PENGENALAN KEPADA KAEDAH BERANGKA

1

P

EN GEN ALAN KEPAD A

K

AED AH

B

ERAN GKA

1.1 Pengenalan

Kaedah berangka adalah teknik penyelesaian hampiran, di mana masalah matematik dirumuskan supaya ia boleh diselesaikan melalui operasi aritmetik. Kebiasaannya ia akan melibatkan angka yang besar dan leceh, dan kemajuan komputer memainkan peranan yang besar ke arah memajukan penggunaan kaedah berangka ini.

Sebelum bermulanya era komputer, kaedah penyelesaian suatu masalah matematik adalah menggunakan:

1. Kaedah analitik atau tepat yang memberi jawapan yang terbaik bagi suatu sistem tetapi terhad kepada masalah yang mudah.

2. Kaedah grafik bagi mencirikan sifat sistem, namun ia tidak begitu tepat. 3. Pengiraan dengan kalkulator setelah memahami teori dan kaedah

penyelesaiannya.

Terdapat keperluan mengapa seseorang itu mempelajari kaedah berangka:

1. Kaedah berangka adalah alat yang mampu menyelesaikan masalah yang mana dalam keadaan sebenar adalah mustahil untuk diselesaikan dengan cara analitik.

2. Banyak pakej di pasaran melibatkan kaedah berangka, dan ini menyebabkan teori asas mengenainya perlu difahami.

3. Tidak semua pakej boleh menyelesaikan sesuatu masalah, oleh itu pengetahuan yang diperolehi dari kaedah berangka diharapkan dapat membantu membangunkan sendiri pakej yang bersesuaian.

4. Kaedah berangka adalah satu alat untuk mempercepatkan pembelajaran komputer.

5. Kaedah berangka menggalakkan pemahaman matematik.

Aktiviti atau tugas seorang jurutera merangkumi reka bentuk, pembuatan, penyelidikan dan pendidikan. Tugas-tugas banyak melibatkan formulasi matematik yang diperolehi dari pemerhatian fizikal. Masalah boleh diselesaikan melalui teknik matematik yang mudah atau dengan bantuan komputer untuk masalah yang lebih rumit. Dengan menggunakan kaedah berangka, persamaan matematik dipermudahkan melalui proses pendiskretan dan penyelesaian dijalankan melalui penghampiran berangka. Akhirnya hasil pengiraan perlu dimanipulasi dan ditafsirkan kepada bentuk yang bermakna dan difahami. Atas dasar ini pengetahuan kaedah pengiraan secara berangka sangat berguna kepada seorang jurutera. Rajah 1.1 menunjukkan tiga fasa dalam proses menyelesaikan sesuatu masalah kejuruteraan.

Formulasi

Interpretasi Penyelesaian

RAJAH 1.1 Proses penyelesaian masalah secara am

Perbincangan kaedah berangka akan meliputi tujuh tajuk terpenting dalam penyelesaian masalah kejuruteraan, iaitu:

1. Sistem persamaan linear

Penyelesaian sistem persamaan serentak biasa ditemui dalam bidang mekanik gunaan, analisis litar, pemindahan haba dan sebagainya. Contoh sistem yang paling mudah adalah

2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a    

di mana nilai-nilai x1 dan x2 harus didapatkan. Persoalannya ialah

bagaimana untuk menyelesaikannya jika suatu sistem persamaan mempunyai n persamaan di mana terdapat n pemboleh ubah harus dicari. Kaedah-kaedah Gauss adalah yang paling biasa digunakan untuk menyelesaikan masalah di atas. Seterusnya kaedah lain yang lebih popular gunakan untuk sistem yang lebih besar iaitu lelaran Jacobi dan Gauss-Seidel.

2. Punca persamaan

Punca persamaan pula melibatkan masalah penentuan nilai x yang memenuhi persamaan

 

x 0

f

Nilai-nilai x ini dikenali sebagai punca kepada persamaan. Terdapat lapan kaedah yang dipertimbangkan iaitu kaedah grafik, kaedah pembahagi dua, kaedah kedudukan palsu, kaedah titik tetap, kaedah Newton-Raphson, kaedah sekan, kaedah Müller dan kaedah Bairstow.

