PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2017 BAGIAN A OLEH : SUKAMTO, S.Pd., Gr. GURU SMPN KAMBATA MAPAMBUHANG SUMBA TIMUR

(1)

Created ‘n Publish by Sukamto, S.Pd., Gr. https://kamtoalrasyid84.wordpress.com

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2017

BAGIAN A

OLEH : SUKAMTO, S.Pd., Gr.

GURU SMPN KAMBATA MAPAMBUHANG – SUMBA TIMUR

1. Misalkan 𝑛 adalah suatu bilangan bulat positif. Jumlah tiga bilangan prima 3𝑛 − 4, 4𝑛 − 5, dan 5𝑛 − 3 adalah …. A. 12 B. 14 C. 15 D. 17 Pembahasan: Untuk 𝑛 = 2  3𝑛 − 4 = 3.2 − 4 = 2 (prima)  4𝑛 − 5 = 4.2 − 5 = 3 (prima)  5𝑛 − 3 = 5.2 − 3 = 7 (prima) Jumlah = 2 + 3 +7 = 12 (Jawab A)

2. Diketahui 𝑎 dan 𝑏 adalah dua bilangan bulat positif, serta 𝑏 merupakan bilangan ganjil yang lebih kecil dari pada 2017. Jika

12

1

4

1 



b

a

, maka pasangan bilangan (𝑎, 𝑏) yang mungkin ada sebanyak …. A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 Pembahasan:

12

1

4

1 



b

a

b

1

12

1

4 



a

b

12

4 



12

4 

a



a

b

12

48 



a

b

12

576

48 





a

b

Karena 𝑏 bilangan bulat maka

12

576 

a

juga harus bilangan bulat, sehingga 𝑎 − 12 adalah factor dari 576.

Faktor 576 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 144, 192, 288, 576 Karena 𝑏 bilangan ganjil maka

12

576 

a

juga harus bilangan ganjil. Ini dipenuhi jika 𝑎 − 12 sama dengan 576, 192, 64. Cek!  𝑎 − 12 = 576 maka 𝑎 = 588 dan

49

576

48 



b

 𝑎 − 12 = 192 maka 𝑎 = 204 dan

51

192

576

48 



b

 𝑎 − 12 = 64 maka 𝑎 = 76 dan

57

64

576

48 



b

(2)

Jadi ada 3 pasang bilangan yang mungkin. (Jawab B)

3. Grafik berikut mengilustrasikan lomba lari 100 m yang diikuti oleh tiga siswa A, B, dan C. Berdasarkan grafik tersebut pernyataan yang benar adalah ….

A. Pelari C selalu berlari paling depan. B. Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis. C. Pelari A paling cepat berlari sampai ke garis finis.

D. Pelari B memenangi lomba karena berlari dengan kecepatan konstan. Pembahasan:

Lihat grafik

 Pada detik-detik awal grafik A selalu paling atas. Artinya A berada paling depan. Namun A tidak pernah mencapai garis finish.

 Pada awalnya grafik B berada di atas C. Artinya B di depan C. Namun pada detik-detik terakhir C berhasil menyalip B. hal ini dilihat dari C menyentuh finis dalam waktu tercepat.

(Jawab B)

4. Jika bilangan bulat positif 𝑥 dan 𝑦 merupakan solusi sistem persamaan linear

         p y x p y x 2 25 2 6 2

maka banyak nilai 𝑝 adalah …. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Pembahasan: p y x p y x p y x p y x 2 25 2 12 2 4 2 1 2 2 25 2 6 2               5y4p13

5

13

4 



p

y

Karena 𝑦 positif maka

4

13

0

13

4 p







p





p



p y x p y x p y x p y x 4 50 2 4 6 2 2 1 2 25 2 6 2               5x563p

5

3

56 p

x





Karena 𝑥 positif maka

18

3

56

3

0

3

56 





















p

Jadi 𝑝 = 4, 5, 6, …… , 18

Dan nilai 𝑝 yang memenuhi adalah 7, 12, 17 Cek!

(3)

Created ‘n Publish by Sukamto, S.Pd., Gr. https://kamtoalrasyid84.wordpress.com Untuk 𝑝 = 7 maka

7

5

7 .

3

56 

_



x

dan

3

5

13

7 .

4 

_



y

Untuk 𝑝 = 12 maka

4

5

12 .

3

56 

_



x

dan

7

5

13

12 .

4 

_



y

Untuk 𝑝 = 17 maka

1

5

17 .

3

56 

_



x

dan

11

5

13

17 .

