Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kota 2014 (Bagian A) www.olimattohir.blogspot.com

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI

TINGKAT KABUPATEN / KOTA

TAHUN 2014

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL

DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

BIDANG STUDI MATEMATIKA

WAKTU : 150 MENIT

8 Maret 2014

BAGIAN A: PILIHAN GANDA

1. Sepuluh orang guru akan ditugaskan pada tiga sekolah, yakni A, B, dan C, berturut-turut sebanyak dua, tiga, dan lima. Banyaknya cara yang mungkin untuk menugaskan kesepuluh gusu tersebut adalah ....

A. 2520 sebanyak 2, 3, dan 5. Permasalahan ini termasuk permutasi berulang, karena ada 10 unsur dengan 3 unsur yang muncul yaitu 2 unsur pertama, 3 unsur kedua, dan 5 unsur ketiga, sehingga di

Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 2. Berikut diberikan data siswa kelas VIII SMP Bina Prestasi. Tiga perlima bagian dari seluruh siswa adalah perempuan. Setengah dari siswa laki-laki diketahui pergi kesekolah naik bus sekolah, sedangkan siswa perempuan hanya seperenamnya yang persegi ke sekolah naik bus sekolah. Diketahui juga bahwa terdapat 147 siswa pergi ke sekolah tidak naik bus sekolah. Banyak siswa kelas VIII sekolah tersebut adalah ....

A. 330

B. 245

C. 210

D. 193

Pembahasan:

Misalkan banyak siswa seluruhnya adalah n banyak siswa perempuan adalah p banyak siswa laki-laki adalah l

banyak siswa perempuan naik bus adalah pb banyak siswa laki-laki naik ikut bus adalah lb banyak siswa perempuan tidak ikut bus adalah pt banyak siswa laki-laki tidak ikut bus adalah lt

Diketahui: p =

dari persamaan (1) di dapat bahwa banyak siswa laki-laki adalah l = 5 2

n ....(5)

dari persamaan (2) di dapat bahwa banyak siswa laki-laki tidak ikut bus adalah lt = 2 1

l ....(6)

dari persamaan (3) di dapat bahwa banyak siswa perempuan tidak ikut bus adalah pt = 6 5

p ....(7) sehingga persamaan (4) menjadi:

pt + lt = 147  berdasarkan persamaan (1) dan (5) serta (8) diperoleh

6

3. Diketahui FPB dan KPK dari 72 dan x berturut-turut adalah 3 dan 1800. Pernyataan berikut yang benar adalah ....

A. x kelipatan 5 B. x kelipatan 72 C. x kelipatan genap D. x kelipatan faktor dari 3

Pembahasan:

Alternatif (1)

Diketahui FPB dari 72 dan x adalah 3 KPK dari 72 dan x adalah 1800

Untuk menentukan nilai x, kita perlu terlebihdulu mencari faktor prima dari 72 dan mencari pola untuk mencari faktor prima dari x, yaitu sebagai berikut:

Kemudian kita cari faktor prima dari 72, yaitu 23 × 32

Karena KPK dari 72 dan x adalah 1800 dan FPB dari 72 dan x adalah 3,

maka faktor prima yang mungkin dari x adalah 3 × 72 1800

= 3 × 25 = 75

Dengan demikian nilai x adalah 75 Jadi, x termasuk kelipatan 5 atau 3

Alternatif (2)

Diketahui FPB dari 72 dan x adalah 3 KPK dari 72 dan x adalah 1800

Berdasarkan suatu teorema, yaitu: “Misalkan a dan b adalah suatu bilangan bulat, d adalah FPB(a, b), dan l adalah KPK(a, b). Maka ab = FPB(a, b) × KPK(a, b)”

Sehingga diperoleh

FPB(72, x) × KPK(72, x) = 72 × x 3 × 1800 = 72x

x = 72 1800 3

x = 75 Jadi, x termasuk kelipatan 5 atau 3

4. Diberikan empat bilangan a, b, c, dan d. Jika rata-rata a dan b adalah 50, rata-rata b dan c adalah 75, serta rata-rata c dan d adalah 70, maka rata-rata a dan d adalah ....

