma-lisasi dari invers dalamnya.

Sifat ternormalisasi dari invers dalam menyebabkan invers Moore Penrose su-atu elemen di ring tunggal. Oleh karena terminologi baru invers Moore Penrose pada penelitian ini dibangun dengan mengabaikan syarat ternormalisasi, maka invers yang dihasilkan menjadi tidak selalu tunggal. Di antara invers yang tidak tunggal tersebut

(2)

pasti terdapat invers yang ternormalisasi, hal ini karena invers dalam yang ternorma-lisasi dapat dibangun dari invers dalam sebarang. Misal pada ring Z4 dengan invo-lusi identitas, Z4 adalah invers dalam dari 0, sementara 0adalah invers dalam yang ternormalisasi dari0. Peluang untuk menjadi invers Moore Penrose dari0hanya ter-jadi pada 0, sedangkan peluang untuk menjadi invers dari 0pada terminologi baru invers Moore Penrose pada penelitian ini dapat terjadi pada setiap elemen di Z4. Berdasarkan contoh dapat dilihat bahwa jika suatu elemen memiliki peluang untuk menjadi invers Moore Penrose dari0, maka elemen tersebut memiliki peluang untuk menjadi invers dari0pada terminologi baru invers Moore Penrose pada penelitian ini, tetapi sebaliknya tidak berlaku.

Oleh karena invers yang dihasilkan diduga tidak selalu tunggal, maka peneli-tian ini menjadi tidak mudah untuk diselesaikan. Hal ini disebabkan karena sifat-sifat yang dihasilkan harus berlaku untuk setiap invers dari elemen tersebut.

1.2. Tinjauan Pustaka

Pengertian invers diperumum pada himpunan matriks atas bilangan riil dike-mukakan oleh Rao (1962). Diperoleh bahwa untuk setiap matriksA∈Mmxn(R)dapat

ditemukan matriksB∈Mnxm(R)yang memenuhiABA=A.

Invers padaMmxn(R)yang menggunakan pengertian dasar invers diperumum

merupakan suatu kajian yang menarik bagi para peneliti. Hal ini ditandai dengan beberapa hasil penelitian yang dihasilkan. Frame (1964) dan Bjerhammar (1951) membahas invers semu dari matriks A∈Mmxn(R) yaitu matriks B∈Mnxm(R) yang

memenuhi ABA = A dan BAB = B. Selanjutnya matriks normal diperumum dari matriksA∈Mmxn(R), yaitu matriksB∈Mnxm(R)yang memenuhiABA=A,BAB= Bdan(AB)T =ABditeliti oleh Rohde(1965). Berikutnya Goldman dan Zelen (1964)

memperkenalkan invers lemah diperumum dari matriksA∈Mmxn(R)sebagai matriks

B∈Mnxm(R)yang memenuhiABA=A,BAB=Bdan(BA)T =BA. Moore (1920),

Penrose (1955), Greville (1959), Ben Israel dan Charnes (1963) membahas invers Moore Penrose dari matriksA∈Mmxn(R)yaitu matriksB∈Mnxm(R)yang memenuhi

ABA = A, BAB = B, (AB)T = AB dan (BA)T = BA. Invers Moore Penrose dari matriksAdiberi simbolA+.

Salah satu jenis invers diperumum yang lain pada Mmxn(R) adalah invers grup. Invers grup dari matriks A∈Mmxn(R) oleh Ben Israel dan Greville (1974) didefinisikan sebagai matriks B∈Mnxm(R)yang memenuhi ABA=A , BAB=B dan

(3)

AB=BA. Diperoleh bahwa tidak setiap matriks mempunyai invers grup dan jika ada maka tunggal. Invers grup dariAdisimbolkanA].

PadaMmxn(R)dikenal kelas-kelas matriks yaitu kelas simetris (AT =A),

ke-las normal (ATA=AAT), kelas parsial isometri (AT =A+), kelas star dagger (ATA+ =A+AT) dan kelas Enhancer Promoter (EP) (A+=A]). Dalam perkembangan peneli-tian invers Moore Penrose, telah ditunjukkan bahwa sifat dari kelas-kelas matriks di atas dapat dibangun dengan menggunakan invers Moore Penrose dan invers grup. Baksalary dan Trenkler (2008) membahas sifat dari matriks simetris, normal, dan EP. Sementara sifat dari matriks parsial isometri dan star dagger dibahas oleh Baksalary, et al. (2009).