4 

_



y

Jadi nilai 𝑝 yang memenuhi ada 3 (Jawab B)

5. Diketahui fungsi memenuhi persamaan

 

x x x f x f        2 2 1

5 , untuk 𝑥 ≠ 0. Nilai 𝑓(1) sama

dengan …. A.

7

3

B.

14

3

C.

18

3

D.

7

1

Pembahasan:

 

x x x f x f        2 2 1 5

   

 

2

1

2

5

1

4

5

2

5

1

25

1

5

2

1

4

2

5

2

1 untuk

1

2

1

5

1 untuk

























f

x

f

x

 

2

9

1

21 f



 

14

3

42

9

1 



f

(Jawab B)

6. Pada jajar genjang , jarak antara sepasang sisi sejajar pertama adalah 4 cm dan jarak antara sepasang sisi sejajar lainnya adalah cm. Luas jajar genjang ABCD adalah ….

A. minimal 36 cm2 B. tepat 36 cm2 C. maksimal 36 cm2 D. Antara 36 cm2_{dan 81 cm}2_. Pembahasan: Perhatikan gambar! Kasus I E A B C D F 4 9

(4)

Perhatikan AFD siku-siku di titik F, sehingga 𝐴𝐹 = √𝐴𝐷2_{− 𝐷𝐹}2_{= √𝐴𝐷}2_{− 4}2_{= √𝐴𝐷}2_{− 16.} Syarat pada sebuah segitiga, sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah sisi-sisi yang lain, sehingga diperoleh 𝐴𝐷 < 𝐴𝐹 + 𝐷𝐹 𝐴𝐷 < √𝐴𝐷2_{− 16 + 4} 𝐴𝐷 − 4 < √𝐴𝐷2_{− 16} (𝐴𝐷 − 4)2 _{< (√𝐴𝐷}2_{− 16)}2 𝐴𝐷2− 8𝐴𝐷 + 16 < 𝐴𝐷2− 16 −8𝐴𝐷 < −32 𝐴𝐷 > 4 Luas ABCD = 𝐴𝐷 × 𝐵𝐸

Karena 𝐴𝐷 > 4 maka luas ABCD > 4 × 9 = 36 (baca: luas ABCD lebih besar dari 36). Kasus II

Apakah mungkin 𝐴𝐷 = 4?

Jika 𝐴𝐷 = 4 maka 𝐴𝐷 berimpit dengan 𝐷𝐹 sehingga 𝐴𝐵𝐶𝐷 merupakan persegi panjang , sehingga luas ABCD = 4 × 9 = 36. Karena persegi panjang merupakan jajar genjang maka dapat

dimungkinkan luas ABCD = 36.

Dari dua kasus di atas maka luas minimum jajar genjang adalah 36. (Jawab A)

7. Lingkaran pada gambar berikut mempunyai radius 1 satuan panjang dan ∠𝐷𝐴𝐵 = 30°. Luas daerah trapesium yang diarsir adalah ….

A.

2

1

B. 1 C.

3

2

1

D.

3

2

1

2

1 

Pembahasan: Perhatikan gambar!

Perhatikan ∆𝐴𝐸𝐷 siku-siku di E dengan perbandingan sudut 30°, 60°, dan 90°, sehingga perbandingan DE : AE : AD = 1 ∶ √3 ∶ 2

Karena panjang AD = 2 maka AE = √3 dan DE = 1 Luas ∆𝐴𝐸𝐷 =1 2× 𝐴𝐸 × 𝐷𝐸 = 1 2× √3 × 1 = 1 2√3 Panjang OM = 1 2𝐴𝐸 = 1 2√3 Panjang MN = ON – OM = 1 −1 2√3 Luas EBCD = 𝐷𝐸 × 𝑀𝑁 = 1 × (1 −1 2√3) = 1 − 1 2√3 Luas ABCD = Luas ∆𝐴𝐸𝐷 + Luas EBCD = 1₂√3 + 1 −1₂√3 = 1 (Jawab B) A B C D E 1 1 30° O 60° M N 90°

(5)

8. Diketahui persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan 𝐴𝐵 = 12 dan 𝐵𝐶 = 5. Panjang lintasan 𝐷𝑃𝑄𝐵 pada gambar berikut adalah ….

A.

13

113

B.