A. 35

B. 45

C. 50

D. 55

Pembahasan:

Menurut informasi dari soal, bahwa rata-rata a dan b adalah 50, rata-rata b dan c adalah 75, serta rata-rata c dan d adalah 70

Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh a + b = 100

b + c = 150 --- –

a – c = – 50 ....(4)

berdasarkan persamaan (4) dan (3) diperoleh a – c = – 50 menjadi 78. Jika nilai A tiga kali nilai B, maka selisih antara nilai A dan B adalah ....

A. 15

Diketahui - Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80

- Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78 - Nilai A tiga kali nilai B

Kemudian membuat persamaan matematika dari 3 hal yang diketahui, yaitu sebagai berikut:

- Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80  80

- Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78

Dari persamaan (2) dan (1) diperoleh

∑28 siswa + A + B = 2340  2240 + A + B = 2340

 A + B = 2340 – 2240

 A + B = 100 ...(4) Berdasarkan persamaan (4) dan (3) didapat

A + B = 100  3B + B = 100  4B = 100

 B = 25 ...(5)

Sehingga dari persamaan (4) dan (5) diperoleh A + B = 100  A + 25 = 100

 A = 75

Dengan demikian A – B = 75 – 25 = 50 Jadi, selisih antara nilai A dan B adalah 50

Alternatif (2)

Misalkan banyak siswa 28 siswa adalah n1 = 28

Banyak siswa A dan B adalah n2 = 2 = A + B nilai rata-rata 28 siswa adalah x₁= 80

nilai rata-rata Siswa A dan B adalah x₂ nilai rata-rata seluruhnya adalah x= 78 diketahui nilai A = 3B ...(1)

Berdasarkan persamaan (2) dan (1) didapat A + B = 100  3B + B = 100

 4B = 100

 B = 25 ...(3)

Sehingga dari persamaan (2) dan (3) diperoleh A + B = 100  A + 25 = 100

 A = 75

Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 6. Diketahui persamaan kurva y = x3 + 4x2 + 5x + 1 dan y = x2 + 2x – 1. Jika kedua kurva

digambarkan pada bidang yang sama, maka banyak titik potong kedua kurva tersebut adalah …. A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pembahasan:

Diketahui: y= x3 + 4x2 + 5x + 1 dan y = x2 + 2x – 1

Untuk menentukan titik potong, maka persamaan kedua kurva harus sama, yakni x3 + 4x2 + 5x + 1 = x2 + 2x – 1

x3 + 3x2 + 3x + 2= 0 (x + 2)(x2 + x + 1) = 0

x = – 2 dan x2 + x + 1 = 0 (karena D = 12– 4(1)(1) < 0, maka tidak terdapat titik potong)

Jadi, hanya ada 1 titik potong.

Ilustrasi grafik dari kedua kurva, sebagai berikut:

7. Jika 3n adalah faktor dari 1810, maka bilangan bulat terbesar n yang mungkin adalah …. A. 10

B. 15

C. 18

D. 20

Pembahasan:

Diketahui 3n adalah faktor dari 1810

Karena 3nmerupakan faktor dari 1810, maka ada suatu bilangan bulat yang apabila dikalikan dengan 3n akan menghasilkan 1810. Misalkan bilangan tersebut adalah a, yakni sebagai berikut: 1810 = 3n × a  1810 = 3n × a

 (9 × 2)10

= 3n × a  (32

× 2)10 = 3n × a  320

× 210 = 3n × a Hal ini dapat ditulis 320 = 3n dan 210 = a Dengan demikian,

dari persamaan 320 = 3n di dapat bahwa n = 20

Jadi, nilai bilangan bulat terbesar n yang mungkin adalah 20. y = x2 + 2x – 1

8. Pada sebuah bidang terdapat sepuluh titik. Di antara sepuluh titik tersebut tidak ada tiga titik atau lebih yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dengan menghubungkan sebarang tiga titik pada bidang tersebut adalah ….