Menurut Kwak dan Hong (1977), jikaA,B∈Mn(R)mempunyai invers maka (AB)−1=B−1A−1. Selanjutnya persamaan(AB)−1 =B−1A−1 disebut hukum urutan terbalik dari perkalian invers matriks. Greville (1966) menjelaskan bahwa formula di atas tidak dapat secara trivial diperluas pada perkalian invers Moore Penrose matriks dan membangun syarat perlu dan cukupA,B,AB∈Mn(R)memenuhi(AB)+=B+A+.

Menurut Norman dan Smith (1998), jika diberikan pemodelan regresi linier

Y=Xb+ε dengan

1. Ymenyatakan vektor observasi 2. Xmenyatakan matriks regresi

3. bmenyatakan vektor parameter regresi

4. εmenyatakan vektor error pada pendugaan nilaiY,E(ε)= 0 dan var(ε)=E[ε−E(ε)][ε−E(ε)T]=E[εεT]=σ2I

r

maka penduga dari vektor parameter regresibyaitubbadalah

b

b= (XTX)−1XTY.

Persamaan untuk penduga dari vektor parameter b yang disampaikan oleh Norman dan Smith tersebut diatas hanya berlaku untuk matriksXdenganXTX mem-punyai invers. Selanjutnya Schmidt K.,(2000) berhasil membangun persamaan untuk

(4)

penduga dari vektor parameter b pada pemodelan regresi linear yang berlaku untuk setiap matriksXyaitu

b

b=X+Y+ (I−X+X)z

denganX+menyatakan invers Moore Penrose dariXdanz adalah vektor sebarang. Pengertian invers diperumum untuk kejadian khusus padaMn(R), oleh Harte

dan Mbektha (1992) diperumum pada sebarang ring dengan elemen satuan. Harte dan Mbektha menjelaskan bahwa jikaR adalah ring yang dilengkapi elemen satuan dana∈R, makab∈R disebut invers dalam dari ajikaaba =a. Tidak setiap elemen di ring mempunyai invers dalam. Jikaa∈Rmempunyai invers dalam, makaadisebut elemen reguler. Selanjutnya invers dalambdariadisebut ternormalisasi jikabab=b. Seiring berkembangnya pengertian invers diperumum pada himpunan matriks atas bilangan riil, berkembang pula pengertian invers pada ring dengan elemen sa-tuan. Setelah menambahkan involusi "∗" pada ringR dan menggunakan pengertian invers dalam pada elemen reguler, selanjutnya Koliha, et al. (2002, 2007) mendefi-nisikan pengertian invers Moore Penrose dari a∈R. Menurut Koliha, elemen b∈R yang memenuhiaba=a,bab=b,(ab)∗=abdan(ba)∗=badisebut invers Moore Pen-rose dari a∈R. Invers Moore Penrose dari adisimbolkana+, sementara R+ adalah simbol untuk himpunan elemen diRyang mempunyai invers Moore Penrose. Selain membahas sifat-sifat invers Moore Penrose, Koliha juga membangun syarat perlu dan cukup elemen di ring mempunyai invers Moore Penrose.

Invers grup dari a∈R oleh Koliha (1999) didefinisikan sebagai elemen b∈R yang memenuhi aba = a, bab = b, dan ab = ba. Tidak setiap a∈R mempunyai invers grup dan jika ada maka tunggal. Invers grup dari a disimbolkan a]. Oleh

beberapa peneliti selanjutnya invers Moore Penrose dan invers grup digunakan untuk membangun sifat dari elemen di ring. Sifat elemen normal dan simetris dibangun Mosic dan Djordjevic (2009a, 2010a), sedangkan sifat elemen parsial isometri, star dagger dan EP dibahas oleh Mosic dan Djordjevic (2009b, 2010b).

Hukum urutan terbalik pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi invo-lusi dibahas Mosic dan Djordjevic (2010c). Telah dihasilkan beberapa kondisi ekui-valen yang harus dipenuhi oleha, b, ab∈R+agar memenuhi(ab)+=b+a+.

Harte dan Mbektha (1992) menunjukkan bahwa invers dalam ternormalisasi daria∈Rdapat diperoleh melalui invers dalam sebarang daria∈R. Sementara menu-rut Koliha dan Patricio (2002), invers Moore Penrose daria∈Rdibangun oleh invers

(5)

dalam yang ternormalisasi dari a. Hal ini memberi peluang untuk memperumum pengertian invers Moore Penrose pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi.