3. Interpolasi dan pemadanan lengkung

Ia merupakan penganggaran suatu nilai fungsi kepada suatu pemboleh ubah berdasarkan data yang ada. Katakan nilai-nilai diskret fungsi y dan pemboleh ubah x diberikan dalam jadual di bawah:

x x0 x1 x2

y y0 y1 y2

Persoalannya ialah bagaimana untuk mendapatkan y jika x  a, di nama x masih dalam julat data yang ada. Tiga kaedah yang akan dibincangkan ialah kaedah beza terbahagi Newton, kaedah Lagrange dan kaedah splin. 4. Pengoptimuman

Ia melibatkan pencarian nilai-nilai ekstrim, iaitu maksimum dan minimum, bagi suatu fungsi f(x), di mana ia selalunya memenuhi keadaan berikut:

 

0  x

f

Pendekatan secara berangka yang boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman tanpa kekangan adalah kaedah interpolasi kuadratik dan kaedah Newton. Seterusnya, untuk pengoptimuman berkekangan, penyelesaian dengan cara grafik dan kaedah simpleks diberikan.

5 Terbitan dan kamiran berangka

Seorang jurutera akan banyak berhadapan dengan masalah terbitan dan kamiran. Penggunaan terbitan berangka tidak terhad kepada rumitnya suatu

persamaan tetapi juga kepada kaedah penyelesaian yang melibatkan nombor yang banyak. Bagi kamiran pula rumus kamiran suatu fungsi boleh ditulis dalam bentuk



 b

a f x dx

I ( )

di mana penyelesaian penghampiran dapat dijalankan dengan luas bawah graf fungsi. Kaedah yang digunakan untuk mengira luas di bawah graf ialah dengan kaedah aturan trapezium, aturan Simpson, formula Newton-Cotes dan kuadratur Gauss.

6. Persamaan kebezaan biasa

Banyak hukum fizik melibatkan persamaan kebezaan biasa di mana terbitan satu pemboleh ubah bersandar terhadap satu pemboleh ubah tidak bersandar. Sebagai contoh, halaju suatu zarah diberikan dengan kadar perubahan jarak dengan masa. Penyelesaian mendapatkan pemboleh ubah bersandar ini boleh dijalankan secara analitik dengan contoh masalah persamaan kebezaan biasa seperti di bawah:

0 2 1 _  y dx dy , y(0)1

Penyelesaian tertutup boleh diperolehi dengan kaedah kamiran yang memberikan

2

x

e y 

Secara praktiknya, tidak semua persamaan kebezaan dapat diselesaikan dengan cara analitik. Oleh itu penyelesaian kepada kebanyakan masalah kejuruteraan yang melibatkan persamaan kebezaan memerlukan kaedah berangka. Persamaan di atas hanya memerlukan satu keadaan sahaja dan dikenali sebagai masalah nilai awal. Untuk masalah ini, kaedah yang akan dibincangkan dalam buku ini adalah kaedah Runge-Kutta, Euler, kaedah peramal-pembetul, formula Adams-Bashforth dan formula Adams-Moulton. Di samping itu, masalah nilai sempadan yang memerlukan lebih dari satu keadaan serta masalah nilai ciri untuk kes persamaan homogen juga dibincangkan.

7. Persamaan kebezaan separa

Apabila terdapat dua atau lebih pemboleh ubah tidak bersandar dalam satu persamaan, ia dinamakan persamaan kebezaan separa, contohnya

) , ( 2 2 2 2 y x Q y u x u _     

Tujuan utama ialah untuk menyelesaikan nilai u. Persamaan ini juga mempunyai nilai-nilai sempadan, sama seperti persamaan kebezaan biasa yang mempunyai sama ada nilai sempadan atau nilai awal, contohnya persamaan elips dan persamaan parabola.

Sebelum melanjutkan subjek di atas dengan lebih terperinci, perkara-perkara berkaitan dengan permodelan matematik dan penyelesaian masalah perlu diketahui terlebih dahulu. Ini diikuti dengan komputer dan perisian, dan akhirnya tentang ralat.

1.2 Permodelan Matematik dan Penyelesaian Masalah

Kejuruteraan

Seorang jurutera banyak bergantung kepada permodelan matematik dalam mengendalikan suatu kerja. Sesuatu model harus mempunyai makna fizikal dan selalunya ia dipermudahkan dari keadaan sebenar. Model matematik mungkin mudah sahaja untuk diselesaikan, seperti persamaan linear yang boleh memberi penyelesaian tepat. Atau, ia boleh menjadi lebih sukar seperti persamaan kebezaan separa yang melibatkan ruang tiga-dimensi dan masa. Masalah seperti ini mungkin tidak boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah kalkulus mudah atau bentuk tertutup.