13

120

C. 13 214 D. 13 239 Pembahasan: Perhatikan gambar

Perhatikan ∆𝐴𝐵𝐶 siku-siku di B, sehingga 𝐴𝐶 = √122_{+ 5}2_{= √169 = 13}

Dengan menggunakan kesamaan Luas ∆𝐴𝐵𝐶, maka 1 2× 𝐴𝐵 × 𝐵𝐶 = 1 2× 𝐴𝐶 × 𝐵𝑄 1 2× 12 × 5 = 1 2× 13 × 𝐵𝑄 60 = 13𝐵𝑄 𝐵𝑄 =60 13 Panjang 𝐷𝑃 = 𝐵𝑄 =60 13 Panjang 𝑄𝐶 = √𝐵𝐶2_{− 𝐵𝑄}2_{= √5}2₋60 13 2 = √4225−3600₁₆₉ =25₁₃ Panjang 𝑃𝑄 = 13 −25₁₃−25 13= 169−25−25 13 = 119 13 Panjang lintasan = 𝐷𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵 = 60₁₃+119 13 + 60 13 = 239₁₃ (Jawab D)

9. Diketahui 𝑀 = {10,11,12,13, … … ,99} dan 𝐴 adalah himpunan bagian dari 𝑀 yang mempunyai 4 anggota. Jika jumlah semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak

himpunan 𝐴 yang mungkin adalah A. 1.980 B. 148.995 C. 297.990 D. 299.970 Pembahasan: 𝑀 = {10,11,12,13, … … ,99}

𝑀 memiliki 45 anggota bilangan genap dan 45 bilangan ganjil. 𝐴 himpunan bagian dari 𝑀 yang memiliki 4 anggota.

Jumlah semua anggota 𝐴 adalah genap maka kemungkinannya adalah  Anggota A semua genap (4 genap)

𝐶4 45 = 45! 41!.4! = 45.44.43.42.41!_41!.4.3.2 = 148.995 A _B C D P Q 12 12 5 5 A B C D P Q

(6)

 Anggota A semua ganjil (4 ganjil) 𝐶4 45 = 45! 41!.4! = 45.44.43.42.41!_41!.4.3.2 = 148.995

 Anggota A 2 genap 2 ganjil 𝐶2 45 .45𝐶2= 45! 43!.2!. 45! 43!.2! = 45.44.43! 43!.2 . 45.44.43! 43!.2 = 980.100

Jumlah semua kemungkinan adalah 148.995+148.995+980.100 = 1.278.090

(tidak ada jawaban)

10. Dari 4 pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, dan 𝑥4. Jika jangkauan data tersebut adalah 16, 𝑥1=

1

6 median, 𝑥2= 1

2 median, dan 𝑥3= 𝑥4, maka nilai rata rata data tersebut adalah ….

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 Pembahasan: Barisan : 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4  𝑥3= 𝑥4  𝑥2= 1 2𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑥2= 1 2( 𝑥3+𝑥2 2 ) 4𝑥2= 𝑥3+ 𝑥2 𝑥3= 3𝑥2 ↔ 𝑥2= 1 3𝑥3  𝑥1= 1 6𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑥1= 1 6( 𝑥₃+𝑥₂ 2 ) 12𝑥1= 3𝑥2+ 𝑥2 12𝑥1= 4𝑥2 𝑥1= 1 3𝑥2 𝑥1= 1 3. 1 3𝑥3= 1 9𝑥3  Jangkauan = 16 𝑥4− 𝑥1= 16 𝑥3− 1 9𝑥3= 16 8₉𝑥3= 16 𝑥3= 16 ×9 8= 18  𝑥1=1₉× 18 = 2  𝑥2= 1 3× 18 = 6  𝑥4= 𝑥3= 18 Rata-rata = 2+6+18+18 4 = 44 4 = 11 (Jawab B)

MOHON DIKOREKSI JIKA ADA KESALAHAN. TERIMA KASIH

(7)

Created ‘n Publish by Sukamto, S.Pd., Gr. https://kamtoalrasyid84.wordpress.com Misal DE = 2a Maka MD = MB = BF = DF = a

MB

CD

ME

ED

_

a

CD

a



3

2

3 2a

CD



Luas ∆𝐶𝐷𝐸 =1 2× 2𝑎 × 2 3𝑎 6 =2 3𝑎 2 𝑎2= 6 ×3 2= 9 𝑎 = 3 Luas ∆𝐴𝐵𝐶 =1₂× 𝐴𝐶 × 𝐵𝐹 Luas ∆𝐴𝐵𝐶 =1₂× (𝐴𝐹 + 𝐶𝐹) × 𝐵𝐹 Luas ∆𝐴𝐵𝐶 =1₂× (𝑎 +1 3𝑎) × 𝑎 Luas ∆𝐴𝐵𝐶 =1₂× (3 +1₃. 3) × 3 Luas ∆𝐴𝐵𝐶 =1₂× 4 × 3 Luas ∆𝐴𝐵𝐶 = 6