Mengikuti hasil penelitian invers Moore Penrose pada Mmxn(R) dan pada

ring dengan elemen satuan yang telah dilakukan oleh para peneliti sebelumnya, maka kegiatan yang akan dilakukan pada penelitian ini adalah,

1. Memperumuman pengertian invers Moore Penrose pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi "∗" dengan mengabaikan syarat ternormalisasi dari invers dalamnya.

2. Mencari syarat perlu dan cukup elemen di ringRmempunyai perumuman dari pengertian invers Moore Penrose.

3. Menyelidiki sifat-sifat dari perumuman pengertian invers Moore Penrose. Sifat-sifat yang diperoleh selanjutnya akan digunakan untuk membangun Sifat-sifat-Sifat-sifat dari elemen lain diR.

4. Membangun hukum urutan terbalik dari elemen di ring R yang mempunyai perumuman dari pengertian invers Moore Penrose.

5. Meneliti apakah pengertian invers Moore Penrose dapat diperumum dengan memperumum involusinya.

6. Menyelidiki apakah perumuman dari pengertian invers Moore Penrose dapat diaplikasikan untuk menentukan penduga vektor parameterbyaitubbpada

pe-modelan Regresi Linear.

Melalui kegiatan penelitian ini telah diperoleh hasil awal mengenai pengertian invers Moore Penrose diperumum dan sifat-sifatnya oleh Titi U., et al.,(2014).

1.3. Perumusan Masalah Penelitian

Berdasarkan uraian pada latar belakang dan tinjauan pustaka maka perumusan masalah dalam penelitian ini adalah :

1. Invers Moore Penrose suatu elemen regulera di ring R dibangun oleh invers dalam yang ternormalisasi daria, sementara invers dalam yang ternormalisasi dari a dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang dari a. Perlu diselidiki

(6)

apakah invers Moore Penrose dari elemen reguler a dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang daria. Invers Moore Penrose dariayang dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang dariaselanjutnya disebut invers Moore Penrose diperumum.

2. Jika a∈R, maka belum tentu a reguler. Contoh pada Z4, setiap elemen ke-cuali2 adalah elemen reguler. Elemen 2∈Z4 bukan elemen reguler sebab 2 b

2 6= 2 untuk setiap b∈Z4. Kondisi ini mengakibatkan tidak setiap elemen di Rmempunyai invers Moore Penrose diperumum. Diperoleh kesempatan untuk membangun syarat perlu dan cukup elemen di ringRmempunyai invers Moore Penrose diperumum.

3. Jikab∈Rinvers dalam yang ternormalisasi daria∈R, makaa∈R invers dalam yang ternormalisasi darib∈R. Sementara jikab∈R invers dalam sebarang dari a∈R, maka sebaliknya belum tentu berlaku. Contoh 0, 1 elemen reguler di Z4 dan 1 invers dalam dari 0 tetapi 0 bukan invers dalam dari 1. Akibatnya sifat nvers Moore Penrose dari a∈R tidak dapat diperluas secara trivial pada sifat nvers Moore Penrose diperumum daria∈R. Perlu diteliti bagaimana sifat invers Moore Penrose diperumum dari a∈R. Demikian juga perlu diselidi-ki apakah hukum urutan terbalik pada elemen yang mempunyai invers Moore Penrose dapat diperluas pada elemen yang mempunyai invers Moore Penrose diperumum.

4. Fungsi "∗" : a∈R7→a∗ ∈R dapat diperumum menjadi fungsi ∗u : a∈R7→

a∗u = (uau)R, uR. Selanjutnya jika "" adalah involusi pada R yang memenuhi (a∗)∗ = a, (a +b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗ untuk setiap a,b ∈ R, maka (a∗u)∗u = (u(uau)u)= (u)2(a)(u)2 = (u)2a(u)2 6= a,

(a+b)∗u = (u(a+b)u)= (uau+ubu)= (uau)+ (ubu)= a∗u +b∗u dan (ab)∗u = (uabu)6= (uauubu)= (ubu)(uau)= b∗ua∗u untuk setiap a,b∈Rdan sebarangu∈R. Diperoleh bahwa fungsi "∗u" bukan involusi pada

R. Apakah dapat ditambahkan syarat padau∈R, supaya "∗u" memenuhi syarat

involusi. Selanjutnya akan diselidiki apakah pengertian invers Moore Penrose dapat diperumum dengan memperumum involusi "∗" menjadi involusi "∗u".