Sesuatu maklumat itu diperolehi daripada pemerhatian atau ujikaji yang membentuk hubungan empirik atau analisis teori di mana akhirnya hubungan umum atau permodelan matematik dapat dibentuk. Permodelan matematik ini merupakan formulasi atau persamaan yang menerangkan ciri penting sistem atau proses fizikal dalam bentuk matematik. Secara amnya

           daya fungsi parameter, bersandar, tak ubah pemboleh bersandar ubah pemboleh f (1.1)

dengan pemboleh ubah bersandar merupakan pencirian yang menerangkan tingkahlaku sesuatu keadaan atau sistem. Tingkahlaku ini akan bergantung kepada pemboleh ubah tidak bersandar seperti masa dan ruang yang terlibat;

parameter yang menerangkan sifat dan komposisi sistem; dan fungsi daya di

mana pengaruh luaran yang bertindak ke atas sistem.

Bentuk am permodelan matematik dalam persamaan (1.1) boleh membentuk satu persamaan yang mudah atau lebih rumit seperti yang dibincangkan awal tadi. Sebagai contoh, katakan sebuah syarikat pembikinan komponen peredam hidraulik ingin mengetahui kelakuan peredam bila dikenakan suatu daya impak. Alat ujikaji ditunjukkan dalam Rajah 1.2. Beberapa andaian

perlu dibuat iaitu; tidak ada geseran pada peredam dan pada jasad, dan berat peredam jauh lebih kecil dari berat jasad. Permodelan yang mudah suatu peredam ialah dengan mengambil rintangan redaman berkadar terus dengan kelajuan mampatan. Dengan menggunakan hukum Newton, satu jasad yang bergerak boleh dimodelkan melalui

dt dv m ma F 



(1.2)

dengan m ialah jisim jasad dan v ialah kelajuan jasad. Daya yang dialami oleh jasad akan diimbangi oleh rintangan peredam iaitu

cv dt dv

m  (1.3)

dengan c ialah pekali redaman. Ia boleh disusun semula menjadi

v m

c dt

dv_{ (1.4)}

Persamaan di atas boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah analitik atau kakulus mudah. Keadaan sempadan untuk kes di atas ialah halaju v  U pada masa t  0. Seterusnya, ia memberikan

t

Ue

v  dengan c m (1.5) Dengan ini, lengkuk halaju jasad teredam boleh diramalkan melalui permodelan matematik, iaitu mengunakan persamaan (1.5). Ini menunjukkan pada t  ,

v  0.

Mekanisma pengunjur trak

Trak-dengan pemberat

Peredam

Sel foto pengukuran laju Penimbal

Contoh 1.1

Jasad yang ditunjukkan dalam Rajah 1.2 berjisim 5 kg dan bergerak dengan kelajuan 1.5 m/s di kedudukan impaknya. Dengan menggunakan pekali redaman sebagai 25 Ns/m, dapatkan halaju dengan masa yang diambil dengan pertambahan 0.1 s.

Penyelesaian

Gunakan persamaan (1.5) bagi menjalankan proses pengiraan seperti dalam jadual di bawah. t (s) v (m/s) 0.0 1.500 0.1 0.910 0.2 0.552 0.3 0.335 0.4 0.203 0.5 0.123 0.6 0.075 0.7 0.045 0.8 0.027 0.9 0.017 1.0 0.010 1.1 0.006 1.2 0.000  Persamaan (1.5) dinamakan penyelesaian analitik atau tepat. Walaupun contoh 1.1 dapat diselesaikan, terdapat banyak permodelan matematik yang tidak dapat diselesaikan dengan penyelesaian tepat seperti ini. Dalam kes-kes tersebut, penyelesaian berangka digunakan sebagai pilihan penghampiran kepada penyelesaian tepat.

Jika persamaan (1.4) perlu diselesaikan secara berangka, perubahan halaju boleh dibuat dengan

i i i i t t v v t v dt dv         1 1 dengan i i i i i v m c t t v v _     1 1 _. Ini memberikan



i i



i i i v t t m c v v_1 _ _ _1 (1.6) Dengan terbitnya persamaan (1.6), permodelan matematik dapat diselesaikan menggunakan operasi aritmetik yang mudah.

Contoh 1.2

Selesaikan masalah yang diberikan dalam contoh 1.1, tetapi kali ini menggunakan persamaan (1.6).

Penyelesaian

Gunakan persamaan (1.6) bagi menjalankan proses pengiraan dalam jadual di bawah. t (s) v (m/s) 0.0 1.500 0.1 0.844 0.2 0.475 0.3 0.267 0.4 0.150 0.5 0.084 0.6 0.048 0.7 0.027 0.8 0.015 0.9 0.008 1.0 0.005 1.1 0.003 1.2 0.000  Keputusan-keputusan dalam contoh 1.1 dan contoh 1.2 diplotkan dalam Rajah 1.3. Jelas kelihatan dalam pengiraan secara berangka di atas terdapat perbezaan dengan pengiraan sebenar kerana ia adalah penyelesaian hampiran, seperti yang dinyatakan dalam Bahagian 1.1. Walau bagaimanapun, perbezaan ini dapat diperbaiki jika langkah masa dipendekkan.