A. 30

B. 60

C. 100

D. 120

Pembahasan:

Diketahui: sebuah bidang terdapat sepuluh titik dan tidak ada tiga titik atau lebih yang segaris Artinya adalah ada 10 unsur dari 3 unsur yang akan dibentuk, yakni

10C3 =





Jadi, Banyak segitiga yang dapat dibentuk dengan menghubungkan sebarang tiga titik pada bidang tersebut adalah 120

9. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 2 satuan. Titik O adalah titik potong dua diagonal pada bidang BCFG. Jarak titik O ke bidang BCEH adalah .… satuan.

A.

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Karena titik O adalah perpotongan dua diagonal bidang kubus, maka panjang OP = 1 satuan dan besar sudut OPS = 45o, maka SO = 1 satuan

Dengan demikian PS2 = PO2 + SO2 PS2 = 12 + 12 PS2 = 2 PS = 2

Luas segitiga POS = 2 1

× PO × SO

2 1

× PS × TO = 2 1

× 1 × 1

2 × TO = 1

TO = 2 1

TO = 2

2

Jadi, Jarak titik O ke bidang BCEH adalah 2

2

satuan.

10. Perhatikan diagram batang berikut.

Pernyataan berikut yang salah adalah ….

A. Modus pada gambar A < Modus pada gambar B

B. Median pada gambar A < Median pada gambar B

C. Quartil 1 pada gambar A < Quartil 1 pada gambar B

D. Rata – rata pada gambar A = Rata – rata pada gambar B

Pembahasan:

Berdasarkan ilsutrasi gambar di atas, maka nilai Gambar A dan Gambar B adalah sama.

Sehingga rata-rata kedua gambar tersebut juga sama.

Jadi, Rata – rata pada gambar A = Rata – rata pada gambar B

11. Banyak pasangan (x, y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi x2 = y2 + 100 adalah …. A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pembahasan:

Diketahui x2 = y2 + 100, dengan x dan y bilangan asli

x2 = y2 + 100  x2– y2 = 100  (x – y)(x + y) = 100

artinya adalah (x – y)(x + y) merupakan faktor-faktor pasangan dari 100, yaitu

1 dan 100

2 dan 50

4 dan 25 5 dan 20 10 dan 10

Dari kelima pasangan tersebut yang memenuhi adalah 2 dan 50, karena (x – y)(x + y) = 100

(2)(50) = 100

x – y = 2 x + y = 50 --- +

2x = 52

x = 26  y = 24

Jadi, Banyak pasangan (x, y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi x2 = y2 + 100 adalah 1, yaitu (26, 27)

12. Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil

penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak

tertutup terhadap operasi pembagian karena ada hasil bagi dari sepasang bilangan bulat yang

bukan bilangan bulat. Jika A = {0,2,4,6,....} adalah himpunan bulat positif genap, maka pernyataan berikut yang benar adalah …

A. Himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian saja

B. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan saja

C. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Pembahasan:

Diketahui

- Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat

- Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak tertutup terhadap operasi pembagian karena ada hasil bagi dari sepasang bilangan bulat yang bukan bilangan bulat.

Jadi, pernyataan yang paling benar adalah Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

13. Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi – sisinya 2 satuan. Selanjutnya, dibentuk segitiga kedua dengan menghubungkan tiga titik tengah pada masing – masing sisi segitiga ABC. Dengan cara serupa, dibentuk segitiga ketiga, keempat, kelima, keenam, dan seterusnya. Luas seluruh segitiga –segitiga tersebut adalah ….

A. 3

3

B. 3

3 2

C. 3

3 4

D. 2

3 5

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

Kemudian mencari luas segitiga ke-1, ke-2, ke-3,....

Luas segitiga ke-1 = 2 1

× a × t

=

2 1

× 2 × 3

= 3

Dengan demikian Luas segitiga ke-2 = 4 1

× Luas segitiga ke-1

Luas segitiga ke-3 = 4 1

× Luas segitiga ke-2 2

2 2

2

2 2

t t = 2 1 3

2

Luas segitiga ke-4 = 4 1

× Luas segitiga ke-3

...