5. Schmidt K.,(2000) telah menunjukkan bahwa penduga vektor parameterbyaitu

b

b pada pemodelan Regresi Linear dapat diperoleh melalui invers Moore Pen-rose matriks regresiX. Akan diteliti apakah perumuman dari pengertian invers

(7)

Moore Penrose matriks regresiXjuga dapat digunakan untuk menentukan pen-duga vektor parameterbyaitubbpada pemodelan Regresi Linear.

1.4. Tujuan Penelitian

Secara umum penelitian ini bertujuan membangun invers Moore Penrose suatu elemen reguler pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi yang dibangun dari invers dalam sebarang. Secara rinci penelitian ini membahas beberapa kajian teori yang meliputi :

1. Menghasilkan terminologi baru dari invers Moore Penrose suatu elemen di ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi "∗". Terminologi baru ini meru-pakan perumuman dari invers Moore Penrose dan selanjutnya disebut invers Moore Penrose diperumum.

2. Menghasilkan syarat perlu dan cukup suatu elemen di ring mempunyai invers Moore Penrose diperumum.

3. Membangun sifat-sifat invers Moore Penrose diperumum elemen suatu ring. 4. Menghasilkan hukum urutan terbalik pada elemen di ring yang mempunyai

invers Moore Penrose diperumum.

5. Memperumum invers Moore Penrose diperumum dengan memperumum invo-lusinya, yang selanjutnya disebut inversµ-Moore Penrose diperumum.

6. Mengaplikasikan pengertian invers Moore Penrose diperumum dan invers µ-Moore Penrose diperumum pada pemodelan regresi linear.

1.5. Manfaat Penelitian

Secara umum manfaat atau dampak yang diharapkan dari hasil penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Pengertian invers diperumum suatu elemen pada ring diperoleh melalui elemen reguler. invers Moore Penrose diperumum dan inversµ-Moore Penrose diper-umum pada penelitian ini dibangun menggunakan sifat ternormalisasi yang dimiliki oleh elemen reguler. Hasil penelitian ini diharapkan mampu menjadi pendorong bagi peneliti lain untuk menghasilkan pengertian invers diperu-mum lain yang mungkin masih dapat diperoleh dari sifat elemen reguler.

(8)

2. Schmidt K.(2000) telah menunjukkan bahwa penduga vektor parameter regresi pada pemodelan regresi linier dapat diperoleh dengan melibatkan invers Moore Penrose matriks regresi. Pada penelitian ini dapat ditunjukkan bahwa pen-duga vektor parameter regresi pada pemodelan regresi linier dapat diperoleh dengan melibatkan invers Moore Penrose diperumum dan inversµ-Moore Pen-rose diperumum matriks regresi. Pendekatan ini lebih sederhana karena tidak memerlukan syarat ternormalisasi dari invers dalam matriks regresi.

1.6. Keaslian Penelitian

Berdasarkan kajian yang dilakukan oleh peneliti, pembahasan mengenai pe-ngertian invers pada himpunan matriks atas bilangan riil yang menggunakan penger-tian invers diperumum selalu mensyaratkan pengerpenger-tian invers semu, ( Rohde (1965), Goldman dan Zelen (1964), Moore (1920), Penrose (1955), Greville (1959), Ben Israel dan Charnes (1963), Ben Israel dan Greville (1974)). Demikian juga untuk pembahasan pengertian inves pada ring yang menggunakan pengertian dasar ele-men reguler selalu ele-mensyaratkan ternormalisasi dari invers dalamnya. Hal ini ditun-jukkan pada pembahasan pengertian invers grup oleh Koliha (1999) dan pengertian invers Moore Penrose oleh Koliha dan Patricio (2002). Sementara penelitian yang mengabaikan syarat ternormalisasi dari invers dalamnya belum pernah dilakukan. Demikian juga perumuman pengertian invers pada ring yang dilakukan dengan mem-perumum involusi pada ring juga belum pernah dilakukan.

Invers yang menggunakan pengertian dasar elemen reguler yang sudah di-aplikasikan pada pemodelan regresi linier adalah invers Moore Penrose, sementara untuk pengertian invers yang lainnya belum ada.

Diperoleh bahwa penelitian ini merupakan penelitian baru di bidang struktur aljabar dan penerapannya dalam bidang statistik khususnya pada pemodelan regresi linier.

1.7. Metode Penelitian

Berdasarkan sifat masalah dan tujuannya metode yang digunakan dalam peneli-tian ini adalah :

1. Mempelajari teori-teori dasar yang terkait dengan pengertian invers Moore Pen-rose suatu elemen di ringRdengan elemen satuan yang dilengkapi involusi.