Satu lagi contoh penggunaan kaedah berangka yang biasa dalam kejuruteraan ialah dalam masalah litar elektrik. Katakan litar elektrik yang ditunjukkan dalam Rajah 1.4 dianalisis dengan menggunakan hukum Kirchhoff pada setiap gelung. Persamaan untuk setiap gelung adalah

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t v Penyelesaian berangka Penyelesaian tepat

RAJAH 1.3 Perbandingan lengkuk halaju untuk contoh 1.1 dan contoh 1.2

V2 R3 R4 R2 R8 R7 R9 R1 R6 R5     I2 I1 I3 I4 V1

RAJAH 1.4 Masalah dalam litar elektrik

Gelung 1: V2R6



I1I2



R9



I1I4



R5I10 Gelung 2: V₁R₁I₂R₇



I₂I₃



R₆



I₂I₁



0 Gelung 3: R₇



I₃I₂



R₂I₃R₃I₃R₈



I₃I₄



0 Gelung 4: R₉



I₄I₁



R₈



I₄I₃



R₄I₄ 0

Kumpulkan semua persamaan di atas dan bentukkan kepada matrik di bawah:

                                                            0 0 0 0 0 0 1 2 4 3 2 1 9 8 4 8 9 8 8 7 3 2 7 7 7 6 1 6 9 6 9 6 5 V V I I I I R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R

Persamaan matriks di atas boleh ditulis dalam bentuk

 

R

   

I  V

dengan [R] ialah matriks rintangan, {I} ialah vektor arus yang hendak dicari dan {V} ialah vektor voltan yang mewakili keadaan sempadan atau fungsi daya untuk kes ini. Persamaan ini boleh diselesaikan dengan menggunakan salah satu kaedah dalam Bab 2.

Dalam kajian keatas sistem, tenaga yang terbentuk adalah berdasarkan hukum imbangan atau hukum keabadian tenaga. Tenaga boleh wujud dalam bentuk tenaga mekanik, haba, tindakbalas kimia, elektromagnet dan lain-lain. Kesemua ini diseimbangkan mengikut hukum keabadian tenaga. Sebagai contoh jika beban dikenakan kepada suatu jasad, jasad tersebut akan mengalami ubahbentuk. Kerja luaran oleh beban dijelmakan kepada tenaga dalaman dan disimpan dalam jasad. Hukum keabadian tenaga menyatakan bahawa kerja luaran seharusnya sama dengan tenaga dalaman. Bila beban dilepaskan tenaga dalaman akan digunakan untuk mengembalikan jasad kepada bentuk asal. Dalam kebanyakan masalah kejuruteraan, hukum keabadian biasanya diungkapkan dalam bentuk

input  output

Jika   0, maka input  output, dan ini dinamakan keadaan mantap. Keadaan mantap dalam kes redaman dalam contoh 1.2 ialah

v m c   0 Ini menyebabkan 0  v . Struktur Litar Reaktor Kenderaan

Contoh-contoh hukum keabadian untuk kes-kes yang digambarkan dalam Rajah 1.5 yang digunakan dalam bidang-bidang kejuruteraan berikut:

1. Bidang Kejuruteraan Awam menggunakan prinsip keabadian daya bagi mendapatkan keseimbangan daya pada sebuah struktur kekuda.

2. Bidang Kejuruteraan Elektrik menggunakan prinsip keabadian tenaga bagi mengira keseimbangan arus dan voltan dalam suatu litar.

3. Bidang Kejuruteraan Kimia menggunakan prinsip keabadian jisim bagi mengira keseimbangan sebuah reaktor.

4. Bidang Kejuruteraan Mekanik menggunakan prinsip keabadian momentum bagi mengira keseimbangan daya dalam sebuah kenderaan.

1.3 Komputer dan Perisian

Kaedah berangka tidak terlepas dari dua perkara; iaitu matematik dan komputer. Matematik diperlukan bagi memodelkan masalah dalam kejuruteraan sehingga terbentuknya formula. Kemudian formula ini didiskretkan melalui kaedah berangka yang sesuai agar mendapat penyelesaian penghampiran. Kaedah ini akan melibatkan banyak nombor di mana penggunaan komputer sangat bersesuaian untuk menjalankan proses pengiraan berangka melalui pembinaan arahan-arahan tertentu. Arahan kepada komputer ini dinamakan perisian.

