IMPLEMENTASI BASIS GROEBNER DALAM MENENTUKAN
KEANGGOTAAN IDEAL DI “CAS SINGULAR”
Enik Noviani 1) I Made Sulandra 1)
Hery Susanto 1)s 1)
FMIPA Universitas Negeri Malang
Abstrak: Misalkan , … , , … , suatu ideal, dengan 0 untuk setiap 1, … , . Sisa pembagian polinomial , … , oleh , … , tidak tunggal, tergantung pada urutan , … , . Sisa pembagian tersebut akan tunggal jika , … , basis Groebner. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah keanggotaan ideal, apakah ? perlu dilakukan pembagian oleh basis Groebner. jika dan hanya jika sisa pembagian oleh basis Groebner dari adalah nol. Pada artikel ini disajikan algoritma yang
diimplementasikan pada Sistem Aljabar Komputer Singular untuk memeriksa keanggotaan di dan menghitung koefisien dari kombinasi linearnya.
Kata Kunci: polinomial, basis Groebner, algoritma pembagian, sisa pembagian Dalam artikel ini, menyatakan lapangan (field) dan , … , adalah ring polinomial dengan operasi tambah dan kali baku. Misalkan
, … , , … , dan himpunan
! | , … ,
adalah ideal dari , … , . Selanjutnya disebut ideal yang dibangun oleh dan dinotasikan , … , .
Berdasarkan algoritma pembagian, jika diberikan sebarang polinomial , … , terdapat , … , , # , … , sehingga
! #
dengan syarat lp max)max * * )lp lp +, #+, dengan lp merupakan power product utama dan # disebut sisa pembagian oleh . Ternyata sisa pembagian tersebut tidak tunggal dan tergantung pada urutan pembagian oleh . Sebagai ilustrasi misalkan
, , ,, - . , / , dengan
02 ,/2 3 ,/-0 6 ,/,0 4 /- 2 , 3 / 02/,
, 02 , 3 / - /- 2/
Berikut ini merupakan hasil pembagian oleh , ,, - dengan menggunakan order degrevlex dan 6 / dengan sebarang urutan.
7 ,/-0 -, ,/ 3 , 2 / 8 01 , 0 - 6 / ...(1) 7 ,/-0 -, ,/ 3 , 2 /8 0 - 01 , 6 / ...(2) 7/20 -,/- 3/,0 18 , 7 -, /90 : 9 /, -, /8 0 - 6 / ...(3) 7/20 -,/- 3/,0 18 , 703/ -: ,/ 0 138 - 703/, : ,8 6 / 26/ ...(4) 02 /, 3 0 9 - 3/,0 1 , 0 18/ ...(5) 02 /, 3 - 3 , 01 , 0 ...(6)
Dari persamaan (1) sampai (5) belum dapat disimpulkan bahwa = , ,, - , walaupun sisa pembagian tidak nol. Faktanya, dengan urutan pembagian oleh -, , , dapat disimpulkan bahwa , ,, - , karena sisanya nol.
Untuk persamaan (6) dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks menjadi > 3 , 01 02 /, 3 ? @ >, -? dengan > 3 , 01 02 /, 3 ? @
merupakan matriks koefisien dari .
Basis Groebner untuk , ,, - terhadap order degevlex dengan 6 / adalah A B , B,, B-, B9 , dengan
B 02/,
B, 02 , 3 / , B- /- 2/ - B9 02/
Terlihat bahwa A memuat , ,, - , yaitu A , ,, - C B9
Karena B , B,, B-, B9 merupakan basis Groebner untuk , ,, - dan , ,, - , maka ketika dibagi oleh A dengan suatu urutan tertentu sisanya harus nol. Jika dibagi oleh A dengan urutan B-, B , B,, B9 diperoleh
02 /, 3 B
- 3 , B 01 B, 0 B9 0 yang jika dituliskan dalam bentuk matriks menjadi
D 3 , 01 02 /, 3 0 E @ D B B, B -B9 E
Sisa pembagian oleh basis Groebner adalah tunggal untuk sebarang urutan pembagian B , B,, B-, B9 (lihat lampiran).
Ketika dibagi oleh basis Groebner A B , B,, B-, B9 dengan urutan B-, B , B,, B9 diperoleh koefisien dari B9 adalah nol, tetapi dengan urutan pembagian yang berbeda, koefisien dari B9 dimungkinkan tidak nol (lihat lampiran). Karena
B , B,, B- , ,, - maka perlu dicari hubungan antara B9 dengan , ,, - . Pada artikel ini, akan ditentukan sifat keanggotaan dari suatu polinomial di ideal
, … , . Selain itu, jika akan dicari , … , , … sehingga ! .
