OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI
TINGKAT PROVINSI
TAHUN 2013
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
B. SOAL URAIAN
1. Suatu yayasan menyumbangkan 144 buku ke 4 sekolah. Banyak buku yang diterima untuk setiap sekolah tidak sama. Selisih buku yang diterima sekolah A dan B adalah 16. Selisih buku yang diterima sekolah B dan C adalah 12. Selisih buku yang diterima sekolah C dan D adalah 8. Sekolah A menerima buku paling sedikit dibandingkan dengan yang titerima sekolah lain. Jika sekolah D menerima buku 2 kali lebih banyak dari pada buku yang diterima sekolah A, tentukan banyak buku yang diterima masing-masing sekolah.
Pembahasan:
dari soal diketahui sebagai berikut;
Suatu yayasan menyumbangkan 144 buku
D sekolah
C sekolah
B sekolah
A sekolah
Sekolah A menerima buku paling sedikit dibandingkan dengan yang titerima sekolah lain, sehingga B – A = 16
sekolah D menerima buku 2 kali lebih banyak dari pada buku yang diterima sekolah A sehingga D = 2A
Dari uraian diatas terdapat 4 kemungkinan yang terbentuk, yaitu; Kemungkinan 1:
B – A = 16 ... 1)
C – B = 12 ... 2) C – B = 12 Persaman 2) dan 3), diperolah D – C = 8
D – C = 8 ... 3) D – B = 20 ... 4)
Persamaan 4) dan 1), diperoleh D – B = 20
B – A = 16
D – A = 36, ....karena D = 2A, maka A = 36 sehingga D = 72, B = 52, dan C = 64
Karena A + B + C + D = 224 dan 224 > 144, maka kemungkinan ini Tidak Memenuhi
Selisihnya 16
Selisihnya 12
Kemungkinan 2: B – A = 16 ... 1)
B – C = 12 ... 2) B – C = 12 Persaman 2) dan 3), diperolah C – D = 8
C – D = 8 ... 3) B – D = 20 ... 4)
Persamaan 4) dan 1), diperoleh B – D = 20
B – A = 16
A – D = 4
karena D = 2A, maka A = – 4, hal ini tidak mungkin terjadi, sehingga Tidak Memenuhi
Kemungkinan 3: B – A = 16 ... 1)
B – C = 12 ... 2) B – C = 12 Persaman 2) dan 3), diperolah D – C = 8
D – C = 8 ... 3) B – D = 4 ... 4)
Persamaan 4) dan 1), diperoleh B – D = 4
B – A = 16
A – D = – 12, ....karena D = 2A, maka A = 12 sehingga D = 24, B = 28, dan C = 16 Karena A + B + C + D = 80 dan 80 < 144, ma ka kemungkinan ini Tidak Memenuhi
Kemungkinan 4: B – A = 16 ... 1)
C – B = 12 ... 2) C – B = 12 Persaman 2) dan 3), diperolah C – D = 8
C – D = 8 ... 3) D – B = 4 ... 4)
Persamaan 4) dan 1), diperoleh D – B = 4
B – A = 16
D – A = 20, ....karena D = 2A, maka A = 20 sehingga D = 40, B = 36, dan C = 48 Karena A + B + C + D = 144, maka kemungkinan ini yang Memenuhi
Jadi, banyak buku yang diterima masing-masing sekolah adalah Sekolah A = 20 buku,
Sekolah B = 36 buku, Sekolah C = 48 buku, dan Sekolah D = 40 buku
2. Satu set kartu remi/bridge terdiri dari 52 lembar. Diambil 5 lembar kartu secara acak. Tentukan peluang terambil 2 kartu warna merah dan 3 kartu warna hitam, yang di antaranya terdapat tepat 1 kartu King.
Pembahasan:
Banyaknya Ruang sampel = 52C5 = 2598960
Kemungkinan I:
Apabila yang terambil adalah kartu King berwarna merah, maka banyak cara untuk memilih kartu King berwarna merah adalah 2C1 × 24C1 = 2 × 24 = 48.
Sedangkan banyak cara pengambilan kartu remi/bridge yang berwarna hitam adalah sebanyak 24C3 = 2024 (banya k kartu wa rna hitam ada 26, akan tetapi
kartu king tidak diikutsertakan lagi, karena tepat 1 kartu king sudah terambil: sehingga ada 24)
Sehingga banyak cara pada kemungkinan I adalah 48 × 2024 = 97152
Kemungkinan II:
Apabila yang terambil adalah kartu King berwarna hitam, maka banyak cara untuk memilih kartu King berwarna hitam adalah 2C1 × 24C2 = 2 × 276 = 552.