(9)

2. Mencari fenomena khusus yang dimiliki pengertian invers Moore Penrose de-ngan menyelidiki ide bagaimana membangun pengertian tersebut. Fenomena khusus yang diperoleh selanjutnya diupayakan diperumum dengan cara me-ngurangi syarat dari pengertian invers Moore Penrose, sehingga diperoleh ter-minologi baru yang selanjutnya disebut pengertian invers Moore Penrose dipe-rumum.

3. Membangun syarat perlu dan cukup suatu elemen diR adalah reguler, kemu-dian hasilnya dikembangkan untuk membangun syarat perlu dan cukup elemen tersebut mempunyai invers Moore Penrose diperumum.

4. Menghasilkan sifat yang diperoleh langsung dari definisi invers Moore Penrose diperumum. Sifat yang diperoleh selanjutnya digunakan untuk membangun sifat elemen diR+

g yaitu himpunan elemen diRyang mempunyai invers Moore

Penrose diperumum.

5. Menentukanu∈Rsupaya involusi "∗" dapat diperumum menjadi involusi "∗u".

Tahapan selanjutnya adalah memperumum pengertian invers Moore Penrose diperumum dengan menggunakan involusi "∗u".

6. Menurut Schmidt K. (2000), persamaan normal dari pemodelan regresi linier Y = Xb+ ε adalah XTXbb = XTY. Selanjutnya menggunakan sifat-sifat dari

invers Moore Penrose diperumum matriks regresi X akan diperoleh penduga vektor parameter regresibyaitubb.

1.8. Sistematika Penulisan

Laporan disertasi ini terdiri dari lima bab dan tiap bab terbagi menjadi bebe-rapa subbab. Struktur bahasa yang digunakan sesuai dengan kaidah bahasa Indonesia baku. Ide diungkapkan secara teratur sesuai dengan urutan dan tingkatannya baik dalam kalimat maupun paragraf. Pemakaian kata seperlunya dan dipilih sesuai de-ngan arti yang sesungguhnya. Definisi dan teorema ditulis dede-ngan huruf miring di-maksudkan untuk membedakan dengan kalimat lain dan memberikan penekanan. Un-tuk menunjukkan bahwa definisi dan teorema yang disampaikan adalah temuan baru, maka pada penulisan definisi dan teorema yang dimaksud diberi tanda♣.

Bab I terdiri dari tujuh subbab yaitu pengantar, tinjauan pustaka, perumusan masalah penelitian, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan sis-tematika penulisan.

(10)

Pengertian dan teori dasar yang digunakan sebagai landasan dalam pemba-hasan penelitian ini, seperti definisi dan sifat elemen reguler, invers Moore Penrose, invers grup, "*"-kansellasi, elemen simetris, elemen normal, elemen star dagger, elemen Enhancer Promoter (EP), elemen parsial isometri, hukum urutan keterbalikan serta pengertian dan sifat pada pemodelan regresi linier tidak disampaikan dalam bab tersendiri, melainkan terbagi di bab II, III dan IV.

Pada bab II disampaikan ide bagaimana membangun definisi invers Moore Penrose diperumum dan hukum urutan keterbalikan pada R+

g. Definisi, sifat-sifat

dan eksistensi invers Moore Penrose diperumum disampaikan pada subbab pertama sementara pembahasan hukum urutan keterbalikan pada subbab ke dua.

Subbab satu sampai dengan subbab lima pada bab III menjelaskan sifat-sifat elemen simetris, elemen normal, elemen star dagger, elemen EP dan elemen par-sial isometri diR+

g. Hasil pembahasannya selanjutnya digunakan untuk membangun

sifat-sifat elemen diRyang disampaikan pada subbab enam.

Bab IV terdiri dari tiga subbab. Subbab pertama berisi penjelasan ide mem-bangun definisi, sifat-sifat dan eksistensi invers µ-Moore Penrose diperumum. Hukum urutan keterbalikan pada R+

gµ disampaikan pada subbab ke dua, dan subbab terakhir menunjukkan aplikasi struktur aljabar pada bidang statistik.

Kesimpulan pada bab V berisi rangkaian hasil dan pembahasan dari penelitian, yang menegaskan kembali kaitan hasil penelitian dengan masalah dan tujuan peneli-tian. Pada bab ini disampaikan juga masalah terbuka yang belum dapat diselesaikan melalui penelitian disertasi ini.

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...