Untuk itu perlu disusun suatu algoritma yang akan diimplementasikan pada Sistem Aljabar Komputer Singular.
Basis Groebner
Dari penjelasan sebelumnya terdapat sifat yang menarik dari pembagian polinomial oleh basis Groebner A, yaitu sisa pembagiannya tunggal. Dengan demikian untuk
menentukan keanggotaan polinomial , … , terhadap suatu ideal , … , hanya cukup dilakukan sekali proses pembagian oleh basis Groebner A dari ideal , jika sisa pembagiannya sama dengan 0 maka dan sebaliknya. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa basis Groebner merupakan suatu pembangun khusus dari ideal .
Definisi Untuk setiap , … , , 0, dapat ditulis sebagai
G HI G, HJ ! GK HL
dengan G 0 0 , HM N , dan HI 6 HJ 6 ! 6 HL, dan
• lp HI, sebagai power product utama dari
• lc G , sebagai koefisien utama dari
Definisi Misalkan Q , … , , ideal suku utama dari Q adalah himpunan yang dibangun oleh suku utama dari polinomial-polinomial di Q, yaitu
Lt Q lt | Q
dengan, lt merupakan suku utama dari polinomial .
Dari definisi ini terlihat bahwa, jika ada sebarang Q , … , , maka dapat dibuat suatu ideal yang anggotanya merupakan kombinasi linear dari suku utama polinomial-polinomial di Q.
Teorema Basis Hilbert Misalkan ideal dari , … , maka ada , … , anggota , … , sehingga , … , .
Dengan kata lain, untuk setiap ideal dari , … , mempunyai pembangun hingga, dan dapat ditentukan himpunan pembangunnya tersebut.
Definisi Misalkan , B, S , … , , dengan B 0. Polinomial direduksi ke S oleh B dalam satu langkah jika lp B membagi suku tak nol T yang berada di dan ditulis
U V S dan
S 0lt B BT
Terlihat bahwa proses reduksi terjadi jika ada suku tak nol T (suku utama atau bukan) di yang dapat dibagi oleh lp B . Selain itu, polinomial S yang merupakan hasil reduksi oleh B dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari dan B. Proses reduksi dapat
melibatkan lebih dari satu polinomial dan dapat dilanjutkan sampai tidak ada lagi suku tak nol di S yang dapat dibagi oleh lp , maka S yang seperti ini disebut hasil reduksi oleh yang diberikan dalam definisi berikut ini:
Definisi Misalkan , S, , … , , … , dengan 0 untuk setiap 1, … , ,
dan , … , . Polinomial dikatakan direduksi ke S oleh jika ada barisan index , ,, … , W 1, … , dan barisan polinomial-polinomial S , … , SWX , … ,
sehingga YMI Z[ S YZ[ SMJ , YM\ Z[ …YZ__[ SM]^I WX YM] Z[ S atau dapat ditulis
` VaS
Dari rangkaian reduksi ini, terlihat bahwa S dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari , … , , seperti yang diberikan dalam teorema berikut ini:
Teorema Misalkan , … , , … , 0 0 dan , … , , terdapat
polinomial , … , , # , … , dengan V`a #, sehingga
! #
dan
lp max 7max* *)lp lp +, lp # 8
Definisi Misalkan ideal dari , … , dan A B , … , BW 0 0 . Himpunan A
disebut Basis Groebner untuk , jika untuk setiap 0 0 ada B A sehingga lp B membagi lp .
Input : Ideal , … , b , … , dengan 0 untuk
setiap 1,2, … ,
Output : A B , … , BW suatu Basis Groebner untuk , … ,
Initialization : A c d c ef , gh| i j dengan , j 1,2, … , op While d q do Pilih sebarang f , gh d d c d 0 ef , ghp Q) , g+VraS If S 0 then d c d C f , S | Aoh A c A C S
Terlihat bahwa, jika A merupakan basis Groebner untuk ideal , maka untuk setiap 0 0 pasti dapat direduksi oleh suatu B A, namun dalami definisi ini belum menjamin keberadaan basis Groebner untuk suatu ideal . Selanjutnya akan diberikan beberapa karakteristik dari basis Groebner berkaitan dengan algoritma pembagian dan ideal suku utama.