...

...

Sampai tak terhingga...

Dengan demikian dapat disimpulkan: pola seperti ini membentuk deret geometri tak hingga,

Dimana U1 = 3 dan r = 4 1

Sehingga luas seluruh segitiga adalah sebagai berikut:

S_∞ = r U

 1

1  L =

r U

 1

1

 L =

4 1 1

3



 L =

4 3 3

 L = 3

3 4

Jadi, Luas seluruh segitiga – segitiga tersebut adalah 3 3 4

satuan luas

14. Sepuluh titik pada suatu lingkaran diberi nomor 1, 2, …, 10. Seekor katak melompat searah jarum jam satu satuan. Jika katak berada pada nomor yang merupakan bilangan prima, dan tiga satuan jika bukan bilangan prima. Jika mula-mula katak berada pada posisi nomor 1, di manakah posisi katak setelah melompat 2014 kali?

A. 1

B. 4

C. 7

D. 8

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

10 1

2

3

4 6

7 8

Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Diketahui: seekor katak melompat searah jarum jam satu satuan

Jika katak berada pada nomor yang merupakan bilangan prima, dan tiga satuan jika bukan bilangan prima.

Berikut langkah-langkah lompatan katak yang akan dilalui

Urutan lompatan ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

Posisi katak 4 7 8 1 4 7 8 1 4 7 ...

Bilangan prima           ...

Berdasarkan tabel di atas, dapat kita simpulkan bahwa langkahnya berulang setiap 4 kali langkah, yakni 2014 : 4 = 503 + 2

Artinya adalah setelah melompat 2014 kali sama dengan urutan lompatan yang ke-2, yaitu pada posisi 7.

Jadi, posisi katak setelah melompat 2014 kali ada di posisi 7

15. Diketahui garis L1 sejajar garis L2 dan garis L3 sejajar garis L4 .

Besar sudut y – x adalah ….

A. 0o

B. 10o

C. 30o

D. 50o

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

Berdasarkan ilustrasi gambar di atas, maka didapat sebagai berikut:

x + 35 = 180 – 110  x + 35 = 70

 x = 35 ...(1) x + y + 60 = 180  x + y = 180 – 60

 x + y = 120 ...(2)

Dari persamaan (2) dan (1) diperoleh

x ₃₅o

Sudut sehadap

x + y = 120  35 + y = 120  y = 120 – 35  y = 85 Dengan demikian, y – x = 85 – 35 = 50

Jadi, besar sudut y–x adalah 50o

16. Suatu survey dilakukan terhadap 100 siswa peserta OSN tingkat kabupaten/kota berkaitan dengan frekuensi pengiriman sms pada suatu hari. Hasil yang diperoleh sebagai berikut.

Jumlah sms Persentase

1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 atau lebih

5% 10% 15% 20% 25%

Sisanya dilaporkan tidak mengirim sms. Jika dipilih seorang siswa secara acak, maka peluang siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali adalah …

A. 0,55

B. 0,30

C. 0,25

D. 0,15

Pembahasan:

Perhatikan kembali pada tabel hasil survey.

Jumlah sms Persentase

1 – 10 11 – 20 21 – 30

5% 10% 15%

Persentase siswa yang mengirim sms tidak lebih 30 kali adalah 5% + 10%+15% = 30%

Dengan demikian peluang siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali = 100

30

= 0,30

Jadi, peluang siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali adalah 0,30

17. _{Diketahui titik E, F, dan G pada trapezium ABCD. Sisi FE sejajar dengan sisi AB. Jika AB = 7,}

DC = 14, DG = 8, FG = 4, GB = x , dan GE = y , maka nilai x + y adalah …

A. 10

B. 11

C. 12

Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Pembahasan:

Perhatikan segitiga FGD dan segitiga ABD. Dengan menggunakan konsep kesebangunan didapat:

Kemudian Perhatikan segitiga BEG dan segitiga BCD. Dengan menggunakan konsep kesebangunan didapat:

18. Dari survey terhadap 75 orang diperoleh hasil sebagai berikut.

 50 orang berumur lebih dari 25 tahun, sisanya berumur tidak lebih dari 25 tahun  27 orang menyukai masakan pedas, 7 diantaranya berumur tidak lebih dari 25 tahun  28 orang menyukai masakan manis, 25 diantaranya berumur lebih dari 25 tahun  5 orang menyukai masakan pedas dan juga masakan manis

 25 orang tidak menyukai masakan pedas maupun masakan manis, 7 diantaranya berumur lebih dari 25 tahun

Banyak orang yang berumur tidak lebih dari 25 tahun yang menyukai masakan pedas dan juga masakan manis adalah ….

Perhatikan diagram Venn berikut.

Misalkan orang yang menyukai masakan Pedas = P

orang yang menyukai masakan Manis = M

dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

a + b + c + 7 = 50  20 + c + 7 = 50  c = 50 – 27

 c = 23 ....(8) Dari persamaan (3) dan (8) diperoleh

b + c = 25  b + 23 = 25

 b = 2 ....(9) Dari persamaan (4) dan (9) diperoleh

b + e = 5  2 + e = 5  e = 3

Jadi, Banyak orang yang berumur tidak lebih dari 25 tahun yang menyukai masakan pedas dan juga masakan manis adalah 3 orang

19. Jika luas satu persegi kecil adalah 4 m2, maka luas bangun datar pada gambar di bawah adalah ...

A. 36

B. 96

C. 144

D. 162

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

Gambar yang asli di geser ke kiri setengah kotak, kemudian buatlah garis bantu yang berwarna merah. Sehingga terbentuk 4 segitiga, selanjutnya geserlah 2 segitiga bagian atas kebagian bawah seperti pada gambar di atas.

Dengan demikian akan tampak seperti pada gambar samping kanannya dan bangun tersebut membentuk jajar genjang dengan alas AD = 4,5 dan tinggi EC = 8, sehingga di dapat

t

A

B D

Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Luas jajargenjang = a × t

= AD × EC = 4,5 × 8 = 36 satuan luas

Karena setiap persegi kecil luasnya adalah 4 m2, maka luas bangun jajar genjang menjadi Luas jajargenjang = 36 × 4

= 144 m2

Jadi, luas bangun datar pada gambar yang dimaksud adalah 144 m2

20. Seorang guru memiliki 3 kantong permen yang akan dibagikan kepada para siswanya. Masing – masing kantong terdiri dari beberapa permen yang memiliki warna sama. Kantong pertama berisi permen berwarna merah, kantong kedua berisi permen berwarna kuning, dan kantong ketiga berisi permen berwarna hijau. Masing – masing siswa mendapatkan 7 permen dengan dua warna dan kombinasi yang berbeda untuk setiap siswa. Sebagai contoh, bila siswa A mendapat 3 permen berwarna merah dan 4 permen berwarna hijau, maka tidak ada siswa lain yang mendapat bagian seperti siswa A. Maksimal banyak siswa yang ada di kelas tersebut adalah …

A. 15

B. 18

C. 21

D. 24

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi kantong permen berikut.

Diketahui masing-masing siswa mendapatkan 7 permen dengan dua warna dan kombinasi yang berbeda.

Banyak pasangan yang mungkin dari 2 warna yang berbeda adalah ada 6, yakni (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), dan (6,1)

Dari ke-3 kantong permen tersebut akan diambil 2 warna kombinasi berbeda, artinya terdapat 3 unsur berbeda dari 2 unsur yang akan di ambil, yakni menggunakan formula kombinasi

Sehingga banyak cara yang mungkin adalah ada 3C2 =



3 2



!.3! ! 3

 = 3

Karena pengambilannya ada 3 cara dari 6 pasangan yang mungkin, maka banyak siswa yang mungkin juga dari kelas tersebut adalah 6 × 3 = 18 orang

Jadi, maksimal banyak siswa yang ada di kelas tersebut adalah 18 orang

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com

Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/ http://olimattohir.blogspot.co.id/