Sedangkan banyak cara pengambilan kartu remi/bridge yang berwarna merah adalah sebanyak 24C2 = 276 = 276
Sehingga banyak cara pada kemungkinan I adalah 552 × 276 = 152352
Sehingga banyak cara pengambilan kartu seluruhnya adalah97152 + 152352 = 249504
Jadi, Peluang terambil 2 kartu warna merah dan 3 kartu warna hitam, yang diantaranya
terdapat tepat 1 kartu King =
2598960 249504
=
54145 48
5198 48
= 54145 5198
3. Misalkan 10 lingkaran yang berjari-jari 1 cm dimasukkan dalam lingkaran berjari-jari R cm,
seperti gambar berikut. Tentukan R
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
A
X Y
Z
B C
A
X Y
Z
B C D
)
(a (b) (c)
A
X Y
Z
B C D
K
Diketahui jari-jari lingkaran kecil: r = 1 cm
jari-jari lingkaran besar: R cm
Perhatikan gambar (a)! Dibuat garis bantu AX = BY = r = 1 cm, sehingga AB = XY
Dibuat garis bantu AC = R, sehingga panjang AY = (R– 1)
Dibuat garis bantu segitiga XYZ, sehingga terbentuk segitiga sama kaki
Perhatikan AXY! Dengan pythagoras didapat
XY2 = AY2–AX2 XY2 = (R –1)2– 12
Perhatikan XKZ! Dengan pythagoras didapat
KZ2 = XZ2–XK2 KZ2 = 22–
Kemudian perhatikan ALZ! Dengan pythagoras didapat
162RR2 = R2–2R – R R 2 1 4
1 2 – 2
4 1 2 1
4 R R
162RR2 = R2–2R – 4
(16 + 2R–R2) = (R2–2R – 4)2
16 + 2R–R2 = (R2–2R)2– 8R2 + 16R + 16
16 + 2R–R2 = R4–4R3 + 4R2– 8R2 + 16R + 16
2R–R2 = R4–4R3 – 4R2 + 16R
2 –R = R3–4R2 – 4R + 16
2 –R = R3–4R2 – 4R + 16
R3–4R2 – 3R + 14 = 0
(R – 2)(R2–2R – 7) = 0
Sehingga R = 2 (tidak memenuhi, karena 2 cm merupa kan diameter lingkaran kecil)
atau R =
2
7 1 4 4
2
= 1 + 2 2 (memenuhi)
Jadi, panjang jari-jari R adalah (1 + 2 2) cm
4. Gunakan delapan bilangan prima yang berbeda dan kurang dari 25 untuk melengkapi persegi ajaib di bawah, sehingga setiap kotak di dalam persegi terisi oleh satu bilangan prima serta jumlah bilangan pada setiap baris dan setiap kolom selalu sama.
47 53
37 41
29 61
59 31
Pembahasan:
Misalkan kedelapan bilangan prima yang kuran dari 25 adalah a, b, c, d, e, f, g, dan h
a b 47 53
c 37 41 d
29 61 f e
59 h g 31
a + b + 47 + 53 = a + c + 29 + 59 b–c = –12
karena b dan c bilangan prima, maka yang mungkin untuk nilai b dan c adalah
b c b – c 11 23 –12
b + 37 + 61 + h = c + 37 + 41 + d b – c = (d – h) – 20
karena d dan h bilangan prima, maka yang mungkin untuk nilai d dan h adalah
d h d – h 13 5 8
53 + d + e + 31 = 59 + h + g + 31 d–h = (g–e) + 6
8 = (g – e) + 6 maka g – e = 2
karena g dan e bilangan prima, maka yang mungkin untuk nilai g dan e adalah
g e g – e 19 17 2
a + b + 47 + 53 = b + 37 + 61 + h a – h = –2
Karena h = 5 maka nilai a = 3 29 + 61 + f + 17 = b + 37 + 61 + h
Karena nilai b = 11 dan h = 5 maka nilai f = 7
Jadi, kelengkapan tabelnya adalah
a = 3 b = 11 47 53
c =23 37 41 d = 13
29 61 f = 7 e = 17
59 h = 5 g = 19 31
5. Didefinisikan adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.
Sebagai contoh: = 2, karena 2 ≤ 2 5
< 3, jika x dan y adalah bilangan real dengan = 10
dan = 8, tentukan nilai dari
Pembahasan:
Jika =10, maka nilai x yang mungkin memenuhi: 100 ≤x < 121
= 8, maka nilai y yang mungkin memenuhi: 1024 ≤y < 1296
Untuk nilai kemungkinan terkecil kita ambil x = 100 dan y = 1024 maka nilai dari :
=
=
=
= 5
Untuk nilai kemungkinan terbesar kita ambil x = 121 dan y = 1296 maka nilai dari :
=
=
=
=
= 6
Jadi, nilai dari = 5
Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