Teorema Misalkan ideal tak nol dari , … , dan A B , … , BW b 0 0 .
Pernyataan-pernyataan berikut ekivalen: (i) A adalah Basis Groebner untuk . (ii) s Vra0.
(iii) s ∑ S BWu , dan lp max *v*w)lp S lp B + (iv) Lt A Lt
Bukti:
Lihat Adams dan Loustanou (1994 : 33)
Terlihat bahwa jika dan hanya jika hasil reduksi (sisa pembagian) oleh basis Groebner A adalah nol, dan dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari B , … , BW. Tetapi, dari teorema ini belum dapat dipastikan apakah untuk setiap ideal pasti mempunyai basis Groebner. Metode pencarian basis Groebner diberikan oleh Algoritma Buchberger. Dalam algoritma tersebut diperlukan Q-polinomial dan algoritma pembagian.
Definisi Misalkan , g , … , 0 0 dan x lcm 7lp , lp)g+8.
Q-polinomial dari dan g didefinisikan dengan Q) , g+ ltx 0lt)x
g+ g
Dari definisi ini, terlihat bahwa Q) , g+ menghilangkan suku utama dari dan g, sehingga
lp 7Q) , g+8 i max 7lp , lp) g+8.
Selain itu Q) , g+ merupakan kombinsai linear dari , g, dengan koefisien dari adalah y
zw YM dan koefisien dari g adalah 0
y zw)Y{+.
Untuk setiap ideal dari , … , pasti mempunyai himpunan pembangun hingga, dan berdasarkan algoritma Buchberger telah dijamin keberadaan dari basis Groebner A untuk sebarang ideal tak nol .
Terlihat bahwa untuk setiap S 0 yang merupakan hasil reduksi Q) , g+ oleh A ditambahkan ke A (A c A C S ), sehingga A pasti memuat , sehingga menjamin keberadaan dari basis Groebner A.
Proses pencarian S ini pasti berhenti karena dijamin oleh teorema basis Hilbert. Misalkan terdapat S , … , S| dengan A} A}X C S} untuk setiap ~ 1, … , • dan A€ , sehingga A A| , … , , S , … , S| atau A B , … , BW dengan B untuk setiap 1,2, … , dan Ba} S} untuk setiap ~ 1, … , • dan • •. Polinomial Ba} merupakan sisa pembagian Q)B , Bg+ oleh A}X , sehingga
Q) , g+ B ,B, ! a}X B}X Ba} ‚ ƒBƒ a}X
ƒu
Ba} Misalkan x lcm 7lp B , lp)Bg+8, sehingga diperoleh
Ba} Q)B , Bg+ 0 ∑ƒua}X ƒBƒ
zw U„M B 0zw)U„{+Bg0 ∑}ua…X }B}
0 ∑ }uX }B} 7zw U„M 0 8 B ∑}u agX }B} †0zw)U„{+0 1‡ Bg ∑}ugaa…X }B} Dari persamaan ini terlihat bahwa Ba} dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari B , 1,2, … , ~ 0 1.
Perhatikan bahwa:
1) Ba dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari , 1,2, … , .
2) Ba, dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari B , 1,2, … , 1, karena Ba tadi dapat ditulis sebagai kombinasi linear , 1,2, … , , maka jika disubtitusikan Ba ke persamaan Ba, akan diperoleh Ba, sebagai kombinasi linear dari B , 1,2, … , .
3) Ba- dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari B , 1,2, … , 2, dari 2) diperoleh bahwa Ba, dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari B ,
1,2, … , , maka jika disubtitusikan B a, ke persamaan Ba- akan diperoleh B a-sebagai kombinasi linear dari , 1,2, … , .
4) ˆ
5) Jika proses ini dilanjutkan, maka BW juga dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari , 1,2, … , .
Terlihat bahwa untuk setiap B , 1, … , • dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari , 1, … , . Tetapi, yang diperoleh dari algoritma Buchberger hanya basis Groebnernya saja, sedangkan penulisan B untuk setiap 1,2, … , • sebagai kombinasi linear dari , 1, … , belum bisa ditentukan. Dengan demikian, untuk menentukan keaggotaan polinomial di dan koefisien dari kombinasi linearnya diperlukan modifikasi terhadap Algoritma Buchberger.