Bahasa yang digunakan oleh perisian untuk berkomunikasi dengan komputer dikenali sebagai bahasa pengaturcaraan, contohnya BASIC, Algol, Cobol, Pascal, Fortran dan C. Dan, dengan perkembangan pesat dalam teknologi maklumat, muncul pula bahasa pengaturcaraan berorientasikan objek yang banyak digunakan dalam persekitaran bertetingkap, seperti Visual Basic, C dan Java. Program yang ditulis dalam mana-mana bahasa dinamakan kod sumber. Kod ini kemudiannya diterjemahkan kepada bahasa mesin yang difahami oleh mikropemproses komputer supaya dapat komputer tersebut menjalankan pengiraan. Kedua-dua komputer dan perisian mengalami perkembangan yang pesat ketika ini. Komputer yang ada sekarang adalah peribadi (PC), stesyen kerja, kerangka kerja dan superkomputer. Proses atau langkah pembikinan suatu perisian adalah seperti berikut:

1. Reka bentuk algoritma 2. Penulisan aturcara 3. Penyahpijatan dan ujian 4. Dokumentasi

JADUAL 1.1 Simbol-simbol dalam carta alir

Simbol Fungsi

Mula/berhenti Aliran logik Proses atau olahan data

Input/output Pemilihan keputusan

Sendi/perhentian dalam muka yang sama Sambungan ke muka yang berlainan

Gelung kawalan bilangan

Mula 1. Mulakan pengiraan. BEGIN tambah INPUT a INPUT b c = a + b PRINT c END tambah (b) Carta alir c  a  b Masukkan a Masukkan b Cetakkan c Tamat 2. Masukkan nilai pertama.

3. Masukkan nilai kedua.

4. Tambahkan kedua-dua nilai.

5. Cetakkan keputusan.

6. Tamatkan pengiraan.

(a) Algoritma (c) Pseudokod

Reka bentuk algoritma biasanya mengandungi 3 komponen:

1. Algoritma — suatu turutan langkah-langkah logik yang diperlukan untuk menjalankan suatu perkara.

2. Carta alir — persembahan algoritma secara grafik, di mana simbolnya boleh dirujuk kepada Jadual 1.1.

3. Pseudokod — satu set arahan langkah demi langkah yang menghampiri kod komputer.

Sebagai contoh, algoritma, carta alir dan pseudokod untuk satu aturcara penambahan dua angka diberikan dalam Rajah 1.6.

1.4 Ralat

Penyelesaian masalah berangka selalunya memberikan jawapan hampiran yang tidak begitu tepat disebabkan oleh ralat. Oleh itu tujuan utama subjek ini ialah untuk mengetahui samada ketepatan penyelesaian boleh diperbaiki atau, jika tidak, ketidaktepatannya boleh ditentukan. Ralat bukanlah satu kesilapan tetapi lebih merujuk kepada perbezaan di antara nilai sebenar dan kuantiti penghampiran.

Ralat yang timbul dalam bidang sains, kejuruteraan dan lain-lain terbahagi kepada dua, iaitu ralat formula matematik dan ralat penyelesaian berangka. Ralat yang pertama adalah disebabkan andaian yang dibuat semasa penerbitan suatu formula matematik dan tidak akan dibincangkan di sini manakala ralat penyelesaian berangka terbahagi kepada dua jenis, iaitu:

1. Ralat Pangkasan

Semasa menggunakan formula-formula yang tidak terhingga, kita mengambil sebutan terhingga dan sebutan selebihnya dipangkas atau dibuang. Perhatikan siri fungsi sinus di bawah:

   

       



  ! 7 ! 5 ! 3 ! 1 2 1 ) sin( 7 5 3 1 1 2 x x x x i x x n i i i

Ia merupakan suatu siri yang tidak terhingga, di mana n  . Untuk mendapatkan nilai sin(0.5), siri ini harus dipangkas bergantung kepada keperluan kejituan, iaitu nilai n yang dipilih. Contohnya,

  4794270833 . 0 ! 5 5 . 0 ! 3 5 . 0 5 . 0 ! 5 ! 3 ) 5 . 0 sin( : 3 4791666667 . 0 ! 3 5 . 0 5 . 0 ! 3 ) 5 . 0 sin( : 2 5000000000 . 0 ) 5 . 0 sin( : 1 5 3 5 3 3 3                  x x x n x x n x n

dan seterusnya, di mana nilai sebenar sin(0.5)  0.479425539. 2. Ralat Pembundaran

Kebanyakan pengiraan, sama ada yang menggunakan komputer atau tidak, banyak melibatkan bilangan digit atau tempat perpuluhan tidak terhingga, misalnya        359 3.14159265 6 7182818284 2 33 0.33333333 3 1 . e

Oleh itu, nombor-nombor ini perlu dibundarkan kepada n digit tertentu.