Misalkan B merupakan matiks koefisien dari penulisan B , 1,2, … , • sebagai kombinasi linear dari , … , . Untuk 1,2, … , ,
B )Gg +
Perhatikan bahwa untuk 1, maka
Ba Q)B , Bg+ 0 ‚ ƒBƒ ƒu
, apabila ditulis dalam bentuk perkalian matriks menjadi
Ba †lt B B ‡L B •lt)B0L g+BgŽ )Bg+ 0 ‚ ƒu ƒ )Bƒ+ Sehingga Ba )Gƒ +, dengan Gƒ • • ‘ • ’zw U„M 0 , untuk ” X„ zw)U{+0 g, untuk ” j 0 , untuk lainnya o ,” 1,… ,
Dengan cara yang sama untuk 2, 3, … , • koefisien dari kombinasi linear B juga dapat dituliskan dalam bentuk matriks. Dengan menambahkan penulisan B sebagai kombinasi linear dari , … , pada algoritma Buchberger, akan diperoleh dua hal dalam algoritma yang baru, yaitu basis Groebner dan koefisien dari kombinasi linear B .
Teorema Misalkan A B , … , BW , … , 0 0 . Himpunan A merupakan basis
Groebner jika dan hanya jika untuk setiap , … , , sisa pembagian oleh A adalah tunggal.
Bukti:
Lihat Adams dan Loustanou (1994 : 34)
Misalkan , … , b , … , 0 0 , , … , dan Ideal dengan A B , … , BW merupakan Basis Groebner untuk . Untuk menentukan keanggotaan di hanya diperlukan sekali pembagian oleh A, karena sisa pembagian oleh A dijamin ketunggalannya.
Jika , berdasarkan teorema, diperoleh
B ! WBW dengan , … , untuk setiap 1,2, … , • .
Padahal jika dan pembangun dari , maka dapat ditulis sebagai
S ! S
Berdasarkan algoritma Bucberger, untuk setiap B , 1,2, … , • dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari , 1,2, … , , sehingga dengan melakukan subtitusi balik B yang telah ditulis sebagai kombinasi linear dari , … , ke akan diperoleh penulisan sebagai kombinasi linear dari , … , .
Algoritma untuk menentukan keanggotaan ideal dan koefisien kombinasi linearnya
Dalam algoritma ini, selain dapat menentukan keanggotaan polinomial di ideal
, … , b , … , dengan 0 untuk setiap 1,2, … , , untuk
dapat mencari , … , 1, …, – sehingga memenuhi ! .
Hal ini dikarenakan pada algoritma yang baru dilakukan modifikasi terhadap algoritma Buchberger, yaitu dengan menambahkan suatu prosedur untuk menuliskan koefisien kombinasi linear dari B A B , … , BW (A merupakan basis Groebner untuk ideal )
terhadap himpunan pembangun ideal , yaitu , … , . Algoritma yang dimaksud adalah sebagai berikut:
Selanjutnya algoritma ini dapat dituliskan dalam Sistem aljabar computer Singular, berikut ini merupakan contoh implementasi dari ilustrasi yang diberikan di depan, yaitu menentukan keanggotan di — , / .
Keterangan dari hasil yang dikeluarkan oleh program adalah sebagai berikut: 1. Ouput yang pertama ini digunakan untuk menentukan apakah .
Jika tertulis simbol 1, hal ini menandakan bahwa , dan jika tertulis simbol 0, ini menandakan bahwa =
2. Output yang kedua ini merupakan koefisien dari kombinasi linear dari terhadap unsur pembangunnya.
Input : * ideal , … , b , … , dengan 0
untuk setiap 1,2, … ,
* , … ,
Output : (1) = atau
(2) dan himpunan terurut , … , yang
memenuhi !
Initialization : c B | 1,2, … , dengan B
merupakan koefisien matriks B A c
A˜ c ef , gh| g Ap
Matrix Stmpš //matriks koefisien dari Q) , g+ Matrikx mHš //matriks koefisien dari hasil bagi While A˜ q do • Pilih f , gh A˜ • x lcm 7lp , lp)g+8 • Q) , g+VraS • If S 0 then A c A C S Stmp czw Y„M †zw)YX„{+‡ œg• mH c ∑|r|}u } } –B c Stmp 0 mH A˜ c A˜ C f , S |ž Ah 0 f , gh Stmpš c 0š mHš c 0š • Else A˜ c A˜ 0 f , gh r V If 0 then • ∑ }u } } Return(1, , … , )
Contoh 1:
Pada contoh ini, yang dikelua
Contoh 2:
Pada contoh ini, yang dikelua
Kesimpulan
1. Jika mer
merupakan ideal dari ditentukan basis Grob 2. Misalkan
setiap dapat ditulis setiap dapat dit menggunakan Sistem Selain dapat digunakan untuk modifikasi algoritma ini dapa inversnya ada. Pembaca yang menentukan penelitian tentan
Daftar Rujukan:
Adams, W. William and Lous Amerika: American M Adkins, William A. and Wein
Theory. Amerika: Spr
Gallian, J.A. 1990. Contempo Company.
Gilbert, Jimmie and Gilbert, L Brookscole.
yang dikeluarkan oleh program adalah simbol yang artinya
yang dikeluarkan oleh program adalah simbol yang artinya
merupakan ring polinomaial atas lapangan dan an ideal dari , dengan menggunakan Cas Singular an basis Grobner untuk .
merupakan Basis Groebner untuk ideal , maka dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari , sehingga un dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari denga nakan Sistem aljabar computer Singular.
unakan untuk memeriksa keanggotaan ideal, dengan melakukan s dapat digunakan untuk mencari invers di
Pembaca yang berminat dapat juga menggunakan program ini untu elitian tentang kelipatan persekutuan terkecil (KPK).
iam and Loustaunau Philippe. 1994. An Introduction to Grobner : American Mathematical Society.
A. and Weintraub, Steven H. 1992. Algebra an Approach via M Amerika: Springer-Verlag.
ontemporary Abstract Algebra. United State of America: He
and Gilbert, Linda. 1999. Elements of Modern Algebra. Amerika g artinya dan g artinya . s Singular dapat , maka untuk , sehingga untuk dengan melakukan sedikit ketika gram ini untuk
robner Bases. h via Module
America: Heath and Amerika:
Lampiran 7 ,/-0 -, ,/ 3 , 2 /8 B 01 B, 0 B- 03 B9 0 7 ,/-0 -, ,/ 3 , 2 /8 B 01 B, 03 B9 0 B- 0 7 ,/-0 -, ,/ 3 , 2 /8 B 0 B- 01 B, 03 B9 0 7 ,/-0 -, ,/ 3 , 2 /8 B 0 B- 03 B9 01 B, 0 7 ,/-0 -, ,/ 3 , 2 /8 B 03 B9 0 B- 01 B, 0 7 ,/-0 -, ,/ 3 , 2 /8 B 03 B9 01 B, 0 B- 0 7/20 -,/- 3/,0 18 B, 7 -, /90 : 9 /, -, /8 B 0 B- 03 B9 0 7/20 -,/- 3/,0 18 B, 7 -, /90 : 9 /, -, /8 B 03 B9 0 B- 0 7/20 -,/- 3/,0 18 B, 703/ -: ,/ 0 138 B- 703/ -: ,8 B 03 0 13 B9 0 7/20 -,/- 3/,0 18 B, 703/ -: ,/ 0 138 B- 703/-0 3 : ,/ 0 138 B9 0 B 0 7/20 -,/- 3/,0 18 B, 7 -, /20 : 9 / -, /,0 3 8 B9 0 B 0 B- 0 7/20 -,/- 3/,0 18 B, 7 -, /20 : 9 / -, /,0 3 8 B9 0 B 0 B 0 02 /, 3 B - 3 , B 01 B, 0 B9 0 02 /, 3 B - 3 , B 0 B9 01 B, 0 02 /, 3 0 9 B - 3/,0 1 B, 0 B 09 B9 0 02 /, 3 0 9 B - 3/,0 1 B, 09 B9 0 B 0 02 /, 3 B - 3 ,/ B9 0 B 01 B, 0 02 /, 3 B - 3 ,/ B9 01 B, 0 B 0 7 ,/90 -, ,/, 3 ,/ 2 /,0 3 8 B9 0 B 01 B, 0 B- 0 7 ,/90 -, ,/, 3 ,/ 2 /,0 3 8 B9 0 B 0 B- 01 B, 0 7 ,/90 -, ,/, 3 ,/ 2 /,0 3 8 B9 01 B, 0 B 0 B- 0 7 ,/90 -, ,/, 3 ,/ 2 /,0 3 8 B9 01 B, 0 B- 0 B 0 7 ,/90 -, ,/, 3 ,/ 2 /,0 3 8 B9 0 B- 0 B 01 B, 0 7 ,/90 -, ,/, 3 ,/ 2 /,0 3 8 B9 0 B- 01 B, 0 B 0