Perhatikan bila pangkasan atau pembundaran dilakukan, ia akan menyebabkan ralat. Dalam hal ini, peraturan yang digunakan untuk membundarkan satu nombor yang mempunyai lebih dari n digit kepada n digit adalah:

1. Jika digit n1 5, biarkan n tanpa perubahan, 2. Jika digit n1 5, tambah satu unit digit n.

Contoh berikut menunjukkan bagaimana pembundaran dilakukan kepada empat digit nombor:

2.375231  2.375 2.3776531  2.378

Perhatikan bahawa ralat mutlak kedua-dua contoh di atas memberi nilai kurang dari 0.5  103 atau 0.5E03. Ini menunjukkan bahawa nombor-nombor tersebut

telah dibundarkan dengan betul kepada tiga titik perpuluhan. Ralat perbundaran inilah yang selalu terjadi apabila menggunakan komputer. Komputer akan menjalankan pengiraan operasi aritmetik dengan kepantasan yang tinggi. Oleh itu ukuran terhadap ralat dan hasil operasi aritmetik ini perlu diketahui supaya dapat mengawal keadaannya.

1.4.1 Ukuran Ralat

Jika x* _{adalah penghampiran kepada x, maka}

Ralat, exx

Ralat mutlak  xx

Ralat relatif sebenar

x e x x x _  *

Jika nilai sebenar x tidak diketahui, ralat relatif penghampiran

* x

e



Ralat dalam pengiraan berangka selalunya diberikan oleh ralat relatif penghampiran yang boleh ditulis juga dengan



 







% terkini nilai terdahulu nilai terkini nilai   a e

di mana kedua-dua nilai terkini dan terdahulu merupakan nilai penghampiran. Bagi nombor yang berdekatan dengan satu, ukuran ralat mutlak dan relatif memberi nilai yang hampir sama. Walau bagaimanapun nombor yang tidak menghampiri satu (sama ada sangat besar atau sangat kecil), beza di antara kedua-duanya besar. Ini ditunjukkan dalam contoh-contoh 1.3-5 di bawah.

Contoh 1.3

Andaikan x* _{ 0.123456 dan x  0.12345678. Dapatkan ralat mutlak dan}

ralat relatif sebenar.

Penyelesaian . 10 78 . 0 , 00000078 . 0 , 123456 0 12345678 0 mutlak Ralat 6       . . . 10 632 . 0 , 00000632 . 0 , 12345678 . 0 00000078 . 0 relatif Ralat 5     



Contoh 1.4

Andaikan x* _{ 0.00005 dan x  0.00006. Dapatkan ralat mutlak dan ralat}

relatif sebenar. Penyelesaian . 00001 . 0 , 00005 . 0 00006 . 0 mutlak Ralat    . 16667 . 0 , 00006 . 0 00001 . 0 relatif Ralat  

Ini jelas menunjukkan bahawa perbezaan kedua-dua jenis ralat adalah besar. 

Contoh 1.5

Andaikan x* _{ 0.123456  10}10 _{dan x  0.12345678  10}10_{. Dapatkan ralat}

mutlak dan ralat relatif sebenar.

Penyelesaian





. 10 78 . 0 , 10 00000078 . 0 , 10 123456 . 0 12345678 . 0 mutlak Ralat 4 10 10        . 10 632 . 0 , 10 12345678 . 0 10 00000078 . 0 relatif Ralat 5 10 10      

Ini jelas menunjukkan bahawa perbezaan kedua-dua jenis ralat adalah sangat besar.

1.4.2 Aritmetik dan Perambatan Ralat

Jika pengiraan dijalankan pada suatu nombor yang telah mempunyai ralat, keputusan selanjutnya juga akan mempunyai kesan ralat tadi. Perambatan ralat ialah untuk mengetahui bagaimana ralat asal merambat apabila nombor atau fungsi dijumlahkan, ditolakkan, didarabkan atau dibahagikan dengan suatu nombor atau fungsi lain.

Katakan nilai penghampiran ialah x* _{dan y}* _{daripada nilai sebenar x dan y,}

manakala ralat masing-masing adalah ex dan ey.

Penambahan



 











. , y x y x e e y x e y e x y x             

Maka, perambatan ralat hasil penambahan x dan y adalah e _x e_y atau e_xy, dengan ralat relatif penghampiran ialah

                            y e y x y x e y x x y x e_{x y x y} Penolakan



 











. , y x y x e e y x e y e x y x             

Maka, perambatan ralat hasil penolakan x dan y adalah e _x e_y atau e_xy, dengan ralat relatif penghampiran ialah

                            y e y x y x e y x x y x ex y x y

NOTA: Ralat penambahan dan penolakan mempunyai nilai ralat mutlak yang sama, iaitu: y x y x y x y x e e e e e e      

Pendaraban



 



. , y x x y y x e e e y e x y x e y e x y x               

Abaikan e_xe_y, dan ianya memberikan

x y ye e x y x y x      

Maka, perambatan ralat hasil pendaraban x dan y adalah xe_y ye_x. Ralat relatif penghampiran ialah

      y e x e y x e_{xy x y} Pembahagian



 





  

 

 

 

 

 

 

. , , , , 2 1 2 1 3 2 2 1 1                                     _{  }           y e x y e y x y x y e y e x y x y e y e y e x e y e x e y e x y x y x x y y y x y x y x 

Maka, perambatan ralat x y adalah

        _ _{ } y e x e y x e x y y x

dan, ralat relatif penghampiran ialah

     _y e x e y x e_{xy x y} /

Contoh 1.6

Dapatkan ralat exy jika x*  349.1 dan y*  863.4 dengan ex  0.05 dan ey  0.05. Penyelesaian . 63 . 60 , 05 . 0 4 . 863 05 . 0 1 . 349 ,            x y xy x e y e e

Oleh itu, nilai xy sebenar terletak antara 301412.9  60.6. Ralat relatifnya adalah 0002 . 0    _{ }   y e x e y x e_{xy x y}  1.4.3 Perambatan Ralat dalam Fungsi Satu Pemboleh Ubah

Pertimbangkan:



x



x e x f x f e x x       ) (

Dengan menggunakan pengembangan siri Taylor, didapati









                        ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 2 1 x f x x x f x x x f x f e x f e x f x f _{x x}

Nilai e adalah kecil dan kuasa e boleh diabaikan, maka ) ( ) ( ) (_{x f x}* _{x x}* _{f x}* f     

Seperti biasa, untuk mendapatkan ralat relatif, bahagikan ralat di atas dengan f(x) atau f(x*).

Contoh 1.7

Pertimbangkan fungsi _f

 

_x 5_x37_x30 _{dengan x  3.01 dan x}* _{ 3.}

Penyelesaian

   

 

 

 

3 15

 

3 7 142 7 15 126 30 3 7 3 5 3 2 2 3            f x x f f

 

 

 

. 142 , 142 3 01 . 3 , , mutlak Ralat *             x f x x x f x f e

 

. 1270 . 1 , 126 142 , relatif Ralat    x f e  1.4.4 Perambatan Ralat dalam Fungsi Bermultipemboleh Ubah Andaikan x x ex



dan yye_y, maka f

 

x,y  f



xe_x,ye_y



. Seterusnya, pengembangan siri Taylor akan memberikan

 







,



. , , , y f e x f e y x f y f e x f e y x f y x f y x y x                    _

Maka, ralat f(x,y) adalah

 





y f e x f e y x f y x f ef x y           , ,

dan, syarat bagi nilai ralat mutlak adalah

y f e x f e e_{f x y}        

Ralat relatifnya adalah y f y x f e x f y x f e y x f e_{f x y}         ) , ( ) , ( ) , (

Hubungan ini boleh dilanjutkan kepada n pemboleh ubah sebagai

n x x x f x f e x f e x f e e n               2 1 2 1 Contoh 1.8

Andaikan f(x,y)x y dengan x  10.3  0.1 dan y  3.73  0.01. Dapatkan ralat perambatan bagi fungsi f pada titik (10.3,3.73).

Penyelesaian . 034 . 0 , 73 . 3 3 . 10 01 . 0 73 . 3 1 1 . 0 , 1 , mutlak Ralat 2 2                  y x e y e y f e x f e e y x y x f

Oleh itu, didapati ralat f(x,y)x y pada (10.3, 3.73) adalah 0.034. 

1.5 Ringkasan

Seperti yang dinyatakan dalam Bahagian 1.1, kaedah berangka merupakan kaedah alternatif yang memberikan suatu penyelesaian hampiran kepada suatu masalah matematik atau kejuruteraan. Dalam setengah kes, ia juga boleh menghasilkan penyelesaian tepat, contohnya melalui penggunaan kaedah penghapusan Gauss dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan serentak seperti yang akan disentuh dalam Bab 2 nanti. Namun, dalam kebanyakan kes, ia menghasilkan penyelesaian hampiran dengan ralat tertentu. Oleh itu, kajian dalam kaedah berangka bukan sahaja tertumpu kepada teknik untuk mendapatkan jawapannya sahaja, malah turut meneliti sama ada ralat yang dihasilkannya

adalah cukup kecil untuk membolehkan jawapan tersebut diterima, atau sebaliknya.

Seterusnya, bab-bab selepas ini akan membincangkan teknik-teknik penyelesaian berangka untuk tajuk-tajuk yang telah dikenal pasti dalam Bahagian 1.1 dengan lebih terperinci.

Latihan

1. Terangkan perbezaan istilah berikut: a. Penyelesaian tepat

b. Penyelesaian berangka c. Permodelan matematik d. Permodelan fizikal e. Penyelakuan

2. Berikan satu contoh kejuruteraan bagi setiap tajuk berikut: a. Sistem persamaan linear

b. Punca persamaan c. Interpolasi d. Pengoptimuman e. Kamiran berangka

f. Persamaan kebezaan biasa g. Persamaan kebezaan separa

3. Persamaan anjakan dari contoh 1.1 diberikan seperti berikut:



_e t



U

x 

  

 1

a. Plotkan lengkung anjakan melawan masa untuk persamaan di atas. b. Bangunkan persamaan matematik untuk sistem berjisim m dengan

peredam yang sama mempunyai geseran yang menyebabkan rintangan. Dengan mengambil daya geseran F  1.5 N, dapatkan penyelesaian berangka dan penyelesaian tepat bagi masalah ini. Plotkan lengkung anjakan melawan masa dalam graf yang sama.

4. Bangunkan persamaan kebezaan yang mewakili anjakan untuk sebuah sistem multipegas berkekakuan k1,k2,,kn dengan sebuah peredam

a. bersiri, b. selari.

5. Litar elektrik dalam Rajah 1.4 mempunyai nilai rintangan yang sama R dan sumber voltan yang sama V  V1  V2. Bentukkan semula matriks dan

selesaikan I1, I2, I3 dan I4 dalam sebutan R dan V.

6. a. Bagaimana perkembangan komputer sekarang ini dapat membantu saintis dan jurutera dalam menjalankan kerja mereka.

b. Berikan kelebihan dan kekurangan perisian bahasa pengaturcaraan seperti BASIC, Fortran dan C, berbanding dengan perisian pengkomputeran seperti MatLab, Mathematica dan MathCAD.

7. Binakan algoritma, carta alir dan pseudokod untuk operasi-operasi berikut: a. Pengalihan atau transposisi matriks A bersaiz m  n.

b. Penambahan matriks A bersaiz m  n dengan matriks B bersaiz m  n. c. Pendaraban matriks A bersaiz m  n dengan matriks C bersaiz n  p.

8. Jalankan pengiraan berikut dengan menggunakan kalkulator dan komputer: 998 , 999 , 999 999 , 999 , 999 

Perhatikan perbezaannya dan kirakan ralat. Terangkan mengapa terdapat perbezaan pengiraan yang diberikan oleh dua peralatan tersebut.

9. Dalam matematik, kuantiti ex boleh ditakrifkan dalam bentuk siri sebagai:

 

_

    0 ! exp k k x k x x e

Dapatkan ralat pangkasan dan ralat relatif bagi e untuk bilangan ungkapan 2, 3, 4 dan 5 berbanding dengan nilai sebenar e  2.7182818.

10. Dapatkan ralat mutlak dan ralat relatif bagi: a. x2/9 dan x*0.222,

b.  23.494 dan * 23.496, c. pi dan pi*22/7, d. g 9.8065 dan _g* 10_.

, 02 . 0 30 . 20 , 01 . 0 07 . 4 , 05 . 0 25 . 10       z y x

tuliskan kuantiti-kuantiti berikut berserta dengan ralat mutlaknya: a. xyz,

b. z



x y



,

c. xyz ,

d. xy z.

12. Jika nilai a, b dan c adalah diberi seperti berikut:

, 0003 . 0 0057 . 2 , 002 . 0 230 . 41 , 001 . 0 755 . 25       c b a

dapatkan ralat mutlak dan ralat relatif untuk fungsi-fungsi di bawah: a. f(a,b,c)ab



ac



, b. f(a,b,c)abb c, c. f₍a_,b_,c₎b2 ac_, d. a ac b b c b a f 2 4 ) , , ( 2     .